Całkowita regularność topologii S-gęstości związanych z ciągami

Udowodnimy teraz, że jeśli ciąg S jest regularny, to przestrzeń hR, T^Si jest całko-wicie regularna. Wynik ten został opublikowany w artykule [W]. Dowód oprzemy na analogonie twierdzenia Łuzina-Mienszowa w kontekście S-gęstości (por. [B]), po-przedzając go następującymi lematami.

Lemat 3.1. Niech S = {S_n} ∈ S i niech B ∈ L . Wówczas dla każdego x ∈ B ∩ ΦS(B) istnieje zbiór doskonały K taki, że x ∈ K ⊂ B.

Dowód. Niech B ∈ L, S = {S_n} ∈ S. Weźmy dowolny x ∈ B ∩ Φ^S(B). Ponieważ x jest punktem S-gęstości zbioru B, więc równość λ (B ∩ (S_n+ x)) = 0 zachodzi tylko dla skończenie wielu n ∈ N. Możemy zatem założyć, że λ (B ∩ (Sn+ x)) > 0 dla każdego n ∈ N. Wówczas dla każdego n ∈ N istnieje niepusty zbiór doskonały K_n taki, że K_n⊂ B ∩ (S_n+ x). Zdefiniujmy zbiór K następująco:

K = {x} ∪ ^[

n∈N

K_n.

Wtedy x ∈ K ⊂ B. Pokażemy, że zbiór K jest domknięty i w sobie gęsty. Niech {x_k}_k∈N ⊂ K oraz lim_k→∞x_k = x₀. Jeśli nieskończenie wiele elementów ciągu {x_k}_k∈Npokrywa się z x₀, to x₀ ∈ K. Załóżmy przeciwnie. Wówczas mamy przypadki 1. Istnieje n0 ∈ N takie, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x^k}_k∈N należy do

zbioru Kn0. Wówczas x0 ∈ K.

2. Dla każdego n ∈ N zbiór Kn zawiera co najwyżej skończoną liczbę wyrazów ciągu {x_k}_k∈N. Niech {n_j}_j∈Norazⁿx_kj^o

j∈Nbędą ciągami takimi, że x_nj ∈ K_nj. Ponieważ x_kj ∈ S_nj + x i lim_j→∞diam^{0} ∪ S_nj^= 0, więc lim_j→∞x_kj = x.

W rezultacie x₀ ∈ K. Zatem zbiór K jest domknięty.

Pokażemy, że K jest w sobie gęsty. Niech x0 ∈ K. Jeśli istnieje n0 ∈ N takie, że x₀ ∈ K_n0, to z doskonałości zbioru Kn0 istnieje ciąg elementów zbioru K różnych od x₀ zbieżny do x₀. Jeśli x₀ ∈/ ^S_n∈NK_n, to x₀ = x. Niech x_n 6= x₀ będzie dowolnym elementem zbioru K_n. Wówczas x_n ∈ x + S_n i stąd wnosimy, że lim_n→∞x_n = x₀ Lemat 3.2. Niech S = {S_n} ∈ S oraz B ∈ L. Wówczas dla każdego zbioru prze-liczalnego C takiego, że C ⊂ B oraz C ⊂ ΦS(B) istnieje zbiór doskonały K o tej własności, że C ⊂ K ⊂ B.

Dowód. Niech S = {S_n} ∈ S, zaś B ∈ L. Ponadto, niech C = {xi : i ∈ N} będzie takim zbiorem przeliczalnym, C ⊂ B i C ⊂ ΦS(B). Dla każdego i ∈ N określmy zbiory B_i = B ∩^hx_i− ¹_i, x_i+ ¹_iⁱ. Zauważmy, że x_i ∈ ΦS(B_i) dla każdego i ∈ N.

Zatem na mocy poprzedniego lematu dla każdego i ∈ N istnieje zbiór doskonały Ki

taki, że x_i ∈ K_i ⊂ B_i. Określmy zbiór K następująco:

K = C ∪ ^[

i∈N

Ki.

Wówczas C ⊂ K ⊂ B. Pokażemy, że K jest zbiorem doskonałym. Niech {x_n}_n∈N ⊂ K oraz lim_n→∞x_n = x. Jeśli nieskończenie wiele elementów ciągu {x_n}_n∈N należy do zbioru C lub K_i0 dla pewnego i₀ ∈ N, to x ∈ K. Załóżmy przeciwnie. Wówczas istnieją ciągi {nj}_j∈N oraz {ij}_j∈N takie, że xnj ∈ Kij dla każdego j ∈ N. Zatem

 

xij − xnj

   < _i²

j dla każdego j ∈ N. Stąd wnioskujemy, że lim^j→∞xij = x, a więc x ∈ C ⊂ K, co oznacza domkniętość zbioru K. Pokażemy teraz, że zbiór K jest w sobie gęsty. Istotnie, wystarczy pokazać, że dowolny element x ∈ C jest punktem skupienia zbioru K. Jeśli x jest punktem skupienia zbioru C, to oczywiście jest punktem skupienia zbioru K. Załóżmy więc, że x nie jest punktem skupienia zbioru C. Istnieje więc i₀ ∈ N takie, że x = xi0. Zatem x_i0 ∈ K_i0 i stąd wnioskujemy, że x jest punktem skupienia zbioru K.

Lemat 3.3. Niech S = {S_n} ∈ S oraz E ∈ L. Wtedy dla każdego Tnat-domkniętego zbioru X takiego, że X ⊂ E ∩ ΦS(E) istnieje zbiór doskonały K o tej własności, że X ⊂ K ⊂ E.

Dowód. Istnieje zbiór przeliczalny C ⊂ E, taki że C = X. Zatem C ⊂ E ∩ ΦS(E).

Na mocy poprzedniego lematu istnieje zbiór doskonały K, taki że C ⊂ K ⊂ E.

Ponieważ C ⊂ K = K, więc X ⊂ K ⊂ E.

Twierdzenie 3.4. Niech S = {S_n} ∈ S będzie regularnym ciągiem zbiorów i niech E ∈ L. Wówczas dla każdego zbioru T_nat-domkniętego X takiego, że X ⊂ E ∩ ΦS(E) istnieje zbiór doskonały P taki, że X ⊂ P ⊂ E oraz X ⊂ ΦS(P ).

Dowód. Z regularności ciągu zbiorów S wynika istnienie ciągu I = {In} ∈ I<ω

takiego, że α(I) = lim sup_n→∞^diam(I_λ(I^n∪{0})

n) < ∞ oraz Φ_S = Φ_I.

Możemy na mocy zbieżności ciągu I do zera założyć, że I_n ⊂ [−1, 1], dla każdego n ∈ N. Połóżmy F = E ∩^Sx∈X[x − 1, x + 1]. Wtedy X ⊂ F ∩ ΦI(F ). Z lematu 3.3

wynika istnienie zbioru doskonałego K takiego, że X ⊂ K ⊂ F . Dla każdego n ∈ N określmy

R_n=



x ∈ F : 1

n + 1 < dist(x, X) ¬ 1 n



.

Zauważmy, że F = X ∪^S_n∈NR_n. Dla każdego n ∈ N oznaczmy przez Pn⊂ R_n zbiór doskonały taki, że λ(R_n\ P_n) < ₂n+1¹ . Zdefiniujmy zbiór P następująco:

P = K ∪ ^[

n∈N

P_n.

Wówczas X ⊂ P ⊂ F . Pokażemy, że P jest zbiorem doskonałym. Jeśli x0 ∈ P , to x₀ ∈ K lub x₀ ∈ P_n0 dla pewnego n₀ ∈ N. Jako, że zbiory K i Pn0 są doskonałe, to x₀ jest punktem skupienia zbioru P . Uzasadnimy teraz, że zbiór P jest domknięty.

Niech {x_k}_k∈N ⊂ P oraz lim_k→∞x_k= x₀. Jeśli nieskończenie wiele elementów ciągu {x_k}_k∈N należy do zbioru K lub do zbioru P_n0, to x₀ ∈ P . Załóżmy przeciwnie. Niech {k_j}_j∈N i {n_j}_j∈N będą takimi ciągami liczb naturalnych, że x_kj ∈ P_nj ⊂ R_nj. Wnio-skujemy stąd, że dist^x_kj, X^¬ _k¹

j. W rezultacie otrzymujemy, że dist (x₀, X) = 0, a więc xo ∈ X = X ⊂ P .

Pokażemy, że X ⊂ ΦI(P ). Niech x ∈ X. Wówczas x ∈ X ∩ ΦS(F ). Ustalmy n ∈ N. Wtedy

λ (F ∩ (x + I_n)) ¬ λ (P ∩ (x + I_n)) + λ ((F \ P ) ∩ (x + I_n)) . Zachodzą dwa przypadki:

Przypadek 1. (x + I_n) ∩ R_j = ∅ dla dowolnego j ∈ N. Wtedy (F \ P ) ∩ (x + In) ⊂

∞

[

j=1

Rj∩ (x + In) = ∅, więc

λ (F ∩ (x + In)) ¬ λ (P ∩ (x + In)) . Przypadek 2. Istnieje j ∈ N takie, że (x + In) ∩ R_j 6= ∅. Określmy

m(n) := min {j ∈ N : (x + In) ∩ R_j 6= ∅} .

Pokażemy, że lim_n→∞m(n) = ∞. Niech y ∈ (x + I_n) ∩ R_m(n). Wtedy y − x ∈ I_n oraz y ∈ R_m(n), więc diam (Ik∪ {0}) |x − y| > _m(n)+1¹ . Ze zbieżności ciągu I do zera wynika, że limn→∞m(n) = ∞. Zauważmy, że

(F \ P ) ∩ (x + I_n) ⊂ ^[

j­m(n)

(R_j \ P_j) .

Stąd wynika, że

λ ((F \ P ) ∩ (x + I_n)) ¬ λ



 [

j­m(n)

(R_j \ P_j)



¬ ^X

j­m(n)

λ (R_j\ P_j) < 1 2^m(n). Zatem

λ (F ∩ (x + I_n)) ¬ λ (P ∩ (x + I_n))+λ ((F \ P ) ∩ (x + I_n)) < λ (P ∩ (x + I_n))+ 1 2^m(n). Skoro α(I) = lim sup_n→∞ ^diam(I_λ(I^n∪{0})

n) < ∞, to możemy założyć założyć, że dla każ-dego k ∈ N zachodzi nierówność diam (Ik∪ {0}) ¬ 2α(I)λ(I_k). Zatem dla każdego k ∈ N mamy

λ (Ik) ­ diam (Ik∪ {0}) 2α(I) Ponadto, jeśli y ∈ (x + I_n) ∩ R_m(k), to

dist (X, y) > 1 m(k) + 1. Stąd

diam ({0} ∪ Ik) ­ |x − y| > 1 m(k) + 1, więc

λ(I_k) ­ 1

2α(I)(m(k) + 1). Ostatecznie

λ (F ∩ (x + I_k))

λ(I_k) ¬ λ (P ∩ (x + I_k))

λ(I_k) +2α(I)(m(k) + 1) 2^m(k) .

Skoro x ∈ ΦS(F ) = ΦI(F ), to biorąc pod uwagę przypadki 1 i 2 otrzymujemy, że

n→∞lim

λ (P ∩ (x + I_n)) λ(I_n) = 1, więc x ∈ ΦI(P ). Zatem x ∈ ΦS(P ).

Pokażemy dalej, że topologia generowana przez regularny ciąg zbiorów jest cał-kowicie regularna.

Obecnie zdefiniujemy funkcje S-aproksymatywnie ciągłe.

Definicja 3.5. Niech S ∈ S. Powiemy, że funkcja f : R → R jest S-aproksymatywnie ciągła w punkcie x₀ ∈ R, gdy istnieje zbiór Ux0 ∈ L taki, że x₀ ∈ ΦS(U_x0) oraz lim_{x→x0,x∈Ux0}f (x) = f (x₀). Mówimy, że funkcja f : R → R jest S-aproksymatywnie ciągła, gdy jest S-aproksymatywnie ciągła w każdym punkcie x ∈ R.

Własność 3.6. Niech S ∈ S, x0 ∈ R, zaś f, g : R → R będą funkcjami S-aproksymatywnie ciągłymi w punkcie x₀. Wówczas funkcje f + g oraz f · g są S-aproksymatywnie ciągłe w punkcie x₀. Ponadto, jeśli f (x₀) 6= 0, to funkcja ¹_f jest również S-aproksymatywnie ciągła w punkcie x₀.

Dowód. Niech funkcje f, g : R → R będą S-aproksymatywnie ciągłe w punkcie x₀. Wówczas istnieją zbiory U_x¹₀, U_x²₀ ∈ L takie, że x₀ ∈ ΦS

U_x¹₀^, x₀ ∈ ΦS

U_x²₀^ oraz lim_x→x0,x∈U¹

x0f (x) = f (x0), lim_x→x0,x∈U²

x0g(x) = g(x0). Niech Ux0 = U_x¹₀ ∩ U_x²₀. Oczywiście Ux0 ∈ L. Ponadto

x₀ ∈ ΦS

U_x¹

0

∩ ΦS

U_x²

0

= ΦS

U_x¹

0 ∩ U_x²

0

= ΦS(U_x0)

oraz

x→xlim0,x∈U_x0(f (x) + g(x)) = f (x₀) + g (x₀) ,

a więc funkcja f + g jest S-aproksymatywnie ciągła w punkcie x0. Analogicznie dowodzimy, że funkcja f · g jest S-aproksymatywnie ciągła w punkcie x0.

Załóżmy teraz, że funkcja g : R → R jest S-aproksymatywnie ciągła w punkcie x₀ i g (x₀) 6= 0. Niech f (y) = ¹_y. Wówczas _g(x)¹ = f (g(x)). Z ciągłości funkcji f w punkcie y₀ = g (x₀) otrzymujemy, że dla dowolnego  > 0 istnieje δ > 0 taka, że jeśli

|y − y₀| < δ, to |f (y) − f (y₀)| < . Na mocy S-aproksymatywnej ciągłości funkcji g w punkcie x₀ istnieje zbiór U_x0 ∈ L taki, że x₀ ∈ Φ_S(U_x0) oraz istnieje δ₁ > 0 taka, że jeśli x ∈ A ∩ (x₀− δ₁, x₀ + δ₁), to |g(x) − g (x₀)| < δ. Skoro g(x) ∈ (y₀− δ, y₀+ δ), to |f (g(x)) − f (y₀)| < , czyli |_g(x)¹ −_g(x¹

0)| < . Oznacza to, że funkcja ¹_g jest również S-aproksymatywnie ciągła w punkcie x₀.

Z powyższej własności wynika następujący wniosek.

Wniosek 3.7. Niech S ∈ S, zaś f, g : R → R będą funkcjami S-aproksymatywnie ciągłymi. Wówczas funkcje f + g oraz f · g są S-aproksymatywnie ciągłe. Ponadto, jeśli f (x) 6= 0, to funkcja _f¹ jest również S-aproksymatywnie ciągła.

Definicja 3.8. Niech S ∈ S. Mówimy, że funkcja f : R → R jest S-górnie aprok-symatywnie ciągła w punkcie x₀ ∈ R, jeżeli dla każdego a > f(x0) istnieje zbiór Ux0 ∈ L taki, że x₀ ∈ Φ (Ux0) oraz a > f (x) dla każdego x ∈ Ux0. Powiemy, że funkcja f : R → R jest S-górnie aproksymatywnie ciągła, jeśli jest S-górnie aprok-symatywnie ciągła w każdym punkcie x ∈ R.

Niech S ∈ S. Mówimy, że funkcja f : R → R jest S-dolnie aproksymatywnie ciągła w punkcie x₀ ∈ R, jeżeli dla każdego a < f(x0) istnieje zbiór U_x0 ∈ L taki, że x₀ ∈ Φ (U_x0) oraz a < f (x) dla każdego x ∈ U_x0. Powiemy, że funkcja f : R → R jest S-dolnie aproksymatywnie ciągła, jeśli jest S-dolnie aproksymatywnie ciągła w każdym punkcie x ∈ R.

Niech

S0 = {S ∈ S : ∀^A∈L A ⊂ ΦS(A) ⇒ λ (ΦS(A) \ A) = 0} .

Praca [W1] zawiera rezultat, że dla dowolnego ciągu S ∈ S0 funkcja f : R → R jest S-aproksymatywnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ CT_S,nat, gdzie

{f : R → R : f jest funkcją ciągłą z przestrzeni hR, T^Si w przestrzeń hR, Tnati} . W świetle wniosku 1.22 otrzymujemy, że S₀ = S i stąd wynika następujące twier-dzenie.

Twierdzenie 3.9. Niech S ∈ S. Funkcja f : R → R jest S-aproksymatywnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ CTS,nat.

Twierdzenie 3.10. Niech S ∈ S. Funkcja f : R → R jest S-aproksymatywnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest S-górnie aproksymatywnie ciągła i S-dolnie aproksy-matywnie ciągła.

Dowód. Niech f : R → R będzie S-aproksymatywnie ciągła w punkcie x0 ∈ R i niech a > f (x₀). Z twierdzenia 3.9 wynika, że x₀ ∈ {x ∈ R : a > f(x)} ∈ T^S. Istnieje zatem zbiór Ux0 ∈ TS taki, że x₀ ∈ Ux0 i Ux0 ⊂ {x ∈ R : a > f(x)}, a więc x0 ∈ ΦS(Ux0) oraz a > f (x) dla x ∈ Ux0. Wobec powyższego funkcja f jest S-górnie aproksymatywnie ciągła w punkcie x0. Z dowolności x0 wynika, że funkcja f jest S-górnie aproksymatywnie ciągła na R. Analogicznie pokazujemy, że funkcja f jest S-dolnie aproksymatywnie ciągła na R.

Załóżmy teraz, że że funkcja f jest S-górnie i S-dolnie aproksymatywnie ciągła na R. Niech x⁰ ∈ {x ∈ R : f(x) < a}. Wówczas istnieje zbiór Ux0 taki, że x0 ∈ Φ (U_x0) i f (x) < a dla x ∈ U_x0. Oczywiście U_x0 ⊂ {x ∈ R : f(x) < a}. Kładąc

V_x0 = (U_x0 ∪ {x₀}) ∪ ΦS(U_x0 ∪ {x₀})

otrzymujemy na podstawie faktu, że ΦS jest operatorem dolnej gęstości, że V_x0 ⊂ ΦS(V_x0), więc V_x0 ∈ TS. Wynika stąd, że {x ∈ R : f (x) < a} ∈ T^S.

Analogicznie uzasadniamy na podstawie S-dolnej aproksymatywnej ciągłości, że {x ∈ R : f(x) > a} ∈ T^S. Zatem f ∈ CT_S,nat, więc na mocy twierdzenia 3.9 funkcja f jest S-aproksymatywnie ciągła.

Twierdzenie 3.11. Niech S = {S_n}_n∈N ∈ S będzie ciągiem regularnym, zaś E ∈ T^S będzie zbiorem typu Fσ. Istnieje wówczas funkcja S-aproksymatywnie ciągła f taka, że

1. 0 < f (x) ¬ 1 dla x ∈ E, 2. f (x) = 0 dla x /∈ E.

Dowód. Niech S ∈ S będzie ciągiem regularnym. Oznaczmy przez E zbiór typu F^σ taki, że E ⊂ ΦS(E). Opierając się na twierdzeniu 3.4, analogicznie jak w twierdzeniu 6.5 w [B], dowiedziemy istnienia rodziny {Pα : α ∈ [1, ∞)} zbiorów Tnat-domkniętych takich, że

(i) dla α1 < α2, zachodzi Pα1 ⊂ Pα2 ∩ ΦS(Pα2), (ii) ^S∞_n=1P_n = E.

Zbiór E jest typu F_σ, więc E =^S∞_n=1F_n, gdzie każdy ze zbiorów jest T_nat-domknięty.

Niech P₁ = F₁. Na mocy twierdzenia 3.4 istnieje taki T_nat-domknięty zbiór K₂, że P1 ⊂ K2 ⊂ E

oraz

P₁ ⊂ ΦS(K₂) i K₂ ⊂ ΦS(E) . Niech P₂ = F₂∪ K₂. Wtedy

P₁ ⊂ P₂ ⊂ E oraz

P₁ ⊂ ΦS(P₂) , P₂ ⊂ ΦS(E) i F₂ ⊂ P₂. Załóżmy, że dla n ∈ N \ {1} określiliśmy zbiory Pn takie, że

P_n−1 ⊂ P_n ⊂ E oraz

P_n−1 ⊂ ΦS(P_n) , P_n⊂ ΦS(E) i F_n⊂ P_n.

Z twierdzenia 3.4 wynika istnienie takiego T_nat-domkniętego zbioru K_n+1, że P_n ⊂ K_n+1⊂ E

oraz

P_n ⊂ ΦS(K_n+1) i K_n+1 ⊂ ΦS(E) . Połóżmy P_n+1 = K_n+1∪ F_n+1. Mamy wówczas

P_n ⊂ P_n+1 ⊂ E oraz

P_n⊂ ΦS(P_n+1) , P_n+1 ⊂ ΦS(E) i F_n+1⊂ P_n+1.

Łatwo zauważyć, że ^S∞_n=1Pn = E, a więc spełniony jest warunek (ii). Pokażemy teraz, że zachodzi warunek (i). Dla każdego m = 0, 1, 2, . . . i n ­ 2^m określimy zbiory T_nat-domknięte P ⁿ

2m. Dla m = 0 otrzymujemy ciąg zbiorów {P_n}_n∈N i mamy P ⁿ

2m ⊂ Pⁿ⁺¹

2m , P ⁿ

2m ⊂ Φ_S^Pⁿ⁺¹

2m

.

Załóżmy, że dla ustalonego m określiliśmy zbiory P ⁿ

2m dla każdego n ­ 2^m spełnia-jące powyższe dwa warunki. Zauważmy, że P ⁿ

2m = P ²ⁿ

2m+1

. Na mocy twierdzenia 3.4 istnieje zbiór T_nat-domknięty, który oznaczymy P²ⁿ⁺¹

2m+1

, o następujących własnościach:

P ⁿ

2m ⊂ P²ⁿ⁺¹

2m+1

⊂ Pⁿ⁺¹

2m , P ⁿ

2m ⊂ ΦS



P²ⁿ⁺¹

2m+1



i P²ⁿ⁺¹

2m+1

⊂ ΦS

Pⁿ⁺¹

2m

. (12)

Ostatecznie, dla dowolnej liczby α ∈ [1, +∞] zdefiniujmy zbiór P_α następująco:

P_α = ^\

n 2m­α

P ⁿ

2m.

Oczywiście dla dowolnej liczby α ∈ [1, +∞] zbiór P_α jest T_nat-domknięty. Niech α₁ < α₂, zaś m, n będą takie, że

α1 < n

2^m < n + 1 2^m < α2. Wtedy na mocy (12) otrzymujemy, że

P_α1 ⊂ P ⁿ

2m ⊂ Pⁿ⁺¹

2m ⊂ P_α2

oraz

P ⁿ

2m ⊂ ΦS

Pⁿ⁺¹

2m

.

Zatem P_α1 ⊂ P_α2 i P_α1 ⊂ ΦS(P_α2), co kończy dowód warunku (i).

Połóżmy

f (x) =







1

inf{α:x∈Pα} dlaa x ∈ E 0 dla x /∈ E Zauważmy, że funkcja f spełnia warunki (1), (2).

Pokażemy teraz, że funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x /∈ E. Niech x₀ ∈ E/ i n ∈ N. Z warunku (2) otrzymujemy, że x0 ∈ P/ _ndla każdego n ∈ N. Jako, że zbiory P_n są T_nat-domknięte, istnieje liczba δ > 0 taka, że (x₀ − δ, x₀+ δ) ∩ P_n = ∅. Co więcej, warunek (1) pociąga za sobą równość (x₀− δ, x₀+ δ) ∩ P_α = ∅ dla każdego α ¬ n. Jeśli x ∈ (x0− δ, x0+ δ) to inf{α : x ∈ Pα} ­ n. Wynika stąd, że f (x) ¬ _n¹ dla każdego x ∈ (x0− δ, x₀ + δ). Z równości f (x0) = 0 wynika ciągłość funkcji f w punkcie x₀.

Pokażemy, że funkcja f jest półciągła z góry dla x ∈ E. Niech x₀ ∈ E oraz a > f (x₀). Oznaczmy n₀ = min {n : x₀ ∈ Pn}. Jeśli n₀ = 1, to f (x₀) = 1. Wówczas dla dowolnego x ∈ R otrzymujemy, że f (x) ¬ f (x⁰), a więc f (x) < a. Jeśli n0 > 1, to istnieje taka δ > 0, że

(x₀− δ, x₀+ δ) ∩

n0−1

[

n=1

P_n = ∅.

Wówczas dla x ∈ (x₀− δ, x₀+ δ) mamy f (x) ¬ 1

n₀ = f (x₀) < a,

czyli f (x) < a. Zatem funkcja f jest górnie półciągła na zbiorze E, a więc jest też S-aproksymatywnie ciągła na zbiorze E.

Pokażemy teraz, że f jest funkcją S-dolnie aproksymatywnie ciągłą w każdym punkcie x ∈ E. Weźmy dowolne x₀ ∈ E i a < f (x₀). Wtedy f (x₀) = _inf{α:x¹

0∈Pα} = _M¹ i a < _{M +}¹ dla pewnego  > 0. Na mocy (1) otrzymujemy, że

x₀ ∈ P_{M +}^

4 ⊂ P_{M +}^

2 ∩ Φ_S(PM +₂^).

Co więcej, jeśli x ∈ P_{M +}^

2, to f (x) ­ 1

M +₂^ > 1

M +  > f (x₀) > a.

Zatem P_{M +}^

2 ⊂ {x ∈ R : f(x) > a} oraz x0 ∈ ΦS({x ∈ R : f (x) > a}). Oznaczmy U_x0 = {x ∈ R : f (x) > a}. Wówczas x0 ∈ ΦS(U_x0) i dla x ∈ U_x0 mamy f (x) > a.

Oznacza to, że funkcja f jest S-dolnie aproksymatywnie ciągła w punkcie x₀. Zatem na mocy twierdzenia 3.10 funkcja f jest aproksymatywnie ciągła w punkcie x₀. Z dowolności x₀ wynika, że funkcja f jest aproksymatywnie ciągła.

Lemat 3.12. Niech S = {Sn}_n∈N ∈ S, zaś przez E1, E₂, K ⊂ R oznaczmy zbiory parami rozłączne takie, że E1∪ E2∪ K = R. Załóżmy ponadto, że E¹∪ K i E2∪ K są zbiorami typu Fσ oraz E1 ∪ K ∈ T_S, E2 ∪ K ∈ T_S. Istnieje wtedy funkcja S-aproksymatywnie ciągła f o następujących własnościach:

1. 0 < f (x) < 1 dla x ∈ K, 2. f (x) = 0 dla x ∈ E1, 3. f (x) = 1 dla x ∈ E₂.

Dowód. Z twierdzenia 3.11 wynika isnienie funkcji S-aproksymatywnie ciągłych g, h takich, że

1. 0 < g(x) ¬ 1 dla x /∈ E₁ i g(x) = 0 dla x ∈ E₁, 2. 0 < h(x) ¬ 1 dla x /∈ E₂ i h(x) = 0 dla x ∈ E₂.

Zauważmy, że funkcja f (x) = _g(x)+h(x)^g(x) spełnia warunki (1)-(3), zaś na mocy wniosku 3.7 jest S-aproksymatywnie ciągła.

Twierdzenie 3.13. Jeśli ciąg S = {S_n}_n∈N∈ S jest regularny, to przestrzeń topo-logiczna hR, T^Si jest całkowicie regularna.

Dowód. Niech F oznacza zbiór TS-domknięty taki, że x₀ ∈ F . Z własności zbiorów/ mierzalnych w sensie Lebesgue’a wynika istnienie zbioru C typu G_δ o następujących własnościach: F ⊂ C i λ(F ) = λ(C) oraz x₀ ∈ C. Połóżmy E/ ₁ = {x₀}, E₂ = C i H = R\(C ∪ {x0}). Na mocy lematu 3.12 istnieje funkcja S-aproksymatywnie ciągła f : R → [0, 1] taka, że f (x⁰) = 0 oraz f (x) = 1 dla każdego x ∈ F . Z twierdzenia 3.10 wynika, że f ∈ CTS,nat. Oznacza to, że przestrzeń topologiczna hR, T^Si jest całkowicie regularna.

W dokumencie O topologiach generowanych przez regularne ciągi zbiorów mierzalnych (Stron 32-42)