• Nie Znaleziono Wyników

Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1

Wykłady zawierają zastosowania topologii w ekonomii. Pierwsza część wykładów bazuje na Walra-sowskim podejściu do matematycznej akonomii. Na modelu Arrowa-Debreu gospodarki konkurencyjnej rozwiązana będzie hipoteza o istnieniu równowagi konkurencyjnej. Omawiane będą między innymi nastę-pujące pojęcia; przestrzeń towarów, relacje preferencji i porządek liniowy, twierdzenie Debreu o istnieniu funkcji użyteczności, multifunkcje zbioru budżetowego, popytu i podaży, Prawo Walrasa.

W drugiej części wykładu zostanie udowodnione twierdzenie o sygnaturach. Jako wnioski z tego twierdze-nia otrzymamy twierdzenie Nasha o równowadze, minimaksowe twierdzenie von Neumanna i twierdzenie Gale’a-Nikaido, za pomocą którego zostanie udowodnione istnienie równowagi w modelu Arrowa-Debreu.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1. J. Dugundji, A. Granas, Fixed Point Theory, PWN, Warszawa, 1982.

2. E. Panek, Ekonomia Matematyczna, PWN, Warszawa, 2003.

100. Układy dynamiczne na miarach

[UDM-04]

Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1

Przedmiotem wykładu będą własności topologiczne i analityczne przestrzeni z miarą (metryzowalność, zupełność, zwartość) i własności działających na nich operatorów. Podane zostaną również zastosowania w teorii równań różniczkowych, całkowych i teorii fraktali. W szczególności omównione zostaną następujące tematy:

1. Słaba zbieżność w przestrzeni miar, normy Fortet Mouriera i Wassersteina.

2. Twierdzenie Aleksandrowa o warunkach równoważnych słabej zbieżności.

3. Kryteria zwartości zbiorów w przestrzeni miar unormowanych - twierdzenie Prochorowa.

4. Zastosowania w teorii równań różniczkowych i całkowych - badanie własności asymptotycznych.

5. Zastosowania w teorii fraktalii - konstrukcje miar niezmienniczych na fraktalach.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

101. Wstęp do matematyki finansowej

[WMF-02]

Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1 Wymagania: analiza matematyczna.

Wartość pieniądza w czasie, modele akumulacji kapitału. Dyskonto matematyczne i dyskonto handlowe.

Modele spłaty długów. Renty kapitałowe. Wycena papierów wartościowych i ocena projektów inwesty-cyjnych. Schematy amortyzacji. Elementy analizy portfelowej.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1. E. Smaga, Arytmetyka finansowa, WN PWN, Warszawa-Kraków, 2000.

2. M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa, 2000.

3. M. Capiński, T. Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer-Verlag.

4. A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa, 1998.

102. Wstęp do równań funkcyjnych

[WRP-04]

Specjalność Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. L. pkt. 6 Socr. Code 11.1

Wymagania: Analiza matematyczna 4a lub analiza matematyczna 4b.

Równania funkcyjne wielu zmiennych. Problemy prowadzące do równań funkcyjnych wielu zmiennych. Różne wersje równania Cauchy’ego i ich uogólnienia. Przykłady zastosowań równań funk-cyjnych w matematyce i poza nią.

Równania funkcyjne jednej zmiennej. Podstawowe wiadomości na temat równań iteracyjnych. Rów-nania Abela i Schr¨odera. Zastosowanie teorii równań funkcyjnych w probabilistyce: procesy gałązkowe Galtona - Watsona.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1. J. Acz´el, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York and Lon-don, 1966.

2. J. Acz´el, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge University Press, Cambridge – New York – New Rochelle – Melbourne – Sydney, 1989.

3. M. Kuczma, B. Choczewski and R. Ger, Iterative Functional Equations, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge University Press, Cambridge – New York – New Rochelle – Melbourne – Sydney, 1990.

4. Ja. S. Brodskij, A. K. Slipenko, Funktsionalnye uravnenija, Vishcha Shkola, Kiev, 1983.

5. D. Ilse, I. Lehmann, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der

Wissenschaften, Berlin 1984.

6. M. Kuczma, Functional Equations in a Single Variable, Monografie Mat. 46, Polish Scientific Publi-shers, Warsaw, 1968.

7. Równania funkcyjne w teorii procesów stochastycznych, Praca zbiorowa pod redakcją Marka Kuczmy, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1972.

8. M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Cauchy’s equation and Jensen’s inequality, Uniw. Śląski - PWN Warszawa - Kraków -Katowice, 1985.

9. P. K. Sahoo and T. Riedel, Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific, Singa-pore - New Jersey - London - Hong Kong, 1998.

10. J. Smital, O funkci´ach a funkcion´alnych rovniciach, Alfa - Vydavatel’stvo Technickej a Ekonomickej Literat´ury, Bratislava, 1984.

11. L. Sz´ekelyhidi, Convolution type functional equations on topological Abelian groups, World Scientific, Singapore - New Jersey - London - Hong Kong, 1991.

103. Wybrane zagadnienia teorii równań różniczkowych i całkowych

[ZRC-04]

Specjalność N+F+T+Z Poziom 5 Status W

Specjalność I Poziom 7 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1 Wymagania: Równania różniczkowe zwyczajne

Wiadomości wstępne.

1. Twierdzenia o punkcie stałym Brouwera i Schaudera.

2. Przykłady zastosowania twierdzenia Schaudera w teorii równań całkowych i równań różniczkowych zwyczajnych.

3. Lemat Gronwalla i kryterium Osgooda jako przykłady twierdzeń gwarantujących jednoznaczność roz-wiązań równań różniczkowych zwyczajnych.

4. Twierdzenia o silnych i słabych nierównościach różniczkowych dla równań zwyczajnych.

5. Twierdzenia o ciągłej zależności od parametru i warunku początkowego.

6. Przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.

Wprowadzenie do teorii stabilności.

7. Podstawowe definicje teorii stabilności.

8. Pojęcie funkcji Lapunowa.

9. Trzy twierdzenia Lapunowa o stabilności.

10. Zasada Niezmienniczości LaSalle’a.

11. Przykłady funkcji Lapunowa w równaniach zwyczajnych i prostych równaniach cząstkowych.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1. D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin, 1983.

2. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa, 1989.

3. I. G. Pietrowski, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1967.

4. J. P. LaSalle, S. Lefschetz, Zarys teorii stabilności Lapunowa i jego metody bezpośredniej, PWN, War-szawa, 1966.

104. Wybrane zagadnienia z dydaktyki matematyki

[WDM-04]

Specjalność N Poziom 8 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1

Wykład obejmuje analizę (opracowanie) tematów występujących w nauczaniu szkolnym matematyki.

Podawane będą przykłady zastosowania programu komputerowego CABRI w procesie nauczania mate-matyki w szkole.

Wymagania: Student zobowiązany jest przygotować projekt rozwiązania wybranego zadania dydaktycz-nego oraz opracować podany temat z literatury.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1. Z. Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, części 1-3, WSiP, Warszawa, 1977.

2. J. Konior, Materiały do studiowania dydaktyki matematyki tom IV, Wydawnictwo Naukowe Novum, Płock, 2002.

3. J. Konior, Z zagadnień dowodzenia twierdzeń w nauczaniu szkolnym matematyki (skrypt), Wydaw-nictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1989.

4. Dokumenty reformy szkolnej (bieżące instrukcje i rozporządzenia, aktualne programy, nowe podręczniki itp.)

105. Wymiary miar fraktalnych

[MFR-04]

Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1

Tematem będzie przedstawienie podstawowych definicji wymiaru miar, a w szczególności wymiaru kon-centracyjnego i wymiaru informacyjnego. Podane zostaną zastosowania w teorii równań różniczkowych i teorii fraktali. W szczególności omówione zostaną następujące tematy:

1. Własności wymiaru koncentracyjnego (L´evy’ego) miar unormowanych i ich związek z wymiarem Haus-dorffa zbiorów.

2. Zastosowanie wymiaru koncentracyjnego do wyznaczania wymiaru fraktali.

3. Inne definicje wymiaru miar i ich związak z wymiarem zbiorów (anti - Frostman lemma).

4. Wyznaczanie wymiarów miar niezmienniczych dla pewnych typów równań różniczkowych.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

106. Zbiory i relacje rozmyte

[ZRR-04]

Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1

Celem przedmiotu jest zaznajomienie studentów z pojęciami zbioru rozmytego i relacji rozmytej. Na wykładzie będą omówione działania w zbiorze relacji rozmytych, ze szczególnym uwzględnieniem różnego rodzju złożeń (złożenia Bandlera-Kohouta, złożenia sup −?). Zostaną omówione wzajemne zależności pomiędzy złożeniami i podane przykłady ich zastosowań w ekonomii i medycynie. Równie dużo miejsca zostanie poświęcone klasom relacji rozmytych oraz relacji zawierania pomiędzy tymi klasami.

Zbiór rozmyty, pojęcie wprowadzone przez L. Zadeh’a w 1965 roku, jest uogólnieniem funkcji charak-terystycznej zwykłego zbioru. Uogólnienie, to polega na rozszerzeniu zbioru wartości do przedziału [0, 1], co daje szansę na określenie w jakim stopniu element należy do zbioru. Relacja rozmyta jest uogólnieniem funkcji charakterystycznej zwykłej relacji. Informuje ona nas nie tylko o tym, czy elementy jedengo zbioru są w powiązaniu (relacji) z elementami innego zbioru, ale określa stopień tego powiązania.

Plan wykładu:

1. Kraty.

2. Zbiory rozmyte.

3. Rachunek zbiorów rozmytych.

4. Warstwy zbioru rozmytego.

5. Relacje rozmyte.

6. Działania na relacjach rozmytych.

7. Klasy relacji rozmytych.

8. Półgrupy relacji rozmytych.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1. J. Drewniak, Podstawy teorii zbiorów rozmytych, Katowice, 1984.

2. B. De Baets, E. Kerre, Fuzzy relations and applications, Adv. Electron. Electron Phys., 89, 1994, 255-324.

107. Zbiory wypukłe

[ZWP-02]

Specjalność N+F+T+Z Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1 Wymagania: analiza matematyczna 1-4, algebra liniowa, topologia 1.

Podstawowe własności zbiorów wypukłych w przestrzeni Rn. Otoczka wypukła i otoczka afiniczna. Twier-dzenie Carath´eodory’ego o otoczce wypukłej i twierdzenie Radona o rozbiciu. Relatywne wnętrze i rela-tywny brzeg zbioru wypukłego. Podpieranie i oddzielanie. Podstawowe własności wielościanów.

Twierdzenie Helly’ego o zbiorach wypukłych i jego konsekwencje: twierdzenie Kircherberga o od-dzielaniu, twierdzenie Junga o nakrywaniu plamy, twierdzenie Krasnosielskiego o zbiorze gwiaździstym.

Zastosowanie twierdzenia Helly’ego do badania wielomianów Czebyszewa.

Twierdzenie Minkowskiego o symetrycznym zbiorze wypukłym i pewne jego zastosowania w geo-metrycznej teorii liczb: ciągi Farey’a, przybliżanie liczb niewymiernych liczbami wymiernymi, minimum formy kwadratowej, reprezentacja liczby naturalnej w postaci sumy czterech kwadratów.

Pewne zastosowania twierdzenia Brouwera o punkcie stałym w teorii macierzy i w geometrii.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

108. Modelowanie proceduralne

[MOP-04]

Specjalność I+N+F+T+Z Poziom 5 Status W

L. godz. tyg. 2 W + 2 Ćw L. pkt. 6 Socr. Code 11.1

• Modelowanie proceduralne (instrict ) vs. modelowanie „opisowe” (explicit );

• wprowadzenie do jezyków Cg i SL;

• wzorce regularne, zbiory semialgebraiczne;

• aliazing (transformata Fouriera, rekonstrukcja sygnału, twierdzenie Nyquista, antyaliazing anali-tyczny i stochasanali-tyczny);

• funkcja szumu Perlina, ułamkowe ruchy Browna (fBm) i turbulencja, modyfikacje funkcji Perlina, wzorce stochastyczne;

• diagramy Voronoi’a, szum komórkowy, szum Worley’a-Voronoi’a;

• schemat Gardnera syntezy funkcji;

• przykłady zastosowan: modelowanie obiektów naturalnych (drewno, marmur, chmury), modelowa-nie terenu;

• hipertekstury i ray-marching; powierzchnie izopotencjalne, metakule i algorytm „marching cubes”;

• jezyki formalne, systemy Lindenmayera;

• modele cieniowania, dwukierunkowa zdolnooa odbijania BRDF (modele).

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1. D. Ebert, et al., Texturing and Modeling. A Procedural Approach, Accademic Press, 1998.

2. A. Apodaca, L. Gritz, Advanced RenderMan, Morgan Kaufmann, 2000.

3. J. Foley, A. van Dam, S. Feiner, J. Hughes, Computer Graphics, Principles and Practice, 1990.

4. J. Kessenich, D. Baldwin, R. Rost, The OpenGL Shading Language, 3DLabs, 2003.

5. P. Prusinkiewicz, A. Lindenmayer, The Algorithmic Beauty of Plants.

6. R. Fernando, M. Kilgard, Jezyk Cg, Helion/Addison-Wesley, 2003.

7. F. Preparata, M. Shamos, Geometria obliczeniowa. Wprowadzenie, Helion/Springer Verlag, 2003.

Inne przedmioty wybieralne

1. Algebra dwuliniowa 1 2. Algebra dwuliniowa 2 3. Algebra homologiczna 4. Algebra liniowa 3 5. Algebra przemienna 6. Algebraiczna teoria liczb 1 7. Algebraiczna teoria liczb 2 8. Algebry Banacha

9. Algorytmy i struktury danych 2 10. Analiza danych

11. Analiza funkcjonalna 2a 12. Analiza funkcjonalna 2b 13. Analiza wypukła 14. Arytmetyka Peano 15. Automaty i gramatyki 16. Automaty i języki 17. Bazy danych 2

18. Dynamika populacyjna 19. Elementy ekonomii

20. Elementy kombinatoryki nieskończonościowej 21. Elementy teorii kodowania i kryptografii 22. Funkcje analityczne 2

23. Funkcje rekurencyjne i zagadnienia rozstrzygalności 24. Funkcje rzeczywiste

25. Geometria algebraiczna 1 26. Geometria algebraiczna 2 27. Geometria elementarna 28. Geometria komputerowa 29. Geometria rzutowa 30. Informatyka w szkole

31. Iteracje zespolonych funkcji wymiernych 1 32. Iteracje zespolonych funkcji wymiernych 2 33. Języki formalne i gramatyki

34. Krzywe eliptyczne

35. Liczby rozmyte 36. Logika 2

37. Metoda forsingu i niezależność hipotezy continuum oraz pewnika wyboru 38. Metody numeryczne algebry liniowej

39. Metody programowania 1 40. Metody programowania 2 41. Mikroekonomia

42. Mnogościowa struktura zbioru liczb rzeczywistych 43. Modelowanie statystyczne

44. Odwzorowania wielowartościowe

45. Ortogonalność w przestrzeniach unormowanych

46. Podstawy przetwarzania i rozpoznawania obrazów cyfrowych 47. Prawo informatyczne

48. Procesy losowe

49. Programowanie sieciowe 1 50. Programowanie sieciowe 2

51. Projektowanie systemów informatycznych 52. Punkty stałe i ich zastosowania w ekonomii 53. Punkty stałe w topologii i ekonomii

54. Rachunek operatorów i pewne jego zastosowania 55. Rachunek stochastyczny

56. Rachunek wariacyjny 57. Relacje rozmyte

58. Równania różniczkowe cząstkowe 2 59. Statystyka 2

60. Statystyka finansowa 1

61. Stochastyczne modele w matematyce finansowej 62. Systemy dynamiczne

63. Teoria dystrybucji 64. Teoria fraktali 65. Teoria Galois 66. Teoria iteracji 1 67. Teoria iteracji 2 68. Teoria liczb 69. Teoria obliczeń 2

Powiązane dokumenty