Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 6 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Modele i teorie pierwszego rzędu. Twierdzenie o zwartości i konstrukcje modeli w oparciu o twierdzenie o zwartości. Twierdzenia L¨owenheima-Skolema. Elementarna równoważność; elementarne podmodele i twierdzenie Tarskiego-Vaughta. Zanurzenia (elementarne) i diagramy (elementarne). Problem istnienia elementarnych rozszerzeń i elementarnych podmodeli. Teoriomodelowa charakteryzacja zupełności; kate-goryczność teorii i test Łosia-Vaughta. Charakteryzacja teorii zachowujących się na podmodelach, sumach łańcuchów i homomorfizmach. Ultraprodukt i ultrapotęga. Niestandardowe modele arytmetyki i analizy.
Problem aksjomatyzowalności klas modeli; charakteryzacja klas aksjomatyzowalnych w postaci twierdze-nia Freyne’a-Morela-Scotta. Typy i ich własności; twierdzenie o omijaniu typów. Modele nasycone. Gry Erenfeuchta-Fra¨ıss´e’go. Modele skończone.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. Z. Adamowicz, P. Zbierski, Logika matematyczna, PWN Warszawa, 1990.
2. C.C. Chang, G. Keisler, Model Theory, North-Holland, 1990.
3. K. Doets, Basic Model Theory, CSLI Publications, 1996.
100. Teoria reprezentacji liniowych grup
[TRG-05]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Wiadomości wstępne: przestrzenie liniowe i ich iloczyny tensorowe, automorfizmy przestrzeni liniowej, grupy liniowe, przypomnienie wybranych wiadomości z teorii grup.
Ogólne informacje o reprezentacjach liniowych: reprezentacje liniowe i ich podstawowe przykłady, podreprezentacje, reprezentacje nieprzywiedlne, iloczyny tensorowe reprezentacji.
Teoria charakterów: charakter reprezentacji, lemat Schura i jego zastosowania, przestrzeń ortogonal-na funkcji centralnych i ortogoortogonal-nalność charakterów nieprzywiedlnych, kanoniczny rozkład reprezentacji i liczba reprezentacji nieprzywiedlnych.
Reprezentacje indukowane: reprezentacja indukowana i jej istnienie i jednoznaczność, charakter re-prezentacji indukowanej, reprezentacje iloczynu grup.
Reprezentacje wybranych grup: reprezentacje m.in. grup diedralnych, symetrycznych i alternujących,
grup liniowych stopnia 2 nad ciałami skończonymi.
Algebra grupowa: reprezentacje i moduły, algebra C[G], jej centrum oraz rozkład, elementy całkowite oraz całkowitość charakterów.
Reprezentacje indukowane: reprezentacje i moduły indukowane, charakter reprezentacji indukowanej i wzór wzajemności, przykłady reprezentacji indukowanych i ich zastosowania do stopni reprezentacji nieprzywiedlnych.
Zagadnienia wymierności: informacje o reprezentacjach nad ciałem liczb wymiernych oraz ciałem liczb rzeczywistych.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. J.-P. Serre, Reprezentacje liniowe grup skończonych, PWN, Warszawa 1988.
2. A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa 1984.
3. A. I. Kostrikin, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1995.
4. M. A. Naimark, A.I. ˇStern, Theory of Group Representations, New York, Springer Verlag 1982.
101. Teoria sygnałów i informacji
[TSI-05]Specjalność I+Z Poziom 5 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 L L. pkt. 6 Socr. Code 11.3 1. Kanały telekomunikacyjne i ich charakterystyki.
2. Przekształcenie Fouriera i reprezentacja sygnałów.
3. Charakterystyki sygnałów stochastycznych i deterministycznych.
4. Modulacja ciągła i impulsowa.
5. Transmisja danych cyfrowych.
6. Entropia źródła danych.
7. Informacja wzajemna.
8. Pojemność kanału telekomunikacyjnego.
9. Kompresja informacji.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. A. Dąbrowski, O teorii informacji, WSiP, 1974.
2. S. Haykin, Systemy telekomunikacyjne, WKiŁ, 1998.
3. R.G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKiŁ.
4. J. Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKiŁ, 2000.
102. Topologia a ekonomia 2
[TEK2-05]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Przestrzenie liniowo uporządkowane - charakteryzacje zwartości i spójności. Preferencje, funkcje użytecz-ności. Twierdzenie Debreu o istnieniu ciągłych funkcji użyteczużytecz-ności.
Model Arrowa-Debreu gospodarki konkurencyjnej. Konstrukcje multifunkcji popytu i podaży. Prawo Wal-rasa. Istnienie punktu równowagi.
Sympleksy geometryczne. Twierdzenie o pokryciu indeksowanym. Twierdzenie o sygnaturach i jego za-stosowania; uogólnienia twierdzenia Brouwera o punkcie stałym, twierdzenie Nasha o równowadze oraz twierdzenie Gale’a-Nikaido. Gry koalicyjne. Twierdzenie Shapley’a jako uogólnienie twierdzenia Knastera-Kuratowskiego-Mazurkiewicza.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. E. Panek, Elementy Ekonomii Matematycznej. Statyka, PWN, Warszawa 1993.
2. H. W. Kuhn, S. Nasar ed., The Essential - John Nash, Princeton University Press 2002.
3. K. J. Arrow, Social Choice and Individual Values, Wiley, Yale University Press, 1990.
103. Ubezpieczenia majątkowe
[UMA-05]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 6 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Rozkłady występujące w ubezpieczeniach. Rozkłady ciężkoogonowe i lekkoogonowe. Funkcje generują-ce momenty i kumulanty. Model indywidualnego ryzyka. Model kolektywnego ryzyka. Rozkłady złożone łącznej wartości szkód. Wzór Panjera. Podział ryzyka i teoria użyteczności. Aproksymacja rozkładu łącz-nej wartości szkód i kalkulacja składki. Proces nadwyżki ubezpieczyciela. Prawdopodobieństwo ruiny i współczynnik dopasowania.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. W. Otto, Ubezpieczenia majątkowe, WNT, Warszawa 2004.
2. T. Michalski, K. Twardowska, B. Tylutki, Matematyka w ubezpieczeniach, Wydawnictwo Placet, War-szawa 2005.
3. T. Mikosch, Non-Life Insurance Mathematics, Springer, Berlin 2004.
104. Ubezpieczenia na życie
[UBZ-05]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 6 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Wymagania: rachunek prawdopodobieństwa 1A lub rachunek prawdopodobieństwa 1B.
Elementy modelu demograficznego, tablice trwania życia. Ubezpieczenia na życie, na dożycie, na życie i dożycie. Renty życiowe. Składki i rezerwy składek netto. Składki i rezerwy brutto. Ubezpieczenia grupowe.
Zastosowanie równań funkcyjnych w zagadnieniach modelu demograficznego.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, The Society Of Actuaries, Itasca, Ill., 1986.
2. H. U. Gerber, Life insurance mathematics, Springer Verlag, 1995.
3. M. Skałba, Matematyka w ubezpieczeniach, WNT, 1999.
4. A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, 1998.
105. Wielokryterialne wspomaganie decyzji
[WWD-05]Specjalność F+Z Poziom 9 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1 Wymagania: teoria optymalizacji 1.
Pojęcie optymalności w problemach wielokryterialnych.
Wielokryterialne zadanie programowania matematycznego.
Wielokryterialne programowanie liniowe.
Metody wyboru decyzji: programowanie celowe, programowanie hierarchiczne, hierarchiczne programo-wanie celowe, filtracja, procedury interaktywne.
Analiza wieloatrybutowa: AHP, Bipolar, metody oparte na dominacjach stochastycznych.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. Z. Galas, I. Nykowski, Z. Żółkiewski, Programowanie wielokryterialne, PWN 1986.
2. R. E. Steuer, Multiple Criteria Optimization - Theory, Computation, & Applications, Wiley, New York 1986.
3. T. Trzaskalik, Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE 2003.
106. Wstęp do matematyki finansowej
[WMF-02]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Wymagania: analiza matematyczna 1–4.
Wartość pieniądza w czasie, modele akumulacji kapitału. Dyskonto matematyczne i dyskonto handlowe.
Modele spłaty długów. Renty kapitałowe. Wycena papierów wartościowych i ocena projektów inwesty-cyjnych. Schematy amortyzacji. Elementy analizy portfelowej.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. E. Smaga, Arytmetyka finansowa, WN PWN, Warszawa-Kraków, 2000.
2. M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa, 2000.
3. M. Capiński, T. Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer-Verlag.
4. A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa, 1998.
107. Wybrane konstrukcje teorii mnogości 1
[KTM1-05]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Struktura mnogościowa prostej rzeczywistej: zbiory miary zero w sensie Lebesgue’a, zbiory pierwszej ka-tegorii, zbiory Bernsteina, zbiory Sierpińskiego.
Zbiory małe na prostej a aksjomat Martina.
Drzewa: drzewo Aronsztajna i drzewo Suslina.
Kombinatoryka na podzbiorach nieskończonych zbioru liczb naturalnych: inwarianty kardynalne prze-strzeni ω∗, luki Hausdorffa, zbiory uniwersalnie miary zero, matryce bazowe.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. K. Kunen, Set theory: an introduction to independence proofs, North-Holland 1980.
2. T. Jech, Set theory, Academic Press 1978.
108. Wybrane konstrukcje teorii mnogości 2
[KTM2-05]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 6 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Twierdzenia równoważne z pewnikiem wyboru: lemat Kuratowskiego-Zorna, twierdzenie Zermelo, twier-dzenie Kelleya.
Twierdzenie Ulama-Tarskiego o paradoksalnym rozkładzie kuli.
Twierdzenie Blassa o bazach w przestrzeniach liniowych.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. K. Kunen, Set theory: an introduction to independence proofs, North-Holland 1980.
2. T. Jech, Set theory, Academic Press 1978.
109. Wybrane zagadnienia z dydaktyki matematyki
[WZD-05]Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 10 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 L L. pkt. 6 Socr. Code 11.0
Wymagania: realizacja bloku przedmiotów przygotowujących do pracy nauczycielskiej.
Wykład obejmuje opracowanie tematów występujących w nauczaniu szkolnym matematyki, lecz z braku czasu nie realizowanych na zajęciach kursowych z dydaktyki matematyki. W szczególności rozwijane będą zagadnienia dotyczące kształtowania i definiowania pojęć matematycznych oraz nauki dowodzenia twierdzeń. Referowane problemy dydaktyczne zostaną zilustrowane przykładami z bieżącego materiału szkolnego, m.in. z zastosowaniem programu CABRI.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. Z. Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, części 1–3, WSIP, Warszawa 1977.
2. J. Konior, Materiały do studiowania dydaktyki matematyki tom IV, Wydawnictwo Naukowe Novum, Płock 2002.
3. J. Konior, Z zagadnień dowodzenia twierdzeń w nauczaniu szkolnym matematyki (skrypt), Wydaw-nictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice 1989.
4. Dokumenty reformy szkolnej (bieżące instrukcje i rozporządzenia, aktualne programy, nowe podręczniki itp.).
110. Zastosowania równań funkcyjnych 1
[ZRF1-05]Specjalność N+F+T+Z Poziom 7 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Wymagania: analiza funkcjonalna 1, teoria miary i całki, topologia A lub topologia B.
Zastosowania z zakresu geometrii:
1. Teoria obiektów geometrycznych (elementy).
2. Wspólna charakteryzacja geometrii euklidesowej, hiperbolicznej i eliptycznej.
3. Kolineacje.
4. Charakteryzacje stosunku podwójnego podziału.
5. Wyznaczanie podpółgrup pewnych grup Liego.
Zastosowania z zakresu analizy funkcjonalnej:
1. Postać funkcjonałów liniowo-multyplikatywnych w algebrze Banacha funkcji całkowalnych na prostej.
2. Charakteryzacja funkcyjnie jednorodnych form dwuaddytywnych.
3. Charakteryzacja normy w przestrzeniach Lp. 4. Charakteryzacja przestrzeni ściśle wypukłych.
5. Charakteryzacje przestrzeni unitarnych.
6. Ortogonalność Birkhoffa-Jamesa.
7. Operatory Reynoldsa.
8. Formuły sumowania w algebrach Banacha; półgrupy operatorów.
Zaliczenie przedmiotu: egzamin.
Literatura:
1. J. Acz´el, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cam-bridge, 1989.
2. J. Acz´el, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa, 1960.
3. J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok, 1979.
4. D. Ilse - I. Lehman - W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1984.
5. M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice, 1985.
111. Zastosowania równań funkcyjnych 2
[ZRF2-05]Specjalność N+F+T+Z Poziom 8 Status W
L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1
Wymagania: analiza funkcjonalna 1, teoria miary i całki, topologia A lub topologia B.
Zastosowania z zakresu algebry:
1. Charakteryzacje wyznacznika.
2. Wielomiany na abstrakcyjnych strukturach.
3. Derywacje i algebry leibnizowskie.
4. Odwzorowania zachowujące liniową zależność i niezależność wektorów.
5. Quasigrupy.
Inne zastosowania:
1. Zagadnienia probabilistyczne.
2. Aksjomatyczna teoria informacji.
3. Zagadnienia fizyczne.