A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.2 Graniastosłupy i ich rodzaje
W graniastosłupie ABCA1B1C1:
krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw;
ściany boczne ABB1A1, BCC1B1, ACC1A1są prostokątami i są prostopadłe do podstaw;
każdy odcinek PR prostopadły do podstawy, gdzie punkt R należy do podstawy ABC i punktP należy do podstawy A1B1C1, zawiera się w graniastosłupie i jest jego wyso-kością.
W graniastosłupie KLMK1L1M1:
krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw;
ściany boczne KLL1K1, LMM1L1, KMM1K1są równoległobokami;
istnieje wysokość L1S, która nie zawiera się w graniastosłupie, mimo że jeden z jej koń-ców należy do podstawy graniastosłupa.
Graniastosłup, w którym krawędzie boczne są pro-stopadłe do podstaw, nazywamy graniastosłupem prostym. Graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, nazywamy graniastosłupem pochyłym.
Jeśli podstawą graniastosłupa prostego jest wielokąt foremny, to ten graniastosłup nazywa-my graniastosłupem prawidłowym.
Graniastosłup prosty, którego podstawą jest prostokąt, nazywamy prostopadłościanem.
Prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych nazywamy sześcianem.
Graniastosłup, w którym wszystkie ściany są równoległobokami, nazywamy równoległo-ścianem.
ĆWICZENIE 2.
Skorzystaj z przykładu 1. i narysuj graniastosłup:
a) czworokątny prosty, którego podstawą jest romb,
b) sześciokątny pochyły, którego podstawą jest sześciokąt foremny.
Wskaż ściany równoległe narysowanych graniastosłupów.
Siatka wielościanu to figura płaska, którą można otrzymać z powierzchni wielościanu przez jej rozcięcie wzdłuż niektórych krawędzi i rozłożenie na płaszczyźnie.
PRZYKŁAD 2.
Narysujmy trzy różne siatki, z których można zbudować sześcian.
Uwaga: Za podstawy sześcianu możemy przyjąć jego dowolne dwie przeciwległe ściany.
ĆWICZENIE 3.
Zaprojektuj trzy siatki sześcianu inne niż w przykładzie 2.
Odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa należące do przeciwległych podstaw, niezawierający się w żadnej z jego ścian, nazywamy przekątną graniastosłupa.
Odcinki: AG, BH, CE, DF są przekątnymi sześcianu ABCDEFGH. Przekątne sześcianu przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości sześcianu.
PRZYKŁAD 3.
Na powierzchni sześcianu ABCDEFGH o krawędzi a i jego siatce zaznaczmy najkrótszą łamaną EXC składającą się z takich dwóch odcinków EX i XC, że punkt X należy do krawędzi AB. Obliczmy długość tej łamanej.
Najkrótsza łamana to ta, w której punkt X jest środkiem krawędzi AB.
Długość łamanej jest równa
(2a)2+a2 = a 5.
ĆWICZENIE 4.
Na powierzchni sześcianu oraz jego siatce zaznacz najdłuższą i najkrótszą łamaną złożoną z trzech odcinków łączących punkty przecięcia przekątnych przeciwległych ścian sześcia-nu, tak aby każdy odcinek łamanej należał do innej ściany. Oblicz długości tych łamanych, jeżeli krawędź sześcianu ma długość a.
Figurę geometryczną nazywamy wypukłą, jeżeli zawiera wszystkie odcinki, których końce do niej należą. Graniastosłup jest wypukły, gdy jego podstawa jest wielokątem wypukłym.
PRZYKŁAD 4.
Zbadajmy zależność pomiędzy liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi w graniastosłupie wypukłym.
Liczba ścian jest równa liczbie ścian bocznych zwiększonej o 2 (bo są dwie podstawy).
Liczba ścian bocznych jest równa liczbie krawędzi podstawy. Liczba wierzchołków jest równa podwojonej liczbie krawędzi podstawy. Liczba krawędzi jest 3-krotnością liczby krawędzi podstawy.
X
a a
a C
E X
a
a
2.2. Graniastosłupy i ich rodzaje
W tabeli przedstawimy wyniki dla kilku graniastosłupów wypukłych, a następnie na ich podstawie uogólnimy wyniki dla dowolnego graniastosłupa wypukłego.
Zauważmy, że w każdym przypadku zachodzi zależność: s+w−k = 2. Zależność ta jest prawdziwa dla dowolnego wielościanu wypukłego.
ĆWICZENIE 5.
Sprawdź, czy graniastosłup wypukły mający:
a) 10 wierzchołków może mieć 10 ścian i 18 krawędzi, b) 14 wierzchołków może mieć 17 ścian i 27 krawędzi.
1.Graniastosłup ma 18 krawędzi. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa
A. 6 B. 8 C. 9 D.12
2.Graniastosłup ma 20 wierzchołków. Stosunek liczby jego krawędzi do liczby jego ścian to
A. 5 : 2 B. 3 : 2 C. 5 : 3 D. 3 : 1
3.Oblicz liczbę przekątnych graniastosłupa wypukłego, którego podstawą jest:
a) trójkąt, b) czworokąt, c) pięciokąt, d) n-kąt.
4.Narysuj graniastosłup siedmiokątny. Podaj liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian tego graniastosłupa.
5.Narysuj siatkę graniastosłupa prostego, którego dwie ściany są trapezami o podstawach długości 4 cm i 2 cm oraz kącie ostrym 60◦, a wysokość graniastosłupa jest równa 5 cm.
6.Sześcian o krawędzi a rozcięto na dwa takie same graniastosłupy proste trójkątne.
Narysuj siatkę jednego z tych graniastosłupów.
Z A D A N I A
Wzór s+w−k = 2, w którym s oznacza liczbę ścian, w – liczbę wierzchołków, k – liczbę krawędzi wielościanu wypukłego, jest nazywany wzorem Eulera.
Graniastosłup Liczba ścian (s) Liczba wierzchołków (w) Liczba krawędzi (k)
trójkątny 3+2 = 5 2 · 3 = 6 3 · 3 = 9
czworokątny 4+2 = 6 2 · 4 = 8 3 · 4 = 12
pięciokątny 5+2 = 7 2 · 5 = 10 3 · 5 = 15
sześciokątny 6+2 = 8 2 · 6 = 12 3 · 6 = 18
…
n-kątny n+2 2 · n = 2n 3 · n = 3n
… … …
7.Zbadaj, czy istnieje graniastosłup wypukły o 8 krawędziach i 6 wierzchołkach.
8.Odpowiedz na pytanie.
a) Ile ścian bocznych ma graniastosłup o 10 wierzchołkach?
b) Ile wierzchołków ma graniastosłup o 21 krawędziach?
c) Czy graniastosłup może mieć 10 ścian bocznych i 20 wierzchołków?
9.Zapisz nazwy graniastosłupów i liczby, którymi należy uzupełnić tabelę.
10.Sześcian rozcięto na cztery takie same graniastosłupy trójkątne. Wskaż co najmniej dwa różne sposoby takiego rozcięcia.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Graniastosłup, który ma 13 ścian, ma jednocześnie A. dwa razy więcej krawędzi niż wierzchołków.
B. o 9 wierzchołków mniej niż krawędzi.
C. o 11 krawędzi więcej niż wierzchołków.
D. o 9 krawędzi więcej niż ścian.
2.Narysuj siatkę graniastosłupa, który ma 7 ścian.
3.Ile wierzchołków i ścian ma graniastosłup o 36 krawędziach?
4.Wymień po trzy pary krawędzi równoległych, prostopadłych i skośnych w graniastosłupie prawidłowym:
a) czworokątnym, b) sześciokątnym.
5.Na rysunku przedstawiono graniastosłup pochyły trójkątny. Ściana ABB1A1jest prostopadła do podstaw. Zaznacz wysokość graniastosłupa:
a) zawartą w tym graniastosłupie, b) leżącą poza graniastosłupem.
Porównaj ich długości.
BANK ZADAŃ z. 71–72 » » » Nazwa graniastosłupa Liczba ścian Liczba wierzchołków Liczba krawędzi
8
24 124
2.2. Graniastosłupy i ich rodzaje