A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.8 Pole powierzchni całkowiteji objętość walcai objętość walca
Bryła obrotowato bryła powstała z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu), gdy figura i prosta leżą w jednej płaszczyźnie.
Odcinek BC prostopadły do podstaw, o końcach należących do tych podstaw, który znaj-duje się na powierzchni bocznej walca, nazywamy tworzącą walca.
Prostą AD (oś obrotu) nazywamy osią walca, a odległość między płaszczyznami zawie-rającymi podstawy, równą długości tworzącej, nazywamy wysokością walca.
PRZYKŁAD 1.
Wyznaczmy charakterystyczne przekroje walca powstałego z obrotu prostokąta o bokach długości a i b wokół prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.
a) Prostokąt obracamy wokół prostej zawierającej bok długości b.
a – promień podstawy walca b – wysokość walca
Przekrój płaszczyzną zawierającą oś walca nazywamy przekro-jem osiowym walca. Prostokąt ABCD o bokach długości 2a i b jest przekrojem osiowym walca. Wszystkie przekroje osiowe walca są prostokątami.
Walcemnazywamy bryłę obrotową otrzymaną przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z jego boków.
Definicja
Przekrój płaszczyzną równoległą do podstaw walca nazywamy przekrojem poprzecznym walca.
Wszystkie przekroje poprzeczne walca są kołami o promieniu a.
b) Prostokąt obracamy wokół prostej zawierającej bok długości a.
b – promień podstawy walca a – wysokość walca
Prostokąt KLMN o bokach długości 2b i a jest prze-krojem osiowym walca, a koło o promieniu b jest przekrojem poprzecznym walca.
Siatkę walca stanowią dwa koła (podstawy) i prostokąt o bokach równych wysokości wal-ca oraz obwodowi koła w podstawie, otrzymany z powierzchni bocznej.
ĆWICZENIE 1.
Prostokąt o bokach długości 2 cm i 4 cm obracano wokół prostej zawierającej a) dłuższy bok, b) krótszy bok.
Oblicz pole przekroju osiowego otrzymanego walca. Podaj długość promienia podstawy i wysokość otrzymanego walca.
Pole podstawy Ppwalca obliczamy ze wzoru: Pp=πr2.
Pole powierzchni bocznej Pbwalca wyraża się wzorem: Pb = 2πrH.
Pole powierzchni całkowitej Pcwalca wyraża się wzorem:
Pc = 2Pp+Pb = 2πr2+2πrH = 2πr(r+H).
2.8. Pole powierzchni całkowitej i objętość walca
ĆWICZENIE 2.
W wyniku obrotu prostokąta o bokach długości a i 2a wokół osi zawierającej krótszy bok otrzymano walec. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej.
ĆWICZENIE 3.
Pole przekroju osiowego walca jest równe 12 cm2. Wysokość walca jest trzy razy większa od promienia podstawy walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.
ĆWICZENIE 4.
Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 15 cm i tworzy z bokiem tego przekroju kąt o mierze 30◦. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca. Rozpatrz dwa przypadki.
Objętość walca obliczamy analogicznie do objętości prostopadłościanu – ze wzoru V = Pp· H, gdzie Ppjest polem podstawy walca.
PRZYKŁAD 2.
Obliczmy objętość walca o wysokości 10 cm, jeżeli pole jego powierzchni całkowitej jest równe 192πcm2.
Obliczamy promień podstawy walca.
Pc = 2πr(r+H)
192π= 2πr(r+10), stąd r2+10r = 96, zatem r2+10r−96 = 0.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe: Δ = 100+384 = 484, √
Δ = 22, r1 = −102+22 = 6 [cm], r2= −102−22 =−16<0 nie spełnia warunków zadania.
Zatem V =πr2H =π· 62· 10 = 360π[cm3].
1.Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej długości 8 cm. Objętość tego walca jest równa
A. 64πcm3 B. 32
2πcm3 C. 16
3πcm3 D. 128πcm3 2.Pole powierzchni całkowitej walca wynosi 90π dm2, a promień jego podstawy jest
o 6 dm krótszy od wysokości walca. Oblicz promień podstawy i wysokość walca.
Z A D A N I A
Objętość V walca wyraża się wzorem: V =πr2H, gdzie r to promień podstawy walca, H – wysokość walca.
Twierdzenie
3.W wyniku obrotu prostokąta wokół dłuższego boku otrzymano walec, którego przekrój osiowy jest prostokątem o bokach długości 24 cm i 16 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca. Rozpatrz różne przypadki.
4.Prostokąt o bokach długości 14,5 cm i 16,5 cm obracano raz wokół krótszego boku, a drugi raz – wokół dłuższego. Oblicz stosunki pól powierzchni całkowitych i objęto-ści powstałych brył obrotowych. Wynik podaj z dokładnoobjęto-ścią do 0,01 cm.
5.Prostokąt, którego boki mają długości 3 cm i 5 cm, obracano dookoła prostej leżącej w płaszczyźnie prostokąta, równoległej do dłuższego boku i oddalonej od niego o 2 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość figury, jaka powstała w wyniku tego obrotu. Rozpatrz dwa przypadki.
6.Prostokąt o bokach długości 10 dm i 18 dm obracano raz wokół jednej jego osi syme-trii, a drugi raz – wokół drugiej osi symetrii. Która z otrzymanych brył ma większą objętość? O ile procent?
7.Oblicz objętość betonowej rury studziennej, jeżeli jej średnica zewnętrzna wynosi 1,1 m, średnica wewnętrzna ma 95 cm, a wysokość rury jest równa 2 m.
8.Zbiorniki naziemne na gaz płynny mają kształt zbliżony do walca. Produkowane są w trzech rozmiarach:
o pojemności 2700 l i długości 2,5 m,
o pojemności 4850 l i długości 4,3 m,
o pojemności 6700 l i długości 5,8 m.
Oblicz średnicę zbiornika w każdym z podanych rozmiarów. O ile procent długość promienia największego zbiornika jest większa od długości promienia najmniejszego zbiornika?
9.Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca wpisanego w sześcian o krawędzi długości 1,4 m.
10.Kubek ma kształt walca o średnicy 6 cm i wysokości 9 cm. Napełniono go herbatą, która zajęła 80% jego po-jemności. Ania wrzuciła do kubka kawałek cytryny i wte-dy poziom herbaty podniósł się o 4 mm. Oblicz objętość wrzuconej cytryny.
11.W pewnym przedsiębiorstwie groszek konserwowy pakowany jest w puszki o średni-cy 73 mm i wysokości 100 mm, a kukurydza – w puszki o średniśredni-cy 84 mm i wysoko-ści 85 mm. Puszki mają kształt walców. Na wykonanie której puszki producent zużyje więcej blachy?
2.8. Pole powierzchni całkowitej i objętość walca
12.Obwód prostokąta jest równy 2d. Jakiej długości boki ma ten prostokąt, jeśli wiadomo, że po jego obrocie wokół jednego z boków otrzymano walec o największej możliwej objętości? Oblicz tę objętość.
13.Kwadrat o boku długości a rozcięto na dwa prostokąty, które po zwinięciu utworzyły powierzchnie boczne dwóch walców w1iw2o wysokości a. W jaki sposób wykona-no cięcie tego kwadratu, jeśli okazało się, że suma objętości walców w1iw2była naj-mniejsza z możliwych?
14.Objętość walca jest równa 250π cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję promienia jego podstawy. Wyznacz długość promienia tego walca, jeśli wiesz, że jego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze z możliwych.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Jeżeli pole powierzchni bocznej walca jest równe sumie pól jego podstaw, to długość
A. wysokości jest równa długości średnicy podstawy walca.
B. wysokości jest równa długości przekątnej przekroju osiowego walca.
C. wysokości jest równa długości promienia podstawy walca.
D. średnicy podstawy walca jest równa długości przekątnej przekroju osiowego walca.
2.Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego walca.
3.Prostokąt o bokach 20 cm i 35 cm obracano raz wokół dłuższego boku, a drugi raz – wokół krótszego boku. Która z otrzymanych brył obrotowych ma:
a) większą objętość,
b) większe pole powierzchni bocznej, c) większe pole powierzchni całkowitej?
Czy bryła o większej objętości ma większe pole powierzchni bocznej?
4.Walec o wysokości 40 cm i promieniu podstawy 8 cm przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy i odległą od osi walca o 4 cm. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Czy pole tego przekroju jest większe od pola dowolnego przekroju poprzecznego?
5.Podaj wymiary walca, jeżeli pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól jego podstaw, a objętość jest równa 54 cm3.
BANK ZADAŃ z. 113–117» » »
Prostą BC (oś obrotu) nazywamy osią stożka. Przekrój płaszczyzną zawierającą oś stożka nazywamy przekrojem osio-wym stożka. Takim przekrojem jest trój-kąt równoramienny ABD. Kąt między ra-mionami tego trójkąta nazywamy kątem rozwarcia stożka. Przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy nazywamy prze-krojem poprzecznym stożka. Wszystkie przekroje poprzeczne stożka są kołami o promieniu nie większym od promienia podstawy stożka.
PRZYKŁAD 1.
Wyznaczmy przekroje osiowe stożka powstałego z obrotu trójkąta prostokątnego o przypro-stokątnych długości a i b wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych trójkąta.
a) Trójkąt obracamy wokół prostej zawierającej przyprostokątną b.
a – promień podstawy stożka b – wysokość stożka
a– kąt rozwarcia stożka AC, BC – tworzące stożka
Trójkąt ABC jest przekrojem osiowym stożka.
b) Trójkąt obracamy wokół prostej zawierającej przyprostokątną a.
b – promień podstawy stożka a – wysokość stożka
b– kąt rozwarcia stożka KM, LM – tworzące stożka
Trójkąt KLM jest przekrojem osiowym stożka.
Stożkiemnazywamy bryłę obrotową otrzymaną przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych.