RÓWNOWAŻNOŚĆ SYSTEMÓW

kiedy dwa wielomiany W (x ) i H(x ) są równe: gdy mają jednakowe współczynniki

W (x ) = ax²+ bx + c (18)

H(x ) = αx²+ βx + γ (19)

W (x ) ≡ H(x ) ⇔





 a = α b = β c = γ

(20)

RÓWNOWAŻNOŚĆ DWÓJNIKÓW - układy zastępcze

Dwa dwójniki są równoważne jeśli równania są równoważne.

Rysunek:Dwa dwójniki opisane równaniami liniowymi W (i ) i H(i ). W obu przypadkach prądy zostały zaznaczone jako wypływające.

W (i ) = a + b i oraz H(i ) = E₀− R_w i (21) W (i ) ≡ H(i ) ⇔

 a = E₀ b = −Rw

(22)

Podstawy elektroniki Elektronika

Układ liniowy - dwa parametry

Układ liniowy opisany jest równaniem liniowym H(i ) = ai + b, czyli określony jest dwoma parametrami a i b.

Rysunek:Układ opisany dwoma parametrami E0i Rw jest równoważny układowi liniowemu złożonemu z dowolnej liczby elementów liniowych

Przykład wyznaczania układu zastępczego

Wyznacz zastępczą wartość siły elektromotorycznej Ez i zastępczą rezystancję wewnętrzną R_z, czyli wyznacz parametry E_z i R_z modelu liniowego: u = E_z− iR_w poniższego układu:

Rysunek:Układ liniowy złożony z trzech elementów

E1 = i1R1+ i2R2 (23) i1= i + i2 (24) u = i₂R₂ (25) E₁= (i + i₂)R₁+ i₂R₂ (26)

i2 = E1− R₁i1

R1+ R2

(27) u = E1

R2

R₁+ R₂ − i R1R2

R₁+ R₂ (28) parametry zastępcze: Ez = E1

R₂ R1+ R2

i Rz = R₁R₂ R1+ R2

(29)

Podstawy elektroniki Elektronika

INTERPRETACJA

Szukamy opisu układu liniowego przy pomocy równania u = H(i ) dla H(i ) = E_z− iR_z.

Rozwiązując równania Kirchhoffa mamy u = E_1R^R2

1+R2 − i_R^R1R2

1+R2

więc:

E_z = E₁ R₂ R1+ R2

i R_z = R₁R₂ R1+ R2

(30) E_z - jest to napięcie na zaciskach układu AB gdy nie ma

obciążenia (gdy nie płynie prąd)

Ez= H(0) (31)

Rezystancja R_z jest rezystancją widziana z zacisków AB układu:

R_z = −d

diH(i ) = −du

di = R₁R₂

R₁+ R₂ (32) lub R_z= −u

i gdy E₁ = 0 (źródła są „wyzerowane”) (33)

Zastępcza wartość siły elektromotorycznej i rezystancji

Rysunek:Zasada Thevenina: parametry napięciowego źródła

zastępczego otrzymujemy – napięcie gdy prąd obciążenia dwójnika jest zerowy, rezystancja wewnętrzna gdy siły elektromotoryczne są zerowe.

Podstawy elektroniki Elektronika

Dlaczego „-” we wzorze na rezystancję

Rezystancja Rz jest rezystancją widziana z zacisków AB układu:

Rz = −d

diH(i ) = −du

di = R1R2

R1+ R2

(34)

Rysunek:gdy u = E₀− iRw wtedy R_z = −^du_di, gdy u = E₀+ iR_w wtedy R_z = +^du_di

Rezystancja zastępcza - obliczenia dla składowej zmiennej

Rysunek:Układ liniowy dwa rezystory ze źródłem napięciowym, Rezystancja zastępcza równoległe połączenie R₁i R₂

1 R_z = 1

R₁ + 1

R₂ (35)

1

R_z = −∆i

∆u i = i1− i₂ czyli ∆i = ∆i1− ∆i₂

1 Rz

= −∆i₁

∆u +∆i₂

∆u u = i₂R₂ czyli ∆u = ∆i₂R₂ u = E₁− i₁R₁ czyli ∆u = −∆i₁R₁

−∆i1

∆u = 1 R1

∆i2

∆u = 1 R2

Podstawy elektroniki Elektronika

Źródło zastępcze – twierdzenie Thevenin

Siła elektromotoryczna = napięcie dla prądu zerowego rezystancja = rezystancja układu dla zwartych sił elektromotorycznych i rozwartych źródeł prądowych

Rysunek:Zasada Thevenina

Rezystancja i konduktancja układów szeregowych i równoległych

Układ szeregowy napięcie jest suma napięć, układ równoległy -prąd jest sumą -prądów.

Rysunek:Połączenie szeregowe i równoległe rezystorów

Układ szeregowy R = U

I = U1+ U2+ . . . + UN

I =

U₁ I + U₂

I + . . . + U_N

I = R₁+ R₂+ . . . R_N układ równoległy G = 1

R = I₁+ I₂+ . . . + I_N

U =

= 1 R1

+ 1 R2

+ . . . + 1 RN

konduktancja G = G₁+ G₂+ . . . G_N

Podstawy elektroniki Elektronika

Źródło prądowe

Rysunek:transformacja źródło prądowe - źródło napięciowe

Twierdzenie Nortona o prądowym źródle zastępczym

Każdy dwójnik liniowy może być zastąpiony źródłem prądowym o wydajności J_z i rezystancji wewnętrznej R_z.

Rysunek:Układ zastępczy prądowy

Podstawy elektroniki Elektronika

Dzielnik napięcia

Rysunek:Dzielnik napięcia, napięcie jest proporcjonalne do rezystancji

i = u

R₁+ R₂ (36) u2 = iR2 (37) u₂= u R₂

R1+ R2

(38)

Dzielnik prądowy

Rysunek:Dzielnik prądowy

i = i₁+ i₂ i1R1= i2R2

 i = i2

R2

R1

+ i2 (39) i₂ = i R₁

R₁+ R₂ = i G₂

G₁+ G₂ (40)

Rezystancja: R =u

i, konduktancja G = i u.

Podstawy elektroniki Elektronika

Metody wyznaczania prądów w układach liniowych

1 rozwiązanie równań Kirchhoffa

2 metoda prądów oczkowych (obwodowych)

3 zasada superpozycji

4 metoda źródła zastępczego

reguła Thevenina o napięciowym źródle zastępczym Twierdzenie Nortona o prądowym źródle zastępczym zasada superpozycji

transformacja źródło prądowe - napięciowe i składanie źródeł prądowych i napięciowych

5 metoda potencjałów węzłowych

Zasada superpozycji

Prąd = sumą prądów pochodzących od poszczególnych źródeł skrót: „prąd” = natężenie prądu elektrycznego

Rysunek:Zasada superpozycji

Podstawy elektroniki Elektronika

Zasada superpozycji

Rysunek:Zasada superpozycji, obliczenia

I₃⁰ = E₂ R2+_R^R1R3

1+R3

R₁ R3+ R1

(41) I₃⁰⁰= E₁

R1+_R^R2R3

2+R3

R₂ R3+ R2

(42) I₃ = I₃⁰ + I₃⁰⁰ (43)

Łączenie źródeł prądowych i napięciowych

Rysunek:łączenie źródeł

Łączenie źródeł prądowych:

prądy wpływające do węzła dodają się.

Łączenie źródeł napięciowych:

napięcia w oczku dodają się (prace dodają się)

Podstawy elektroniki Elektronika

Metoda prądów oczkowych

Zamieniamy wszystkie źródła na źródła napięciowe

E₁− E₂ E2



=R₁+ R2 −R₂

−R₂ R2+ R3

 I_A I_B



I1 = IA (44) I₂= I_A− I_B (45) I₃ = I_B (46)

E1− E₂ E₂



=R1+ R2 −R₂

−R₂ R₂+ R₃

 IA

I_B



I_A IB



=R₁+ R₂ −R₂

−R₂ R2+ R3

−1

E₁− E₂ E2



należy znaleźć macierz odwrotną macierzy ¯R¯

¯¯

R =R₁+ R₂ −R₂

−R₂ R₂+ R₃



wyznacznik:

W = det ¯R = R¯ 1R2+ R1R3+ R2R3

macierz odwrotną wyznaczamy

wykonując transpozycję T macierzy dopełnień D:

¯¯

R⁻¹= 1 W

 ¯R¯^DT

I_A =

detE₁− E₂ −R₂ E2 R2+ R3

 W

I_B =

detR₁+ R2 E1− E₂

−R₂ E2

 W

I₃= E₁R₂+ E₂R₁ W

Podstawy elektroniki Elektronika

Metoda potencjałów węzłowych

Zamieniamy wszystkie źródła na źródła prądowe

J_A J_B



=

1 R1 +_R¹

2 −_R¹

2

−_R¹

2

1 R2 +_R¹

3 +_R¹

4

 V_A V_B



JA = J1− J₂ J_B = J₂+ J₃

prądy:

i4 = V_B R4

i3 = VB

R3

i1 = VA

R1

i2 = VA− V_B R₂

Czwórniki

Macierz impedancyjna

u₁ u2



=z₁₁ z₁₂ z21 z22



·i₁ i2

 (47) Macierz hybrydowa

u₁ i2



=h₁₁ h₁₂ h21 h22



· i₁ u2

 (48) macierz admitancyjna

i₁ i2



=y₁₁ y₁₂ y21 y22



·u₁ u2

 (49)

Rysunek:czwórnik

macierz łańcuchowa

u1

i₁



=a11 a12

a₂₁ a₂₂



· u2

−i₂

 (50)

Podstawy elektroniki Elektronika

Czwórniki

Macierz impedancyjna

u₁ u2



=z₁₁ z12

z21 z22



·i₁ i2

 (51)

u₁= z₁₁i₁+ z₁₂i₂ (52) u₂= z₂₁i₁+ z₂₂i₂ (53)

Macierz hybrydowa

u₁ i2



=h₁₁ h12

h21 h22



· i₁ u2

 (54)

u₁ = h₁₁i₁+ h₁₂u₂ (55) i₂ = h₂₁i₁+ h₂₂u₂ (56)

elementy macierzowe z i h

u₁ u2



=z₁₁ z₁₂ z21 z22



·i₁ i2



z11= du1

di₁    i2=0

z12= du1

di2

   i1=0

z₂₁= du₂ di1

   i2=0

z₂₂= du₂ di₂

   i1=0

u₁ i2



=h₁₁ h₁₂ h21 h22



· i₁ u2



h11= du1

di₁    u2=0

h12= du1

du2

   i1=0

h₂₁= di₂ di1

   u2=0

h₂₂= di₂ du₂    i1=0

Podstawy elektroniki Elektronika

macierz hybrydowa odwrotna

 i1

u₂



=g11 g12

g₂₁ g₂₂



·u1

i₂



i₁ = u₁ rw

+ J₁= g₁₁u₁+ g₁₂i₂ u₂ = E₂+ g₂₂i₂= g₂₁u₁+ g₂₂i₂

g11= di1

du1

   i2=0

g₁₂= di₁ di2

   u1=0

g₂₁= du₂ du_{1    i}

2=0

g22= du2

di₂    u1=0

Czwórnik typu odwrócone Γ (dzielnik napięcia)

u₁ = i₁R₁+ u₂ u1 = i1R1+ (i1+ i2)R3 = i1(R1+ R3) + i2R3

u2 = (i1+ i2)R3 = i1R3+ i2R3

macierz elementów z:

z₁₁ z12

z21 z22



=R₁+ R3 R3

R3 R3



w innej postaci:

u1 = i1R1+ u2

i2 = −i1+ u2

1 R3

elementy macierzy mieszanej (hybrydowej):

h11 h12

h₂₁ h₂₂



= R₁ 1

−1 _R¹

3



Podstawy elektroniki Elektronika

Czwórnik typu odwrócone Γ (dzielnik napięcia)

z równań Kirchhoffa:

u1 = i1(R1+ R3) + i2R3 (57) u₂= (i₁+ i₂)R₃= i₁R₃+ i₂R₃ (58) szukamy elementów macierzy

hybrydowej odwrotnej g :

 i1

u₂



=g11 g12

g₂₁ g₂₂



·u1

i₂



z równania (57):

i1 = 1 R1+ R3

u1−i₂ R₃ R)1 + R3

(59) po wstawieniu tego

równania do (58) u2= u1

R3

R1+ R3

+ i2

R1R3

R1+ R3

elementy macierzy hybrydowej odwrotnej:

g₁₁ g12

g21 g22



=

"

1

R1+R3 −_R^R3

1+R3

R3

R1+R3

R1R3

R1+R3

#

Transmitancja

Rysunek:czwórnik

Transmitancja układu (element macierzy hybrydowej odwrotnej) K_U = g₂₁= u₂

u₁    i2=0

(60)

dla składowej zmiennej (dla układów nieliniowych) K_U = ∆u₂

∆u1

   ∆I2=0

(61)

Podstawy elektroniki Elektronika

Rezystancja wejściowa i wyjściowa - elementy macierzy g

Rezystancja wejściowa:

R_wej = 1

g₁₁ = ∆u1

∆i₁    ∆i2=0

(62) Rezystancja wyjściowa:

R_wyj = g₂₂= ∆u₂

∆i₂    ∆u1=0

(63)

schemat zastępczy tranzystora

sprzężenie zwrotne wyjścia z wejściem rezystor r_s.

Układ równań Kirchhoffa:

u₁ = r₁(i₁− i_s) i_sr_s = u₁− u₂ is + i2= αi1+ iw

u2= iwr2

u1= r1rs

r1+ rs

i1+ r1

r1+ rs

u2

i₂ =



α − r1

r₁+ r_s

 i₁+

 1

r₁+ r_s + 1 r₂

 u₂ h₁₁= u₁

i1

   u2=0

= r₁r_s r1+ rs

h₁₂= u1

u₂    i1=0

= r1

r₁+ r_s h21= i2

i₁    u2=0

= α − r1

r₁+ r_s h22= i₂

u2

   i1=0

= 1

r1+ rs

+ 1 r2

Podstawy elektroniki Elektronika

Układ zastępczy tranzystora - przybliżenie dużego

^r_r^s

1

Rysunek:Układ zastępczy tranzystora, rezystor rs - sprzężenie zwrotne wyjścia z wejściem.

Dla dużej rezystancji r_s  r₁, czyli dla małego wpływu napięcia wyjściowego na wejściowe: ^r_r^s

1  1:

h11= r1rs

r₁+ r_s ' r₁; h12= r1

r₁+ r_s ' r1

r_s h₂₁= α − r₁

r1+ rs

' α; h₂₂= 1 r1+ rs

+ 1 r2 w 1

r2

czwórnik T i Π, transformacja „gwiazda trójkąt”

u1= i1(r1+ r3) + i2r3

u₂= i₁r₃+ i₂(r₂+ r₃) aby równania były zgodne:

r1 = R3R2

R_C ; r2 = R3R1

R_C ; r3 = R1R2

R_C ; RC = R1+ R2+ R3

i1= u1

R1

+u1− u₂ R3

i2= u2

R₂ +u2− u₁ R₃

u1= i1

R1RC − R₁² R_C + i2

R1R2

R_C u2= i1

R₁R₂ RC

+ i2

R₂R_C − R₂² RC

Podstawy elektroniki Elektronika

Liczby zespolone

Liczba zespolona na płaszczyźnie R²: z = x + jy = |z|e^{j ϕ}, gdzie

|z| =p

x²+ y² oraz tan(ϕ) = ^y_x mnożenie przez e^{j ϕ2} daje obrót wektora z o kąt ϕ2.

jednostka urojona j =√

−1 Działania arytmetyczne

z1 = x1+ jy1= |z1|e^{j ϕ1} z2 = x2+ jy2= |z2|e^{j ϕ2} dodawania i mnożenie:

z₁+ z₂ = x₁+ x₂+ j (y₁+ y₂) z₁z₂= x₁x₂− y₁y₂+ j (x₁y₂+ x₂y₁) z1z2 = |z1||z₂|e^{j (ϕ1+ϕ2)} ze^{j ϕ2} = |z|e^{j ϕ}e^ϕ2 = |z|e^{j (ϕ+ϕ2)} Mnożenie przez e^{j ϕ2} daje obrót wektora z o kąt ϕ2.

Mnożenie przez e

^{j ∆ϕ}

daje obrót wektora z o kąt ∆ϕ

Rysunek:Obrót liczby zespolonej

Podstawy elektroniki Elektronika

Trygonometria na liczbach zespolonych

e^{j ϕ}= cos(ϕ) + j sin(ϕ) e^{j (ϕ1+ϕ2)}= e^{j (ϕ1)}e^{j (ϕ2)} = (cos(ϕ₁) + j sin(ϕ₁))(cos(ϕ₂) + j sin(ϕ₂)) = cos(ϕ1) cos(ϕ2) − sin(ϕ1) sin(ϕ2)+

j (sin(ϕ1) cos ϕ2) + sin(ϕ2) cos(ϕ1)) z drugiej strony

e^{j (ϕ1+ϕ2)}= e^{j (ϕ1)}= cos(ϕ₁+ ϕ₂) + j sin(ϕ₁+ ϕ₂) (64) czyli

cos(ϕ1+ ϕ2) = cos(ϕ1) cos(ϕ2) − sin(ϕ1) sin(ϕ2) (65) sin(ϕ1+ ϕ2) = cos(ϕ1) sin(ϕ2) + sin(ϕ1) cos(ϕ2) (66)

Zespolony opis sygnałów sinusoidalnych

sygnał o częstości ω:

x (t) = A cos(ωt + ∆φ) = A cos



ω(t + ∆φ ω )



= Re

Ae^{j (ωt+∆φ)} gdzie ω = ^2Π_T - częstość sygnału, T - okres sygnału, A - amplituda sygnału, ∆φ - faza początkowa (przesunięcie fazowe).

Faza (kąt fazowy) φ(t) = ωt + ∆φ = ω(t + ∆t), gdzie ∆t = ^∆φ_ω = T^∆φ_2Π.

Sygnał w zapisie symbolicznym:

ˆ

x (t) = Ae^{j (ωt+∆φ)}= Xe^{j ωt} gdzie X = Ae^{j ∆φ} (67)

Podstawy elektroniki Elektronika

Zespolony opis sygnałów sinusoidalnych

Sygnał sinusoidalny reprezentowany jest wektorem, który nazywany jest wykresem wskazowym.

Na rysunku po prawej narysowany jest wektor reprezentujący liczbę zespoloną X = Ae^{j ∆φ}, gdzie amplituda A = |X | jest długością tego wektora.

Sygnał w zapisie symbolicznym ma postać zespolonej funkcji czasu (67) Na wykresie wskazowym uwzględniony jest kąt fazowy ∆φ, nie zachodzi potrzeba rysowania pełnego kąta

φ(t) = ωt + ∆φ = ω(t + ∆t) bowiem w domyśle jest fakt, że wskazy kręcą się z prędkością kątową ω.

Zespolony opis sygnałów sinusoidalnych- dwa sygnały

Dwa sygnały przesunięte w czasie o dt. Przesunięcie fazowe sygnałów:

∆φ = ω∆t = 2Π∆t

T (68)

Sygnał w zapisie symbolicznym:

ˆ

x (t) = Ae^{j (ωt+∆φ)}= Xe^{j ωt} gdzie X = Ae^{j ∆φ} (69)

Podstawy elektroniki Elektronika

Transformata Fouriera

dla każdej funkcji czasu x (t):

x (t) = X

n∈(−∞,+∞)

X_ne^{j ωnt} (70)

Xn amplituda składowej o częstości ωn zbiór częstości można wybrać dowolnie aby pokrywał całą przestrzeń dopuszczalnych wartości:

ωn= nω0 (71)

Każdy sygnał jest kombinacją liniową sygnałów sinusoidalnych: dla linowego układu mamy zasadę superpozycji:

y = ˆAx = A X

n∈(−∞,+∞)

X_ne^{j ωnt} = X

n∈(−∞,+∞)

X_n ˆAe^{j ωnt} (72)

Operator ˆA działa na składowe osobno.

elementy elektroniczne

Impedancja elementów. Szukamy zależności napięcia od prądu dla prądów sinusoidalnych.

i (t) = I0e^{j ωt+φ}= I0e^φe^{j ωt} = Ie^{j ωt} (73) gdzie I = I₀e^φ. I jest opisem prądu zmiennego (symboliczny), zawiera informacje o amplitudzie i fazie:

I₀ = |I |, oraz arg(I ) = φ (74) Kondensator

U = 1

CQ = 1 C

Z

i (t)dt = 1

i ωCi (t) (75) Indukcyjność:

U = d Φ_b dt = Ldi

dt = j ωLi (t) (76) czyli: Z_C = 1

i ωC oraz Z_L= j ωL (77)

Podstawy elektroniki Elektronika

Obwody prądu sinusoidalnego

Rysunek:dwójnik RLC

impedancja:

Z = R + j



ωL − 1 ωC



(78)

obwód rezonansowy RLC

Rysunek:Układ

rezonansowy Rysunek:wykres wskazowy układu rezonansowego

Podstawy elektroniki Elektronika

filtr RC

Rysunek:schemat czwórnika RC

Układ jest dzielnikiem napięcia:

U₂= U₁

1 j ωC

R +_{j ωC}¹ = U₁ 1 1 + j ωRC

(79)

Transmitancja:

K_U = U₂ U_{1    I}

2=0

= 1

1 + j ωRC =

= 1

1 + j_ω^ω

0

gdzie ω0 = _RC¹ - częstość charakterystyczna układu RC ,

K_U =







1 dla ω  ω₀

1

1+j dla ω = ω0

−j^ω_ω⁰ dla ω  ω0

(80)

Filtr RC- charakterystyka częstościowa

Rysunek:schemat czwórnika RC

Układ jest dzielnikiem napięcia:

U₂= U₁

1 j ωC

R +_{j ωC}¹ = U₁ 1 1 + j ωRC

(81)

Transmitancja:

K_U = U₂ U_{1    I}

2=0

= 1

1 + j ωRC =

= 1

1 + j_ω^ω

0

gdzie ω0 = _RC¹ - częstość charakterystyczna układu RC ,

K_U =







1 dla ω  ω₀

1

1+j dla ω = ω0

−j^ω_ω⁰ dla ω  ω0

(82)

Podstawy elektroniki Elektronika

Filtr RC- wykres

Rysunek:schemat czwórnika RC

K_U =







1 dla ω  ω₀

1

1+j dla ω = ω₀

−j^ω_ω⁰ dla ω  ω₀

wykres w skali logarytmicznej

lg (|K_U|) =







0 dla ω  ω₀

−¹₂lg (2) dla ω = ω0

lg (ω₀) − lg (ω) dla ω  ω₀

Filtr RC- wykres fazy

Rysunek:schemat czwórnika RC

K_U =







1 dla ω  ω₀

1

1+j dla ω = ω₀

−j^ω_ω⁰ dla ω  ω₀

wykres w skali logarytmicznej

φ =







0 dla ω  ω₀

− arctan (1) = −^Π₄ dla ω = ω0

− arctan (∞) = −^Π₂ dla ω  ω₀

Podstawy elektroniki Elektronika

Faza w układzie RC - zadanie

Szeregowy układ RC podłączono do generatora. Wykonano pomiar prądu I_RMS = 10mA oraz skuteczne wartości napięć na

kondensatorze VC = (UC)RMS = 3V i rezystorze

V_R = (U_R)_RMS = 4V , częstotliwość generatora wynosi f = 10kHz.

Oblicz: kąt fazowy pomiędzy prądem generatora a napięciem generatora Φ(I , U), pojemność kondensatora, rezystancję opornika, wartość skuteczna napięcia na generatorze.

Rysunek:Układ szeregowego połączenia rezystora i kondensatora

wykres wskazowy dla szeregowego połączenia rezystora i kondensatora

Rysunek:Wykres wskazowy dla szeregowego połączenie RC

U = I

 R + 1

ωC



= |I |e^{j ∆Φ0} r

R²+ 1 ω²C²e^{j ∆Φ}

(83) U = U_R+ U_C = e^{j ∆Φ0}



|I |R − j |I | ωC



= e^{j ∆Φ0}(|U_R| − j|U_C|) (84)

Podstawy elektroniki Elektronika

Moc prądu elektrycznego zmiennego

Zakładamy że na odbiorniku jest napięcie u(t) = U₀cos(ωt + φ_u) i płynie prąd i (t) = I0cos(ωt + φi). Moc chwilowa:

P(t) = u(t)i (t) = U0cos(ωt + φu)I0cos(ωt + φi) (85) Moc średnia:

PAV = 1 T

T

Z

0

P(t)dt = URMSIRMScos(∆φ) (86)

gdzie U_RMS = ^√U0

2 oraz I_RMS = ^√I0

2 gdzie RMS oznacza wartość skuteczną, ∆φ = φ_u= φ_i jest różnica kąta fazowego sygnału napięcia u(t) i prądu i (t).

Moc prądu sinusoidalnego

PAV = 1 T

T

Z

0

P(t)dt = 1 T

T

Z

0

U0cos(ωt + φu)I0cos(ωt + φi)dt

1 T

T

Z

0

1

2U₀I₀(cos(2ωt + φ_u+ φ_i) + cos(φ_u− φ_i)) dt = U_RMSI_RMScos(∆φ)

(87) korzystamy z: cos x + cos y = 2 cos(^{x +y}₂ ) cos(^{x −y}₂ )

czyli cos(α) cos(β) = ¹₂(cos(α + β) + cos(α − β)) oraz U_RMS = ^√1

2U₀ i I_RMS = ^√1

2I₀

Podstawy elektroniki Elektronika

Moc zespolona, rzeczywista i pozorna

Należy zapisać wzór na moc w postaci zespolonej dla napięć i prądów zespolonych (symbolicznych).

U(t) = Ueˆ ^{j ωt} oraz ˆI (t) = Ie^{j ωt} (88) gdzie U i I są amplitudami zespolonymi:

U = U₀e^{j φU} oraz I = I₀e^{j φI}

Aby uzyskać wzór (87) należy moc zespoloną zdefiniować tak aby czynnik e^{j ωt} czyli napięcie należy pomnożyć przez prąd sprzężony:

P =ˆ 1

2UI^? = 1

2U0I0e^{j ∆Φ} = URMSIRMS(cos(∆Φ) + j sin(∆Φ)) (89) gdzie U_RMS = ^√U0

2 Tak zdefiniowana wielkość jest liczbą zespoloną, moc rzeczywista jest częścią rzeczywistą ˆP

PAV = Re( ˆP) (90)

Moc bierna i moc pozorna

Część urojona mocy zespolonej ˆP = ¹₂UI^? nazywa się mocą bierną:

Q = Im( ˆP) = 1

2U0I0sin(∆Φ) = U_RMSI_RMSsin(∆Φ) (91) Moduł mocy zespolonej nazywa się mocą pozorną S :

S = | ˆP| =p

P²+ Q² (92)

Moc pozorna równa jest iloczynowi wartości skutecznych prądu i napięcia:

S = | ˆP| =     1 2UI^?

   

= 1

2|U||I^?| = 1

2|U||I | = U_RMSIRMS (93)

Podstawy elektroniki Elektronika

Moc pozorna, straty mocy

Rysunek:Schemat połączenia odbiornika z elektrownią

P =ˆ 1

2UI^? = 1

2(IZ + IR)I^?= 1

2|I |²e^{j ∆Φ}|Z | + 1

2|I |²R (94) Człon drugi jest mocą strat ∆P = ¹₂|I |²R

z równania (93) mamy |I | =¹_2|U|^S czyli I_RMS = _U^S

RMS, zgodnie z równaniem (92) S =√

P²+ Q² więc:

∆P = P²+ Q²

U_RMS² R (95)

wzmacniacz operacyjny schemat ideowy

Rysunek:Schemat wzmacniacza operacyjnego 741

Podstawy elektroniki Elektronika

wzmacniacz operacyjny - model matematyczny

Rysunek:Wzmacniacz operacyjny, schemat blokowy, ∆U_o - napięcie niezrównoważenia (offset Voltage)

Założymy, że jest to układ liniowy z dwoma wejściami:

U_wy = A₊U₊− A₋U−+ ∆U_o + U_n (96) gdzie: A+ wzmocnienie kanału „+”, A− wzmocnienie kanału „−”, U₊ - napięcie na wejściu „+”, U− - napięcie na wejściu „−”,

∆U - błąd zrównoważenia, U_n - napięcie równoważne szumów,

wzmacniacz operacyjny - parametry

Rysunek:Wzmacniacz operacyjny, schemat blokowy

U_wy = A₊U₊− A₋U−+ ∆U_o + U_n (97) definiujemy nowe zmienne A_d, A_c:

A₊= A_d+A_c

2 i A−= A_d−A_c

2 (98)

otrzymujemy

Ad(U+− U−) + Ac

U₊+ U−

2 + ∆Uo+ Un (99) Ad - wzmocnienie różnicowe, Ac wzmocnienie sumacyjne :

Podstawy elektroniki Elektronika

Parametry

wzmocnienia: Ad - wzmocnienie napięciowe różnicowe (Open Loop Differential Voltage Gain)

i A_c - wzmocnienie sumacyjne (Common Mode Gain) opisane są równaniami:

A_d = A++ A−

2 i Ac = A+− A₋ (100) Równanie opisujące wzmacniacz operacyjny ma postać:

U_wy = A_d(U₊− U₋) + A_cU++ U−

2 + ∆U_o + U_n (101) gdzie

∆Uo - offset - napięcie niezrównoważenie

U_n - napięcie szumów równoważne napięcie wejściowe CMRR =_A^Ad

sum - współczynnik tłumienia sygnału wspólnego, zazwyczaj wyrażany w decybelach.

wzmacniacz operacyjny - schemat cd

Rysunek:Charakterystyka wzmacniacza operacyjnego, po osiągnięciu napięcia wyjściowego U_max charakterystyka nasyca się, U_o- napięcie niezrównoważenie (input offset Voltage)

Wzór opisujący wzmacniacz jest prawdziwy dla napięć odpowiednio małych: Uwe < ^U_K^max

0

Podstawy elektroniki Elektronika

Wzmacniacz operacyjny - charakterystyka częstościowa

W przybliżeniu transmitancja wzmacniacza operacyjnego opisana jest równaniem:

A(ω) = A₀ 1 + j_ω^ω

g

= A₀ 1 1 + j_ω^ω

g

(102)

człon _1+j¹ω

ωg opisuje filtr dolnoprzepustowy który można zbudować jako filtr RC gdzie ωg = _RC¹ .

W przybliżeniu Pojemność C i rezystancja R opisują efektywną stałą czasową pojemności i rezystancji elementów

wzmacniacza. Typowa wartość ωg ∈ [10, 1000]¹_s

Schemat zastępczy wzmacniacza operacyjnego

Rysunek:Uproszczony schemat zastępczy wzmacniacza operacyjnego, nie są uwzględnione: napięcie niezrównoważenia (offset),prąd polaryzacji (bias) napięcie szumów i pojemności wejściowe

R_d - rezystancja wejściowa pomiędzy wejściem + i −, pominięto rezystancje pomiędzy wejściami a masą.

r_w - rezystancja wyjściowa sterowanego źródła napięciowego, zazwyczaj (10 ÷ 100)Ω

Podstawy elektroniki Elektronika

wzmacniacz odwracający fazę

Rysunek:Wzmacniacz operacyjny odwracający fazę

Wzmacniacz operacyjny odwracający fazę, schemat zastępczy

Rysunek:Wzmacniacz operacyjny odwracający fazę układ zastępczy

Podstawy elektroniki Elektronika

wzmacniacz odwracający faz - równania

sprzężenie zwrotne

Rysunek:Sprzezenie zwrotne

Uwe = U_A+ U_B (103)

Uwy = AUA (104)

U_B = BU_we (105)

KU = U_wy Uwe

= 1

1

A + B =

(A dla B  _A¹

1

B dla B  _A¹ (106)

Podstawy elektroniki Elektronika

wzmacniacz nieodwracający fazy

Rysunek:Wzmacniacz nieodwracający fazy

wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego A = 10⁵, rezystancja pomiędzy wejściami Rd = 105kΩ, rezystancja wyjściowa

1

h22 = 1kΩ. Dane są rezystory R1 = 1kΩ i R2= 100kΩ.

wzmacniacz nieodwracający fazy - schemat zast.

Rysunek:Wzmacniacz nieodwracający fazy, schemat zastępczy.

Zaznaczono prąd wejściowy Id, który wynosi w praktyce zero ponieważ rezystancja wejściowa wzmacniacza Rd jest bardzo duża (w porównaniu do pozostałych rezystancji), jednak napięcie na rezystancji wejściowej wzmacniacza Rd wynosi Ud i musi być uwzględnione w równaniach

Podstawy elektroniki Elektronika

obliczenia wzmocnienia i rezystancji wyjściowej

Równania Kirchhoffa - bilans prądów ma postać:

I₂= I₁+ I_d (107)

Iw = I2+ Iwy (108)

Ponieważ Rd jest bardzo duże w porównaniu do R1 więc ID = 0 i I1 = I2. Równania bilansu napięć:

Uwe = Ud+ I1+ R1 (109) AUd = I1(R1+ R2) + Iwrw (110) U_wy = (R₁+ R₂)I₁ (111) Ostatnie równanie można zapisać w postaci U_wy = AU_d− r_wI_w ale postać (111) jest wygodniejsza do dalszych obliczeń.

obliczenia wzmocnienia i rezystancji wyjściowej

Celem przekształceń jest uzyskanie równania o postaci:

Uwy = KUUwe− I_wyRwy (112) Z równania (110) wyznaczamy U_d = U_we − I₁R₁. Do równania (110) wstawiamy Ud i Iw (z równania (108)):

A(Uwe− I₁R1) = I1(R1+ R2+ rw) + Iwyrw (113) z powyższego równania wyznaczamy I₁:

I₁ = AU_we

R₁+ R₂+ r_w+ AR₁ − r_wI_wy

R₁+ R₂+ r_w+ AR₁ Wstawiamy to do (111):

Uwy = A(R1+ R2)Uwe

R1+ R2+ rw+ AR1

− rw(R1+ R2)Iwy

R1+ R2+ rw+ AR1

Podstawy elektroniki Elektronika

Ponieważ w mianowniku czynnik AR₁ jest dużo większy od pozostałych więc mamy:

U_wy = R₁+ R₂ R1

U_we−R₁+ R₂ AR1

r_wI_wy (114) Tak więc porównując z (112) rezystancja wyjściowa wynosi

Rwy = R1+ R2

AR1

rw = rw

KU

A (115)

gdzie zgodnie z (114) KU = R1+ R2

R1

. Podstawiając dane mamy:

Rwy = 1kΩ + 100kΩ+

10⁵kΩ 1kΩ = 1, 01Ω ' 1kΩ (116)

Układ różniczkujący

Rysunek:Układ wzmacniacza różniczkującego

Charakterystyka częstotliwościowa wzmacniacza opisana jest równaniem

A(f ) = A₀ 1 + j_f^f

g

(117) gdzie fg = 10 Hz. Dane są: A0 = 10⁶, R = 1MΩ, C = _2π¹ µF.

Podstawy elektroniki Elektronika

Rozwiązanie

Równania zapiszemy w funkcji częstości ω = 2Πf : A(f ) = A0

1 + j_ω^ω

g

(118) napięcie wyjściowe wzmacniacza operacyjnego w zależności od różnicy napięć wejściowych:

U2= A(U+− U₋) (119)

gdzie U+ i U− są napięciami na wejściach odpowiednio nieodwracającym i odwracającym i wynoszą

U₊= U₁ (120)

U−= U2

Z

Z + R (121)

impedancja kondensatora Z = _{j ωC}¹

Po wstawieniu powyższych równań do 119:

U₂ = A



U₁− U₂ Z Z + R



(122) U2



1 − AZ Z + R



= AU1 (123)

Podstawy elektroniki Elektronika

Wzmocnienie wyliczamy jako stosunek napięć U₂ i U₁:

K = U2

U₁ = A

1 +_{Z +R}^AZ (124)

Po podzieleniu licznika i mianownika przez A:

K (ω) = 1

1

A +_{Z +R}^Z (125)

K (ω) = 1

1 A +

1 j ωC 1 j ωC+R

= 1

1+j_ωg^ω

A0 +_{1+j ωRC}¹

K (ω) = 1

1+j_ωg^ω

A0 +_1+j¹ω ω0

(126)

Mianownik ostatniego równania składa się z 2 członów _A¹ i _1+j¹ω ω0, gdzie ω0 = _RC¹ jest częstością charakterystyczną dla filtru RC . Człon pierwszy _A¹ będzie dominować w zakresie wysokich częstotliwości, gdy wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego A przestaje być duże, natomiast drugi człon – w zakresie niższych częstotliwości.

Powyżej częstości granicznej ω_g moduł wzmocnienia wzmacniacza

|A| można przybliżyć jako ^A0_ω^ωg

|A| =     

A0

1 + j_ω^ω

g

    

=

(A₀ dla ω  ω_g

A0ωg

ω dla ω  ωg

(127) Jedynkę w mianowniku drugiego członu można zaniedbać gdy ωRC  1, czyli gdy ω  _RC¹ = ω₀.

Podstawy elektroniki Elektronika

Przejście między członami następuje przy częstości ω1 dla której ich moduły są równe, więc:

ω1RC = A0ωg

ω₁ (128)

ω₁ =

rA0ωg

RC =

√ 10⁷1

s = 10^3,51

s = 3, 16 10³1

s (129)

Poniżej częstości ω0 pierwszy człon jest mały, drugi jest z dobrym przybliżeniem równy 1, pomiędzy ω₀ a ω₁ drugi człon dominuje i otrzymujemy K_u = ωRC , natomiast powyżej ω₁ wzmocnienie równe jest A = ^A0_ω^ωg

|K | =











1 dla ω  ω₀ = _RC¹ ωRC dla ω₀  ω  ω₁ =

qA0ωg

ω A0ωg

ω dla ω  ω1

(130)

Jeśli pominąć efekt gwałtownej zmiany fazy dla ω = ω₁ równanie (130) można przybliżyć równaniem:

|K (ω)| = 1

   

1+j_ωg^ω A0

   

+   

1 1+j ωRC

  

(131)

Jeśli zbadać zachowanie się równania (126) dla ω = ω₁ = qA0ωg

ω

to okazuje się, że pojawia się pik w ω1 o wysokości zależnej od proporcji częstości ω0 i ω1. Z równania (126):

K (ω) = A₀ 1 + j_ω^ω

0

 1 + j_ω^ω

g

  1 + j_ω^ω

0

 + A₀

=

A₀ 1 + j_ω^ω

0

A₀+ 1 −_ω^ω2

0ωg + j

ω ωg + _ω^ω

0

 =

= A0

 1 + j_ω^ω

0

 

A0+ 1 −_ω^ω2

0ωg − j

ω ωg +_ω^ω

0





A₀+ 1 −_ω^ω2

0ωg

2

+

ω ωg +_ω^ω

0

2 (132)

Podstawy elektroniki Elektronika

W dokumencie Podstawy elektroniki (Stron 39-115)