A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.5 Ostrosłupy i ich rodzaje
Ostrosłup ma tylko jedną wysokość. Wyjątek stanowi ostrosłup trójkątny, w którym każda ze ścian może być podstawą. Taki ostrosłup może mieć cztery różne wysokości, w zależ-ności od wybranej podstawy.
PRZYKŁAD 1.
Zbadajmy własności ostrosłupa trójkątnego, którego wszystkie krawędzie mają długość a.
Ściany ostrosłupa są przystającymi trójkątami równo-bocznymi, ponieważ wszystkie krawędzie są równe.
Trójkąt CDS, gdzie D jest środkiem krawędzi AB, jest trójkątem równoramiennym.
|CD| = |DS| = a√23
Wysokość SO dzieli ΔCDS na dwa trójkąty prostokąt-ne: ΔCOS i ΔDOS. Oznaczmy |CO| = x, |SO| = H.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy układ równań.
Spodek wysokości ostrosłupa trójkątnego o równych krawędziach dzieli wysokość podsta-wy na dwa odcinki w stosunku 2 : 1, jeśli patrzy się od wierzchołka. Spodek ten pokrywa się ze środkiem ciężkości trójkąta będącego podstawą ostrosłupa. Zauważmy ponadto, że trójkąty AOS, BOS, COS są przystające (cecha bbb). Zatem punkt O (spodek wysokości) pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie ABC.
Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem, a gdy ma wszystkie krawędzie równe – czworościanem foremnym.
ĆWICZENIE 1.
Oblicz:
a) wysokość czworościanu foremnego o krawędzi 12 cm,
b) miarę kąta, jaki tworzy krawędź boczna czworościanu foremnego z płaszczyzną jego podstawy,
c) miarę kąta, jaki tworzy wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego z jego wy-sokością.
Od pierwszego równania odejmujemy drugie.
PRZYKŁAD 2.
Opiszmy własności ostrosłupa, którego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysoko-ści pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.
Rozważania przeprowadzimy dla ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat. Analogiczne rozważania można przeprowadzić dla dowolnego wielokąta fo-remnego.
Z faktu, że wysokość SO jest prostopadła do podstawy oraz |AO| = |BO| = |CO| = |DO|, wynika równość długości krawędzi bocznych ostrosłupa, czyli
|AS| = |BS| = |CS| = |DS|.
Ponieważ krawędzie podstawy są równe, to ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Wszystkie wysokości ścian bocznych są równe.
Taki ostrosłup nazywamy prawidłowym czworokątnym.
ĆWICZENIE 2.
Naszkicuj ostrosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy a. Oblicz wysokość ściany bocznej ostrosłupa, jeżeli krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 60◦.
ĆWICZENIE 3.
Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego, w którym długość krawędzi podstawy a = 8 dm oraz długość krawędzi bocznej b = 20 dm.
ĆWICZENIE 4.
Narysuj siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt o bokach długości 3 cm i 2 cm, a jedna z krawędzi bocznych, o długości 4 cm, jest prostopadła do podstawy.
PRZYKŁAD 3.
Omówmy wybrane przekroje ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS.
a) Przekrojem ostrosłupa ABCDS płaszczyzną wyznaczoną przez przekątną BD podstawy i wierzchołek S ostrosłupa jest trójkąt równoramienny BDS. Taki przekrój nazywamy prze-krojem przekątnymostrosłupa.
W ostrosłupie czworokątnym można wyznaczyć dwa przekro-je przekątne: trójkąty BDS i ACS.
Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanego na podstawie.
2.5. Ostrosłupy i ich rodzaje
b) Przekrojem ostrosłupa ABCDS płaszczyzną przecho-dzącą przez przekątną BD podstawy i dowolny punkt G należący do przeciwległej krawędzi bocznej jest trójkąt równoramienny BGD.
c) Przekrojem ostrosłupa ABCDS płaszczyzną przecinają-cą dwie krawędzie podstawy wychodzące z jednego wierz-chołka i przeciwległą krawędź boczną jest pięciokąt EFGHI. Jeżeli G = S, to przekrojem jest trójkąt ESI.
d) Przekrojem ostrosłupa ABCDS płaszczyzną zawierają-cą krawędź AD podstawy oraz przecinającą przeciwległe krawędzie boczne jest czworokąt AEFD.
e) Przekrojem ostrosłupa ABCDS płaszczyzną przecinają-cą krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka jest trój-kąt EFG.
ĆWICZENIE 5.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym zaznacz przekrój płaszczyzną:
a) przechodzącą przez środki trzech krawędzi bocznych,
b) przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy i środki dwóch krawędzi bocznych, c) zawierającą krawędź podstawy i środek wysokości ostrosłupa.
ĆWICZENIE 6.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym zaznacz przekrój płaszczyzną:
a) zawierającą przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa, b) przechodzącą przez środki krawędzi bocznych,
c) zawierającą wysokości sąsiednich ścian bocznych.
PRZYKŁAD 4.
Na jakie bryły podzieli ostrosłup pięciokątny płaszczyzna równoległa do jego podstawy?
Podstawą ostrosłupa jest pięciokąt ABCDE. Płasz-czyzna równoległa do płaszczyzny podstawy przecina krawędzie boczne ostrosłupa odpowiednio w punktach A1,B1,C1,D1,E1. Wyznacza tym samym przekrój bę-dący pięciokątem A1B1C1D1E1.
Ostrosłup został podzielony na dwie części. Jedna z nich jest ostrosłupem A1B1C1D1E1S, natomiast dru-ga – ostrosłupem ściętym.
Pięciokąty ABCDE i A1B1C1D1E1 nazywamy podstawami ostrosłupa ściętego, odpo-wiednio: dolną i górną. Są one wielokątami podobnymi. Odcinki: AA1,BB1,CC1,DD1, EE1 są krawędziami bocznymi ostrosłupa ściętego. Odcinek prostopadły do podstaw, o końcach należących do podstaw, jest wysokością ostrosłupa ściętego.
ĆWICZENIE 7.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 20 cm i krawędzi bocznej 40 cm przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, która podzieliła krawędzie boczne na od-cinki długości 10 cm i 30 cm. Oblicz pola podstaw powstałego ostrosłupa ściętego. Roz-patrz dwa przypadki.
PRZYKŁAD 5.
Wykażmy, że przekrój czworościanu foremnego wyznaczony przez środki czterech krawę-dzi czworościanu, z których żadne trzy nie mają wspólnego wierzchołka, jest kwadratem.
W czworościanie foremnym ABCS wyznaczamy środ-ki krawędzi AC, BC, BS i AS – są to odpowiednio punkty K, L, M i N. Punkty te są wierzchołkami czwo-rokąta KLMN, który jest rombem. Trójkąt BKS jest równoramienny, a odcinek KM jest jego wysokością i jednocześnie przekątną czworokąta KLMN. Oblicza-my z twierdzenia Pitagorasa wysokość KM, przyjmu-jemy, że krawędź czworościanu jest równa a.
|KM|2+|MS|2= |KS|2
|KM|2 =a√3
2
2
−a
2
2
= a22, zatem |KM| = a√22.
Analogicznie w trójkącie ALS odcinek LN jest jego wysokością równą a√22.
Przekątne rombu KLMN są równe a√22. Wobec tego romb ten jest kwadratem o boku długości a
2.
2.5. Ostrosłupy i ich rodzaje
1.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają taką samą dłu-gość. Oceń, czy zdanie jest prawdziwe (P) czy fałszywe (F).
I.Kąt między dwiema przeciwległymi krawędziami bocznymi
tego ostrosłupa ma miarę 60◦. P / F
II.Kąt między dwiema sąsiednimi krawędziami bocznymi
tego ostrosłupa ma miarę 60◦. P / F
III.Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy
tego ostrosłupa ma miarę 30◦. P / F
IV.Kąt między krawędzią boczną a przekątną podstawy
tego ostrosłupa ma miarę 45◦. P / F
2.Spodek wysokości ostrosłupa trójkątnego należy do jednej z krawędzi podstawy i jest środkiem okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa. W ostrosłupie tym
A. wszystkie ściany boczne są trójkątami przystającymi.
B. wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi.
C. jedna ze ścian bocznych jest prostopadła do podstawy.
D. jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy.
3.Oblicz liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian ostrosłupa:
a) pięciokątnego, b) dziesięciokątnego,
c) 36-kątnego, d) n-kątnego.
4.Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma ostrosłup ścięty:
a) trójkątny, b) czworokątny, c) sześciokątny, d) n-kątny?
5.Narysuj w skali 1 : 4 siatkę czworościanu foremnego o krawędzi długości 12 cm. O ile procent suma rzeczywistej długości krawędzi czworościanu jest większa od sumy dłu-gości krawędzi czworościanu zbudowanego ze sporządzonej siatki?
6.Oblicz długość krawędzi czworościanu foremnego, jeżeli wysokość czworościanu jest równa 24 cm.
7.Narysuj ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny o przypro-stokątnych długości 12 cm, a wszystkie krawędzie boczne mają długość 18 cm. Oblicz wysokość ostrosłupa.
8.Płaszczyzna przechodząca przez środki trzech krawędzi sześcianu wychodzących z jed-nego wierzchołka odcina naroże. Oblicz długości krawędzi ściętego naroża, jeżeli dłu-gość krawędzi sześcianu wynosi a.
9.Krawędź czworościanu foremnego ABCS ma długość 2
2 cm. Wykaż, że po połącze-niu środków krawędzi: AC, BC, BS i AS otrzymamy czworokąt o obwodzie 4
2 cm.
Z A D A N I A
10.Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm, a kra-wędź boczna – długość 7
2 cm. Narysuj przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną zawie-rającą przekątną podstawy. Ile może wynosić pole tak otrzymanego przekroju?
11.Na rysunku przedstawiono sześcian ABCDEFGH o kra-wędzi równej a. Punkt P jest środkiem krawędzi DH.
Punkt S jest spodkiem wysokości ostrosłupa ACPD popro-wadzonej z wierzchołka D na jego ścianę ACP. Oblicz dłu-gości odcinków AS, CS i PS.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Podstawa i jedna ze ścian bocznych ostrosłupa są trójkątami równobocznymi i leżą w płaszczyznach prostopadłych. Krawędzie boczne tworzą z podstawą ostrosłupa kąty o miarach
A.60◦, 60◦, 60◦ B.60◦, 60◦, 120◦ C.30◦, 45◦, 60◦ D.60◦, 60◦, 45◦ 2.W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna, długości 18 cm, jest
nachylona do podstawy pod kątem 60◦. Oblicz długość okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa.
3.Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 7 cm i6
2 cm. Oblicz długości krawędzi bocznych ostrosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 9 cm, a spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.
4.Narysuj przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną zawierającą:
a) wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej,
b) środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka podstawy, c) krawędź podstawy i środek rozłącznej z nią krawędzi bocznej.
5.W czworościanie foremnym środki dwóch krawędzi podstawy i środki dwóch krawędzi bocznych leżące w jednej płaszczyźnie są wierzchołkami rombu o boku 6 cm. Oblicz długość krawędzi czworościanu.
BANK ZADAŃ z. 93–96 » » » 2.5. Ostrosłupy i ich rodzaje