A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.7 Kąt dwuścienny
Na rysunku przedstawiono dwie różne półpłaszczyzny p1ip2o wspólnej krawędzi k, które dzielą przestrzeń na dwie części. Jedna z tych części jest figurą wypukłą, tzn.
każde jej dwa punkty dają się połączyć odcinkiem w ca-łości zawartym w tej figurze. Druga część przestrzeni nie jest figurą wypukłą (jest figurą wklęsłą). Przy nie-których położeniach półpłaszczyzn p1 i p2 obie części przestrzeni są figurami wypukłymi.
Zauważmy, że dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi wyznaczają parę kątów: kąt dwuścienny wypukły i kąt dwuścienny wklęsły lub dwa kąty dwuścienne wypukłe.
ĆWICZENIE 1.
Ściany prostopadłościanu ABCDEFGH wyznaczają kąty dwuścienne. Opisz słownie przykłady kątów dwuściennych wypukłych oraz wklęsłych wyznaczonych przez ściany prostopadłościanu. Wskaż krawędzie tych kątów.
Miarą kąta dwuściennegowypukłego nazywamy miarę kąta wypukłego płaskiego, którego ramionami są półproste otrzymane w wyniku przecięcia ścian kąta dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego.
Podobnie definiujemy miarę kąta dwuściennego wklęsłego.
Definicja
Kątem dwuściennymnazywamy każdą z dwóch części przestrzeni, na które dzielą przestrzeń dwie półpłaszczyzny p1ip2o wspólnej krawędzi. Półpłaszczyzny p1ip2 nazywamy ścianami kąta dwuściennego, a ich wspólną krawędź – krawędzią kąta dwuściennego.
Definicja
Szczególnymi przypadkami kątów dwuściennych są: kąt dwuścienny zerowy, kąt dwu-ścienny półpełny oraz kąt dwudwu-ścienny pełny.
PRZYKŁAD 1.
Określmy miary kątów dwuściennych wyznaczonych przez ściany boczne graniastosłupa:
a) prawidłowego trójkątnego,
b) prostego trójkątnego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny, c) prostego trójkątnego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 cm i5
3 cm.
a) Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny. Kra-wędzie boczne graniastosłupa są prostopadłe do podstaw, zatem każde dwie sąsiednie ściany boczne wyznaczają kąt dwuścienny, którego miara jest równa mierze kąta płaskie-go w podstawie graniastosłupa, czyli 60◦.
b) Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równo-ramienny. Krawędzie boczne graniastosłupa są prostopadłe do podstaw, zatem miary kątów dwuściennych wyznaczo-nych przez ściany boczne są równe miarom kątów w pod-stawie: jeden kąt dwuścienny jest prosty, a pozostałe dwa mają po 45◦.
c) Miary kątów dwuściennych wyznaczonych przez ściany boczne są równe miarom kątów w podstawie. Obliczmy dłu-gość przeciwprostokątnej c.
c2= 52+ 5
32
= 100, stąd c = 10 [cm].
sina= 510√3 = √23, stąd a= 60◦. cosb= 510√3 = √23, stąd b= 30◦.
Zatem ściany ABED i BCFE tworzą kąt prosty, ściany ABED i ACFD wyznaczają kąt dwu-ścienny o mierze 60◦, a ściany BCFE i ACFD wyznaczają kąt dwuścienny o mierze 30◦.
ĆWICZENIE 2.
Oblicz miarę kąta dwuściennego, jaki wyznaczają sąsiednie ściany boczne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.
2.7. Kąt dwuścienny
PRZYKŁAD 2.
Wyznaczmy miarę kąta dwuściennego, jaki tworzy ściana boczna ostrosłupa prawidłowe-go czworokątneprawidłowe-go ABCDS z podstawą, jeśli krawędź podstawy ma długość 6, a wysokość ściany bocznej ostrosłupa jest równa 10.
Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, zatem każda z czte-rech ścian bocznych jest nachylona do podstawy ostrosłupa pod tym samym kątem.
Niech SK będzie wysokością ściany bocznej BCS. Rzutem prostokątnym tej wysokości na podstawę jest odcinek OK.
Miarą kąta nachylenia ściany BCS do podstawy ostrosłupa jest miara kąta awyznaczonego przez wysokość SK i jej rzut pro-stokątny na podstawę.
Wobec tego cosa= |OK||SK| = 103, a≈ 72,5◦.
PRZYKŁAD 3.
Obliczmy miarę kąta dwuściennego, jaki tworzą dwie sąsiednie ściany czworościanu foremnego o krawędzi a.
Obliczamy miarę kąta utworzonego przez ściany ABS iBCS. Wspólną krawędzią tych ścian jest odcinek BS.
Prowadzimy przekrój prostopadły do krawędzi BS i przechodzący przez krawędź podstawy AC. Miara ką-ta dwuściennego jest równa mierze kąką-ta awΔACD.
Obliczamy miarę kąta a.
Odcinki AD i CD są wysokościami ścian bocznych odpowiednio ABS i BCS, które są trójkątami równo-bocznymi. Zatem |AD| = |CD| = a√23.
Z twierdzenia cosinusów wΔADC mamy a2=a√3
2
2
+a√3
2
2
−2 ·a√23· a√23· cosa,
3a2
2 cosa= 3a22 −a2, 3a2
2 cosa= a22, stąd cosa= 13. Ponieważ cosa>0, to kąt ajest ostry ia≈ 71◦.
W czworościanie foremnym każde dwie sąsiednie ściany wyznaczają kąt dwuścienny o tej samej mierze.
Miara kąta nachylenia wysokości ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy jest równa mierze kąta dwuściennego między ścianą boczną zawierającą tę wysokość a podstawą.
ĆWICZENIE 3.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawę-dzi podstawy. Oblicz miarę kąta dwuściennego, jaki wyznaczają:
a) dwie sąsiednie ściany boczne, b) ściana boczna z podstawą.
PRZYKŁAD 4.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku długości 4 cm. Obliczmy cosinus kąta, jaki tworzą dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa.
Wspólną krawędź CS ścian bocznych BCS i CDS przecina-my płaszczyzną prostopadłą do tej krawędzi i przechodzącą przez przekątną BD podstawy. Otrzymujemy przekrój BDP ostrosłupa, będący trójkątem równoramiennym.
|BD| = 4
2 [cm] – przekątna kwadratu ABCD,
|BP| = |DP| = 4√23 = 2
3 [cm] – wysokości ścian bocz-nych, będących trójkątami równobocznymi.
Z twierdzenia cosinusów wΔBDP mamy
4
1.W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, którego krawędź podstawy ma długość a, ścia-na boczścia-na jest ścia-nachylościa-na do podstawy pod kątem a= 45◦. Wysokość tego ostrosłupa jest równa
2.Płaszczyzna przechodząca przez przekątną dolnej podstawy sześcianu oraz przez jeden wierzchołek górnej podstawy tworzy z podstawą sześcianu taki kąt a, że
A.a= 45◦ B.tga= 2
2
C.sina= √36 D.cosa= √43
Z A D A N I A
2.7. Kąt dwuścienny
3.Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz:
a) miary kątów w powstałym przekroju,
b) miarę kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy sześcianu.
4.Oblicz tangens kąta dwuściennego, jaki wyznaczają sąsiednie ściany czworościanu fo-remnego o krawędzi a.
5.Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 576
3 cm3, a jego wyso-kość wynosi 8 cm. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.
6.W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o krawędzi podstawy długości 6 dm oraz wysokości 12 dm wierzchołki podstawy dolnej połączono ze środkiem podstawy górnej. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy w tak utworzonym ostrosłupie.
7.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt dwuścienny między sąsiednimi ściana-mi bocznyściana-mi ma ściana-miarę 2π
3 . Oblicz miarę kąta dwuściennego między:
a) ścianą boczną i podstawą,
b) dwiema przeciwległymi ścianami bocznymi.
8.W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściany boczne są nachylone do podstawy pod kątem a. Wysokość ostrosłupa jest równa H. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.
9.Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 16. Dwie ściany bocz-ne są prostopadłe do podstawy, a trzecia tworzy z podstawą kąt o mierze π
3. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.
10.Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wysokości 10 cm jest równe 304 cm2. Jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy krótsza od drugiej. W tym prostopadło-ścianie wierzchołki dolnej podstawy połączono z jednym wierzchołkiem górnej pod-stawy. Oblicz miary kątów nachylenia ścian bocznych do podstawy w tak utworzonym ostrosłupie.
11.Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości a i kącie ostrym a. Ściany boczne ostrosłupa są nachylone do podstawy pod kątem b. Oblicz pole powierzchni całkowi-tej i objętość ostrosłupa.
12.W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 10 cm. Płasz-czyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa.
BANK ZADAŃ z. 107–112» » »
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.W sześcianie ABCDEFGH przekątne BH i CE przecinają się w punkcie O (rysunek obok).
Płaszczyzna, w której leży trójkąt BCO,
jest nachylona do podstawy sześcianu pod kątem A. a= 30◦.
B. a= 45◦. C. a= 60◦.
D. atakim, że tga= 2.
2.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędzie podstawy i krawędzie boczne mają równą długość. Oblicz miarę kąta:
a) nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, b) nachylenia ściany bocznej do podstawy, c) między sąsiednimi ścianami bocznymi.
3.Sześcian o przekątnej długości 18 cm przecięto płaszczyzną nachyloną do podstawy pod kątem o mierze 30◦i zawierającą przekątną podstawy.
Oblicz miary kątów w otrzymanym przekroju.
4.Przez środek krawędzi AD w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS poprowadzono prostą prostopadłą do ściany BCS. Ta prosta tworzy jednakowe kąty z podstawą ABCD i ścianą ADS. Wyznacz miarę kąta dwuściennego przy krawędzi AD.
5.Oblicz cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeśli krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.
2.7. Kąt dwuścienny