5. Indukowany Pr ˛ adem Spinowym Transfer
i in. został zaimplementowany w j˛ezyku C/C++, oraz nieznacznie zmodyfikowany, o czym b˛edzie mowa w rozdziale po´swi˛econemu indukowanemu pr ˛adem rezonansowi ferromagnetycznemu. Przyjmujemy, ˙ze no´sniki wi˛ekszo´sciowe oznacza´c b˛edziemy strzałk ˛a
↑, natomiast mniejszo´sciowe ↓. Struktura pasmowa E(˜k) w modelu swobodnych elektronów (tj. bez uwzgl˛edniania oddziaływa´n) jest jak wiadomo zwykł ˛a funkcj ˛a kwadratow ˛a. Przy zało˙zeniu tunelowania tylko w kierunku prostopadłym do płaszczyzny zł ˛acza (obecno´s´c jedynie składowej x wektora falowego) wyra˙za si˛e przez E(kx) − Eb = ¯h2m2k2x, gdzie Eb jest dnem pasma. W ferromagnetykach pasmo dla no´sników o spinie ↑ i ↓ jest rozszczepione wymiennie, co uwidocznione jest na rys.5.1(b). Miar ˛a rozszczepienia pasm jest energia oznaczona przez
∆. Mo˙zna porówna´c tak ˛a uproszczon ˛a struktur˛e pasmow ˛a elektrody z obliczeniami ab initio z rys.4.5. Wida´c wyra´znie, ˙ze dla idealnych zł ˛acz, przybli˙zenie parabolicznej zale˙zno´sci E(k) jest jak najbardziej uzasadnione, gdy˙z mniej wi˛ecej tak ˛a zale˙zno´s´c wykazuj ˛a rzeczywiste pasma o symetrii ∆1 odpowiedzialne w głównej mierze za tunelowanie w układach z ˙zelazem i kobaltem. Oczywi´scie, nale˙zy podkre´sli´c, ˙ze stosowany tutaj model nie uwzgl˛ednia efektów oddziaływa´n mi˛edzy elektronami, jak równie˙z niedoskonało´sci interfejsu oraz bariery, co w niektórych przypadkach znacz ˛aco (a nawet całkowicie) ogranicza zakres jego stosowalno´sci.
Aby móc wyznaczy´c moment siły działaj ˛acy na moment spinowy warstwy swobodnej, nale˙zy wyznaczy´c składowe g˛esto´sci pr ˛adu spinowego ˆj przepływaj ˛acego przez ka˙zdy z obszarów zł ˛acza. Aby to zrobi´c, nale˙zy skorzysta´c z wyra˙zenia (3.1) na tensor pr ˛adu spinowego.
Poniewa˙z rozwa˙zamy tunelowanie tylko w kierunku x, to tensor g˛esto´sci pr ˛adu spinowego b˛edzie miał jedynie 3 składowe niezerowe i b˛edziemy go oznacza´c jako zwykłe składowe wektora pr ˛adu spinowego ˆjµ=(x,y,z). Podobnie jak w rozdziale 3.1 nale˙zy wi˛ec w pierwszej kolejno´sci przyj ˛a´c postaci funkcji falowych dla spinu ↑ i ↓ w obszarze elektrod oraz bariery.
Dla ka˙zdego ze stanów nale˙z ˛acych do jednego z rozszczepionych pasm (↑ i ↓) funkcje falowe b˛ed ˛a dwuskładniokowymi spinorami zawieraj ˛acymi cz˛e´s´c zwi ˛azan ˛a ze stanem spinowym
|↑i i |↓i. Wprowadzenie dodatkowego interfejsu pomi˛edzy elektrod ˛a ferromagnetyczn ˛a a niemagnetyczn ˛a barier ˛a modyfikuje nieco sytuacj˛e z rozdziału 3.1. Rozwa˙zmy tunelowanie stanu |↑i. Fala elektronowa padaj ˛aca (stan |↑i) na pierwszym z interfejsów zł ˛acza (FM|I) zostaje cz˛e´sciowo przetransmitowana i cz˛e´sciowo odbita. Pozostaje jednak w stanie spinowym
↑. Cz˛e´s´c fali padaj ˛acej (1eikx↑|↑i) odbit ˛a od interfejsu FM|I, w obszarze warstwy referencyjnej oznaczmy jako r1↑|↑i. W obszarze bariery b˛edzie on miał z kolei amplitud˛e t1↑. Ten przetransmitowany stan napotyka jednak drugi interfejs zł ˛acza (I|FM), z którym zwi ˛azana jest zmiana kierunku osi kwantyzacji spinu. Wobec tego w stanie spinowym fali odbitej od drugiego interfejsu, w rejonie bariery tunelowej, oprócz składowej ↑ b˛edzie równie˙z składowa
↓. Stan odbity od drugiego interfejsu zapiszemy wi˛ec jako r2↑|↑i + r2↓|↓i. W obszarze bariery mo˙ze on z kolei zosta´c ponownie odbity od interfejsu FM|I lub przez niego przetransmitowany.
Ostatecznie w rejonie warstwy referencyjnej funkcja falowa ΨL b˛edzie miała ogóln ˛a posta´c
dwuskładnikowego spinora zawieraj ˛acego cz˛e´s´c odpowiadaj ˛ac ˛a stanowi |↑i i |↓i, tj.
ΨL = 1eikx↑x+ Be−ikx↑x Ce−ikx↓x
!
(5.1)
W obszarze bariery tunelowej zamiast superpozycji funkcji wykładniczych b˛edziemy u˙zywa´c superpozycj˛e funkcji Airy, które lepiej opisuj ˛a prawdopodobie´nstwo znalezienia elektronu w obszarze bariery potencjału o kształcie trapezoidalnym, zwłaszcza dla wy˙zszych napi˛e´c przykładanych do zł ˛acza:
ΨB = DAi(Z) + EBi(Z) FAi(Z) + GBi(Z)
!
(5.2) gdzie argument funkcji Airy przyjmuje posta´c:
Z(x) = d√ 2m
¯ heV
!23
Ub− eV∆x d − E
(5.3)
Ub jest w powy˙zszym wyra˙zeniu wysoko´sci ˛a bariery potencjału liczon ˛a od poziomu Fermiego warstwy referencyjnej EF(L) (por. rys.5.1(b)), d jest grubo´sci ˛a bariery tunelowej, eV energi ˛a wzajemnego przesuni˛ecia pasm wskutek przyło˙zenia napi˛ecia elektrycznego do elektrod, E energi ˛a elektronu w pa´smie, m mas ˛a spoczynkow ˛a elektronu. ∆x jest odległo´sci ˛a w kierunku x liczon ˛a od pocz ˛atku bariery (tj. od interfejsu FM|I). W obszarze warstwy swobodnej, przetransmitowana cz˛e´s´c fali padaj ˛acej b˛edzie miała posta´c:
ΨR = Heikx↑
Ieikx↓
!
(5.4)
Przejmujemy, ˙ze w tym obszarze nie ma fal odbitych od dalej wyst˛epuj ˛acych interfejsów.
Znany z podstaw mechaniki kwantowej warunek zszywania funkcji falowych wymaga, aby na interfejsach FM|I oraz I|FM ci ˛agłe były obie składowe spinorów oraz ich pierwsze pochodne.
Warunek ten pozwala wyznaczy´c wszystkie amplitudy wyst˛epuj ˛ace w wyra˙zeniach (5.1-5.4).
Nale˙zy przy tym zaznaczy´c, ˙ze postacie funkcji falowych zostały zało˙zone bez znajomo´sci k ˛ata pomi˛edzy momentami spinowymi ~SL i ~SR, cho´c ich posta´c w sposób niejawny to uwzgl˛ednia niekolinearno´s´c obu wektorów poprzez superpozycj˛e stanów |↑i i |↓i. W tym momencie nale˙zy jednak nada´c temu ´sci´sle matematyczny charakter poprzez przetransformowanie stanu ΨR zgodnie z transformacj ˛a spinora przy obrocie układu współrz˛ednych o k ˛at θ wokół osi x.
Mo˙zna tutaj wykorzysta´c macierz obrotu spinora (A.5) wokół osi OX z dodatku A:
Rˆ0X(θ) = cosθ2 i sin θ2 i sinθ2 cosθ2
!
(5.5)
We wspomnianych wy˙zej warunkach ci ˛agło´sci składowych spinora na interfejsie nale˙zy uwzgl˛edni´c wi˛ec obrót osi kwantyzacji składowej z spinu:
ΨB = ˆR0X(−θ)ΨR = cosθ2ψR↓− i sinθ2ψR↑
−i sinθ2ψR↓+ cosθ2ψR↑
!
(5.6)
Podobn ˛a transformcj˛e nale˙zy przeprowadzi´c dla pierwszych pochodnych obu składowych spinorów. Przyjmuj ˛ac, ˙ze interfejs FM|I znajduje si˛e w pocz ˛atku układu współrz˛ednych (tj.
dla x = 0), natomiast interfejs I|FM w odległo´sci x = d (tj. grubo´sci bariery) nale˙zy zapisa´c równo´s´c obu składowych spinorów (i ich pochodnych). W rezultacie otrzymujemy układ równa´n algebraicznych na współczynniki (amplitudy) funkcji falowych dla tuneluj ˛acych no´sników wi˛ekszo´sciowych tj. ze spinem ↑:
−1 0 Ai↑x=0 Bi↑x=0 0 0 0 0
0 −1 0 0 Ai↓x=0 Bi↓x=0 0 0
0 0 −Ai↑x=0 −Bi↑x=0 0 0 eikx↑d
· cosθ2
! −ieikx↓d
· sinθ2
!
0 0 0 0 −Ai↑x=d −Bi↑x=d
−ieikx↑d
· sinθ2
! eikx↓d
· cosθ2
!
ikx↑ 0 Ai0↑x=0 Bi0↑x=0 0 0 0 0
0 ikx↓ 0 0 Ai0↓x=0 Bi0↓x=0 0 0
0 0 −Ai0↑x=d −Bi0↑x=d 0 0 ikx↑eikx↑d
· cosθ2
! kx↓eikx↓d
· sinθ2
!
0 0 0 0 −Ai0↓x=d −Bi0↓x=d kx↑eikx↑d
· sinθ2
! ikx↓eikx↓d
· sin2θ
!
×
×
B C D E F G H I
=
1 0 0 0 ikx↑
0 0 0
(5.7)
gdzie Aiσx=(0,d)(Ai0σx=(0,d)) oraz Biσx=(0,d)(Biσx=(0,d)) oznaczaj ˛a warto´sci funkcji (pochodnych funkcji) Airy liczone dla spinu σ na granicy warstw tj. w punktach x = 0 lub x = d.
Współczynniki B, C, D, E, F, G, H, I s ˛a poszukiwanymi amplitudami składowych spinorów
w ka˙zdym z obszarów zł ˛acza tunelowego. Oczywi´scie nale˙zy zwróci´c tutaj uwag˛e, ˙ze po stronie warstwy swobodnej spinor zawiera składow ˛a odpowiadaj ˛ac ˛a spinowi ↓. Stany dla tego spinu dost˛epne s ˛a dla energii powy˙zej dna pasma Eb↓. Zatem dla energii elektronów poni˙zej tej warto´sci, w warstwie swobodnej stany ↓ maj ˛a wektor falowy urojony, s ˛a wi˛ec stanami zanikaj ˛acymi w sposób wykładniczy. Analogiczny układ równa´n mo˙zna ułozy´c dla tuneluj ˛acego elektronu ze spinem ↓. Oba układy równa´n mo˙zna rozwi ˛aza´c numerycznie przy u˙zyciu standardowych metod. W niniejszej pracy u˙zyto w tym celu standardowej metody eliminacji Gaussa rozwi ˛azywania układów równa´n liniowych. Maj ˛ac obliczone zespolone współczynniki składowych spinorów, korzystaj ˛ac z wyra˙ze´n (3.6-3.7) policzy´c mo˙zemy niezerowe składowe tensora g˛esto´sci pr ˛adu spinowego dla elektronów o energii i spinem σ = (↑, ↓) tuneluj ˛acych z warstwy referencyjnej (L) do swobodnej (R): ˆjxµ(σ)()L→R i vice versa: ˆjxµ(σ)()R→L, gdzie µ = x, y, z s ˛a współrz˛ednymi zwi ˛azanymi z warstw ˛a referencyjn ˛a.
Warto´sci g˛esto´sci obu pr ˛adów spinowych liczone s ˛a na interfejsie I|FM tj. bariery tunelowej i warstwy swobodnej. Maj ˛ac składowe g˛esto´sci pr ˛adów spinowych, całkuj ˛ac po dost˛epnych energiach od dna pasma do energii Fermiego w warstwie referencyjnej i swobodnej , a nast˛epnie sumuj ˛ac wkłady od dwóch podpasm spinowych w obu warstwach, otrzymujemy wektory całkowitych pr ˛adów spinowych płyn ˛acych przez interfejs I|FM od warstwy referencyjnej do swobodnej w przybli˙zeniu temperatury 0 K [98]:
~JL→Rµ = πm2 h3
X
σ
Z EF(L) Eb(L,σ)
d EF(L)−
kxσ,L()ˆjL→Rxµ(σ)() (5.8) oraz od warstwy swobodnej do referencyjnej [98]:
~JR→Lµ = πm2 h3
X
σ
Z EF(R) Eb(R,σ)
d EF(R)−
kxσ,R()ˆjR→Lxµ(σ)() (5.9) Wypadkowy całkowity pr ˛ad spinowy jest sum ˛a pr ˛adu spinowego płyn ˛acego od warstwy referencyjnej do swobodnej i w stron˛e przeciwn ˛a:
~Jµ= ~JL→Rµ + ~JR→Lµ (5.10)
Nast˛epnym zało˙zeniem, b˛edzie całkowita absorbcja wypadkowego pr ˛adu spinowego w warstwie swobodnej. Mówi ˛ac inaczej, wypływaj ˛acy pr ˛ad spinowy z warstwy swobodnej w kierunku wzrastaj ˛acej odległo´sci x > 0 jest zerowy. Absorbcja pr ˛adu spinowego oznacza powstanie momentu obrotowego działaj ˛acego na moment spinowy warstwy swobodnej. Dwie składowe tego momentu siły, tj. le˙z ˛aca w płaszczy´znie (spanD~SL, ~SR
E
) τk oraz prostopadła do tej płaszczyzny składowa τ⊥, b˛ed ˛a wi˛ec wyra˙zały si˛e poprzez odpowiednie składowe pr ˛adu
spinowego:
τk = Jy0eˆy0 = Jycos θ − Jzsin θ (5.11) gdzie Jy0 to obrócona o k ˛at θ składowa pr ˛adu spinowego Jy oraz
τ⊥= Jx0ˆex0 = Jxˆex (5.12) W powy˙zszych wyra˙zeniach, wyrazy ˆex0, ˆey0, ˆex to wersory zwi ˛azane z układem obróconym (OX0Y0Z0) oraz nieobróconym (OXYZ) odpowiednio. Pr ˛ad spinowy mo˙zna liczy´c w obszarze bariery tunelowej blisko interfejsu z warstw ˛a swobodn ˛a a nast˛epnie dokona´c transformacji współrz˛ednych pr ˛adu spinowego zgodnie z (5.11) i (5.12).
5.1. Mi˛edzywarstwowe sprz˛e˙zenie wymienne w zł ˛ aczu tunelowym
Jak pokazuj ˛a obliczenia w ramach przedstawionego wy˙zej modelu, składowe momentu siły okre´slone przez wektor pr ˛adu spinowego (por. wyr.(5.8)-(5.10)) zawieraj ˛a w sobie wkłady od elektronów z całej szeroko´sci pasma warstwy z której tuneluj ˛a. To powoduje, ˙ze nawet przy braku przyło˙zonego napi˛ecia (V = 0), składowa ~τ⊥ jest niezerowa, w przeciwie´nstwie do składowej le˙z ˛acej w płaszczy´znie (~τk), która znika przy braku napi˛ecia. W literaturze przedmiotu efekt ten nazywany jest mi˛edzywarstwowym sprz˛e˙zeniem wymiennym IEC (ang.
Interlayer Exchange Coupling). Sprz˛e˙zenie wymienne pomi˛edzy warstwami magnetycznymi przedzielonymi niemagnetycznymi przekładkami po raz pierwszy zaobserwowano w zł ˛aczach metalicznych typu Fe|Cr|Fe [16]. Sprz˛e˙zenie to miało charakter oscylacyjny w zale˙zno´sci od grubo´sci przekładki, a wi ˛a˙ze si˛e z przenoszonym przez elektrony przewodnictwa oddziaływaniem RKKY. O wpływie tego rodzaju sprz˛e˙zenia na rozwój technologiczny zł ˛acz (metalicznych jak i tunelowych) wspomniane ju˙z było w rozdziale 4.1. Oddziaływanie to jednak nie wykazuje oscylacyjnego charakteru w przypadku zł ˛acz tunelowych. Pierwszy opis teoretyczny sprz˛e˙zenia IEC w zł ˛aczu tunelowym został zaproponowany przez Slonczewskiego w 1989 roku [48], który wyraził wielko´s´c tego sprz˛e˙zenia za pomoc ˛a odpowiednich składowych pr ˛adu spinowego przy braku napi˛ecia, podobnie jak ma to miejsce w modelu stosowanym w niniejszej pracy [97]. Zasadnicz ˛a ró˙znic ˛a pomi˛edzy sprz˛e˙zeniem IEC w zł ˛aczu metalicznym i tunelowym jest to, ˙ze w tym ostatnim ma ono charakter nieoscylacyjny, a jego wielko´s´c szybko zanika z grubo´sci ˛a bariery tunelowej. Takie jest te˙z przewidywanie modelu elektronów swobodnych [97]. Zarówno cz˛e´s´c prac eksperymentalnych [122] jak i teoretycznych [121]
pokazuje jednak, ˙ze sprz˛e˙zenie mi˛edzywarstwowe nie tylko maleje ze zwi˛ekszaj ˛ac ˛a si˛e grubo´sci ˛a bariery, ale mo˙ze, dla pewnych grubo´sci, równie˙z zmieni´c znak. Warto tutaj wspomnie´c, ˙ze praca Bruno dotycz ˛aca IEC traktuje w sposób jednolity zarówno sprz˛e˙zenie IEC w zł ˛aczach metalicznych jak i tunelowych, a mianowicie, w obu przypadkach opisuje
je jako wynik interferencji kwantowych w warstwie niemagnetycznej. Zło˙zony problem sprz˛e˙zenia sam w sobie nie jest tematem niniejszej pracy, interesowa´c nas b˛edzie natomiast wpływ sprz˛e˙zenia na własno´sci dynamiczne zł ˛acz. Problem ten zostanie omówiony w dalszej cz˛e´sci pracy, za´s w tym momencie pozostaniemy przy ogólnym stwierdzeniu, i˙z sprz˛e˙zenie mi˛edzywarstwowe jest ju˙z uwzgl˛ednione w wektorze prostopadłym momentu siły ~τ⊥, a jego miar ˛a b˛edzie warto´s´c tej składowej przy braku napi˛ecia: τ⊥(V = 0)
Maj ˛ac dane momenty sił działaj ˛ace na moment spinowy w warstwie swobodnej, mo˙zemy uwzgl˛edni´c je w odpowiednich równaniach ruchu opisuj ˛acych dynamik˛e momentu spinowego.
Wykorzystywanym w tej pracy równaniem dynamiki b˛edzie fenomenologiczne równanie Landaua-Lifszyca-Gilberta.