A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.1 Proste i płaszczyznyw przestrzeniw przestrzeni
Każde trzy niewspółliniowe punkty wyznaczają płaszczyznę. Płaszczyzna ABC to płasz-czyzna wyznaczona przez punkty A, B i C. Dwie płaszczyzny w przestrzeni mogą być rów-noległe lub mogą się przecinać. Częścią wspólną płaszczyzn przecinających się jest prosta zwana krawędzią.
Płaszczyzny równoległe Płaszczyzny przecinające się
p1∩p2= ∅ lub p1∩p2= k
p1=p2(płaszczyzny się pokrywają)
Figurę przestrzenną ograniczoną wielokątami, które są jej ścianami, nazywamy wielościa-nem. Wierzchołki każdej ściany wielościanu wyznaczają płaszczyznę.
1) Wierzchołki czworościanu ABCD wyznaczają cztery płaszczyzny:
płaszczyznę ABD – wierzchołki A, B i D,
płaszczyznę BCD – wierzchołki B, C i D,
płaszczyznę ACD – wierzchołki A, C i D,
płaszczyznę ABC – wierzchołki A, B i C.
2) Wierzchołki sześcianu ABCDEFGH wyznaczają płaszczyzny: ABC, DCG, CBD, EFH, AFE, BCH, ACG, AFC i inne.
Wśród nich są płaszczyzny równoległe, w szczególności pokrywające się, i płaszczyzny przecinające się.
p1p2
W wielościanie ściany zawarte w płaszczyznach równoległych nazywamy ścianami przeciwległymi.
ĆWICZENIE 1.
Wskaż wierzchołki sześcianu wyznaczające:
a) pary płaszczyzn przecinających się,
b) płaszczyznę zawierającą przekątne przeciwległych ścian sześcianu, c) płaszczyznę zawierającą krawędź i wierzchołek krawędzi skośnej do niej, d) płaszczyznę zawierającą przekątną sześcianu i wierzchołek do niej nienależący.
PRZYKŁAD 1.
Sprawdźmy, jak mogą być położone dwie proste w przestrzeni.
1) Proste są równoległe, gdy zawierają się w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo gdy się pokrywają.
k l, k∩l = ∅
k l, k∩l = k = l
2) Proste przecinają się, gdy mają jeden punkt wspólny. Proste przecinające się wyznacza-ją płaszczyznę.
k∩l = {P}
3) Proste są skośne, gdy nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe.
Każde dwie proste w przestrzeni nieleżące w jednej płaszczyźnie nazywamy prostymi skośnymi.
k∩l = ∅ i k l
2.1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni
Prosta k jest prostopadła do prostej l w przestrzeni, jeśli istnieje prosta m równoległa do prostej l, która przecina prostą k pod kątem prostym.
m l, k ⊥ m, k ⊥ l Proste prostopadłe w przestrzeni są skośne lub się przecinają.
ĆWICZENIE 2.
Dany jest sześcian ABCDEFGH. Wśród prostych wyznaczonych przez jego krawędzie wskaż proste:
a) równoległe,
b) prostopadłe przecinające się, c) prostopadłe skośne.
ĆWICZENIE 3.
Punkty A, B i C wyznaczają płaszczyznęp. Punkt P nie należy do płaszczyzny p. Wypisz wszystkie pary prostych skośnych wyznaczonych przez punkty A, B, C i P.
Jeżeli płaszczyzny p1ip2przecinają się wzdłuż pewnej prostej k i istnieją dwie proste m i n, le-żące odpowiednio w płaszczyznach p1ip2takie, że m⊥n, to płaszczyzny te nazywamy płaszczy-znami prostopadłymi.
Kąt między prostymi
Kątem między dwiema prostymi k i l przecina-jącymi się w punkcie P nazywamy kąt ostry lub kąt prosty o wierzchołku w punkcie P oraz ramionach zawartych w prostych k i l.
a– kąt między prostymi k i l P
k
l
PRZYKŁAD 2.
Zbadajmy, jak mogą być wzajemnie położone prosta i płaszczyzna w przestrzeni.
1) Prosta jest równoległa do płaszczyzny.
Prosta k jest równoległa do płaszczyzny p, jeśli nie ma z nią punktów wspólnych lub leży w płaszczyźniep.
k p, k∩p= ∅ k p, k∩p= k
2) Prosta przebija (przecina) płaszczyznę. Prosta k przebija płaszczyznę p, jeśli ma z płaszczyzną p dokładnie jeden punkt wspólny.
k∩p= {P}
Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny p, jeśli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płasz-czyźniep.
Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę p jest punkt S, w którym prosta k przechodząca przez punkt P i prostopadła do płaszczyznyp przebija tę płaszczyznę.
Długość odcinka PS jest odległością punktu P od płaszczyzny p.
Rzutem prostokątnym figury F na płaszczyznępjest figura wyznaczona przez rzuty pro-stokątne (na płaszczyznę p) wszystkich punktów należących do figury F.
Kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p, gdzie prosta k nie jest prostopadła dop, nazywamy kąt a, który prosta k tworzy ze swoim rzutem pro-stokątnym k1na płaszczyznęp.
Jeśli prosta k jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych, to jest prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez te proste.
2.1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni
PRZYKŁAD 3.
Wyznaczmy rzut prostokątny na płaszczyznęp odcinka AB nieleżącego w płaszczyźniep. Rozpatrzmy różne przypadki położenia odcinka AB względem płaszczyzny p.
1) 2)
AB p, |AB| = |A1B1| |AB|>|A1B1|
3) 4)
AB ⊥p, |A1B1| = 0 |AB|>|A1B1| PRZYKŁAD 4.
Wyznaczmy rzuty prostokątne na płaszczyznęprównoległych odcinków AB i CD.
Rozpatrzmy dwa przypadki.
1) AB CD i AB⊥p 2) AB CD i AB⊥ p
|A1B1| = |C1D1| = 0 A1B1 C1D1
|AB| : |CD| = |A1B1| : |C1D1|
Rzuty prostokątne na płaszczyznęprównoległych odcinków AB i CD, niepro-stopadłych do płaszczyznyp, są takimi równoległymi odcinkami A1B1iC1D1, że |AB| : |CD| = |A1B1| : |C1D1|.
1.Rzut prostokątny trójkąta rozwartokątnego na daną płaszczyznę może być A. punktem.
B. odcinkiem, którego długość jest większa od długości najdłuższego boku trójkąta.
C. odcinkiem, którego długość jest mniejsza lub równa długości najdłuższego boku trójkąta.
D. kątem rozwartym.
2.Trzy proste leżące w jednej płaszczyźnie, z których co najmniej dwie się nie pokrywają, mogą mieć
A. co najwyżej jeden punkt wspólny.
B. co najwyżej dwa punkty wspólne.
C. co najwyżej trzy punkty wspólne.
D. nieskończenie wiele punktów wspólnych.
3.Czy proste k, l, m przecinające się w punkcie P muszą leżeć w jednej płaszczyźnie?
Wskaż odpowiednie przykłady i uzasadnij odpowiedź.
4.Proste k, l przebijają płaszczyznęp odpowiednio w punktach A i B oraz przecinają się w punkcie P nienależącym do płaszczyzny p. Czy prosta m przebijająca płaszczyznęp w punkcie C (C= A, C= B) może jednocześnie przecinać proste k i l? Rozpatrz różne przypadki.
5.Uzasadnij, dlaczego okrągły stół o trzech nogach nigdy się nie kiwa.
6.Uzasadnij, dlaczego stół o czterech nogach czasami nie jest stabilny (kiwa się).
7.Wskaż wyznaczone przez krawędzie prostopadło-ścianu ABCDEFGH:
a) płaszczyzny równoległe, b) pary płaszczyzn prostopadłych,
c) proste równoległe do płaszczyzny DCG, niema-jące z tą płaszczyzną punktów wspólnych, d) proste prostopadłe do płaszczyzny ADH, e) pary prostych prostopadłych skośnych.
8.Punkty A, B oraz C wyznaczają płaszczyznęp. Punkt P nie należy do płaszczyznyp. Przedstaw na rysunku:
a) rzuty prostokątne prostych PA, PB, PC na płaszczyznę p, b) kąty nachylenia prostych PA, PB, PC do płaszczyznyp. 9.Wyznacz rzut prostokątny na płaszczyznęp:
a) prostokąta ABCD, b) trójkąta ABC.
Rozpatrz różne przypadki. Jaką figurą może być ten rzut?
Z A D A N I A
2.1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni
10.Na ile części trzy różne płaszczyzny mogą podzielić przestrzeń?
11.Narysuj sześcian, a następnie prostą k przebijającą w punktach przecięcia przekątnych:
a) przeciwległe ściany sześcianu,
b) sąsiednie (o wspólnej krawędzi) ściany sześcianu.
Zaznacz kąt nachylenia prostej do ścian sześcianu, które przebija ta prosta, i określ jego miarę.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Dane są cztery proste: AB, AC, BC i DE (rysunek obok). Prostymi skośnymi są A. AB i AC.
B. BC i AC.
C. DE i AB.
D. AB i BC.
2.Trapez ABCD leży w płaszczyźniep, a punkt P nie należy do tej płaszczyzny.
Prosta PD jest prostopadła do płaszczyzny p. Wymień:
a) płaszczyzny wyznaczone przez punkty A, B, C, D i P,
b) pary płaszczyzn prostopadłych, c) pary prostych skośnych.
3.Narysuj płaszczyznęp oraz prostą k:
a) równoległą do płaszczyzny p, b) prostopadłą do płaszczyznyp,
c) przebijającą płaszczyznę p w punkcie A.
Wyznacz rzut prostokątny prostej k na płaszczyznęp.
4.Ile różnych prostych leżących w płaszczyznach zawierających ściany sześcianu wyznaczają wierzchołki sześcianu? Ile par prostych prostopadłych leżących w jednej płaszczyźnie i niezawierających krawędzi sześcianu można utworzyć spośród tych prostych?
BANK ZADAŃ z. 62–70» » »
Wielościan to figura przestrzenna, której ściany są wielokątami. Część wspólną dwóch sąsiednich ścian ścianu nazywamy krawędzią wielo-ścianu. Punkt wspólny co najmniej trzech ścian wielościanu nazywamy wierzchołkiem wielościanu.
Odcinek o końcach zawartych w płaszczyznach wyznaczonych przez podstawy graniasto-słupa, prostopadły do tych płaszczyzn, nazywamy wysokością graniastosłupa.
Graniastosłup w zależności od wielokąta, który jest jego podstawą, nazywamy graniasto-słupem: trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym itd.
ĆWICZENIE 1.
Narysuj graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt ABC. Wskaż wierzchołki, krawędzie podstaw, krawędzie boczne, podstawy oraz ściany boczne graniastosłupa.
PRZYKŁAD 1.
Na rysunku przedstawiono dwa graniastosłupy trójkątne o tej samej wysokości H, których podstawy są trójkątami przystającymi (ΔABC ≡ ΔKLM). Porównajmy własności tych dwóch wielościanów.
Graniastosłupto wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są wielokątami przystającymi leżącymi w dwóch różnych płaszczyznach równoległych, a krawędzie niezawarte w tych płaszczyznach są równoległe.