A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.4 Pole powierzchni całkowiteji objętość graniastosłupai objętość graniastosłupa
Obliczmy a – długość krawędzi podstawy i H – długość krawędzi bocznej graniastosłupa.
Pole powierzchni bocznej:
Pb = 3 · aH = 3 · 6 · 6
3 = 108
3 [dm2].
Pole powierzchni całkowitej:
Pc = 2Pp+Pb = 18
3+108
3 = 126
3 [dm2].
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 126 3 dm2.
PRZYKŁAD 3.
Podstawą graniastosłupa pochyłego jest romb o boku 4 cm i kącie ostrym równym 30◦. Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli dwie ściany boczne są prostokątami, a krawędzie boczne mają długość 10 cm i są nachylone do podstawy pod kątem 60◦.
Pp = 4 · 4 · sin 30◦= 16 · 12 = 8 [cm2]
Powierzchnię boczną stanowią pola dwóch prostokątów o wymiarach 4 cm× 10 cm oraz dwóch równole-głoboków (niebędących prostokątami) o wymiarach 4 cm× 10 cm. Obliczmy wysokość ściany bocznej, która nie jest prostokątem.
sin 60◦= 10H,
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 8
12+5 3
cm2.
Pole powierzchni całkowitej Pcgraniastosłupa wyraża się wzorem: Pc = 2Pp+Pb, gdzie Ppto pole podstawy, Pb– pole powierzchni bocznej graniastosłupa.
ĆWICZENIE 3.
Oblicz pole powierzchni całkowitej:
a) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 2
2 i wysokości równej 14,
b) graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym przekątna długości 12 cm jest nachylona do podstawy pod kątem 45◦,
c) graniastosłupa prostego trójkątnego, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej długości 18 cm, a przekątna największej ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 30◦.
PRZYKŁAD 4.
Dno prostopadłościennego basenu ma wymiary 10 m× 6 m.
Basen można napełnić wodą do wysokości 1,6 m. Po otwarciu zaworów w ciągu jednej minuty do basenu wpływa 300 l wody. Sprawdźmy, czy basen można napełnić wodą w ciągu 6 godzin.
W tym celu obliczamy objętość wody potrzebnej do napełnie-nia basenu. Objętość ta jest równa objętości prostopadłościanu o wymiarach a × b × c, gdzie a = 10 m, b = 6 m i c = 1,6 m.
V = a · b · c
V = 10 · 6 · 1,6 = 96 [m3]
W ciągu minuty do basenu wpływa 300 l wody, zatem w ciągu godziny wpływa 60 · 300 l = 18 000 l = 18 [m3].
6 · 18 = 108 [m3], 108>96
Basen można napełnić wodą w czasie krótszym niż 6 godzin.
ĆWICZENIE 4.
Oblicz objętość sześcianu, jeśli:
a) pole jego powierzchni całkowitej jest równe 294 cm2, b) jego przekątna ma długość 15 dm.
ĆWICZENIE 5.
Oblicz objętość prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 94 cm2, a długości krawędzi są wyrażone w centymetrach za pomocą kolejnych liczb naturalnych.
ĆWICZENIE 6.
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku długości
10 cm i krótszej przekąt-nej rówprzekąt-nej 2 cm. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość 4 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
2.4. Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa
PRZYKŁAD 5.
Obliczmy wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 7 cm, którego ob-jętość jest równa objętości sześcianu o krawędzi 14 cm.
Objętość sześcianu V = 143= 2744 [cm3].
Podstawa graniastosłupa jest kwadratem o boku 7 cm, zatem pole podstawy graniastosłupa jest równe 49 cm2, a objętość V1= 49 · H.
2744 = 49 · H, stąd H = 56 [cm].
Wysokość graniastosłupa jest równa 56 cm.
1.Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy ma długość 8 cm, wynosi 192 cm3. Wysokość tego graniastosłupa jest równa
A. 4
3 cm B. 8
2 cm C. 6 cm D. 10 cm
2.W prostopadłościanie jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm, wysokość jest równa 5 cm, a przekątna ma 5
2 cm długości. Zatem druga krawędź podstawy tego prostopadłościanu jest równa
A.
2 cm B.
3 cm C. 2 cm D. 3 cm
3.Oblicz długość przekątnej sześcianu, którego objętość wynosi 343 cm3.
4.Sześcian o przekątnej długości 12 cm rozcięto na dwa takie same graniastosłupy trójkątne. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego graniastosłupa trójkątnego.
5.Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 4 cm i 4 3 cm.
Wysokość graniastosłupa jest równa 0,4 dm.
a) Oblicz obwód podstawy tego graniastosłupa.
b) Wyznacz kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa do jego podstawy.
c) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.
Z A D A N I A
Objętość V graniastosłupa wyraża się wzorem: V = Pp· H, gdzie Ppto pole podstawy, H – wysokość graniastosłupa.
Twierdzenie
6.W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź boczna ma długość 6 cm, a kąt nachylenia jego dłuższej przekątnej do podstawy ma miarę 45◦. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.
7.Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego wszystkie krawędzie są równe, wynosi 32
3+6
cm2. Oblicz:
a) długości krawędzi graniastosłupa,
b) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy graniastosłupa.
8.Pola powierzchni trzech różnych ścian prostopadłościanu są odpowiednio równe P1, P2, P3. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
9.Jak zmieni się objętość prostopadłościanu, jeżeli długości wszystkich jego krawędzi:
a) zwiększymy trzykrotnie, b) zmniejszymy dwukrotnie?
10.Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa sumie objętości trzech sześcianów o krawędziach: 4 dm, 6 dm, 8 dm.
11.Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawę-dzią podstawy, długości a, kąt o mierze a. Oblicz pole powierzchni całkowitej i obję-tość graniastosłupa.
12.Aby sprawdzić grubość pokrywy lodowej na jeziorze, wycięto bryłę lodu w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 3 m × 2 m × 0,6 m. Oblicz, ile litrów wody jest zamrożonych w wyciętej bryle lodu, jeśli gęstość wody wynosi 1000 kg/m3, a gęstość lodu to 920 kg/m3.
13.Do akwarium, które ma kształt prostopadłościanu o wymiarach podstawy 80 cm × 60 cm, wlano 240 l wody. Oblicz wysokość tego akwarium, jeśli wiesz, że wykorzystana woda wypełniła 85% jego objętości.
14.Zbiornik ma kształt graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości 0,6 m. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od najkrót-szej przekątnej podstawy. Zbiornik napełniono wodą do wysokości 0,2 m.
a) Oblicz stosunek objętości wody do objętości graniastosłupa.
b) O ile procent objętość pustej części zbiornika jest większa od objętości wody?
15.Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt równoboczny opisany na okręgu o promieniu długości 10 cm, a wysokość graniastosłupa jest dwa ra-zy dłuższa od krawędzi podstawy.
2.4. Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa
16.Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku długości 65 cm i kącie ostrym 40◦. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 50◦. Oblicz objętość graniastosłupa.
17.W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem a, że sina= 0,4. Wyraź objętość tego graniastosłupa w zależności od długości przekątnej d.
18.Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 32 cm. Jaką długość powinna mieć wysokość tego graniastosłupa, aby jego objętość była największa? Oblicz tę objętość.
Zaproponuj sposób wycięcia z kartki formatu A4 prostokątów umożliwiających oklejenie prostopadłościanu o wymiarach 15 cm× 8 cm × 6 cm tak, aby z pozostałej niewykorzy-stanej części kartki można było dodatkowo wyciąć prostokąt o jak największym polu.
P R O J E K T
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Objętość sześcianu jest równa 27 cm3. Ile wynosi stosunek długości krawędzi tego sześcianu do długości jego przekątnej? Wskaż poprawne odpowiedzi.
A. 1 : 3 B.tg 30◦ C.
3 : 3 D. 1
2
2.Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, jeśli wiesz, że po zwiększeniu długości wszystkich jego krawędzi o 2 cm objętość sześcianu wzrośnie o 152 cm3. 3.Pola trzech ścian prostopadłościanu są równe: 120 cm2, 140 cm2i 168 cm2. Oblicz
objętość prostopadłościanu.
4.Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach długości 12 cm i 16 cm oraz kącie ostrym 60◦. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 45◦. Oblicz objętość graniastosłupa.
5.Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 1104 cm2. Krawędź podstawy ma długość 10 cm. Oblicz objętość graniastosłupa.
6.Producent rozlewa sok do identycznych pudełek w kształcie prostopadłościanu o pojemności 1,8 l. Stosunek długości krawędzi podstawy pudełka to 2 : 3.
Dobierz wymiary pudełka (w decymetrach) tak, aby na jego wyprodukowanie zużyć jak najmniej materiału.
BANK ZADAŃ z. 77–92» » »
Drugą ważną grupą wielościanów są ostrosłupy.
Wierzchołkiem ostrosłupa nazywamy wspólny wierzchołek wszystkich ścian bocznych ostrosłupa. Wysokością ostro-słupa nazywamy odcinek prostopadły do podstawy, łączący wierzchołek ostro-słupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę wyznaczoną przez podstawę.
Rzut prostokątny wierzchołka na płasz-czyznę wyznaczoną przez podstawę ostrosłupa nazywamy spodkiem wyso-kościtego ostrosłupa.
Ostrosłup w zależności od wielokąta, który jest jego podstawą, nazywamy ostrosłupem:
trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym itd.
Ostrosłupem n-kątnym nazywamy wielościan, którego jedną ścianą, zwaną podstawą ostrosłupa, jest n-kąt, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.