A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S
K SZTA ŁC EN IE PO LO N ISTY C ZN E C U D Z O Z IE M C Ó W 3, 1991
Danuta Wróbel
N IE D E F IN IC Y J N E W P R O W A D Z A N IE P O JĘ Ć M A T E M A T Y C Z N Y C H NA Z A JĘ C IA C H D L A C U D Z O Z IE M C Ó W
W pracy tej nie będę zajm ow ała się problem em n atu ry obiektów definiow a-nych w m atem atyce, gdyż takie lub inne rozw iązanie tego zagadnienia nie będzie m iało, n ajp raw d o p o d o b n iej, nigdy w pływ u na p ra k ty k ę m atem atycz-n ą 1. N ie będę też zajm ow ała się stosow aatycz-nym i i uzatycz-naw aatycz-nym i w m atem atyce m etodam i definiow ania takich obiektów . Przy w spółczesnych teoriom nogoś- ciach koncepcjach m atem atyki w ydaje się stosow nym zauw ażyć, że jeżeli założym y, iż zbiór (klasę) utożsam ia się z w łasnością, k tó ra tę klasę w yznacza, to term iny m atem atyczne są pred y k atam i jed n o - lub w ieloargum entow ym i2. P red y k aty jed n o arg u m en to w e to w łaśnie owe w łasności w yznaczające zbiory ja k np. własność bycia liczbą n a tu ra ln ą w zdaniu: 5 jest liczbą naturalną. P redykat ten w yznacza zb ió r w szystkich liczb n atu ra ln y ch N. P rzykładem p re d y k atu dw uargum entow ego jest relacja bycia większym od, czyli w łasność bycia większym od, co zapisuje się x > у.
W obec powyższego, term in zbiór liczb naturalnych i term in liczba naturalna 2 są p od obn ej n atu ry ja k term in żółty, bo każdy z nich w yznacza pew ną klasę p rzedm iotów (m niejsza o ich ontologiczny b y t)3. E lem enty tych klas m ają własności b ądź to bycia liczbą n a tu ra ln ą , b ądź bycia zbiorem dw uelem en- tow ym , bądź bycia żółtym . R óżnica jest je d n a - zbiory pierw szego i drugiego ro d zaju są d o k ład n ie w yznaczone przez od p o w iad ające im predykaty, czego
' R. C a r n a p , Filozofia ja ko analiza języka nauki, W arszawa 1965, s. 53-55.
2 J . L. y o n s, Sem antyka, t. I, W arszawa 1984, s. 149-151. W śród terminów, które składają się na zdanie, au to r wyróżnia nazwy i predykaty. Nazwy są to term iny odnoszące się do indywiduów, czyli w tradycyjnej logice tzw. nazwy indywidualne. Predykatów używ się w zdaniach do przypisania cechy indywiduum określonego przez tę nazwę. Predykatam i są nie tylko czasowniki rośnie, maleje i przym iotniki typu gęsty, przeliczalny czy też większy niż (predykat dwuargumen- towy), ale również tzw. nazwy ogólne takie, jak człowiek Term in ten nie określa żadnego konkretnego indywiduum a jedynie istotną cechę pewnego zbioru indywiduów, tu: cechę człowieczeństwa.
nie m ożna pow iedzieć o predykacie żółty (pom ijam znaczenie naukow e pojęcia). T erm iny m atem atyczne m ają zawsze ostry zakres.
W teoriach m atem atycznych takie p re d y k aty w prow adzane są przez definicje rów nościow e w postaci jaw nej lub też. w postaci uwikłanej. W każdej teorii istnieją zaw sze pojęcia, których nie definiuje się alb o tylko częściowo zawęża ich zakres poprzez p odanie pew nych postulatów , k tó re m uszą być spełnione przez te pojęcia. Jeżeli teoria jest zaksjom atyzow ana, to jest to układ ak sjo m ató w 4. W klasycznej geom etrii euklidesow ej takim i pojęciam i są punkt, prosta, płaszczyzna, a w teorii m nogości element, zbiór, relacja e . N ad sposobam i w prow adzania m. in. takich pojęć na zajęciach z m atem atyki prow adzonych dla cudzoziem ców chciałabym się bliżej zastanow ić. Interesują m nie szczególnie początkow e zajęcia, kiedy to sytuacja faktyczna jest, w przy-bliżeniu, następująca:
M atem a ty k a w prow adzana jest d o rozkładu zajęć praw ie jednocześnie z językiem polskim , więc posługiw anie się opisem w tym języku jest praw ie niem ożliw e. D o dyspozycji m am y niewiele poza konstru k cją najprostszego zdania podm iotow o-orzecznikow ego typu a jest b (a, b zm ienne nazwowe) i jeg o negacji bez kw antyfikacji, czasow nikam i być, mieć, nazywać się i to nie we wszystkich osobach czasu teraźniejszego, liczebnikam i od 1 d o 100 i niezbyt d o k ła d n ą um iejętnością odpow iedzi przez słuchaczy na postaw ione im pytania typu : Czy to jest A?, Ile A ma S?, Jak to się nazywa? Sytuacja ta popraw ia się z tygodnia na tydzień, ale nie na tyle, aby m o żn a było po polsku form ułow ać definicje term inów m atem atycznych. S form ułow ania te ze względu na wymogi precyzji w m atem atyce i nieadekw atność języków sztucznych i języków n atu ra ln y ch byw ają często tru d n e naw et dla absolw enta polskiego liceum. W eźm y na przykład fu n k to r im plikacji o raz o d pow iadające m u zdanie o schem acie p=>q (p, q - zm ienne zdaniow e). Z a k ła d a się, że jest to schem at zd ania w arunkow ego, k tó re czytam y Jeżeli P, to Q. (P, Q zd ania w sensie logicznym ). O kazuje się, że spójnik Jeżeli..., to., m a wiele znaczeń w języku polskim :
1) niepraw da, że P i nie Q , 2) nie jest możliwe, że P i nie Q, 3) ze zdania P w ynika zdanie Q, 4) to, że P jest przyczyną, że Q 5.
T a k a sytuacja jest przyczyną dyskusji na tem at im plikacji i jej odp o w ied -nika w języku n atu raln y m , k tó ra trw a praw ie ta k długo ja k europejska myśl
4 Szerzej na ten tem at piszą m. in. К . A j d u k i e w i c z , The Axiom atic Systems From the Meiodological Point o f View, „Studia Logica” 1960, t. 9, s. 150-219 i L. B o r k o w s k i , Logika formalna. W arszawa 1970, s. 332-341.
5 Znaczenie podaję za L. B o r k o w s k i m , Uwagi o okresie warunkowym oraz implikacji materialnej i ścisłej, [w:] Rozprawy logiczne. Księga pam iątkowa ku czci profesora Kazimierza Ajdukiewicza, W arszawa 1964, s. 11-22.
filozoficzna6. P rzykłady m ożna by m nożyć, ale w spom nę jeszcze tylko o naw iasach, k tóre w języku m ów ionym są zupełnie nieczytelne i zdanie o schem acie p \ ( q v r) brzm i po polsku tak sam o, jak zdanie o schemacie (p \ q ) \ r a znaczenie m a zupełnie ró żn e7.
Z najom ość logiki form alnej w śród naszych słuchaczy jest najczęściej niezadow alająca albo wręcz ża d n a, co w sp osób isto tn y u tru d n ia nam określenie term inów m atem atycznych w sp osób p o śre d n i” przy pom ocy innych term inów wcześniej ju ż w prow adzonych. W sto su n k u do pojęć pierw otnych, o których ju ż w spom niałam wcześniej, definiow anie (interp reto w an ie) pośred-nie jest pośred-niem ożliw e ze względu na n a tu rę tych term inów , w obec tego pozostaje do dyspozycji tylko interp reto w an ie bezpośrednie, czyli tzw. definicja deiktycz- na.
K orzystanie ze słow ników też nie zawsze jest m ożliwe, gdyż albo takich słow ników w ogóle nie m a, alb o są to słow niki p o p u larn e , nie podające w szystkich znaczeń, a szczególnie znaczeń m atem atycznych d anego term inu.
M yślę, że argum enty te są dostateczne, aby dostrzec problem , z którym musi sobie p o radzić w ykładow ca m atem atyki na zajęciach dla cudzoziem ców . D o d am jeszcze, że skom plikow ane pojęcia ab strak cy jn e m uszą pojaw ić się od pierw szych godzin tego rod zaju zajęć i słuchacz nie m oże nie rozum ieć takich term inów ja k punkt, prosta, kwadrat, równoległobok, koniunkcja. alternatywa czy wreszcie implikacja, k tó ra jest jednym z podstaw ow ych pojęć m atem aty cz-nych, a zdanie w arunkow e, w pew nym sensie odp o w iad ające im plikacji, w prow adzane jest na zajęciach z polskiego d u żo później.
Celem nauczania m atem atyki w S tudium Języka Polskiego dla C udzoziem -ców nie jest jed n ak i nie m oże być nauczanie tego przed m io tu od podstaw . Z ak ła d am y , że nasi słuchacze znają m atem aty k ę na poziom ie naszej szkoły średniej, a jeżeli naw et nie, to na pew no m ają praw idłow e intuicje zw iązane z najbardziej elem entarnym i term inam i m atem atycznym i. Z drugiej strony, w pierwszej fazie n auczania m atem atyki mniej p o w in n o nam zależeć na d o k ład n y m form ułow aniu definicji w języku polskim , a bardziej na tym , aby
6 Por. np. I. M. B o c h e ń s k i , Ancient Formal Logic, A m sterdam 1968, s. 77-102. 7 W arto zauważyć, że język naturalny pełni w m atem atyce rolę „pom ocniczą” w stosunku do zapisów formalnych. Inaczej mówiąc, jedynie ważny jest zapis form alny, a przy pomocy języka naturalnego możemy tylko pewne zależności form alne uczynić bliższymi intuicyjnie dla odbiorcy. Praktyka pokazuje, że najlepsze rezultaty dydaktyczne uzyskujemy, gdy m am y do dyspozycji obie form y zapisu, które nawzajem się uzupełniają. Szczególnie ważne jest to dla osób uczących się języka obcego, kiedy to zapis formalny ułatwia opis językowy definicji. Stąd wniosek, że uzupełnienie podstawowych wiadomości z logiki formalnej i teorii mnogości jest sprawą pierwszej rangi dla naszych słuchaczy i wszelkimi sposobam i powinniśmy im w tym dopom óc. Nie jest to zadanie łatwe na tym poziomie znajom ości języka, ale nie jest też niewykonalne.
8 O definiowaniu i interpretow aniu pośrednim i bezpośrednim pisze M. P r z e ł ę c k i , Interpretacja systemów aksjomatycznych. „Studia Filozoficzne” 1960, nr 6, s. 89-105.
nasi słuchacze rozum ieli pojęcia9 i potrafili popraw nie posługiw ać się nimi większość słuchaczy to przyszli studenci wyższych szkół technicznych, kandydaci na teoretyczne studia m atem atyczne należą do w yjątków . Nie znaczy to wcale, że należy zrezygnow ać z p o praw nych definicji term inów m atem atycznych i w trakcie nauczania, np. w drugim sem estrze lub przy p ow tórzeniu, m ożna z pow odzeniem w rócić d o om aw ianych wcześniej zag ad -nień i słow nych lub też słow no-form alnych opisów . Najczęściej będą to definicje interesujących nas term inów w prow adzonych wcześniej deiktycznie. M ożna też polecić przytaczanie takich definicji ja k o sam odzielne lub przy niewielkiej ingerencji ze strony uczącego ćwiczenie dla słuchaczy S tudium . Jeśli w ten sp osób pow staną definicje różne treściow o, ale oznaczające to sam o, to nie należy się tym m artw ić, bo po pierw sze - nic naucza się m atem atyki na poziom ie szkoły średniej aż tak b ard zo system atycznie, a po drugie - takie ćwiczenie d a więcej korzyści słuchaczow i niż bezm yślne wyuczenie się p o d a -nych wcześniej d o za p am iętan ia gotow ych reguł. K orzyści te będą tak w dziedzinie języka polskiego, jak i m atem atyki. O bow iązkiem uczącego jest w ybranie odpow iedniego m o m entu d o takich ćwiczeń. Będzie to możliwe wówczas, kiedy słuchacze będą mieć dostateczne przygotow anie z języka polskiego, klasycznej logiki i m atem atyki.
W tradycji logicznej znane jest pojęcie t/w . definicji deiktycznej albo inaczej ostensyw nej (od łac. o sten d o - pokazuję). W edług rozpow szechnionego pojęcia definicja ta polega na w ypow iadaniu zdania typu To jest N z jednoczesnym w skazaniem pew nego desygnatu nazw y N; słowo to jest nazw ą okazjonalną, k tó ra zm ienia się w nazw ę indyw iduow ą. jeśli zrobim y odpow iedni gest w skazujący desygnat tej nazwy. W szędzie robi się zastrzeżenie, że desygnatem w skazyw anym musi być term in spostrzeżeniow y, czyli taki k o n k re tn y przed-m iot, k tó ry przed-m oże być bodźceprzed-m dla naszych zprzed-m ysłów. 1 tak przedprzed-m ioteprzed-m przypo rząd k o w an y m konkretnej nazw ie indyw iduow ej ja k o jej desygnat jest w łaśnie pewien przedm iot m aterialny, natom iast w p rzy p ad k u predykatu, a tylko one nas interesują, jest to przedm iot abstrak cy jn y - klasa lub relacja. D esygnatów p re d y k atu p okazać nie m ożna. N ie m o żn a p okazać p u n k tu , prostej, płaszczyzny, liczby 2, a tylko przedm ioty będące ich m odelam i m atem atycznym i M odelem p u n k tu jest k ro p k a narysow ana na papierze, m odelem prostej - linia, a m odelem liczby 2 zb ió r dw uelem entow y.
Z daję sobie spraw ę z problem ów logicznych w ynikających z deiktycznego
9 N a tem at doniosłości i pierwotności rozumienia języka obcego w stosunku do używania go patrz В. К г а к o w i a n. O nauczaniu rozumienia mowy obcojęzycznej, Warszawa 1985. W zupełno-ści zgadzam się z ogólnymi tezami proponow anym i przez autora, choć pewnych szczegółowych rozwiązań nie możemy stosować w kształceniu cudzoziemców ze względu na odm ienną sytuację w stosunku do tej, którą zakłada au to r bilingwizm. My prawie zawsze dysponujemy jednym językiem.
sp o so b u definiow ania, n a co zw raca uwagę m. in. M . P rzetęcki10. Z gadzam się, że ta k a definicja jest n ieadekw atna i w ieloznaczna. S tąd w niosek, że ta m etoda nie n adaje się d o definiow ania term inów m atem atycznych w sensie definicji rów nościow ych lub chociażby jednoznacznych co d o spełniania pewnych p o stu lató w , k tó ra to jed n o zn aczn o ść m atem aty k o m w ystarcza. M etoda ta znajd u je szerokie zastosow anie w nau czan iu języków obcych, gdzie tra k tu je się problem definiow ania nieco mniej rygorystycznie, niż czynią to logicy i m ate-m atycy. W ydaje się, że ate-m ożna z pow odzenieate-m stosow ać ją w nauczaniu cudzoziem ców przy w p row adzaniu tych polskich term inów m atem atycznych, k tó re są term inam i pierw otnym i danej teorii lub też znan y jest ich sens w pierw szym języku słuchaczy takich kursów , a nie znany jest tylko sam term in. Nic chodzi tu jed n ak o b u dow anie definicji tych term inów , a tylko o w yw ołanie popraw n eg o skojarzenia z term inam i m atem atycznym i w pierw -szym języku.
Z ałóżm y za K o ta rb iń s k ą 11, że o g ó ln a za sad a definicji deiktycznej polega na w ielokrotnym w ypow iadaniu zdania typu To jest N albo inaczej X jest N (A" zastępuje nazw ę to, a więc jest zm ienną nazw ow ą; schem at X jest N zm ienia się w zdanie w sensie logicznym przy odpow iednim geście w skazującym ) lub jego negacji. W obec tego po takim zabiegu „definicyjnym " m am y do dyspozycji dw a układy zdań: X, jest N (1) X 2 jest N X„ jest N X n + J nie jest N (2) X n+2 nie jest N nie jest N,
gdzie X t ( / = 1 , 2,...,n + m ) są nazw am i indyw iduow ym i. W yrażenie jest należałoby rozum ieć ja k o C 12, poniew aż X t jest nazw ą indyw iduow ą o de- sygnatach k o n k retn y ch , a N nazw ą ogólną o desygnatach abstrakcyjnych, czyli pewnej klasie tych desygnatów k o nkretnych. R ola odbiorcy takiej „definicji” polega na w y ab strah o w an iu z przedm iotów A',, X 2,...,Xn pewnej cechy w spólnej tym przedm iotom , w czym p o m ag ają przykłady negatyw ne typu (2). Jeżeli a b stra k cja odbyw a się zgodnie z życzeniem nadaw cy definicji, to ta
10 M. P r z e t ę c k i , O definiowaniu terminów spostrzeżeniowych, [w:] Rozprawy logiczne..., s. 155-182.
11 J. K o t a r b i ń s k a , Tak zwana definicja deiktyczna, [w:] Logiczna teoria nauki, red. T. Pawłowski, W arszawa 1966, s. 57-98.
w y ab strah o w an a cecha określa zbiór N. P ro ced u ra ta k a nie zawsze zadow ala logików i budzi w śród nich wiele w ątpliw ości, bo taki sp osób w p row adzania pojęć nie spełnia w ym ogów definicji, a co najwyżej spełnia wymogi definicji cząstkow ych. Stosuje się ją od daw na i z pow odzeniem na początkow ych lekcjach języków obcych do przek ład an ia term inów na znany ju ż język bez używ ania sło w n ik ó w 13 i wydaje się, co potw ierdza p ra k ty k a , że m ożna by stosow ać ją też przy w prow adzaniu niezbyt skom plikow anych pojęć m atem a-tycznych, czyli przy uczeniu języka m atem aty k i. Oczywiście, nie m ożna tego robić w oderw aniu od samej m atem atyki, czyli tw ierdzeń, k tó re na nią się składają. Jed n ak że d o b ó r przykładów (m odeli) X t , X 2,-.-,X„... X n + m nie m oże być przypadkow y, chociażby zd ania (1) i (2) były zdaniam i praw dziw ym i. D o b ó r ten musi być taki, aby o d b io rca naszej „definicji” w ybrał tę cechę m odeli, o k tó rą nam chodzi (skuteczność definicji) i aby zrobił to przy m ożliwie najm niejszej liczbie m i n, czyli najszybciej (ekonom iczność defini-cji)14
Pokażę i przedyskutuję zastosow anie m etody deiktycznej d o w prow adzenia pojęcia rów noległoboku. Pojęcie to jest b ard zo proste, ale sądzę, że typow e dla sto so w an ia takiej właśnie m etody.
Zacznijm y od praw dziw ych podstaw ień funkcji zdaniow ych typu (1), czyli przykładów pozytyw nych. F unkcje te zm ieniają się w zd ania, k tóre będą w aru n k am i w ystarczającym i tej operacji. W skazyw ane przykłady m odeli pow inny być ró ż n o ro d n e w tym sensie, że zm ieniać należy cechy m odeli, które są nieistotne dla naszego celu. W p rzy p ad k u rów noległoboku najkorzystniej byłoby po k azać figury:
A-] A 2 A 3
m ów iąc jednocześnie:
13 Jako przykłady mogą służyć interesujące podręczniki do nauki języka francuskiego dla cudzoziemców, np. A. R e b u 11 e t, J. L. M a 1 a n d a i n, J. V e r d o 1, Métode orange, Paris 1978; czy też G. M a u g e r , M. B r é z i e r e , Le franęais et la vie, Paris 1971 i inne.
14 Por. K o t a r b i ń s k a, op. cit., s. 83-84; ja k również T. K o t a r b i ń s k i , Traktat o dobrej robocie, Łódź 1957.
(3) To jest równoległo bok,
a rozum iejąc: Figura A i jest równoległobokiem, gdzie i = 1, 2, 3 15. W p rzykładach tych zm ieniają się długości boków , stosunki m iędzy tymi długościam i o ra z kąty. Nic zm ieniają się takie w łasności, jak: płaskość figury, zam kniętość łam anej określającej tę figurę, w ypukłość, czw orokątność, ró w n o -ległość boków przeciwległych względem siebie. R ozum ow anie przebiega w ed-ług reguł indukcji elim inacyjnej M illa i k a n o n u jedynej zgodności w raz ze w szystkim i jego logicznym i m a n k a m e n ta m i16. P okazyw anie k w a d ra tu nie jest u zasad n io n e (chociaż dopuszczalne), poniew aż nie otrzym ujem y żadnej nowej zm iany, k tó ra nic byłaby zaw arta w p rzykładach poprzednich. K w a d rat to w pew nym sensie iloczyn A 2 i A 3, a dokładniej iloczyn zbioru wszystkich rom bów i wszystkich p ro sto k ątó w .
N a podstaw ie układu zdań (3) n ietru d n o , ja k sądzę, dom yślić się, że chodzi „co najm niej” o rów noległobok, ale rów nie d o b rze m oże to być dow olny cz w o ro k ąt, figura płaska, w ielokąt w ypukły itp. O gólnie m ów iąc, naw et najlepiej d o b ra n y zespół przykładów pozytyw nych typu (1) określa rów nie d o b rze pojęcie zam ierzone przez nadaw cę takiej definicji, ja k i każde pojęcie n ad rzęd n e zakresow o d o poprzedniego. W obec tego należy w skazać przykłady negatyw ne, czyli przykłady takich m odeli, k tó re byłyby praw dziw ym p o d -staw ieniem p o stu lató w typu (2). Nie trzeba uzasadniać, że d o b ieran ie przy-kładów negatyw nych w sp osób dow olny, byleby tylko spełniały p o stu laty typu (2), elim inuje w praw dzie pew ną klasę niechcianych przez nas p redykatów , ale elim inacja ta k a m ogłaby rozciągać się w nieskończoność z dość m izernym rezultatem . D o b ó r ten m usi być, jak ju ż w spom niałam , ekonom iczny. E k o n o -m iczne jest dobieran ie w zorcow ych przykładów negatyw nych spośród -m odeli klas w yznaczonych przez przykłady pozytyw ne, a więc sp o śró d predykatów n adrzędnych zakresow o w sto su n k u d o definiow anego. P red y k aty te pow inny być ja k najbardziej zbliżone do p re d y k atu definiow anego. D la term inu równoległobok p ro p o n u ję ja k o w zorcow e m odele negatyw ne w skazanie figur:
Bi B 2
z jednoczesnym w ypow iedzeniem zdań: B x nie jest równoległobokiem i B 7 nie jest równoległobokiem. Jedy ną różnicą m iędzy ró w noległobokiem i
trape-15 Istnieją pewne nawyki szkolne rysowania figur geometrycznych: gdy rysujemy równole- globok, nie dodając o nim żadnych dodatkowych informacji, dbam y o to aby ani boki, ani kąty narysowanego równoległoboku nie były równe i słuchacz może się domyślić znaczenia słowa równoległobok już po pierwszym przykładzie. Zwróćmy jednak uwagę na elem entarność pojęcia.
zem ß , jest nierów noległość drugiej pary przeciwległych boków , a między rów noległobokiem i sześciokątem forem nym B 2 inna liczba boków . I tu przychodzi na myśl indukcja elim inacyjna M illa i k an o n jedynej ró ż n ic y 17.
W ten sp osób elim inuje się poprzez je d n ą operację wicie p redykatów jednocześnie - w szystkie n adrzędne zakresow o w sto su n k u d o pojęcia trapez (podrzędne do pojęcia nie-trapez) i wszystkie nadrzędne w sto su n k u do pojęcia sześciokąt foremny (podrzędn e w sto su n k u d o pojęcia nie-(sześciokąt foremny). W ydaje się, że są to b ard zo ekonom iczne w arunki konieczne, ale nie są one dostateczn e (odw rotnie niż przy p rzykładach pozytyw nych), naw et gdy w aru n k ó w takich w skażem y dow olnie dużo.
K oniu n k cja przedstaw ionych wyżej w arunków koniecznych i w arunków dostatecznych tw orzy definicję deiktyczną term inu równolcglobok.
N ie m ożna podać, w tym w ypadku też nie m am do tego pretensji, sztyw nych reguł na definiow anie deiktyczne poszczególnych term inów . W ybie-ranie m odeli wzorcow ych - ich jak o ść i ich ilość zależy od tego, do kogo k ierow ana jest tak a definicja, w jak im stopniu o d b io rca definicji zna o d -pow iednie pojęcie w swoim pierw szym języku, w ja k im sto p n iu zna m odele tego pojęcia i ja k a jest jego zdolność a b stra h o w an ia. Inaczej m ów iąc, deiktyczne w prow adzanie pojęć w ym aga aktyw ności nie tylko ze strony nadaw cy, ale rów nież odbiorcy.
Logicy zgodnie uw ażają, że ta k a m eto d a m oże prow adzić d o definicji ad ekw atnych jedynie w przy p ad k u , gdy o d b io rca takiej definicji deiktycznej dysponuje jak im iś dodatkow ym i w iadom ościam i dotyczącym i obiektów defi-n io w a defi-n y c h 18. W iadom ości te m ogą być p o d adefi-n e w sposób jaw defi-n y lub też przyjm ow ane przez definiującego w sp osób dom yślny. M o żna zakładać, że nasi studenci znają w m niejszym lub większym sto p n iu definiow ane przez nas pojęcia alb o co najm niej m odele tych pojęć. T ego w olno nam się dom yślać ja k o definiującym .
D efiniow anie deiktyczne sprow adza się d o p o d an ia pew nego układu p o stu lató w (w naszym przyp ad k u był to układ p o stu lató w typu (1) i (2)), który musi być spełniony przez o b iek t definiow any. Przy pom ocy postulatów definiuje się pojęcia m atem atyczne w teoriach sform alizow anych. W p row adze-nie pojęć przez p o stu laty stosuje się też w nauczaniu języków obcych. Ale tak ja k w pierw szym przyp ad k u p ostulaty te m ają z góry narzucone d o spełnienia pew ne w arunki form alne, ta k w drugim takich w a ru n k ó w tru d n o się doszukać. M oże jedynie w arunek niesprzeczności jest uznaw any w obu przypadkach. W obec tego takie kontekstow e p rzekładanie pojęć z jednego języka na drugi najczęściej w ym yka się logicznej analizie, choć nie m a w ątpliw ości, że jest stosow ane z całkiem d obrym i rezultatam i.
17 Tamże, s. 155-165.
P opraw ności rozum ienia pojęć w prow adzonych m eto d ą deiktyczną nie sp o só b spraw dzić bezpośrednio. M ożem y to zrobić tylko m eto d ą bezpośrednią poprzez spraw dzenie popraw ności używ ania tych pojęć w określonych k o n te k -stach i um iejętności odpow iedzi na d o sto so w an e d o prezentow anego przez słuchacza poziom u językow ego pytania typu z a m k n ię te g o 14. W o b u w ypad-kach rezultat spraw dzenia będzie m iał tylko c h a ra k te r h ip o tezy 20, czyli takiego zd an ia, k tórego praw dziw ość spraw dza się poprzez spraw dzanie praw dziw ości zdań, k tó re zeń w ynikają. D o b ó r takich p ytań pow inien także czynić zadość zasadom skuteczności i ekonom iczności. N ieekonom iczne byłoby pytanie s tu d e n ta Czy to jest równoległobok? z jednoczesnym w skazaniem np. na kw iat stojący w oknie sali w ykładow ej.
W zory ćwiczeń, k tóre spraw dzają um iejętność używ ania pojęć w k o n tek s-tach słow nych, bez w ym agania przy tym definiow ania sam ego pojęcia, m ożna znaleźć w wielu podręcznikach d o n auki języków obcych, a szczególnie jeśli są to podręczniki pisane dla cudzoziem ców , a więc z konieczności jednojęzycz-ne21. W naszych podręcznikach, któ ry m i posługujem y się zaczynając pracę z cudzoziem cam i, tylko kilka takich ćwiczeń znajduje się w książce W. K w apińskiego i J. W esołow skiego22. O wiele częściej p ro p o n u je się sp ra w -dzanie rozum ienia pojęć przy pom ocy pytań . N ajprostszym i pytaniam i przy d a-tnym i d o naszych celów są pytania rozstrzygnięcia23, czyli p y tan ia ty p u Czy />? (p - zm ienna zdaniow a), na które odpow iadam y w edług schem atu p albo ~/>, czy też k ró tk o Tak alb o Nie. Ja k o p rzykład m ogą posłużyć py tan ia Czy każdy24 równoległobok jest prostokątem?, Czy zbiór N jest zbiorem skoń-czonym?, Czy to jest równoległobok? ze w skazaniem na odpow iedni m odel figury geom etrycznej, np. trapezu. P ytania tego typu są popraw n ie postaw ione (poza pytaniam i o błędnym założeniu, ale takie też czasam i stosujem y w prak ty ce pedagogicznej, np.: Czy pochodna funkcji >’ = * w punkcie x — 0 jest dodatnia?) z p u n k tu widzenia logiki, ale niew skazane byłoby ograniczenie się tylko d o p ytań rozstrzygnięcia, poniew aż o d p o w iad ający nie m iałby m ożliw ości do w ykazania się praw ie żadnym sam odzielnym form u ło w
a-10 Pytania dzieli na otw arte i zam knięte T. P a w ł o w s k i , Pojęcia i melody współczesnej hum anistyki, W rocław 1977, s. 155.
20 Zgodnie z rozumieniem hipotezy przez A j d u k i e w i c z a , op. cii., s. 131-133. 21 Ciekawe ćwiczenia sprawdzające można znaleźć w podręczniku języka francuskiego dla cudzoziemców: M. V e r d e l h a n - B o u r d a g e i inni. Sans frontiere, Paris 1983, również K r a k o w i a n , op. cit., s. 162-184, podaje wzory ćwiczeń sprawdzających rozumienie języka, przede wszystkim, mówionego.
22 W. K w a p i r i s k i i J . W e s o ł o w s k i , M atem atyka, cz. I, Łódź 1983, s. 50, 84, 93, 97. 23 Dokładniej o pytaniach rozstrzygnięcia i dopełnienia pisze A j d u k i e w i с z, op. cii., s. 88; jak również T. K u b i ń s к i, Przegląd niektórych zagadnień logiki pytań, „Studia Logika” 1966, nr
18. s. 109-113.
24 G dy słuchacze nie znają jeszcze słowa kwantyfikującego każdy m ożna je opuścić licząc na to, że zapytany domyśli się tu kw antyfikatora,
niem odpow iedzi w języku polskim . O dpow iedź jest ju ż z a w a rta w p ytaniu i cały wysiłek językow y odpow iadającego polega na, ew entualnej, negacji zd ania, a to m ożna zrobić bard zo p ro sto w staw iając przed zdaniem wyrażenie nieprawda, że... alb o jeszcze prościej - o d p o w iad ając Nie.
Ciekaw sze dla nauczania języka są py tan ia dopełnienia i odpow iedzi na tak ie pytania. Są to pytan ia, k tó re m ają rów nież z góry określony schem at odpow iedzi, ale nie tak prosty jak py tan ia rozstrzygnięcia. P ytania te zaczynają się zw ykle od partykuły p ytąjnej25 Który...?, Kto...?, Co...?, Ile...?, itp. G dy na przykład pytam y Ile przekątnych ma równoleglobok? to odpow iedź mieści się w schem acie: Równoległobok ma к przekątnych.
P y ta n ia rozstrzygnięcia i py tan ia dopełnienia m ożna znaleźć w sto so w a-nych przez nas podręcznikach m atem atycza-nych. Z n ajd u ją się tam rów nież p y tan ia innego ro d zaju , k tóre (n a jp raw d o p o d o b n iej) w ym agają od studenta odpow iedzi będącej opisow ą definicją w prow adzonych predykatów . Nie sądzę, aby stu d en t w pierw szych tygodniach nauki polskiego p o trafił w tym języku i z w ym aganą w m atem atyce precyzją odpow iedzieć na pytanie: Co to jest obwód kola?. W ystarczy, jeśli zrozum ie on polecenie: Proszę obliczyć obwód kola o promieniu r. N ie podlega dyskusji w adliw ość logiczna takich p y tań jak: Jakie ściany ma sześcian?, Jakie są nawiasy? czy Jaką liczbą jest 234?2 f’, z odpow iedziam i na nie m iałaby kłopoty także a u to rk a niniejszej pracy. P om ijając w idoczną w ieloznaczność cytow anych pytań , sądzę, że staw iając je n a początkow ych zajęciach z m atem atyki niczego się nie osiąga, a tylko uczy słuchaczy pew nych w adliw ych schem atów . Nie jestem też pew na, czy um iejęt-ność nazyw ania naw iasów jest niezbędna przyszłem u studentow i polskich uczelni.
M etoda deiktyczna, albo ogólniej kontek sto w a, nie jest jed y n ą m etodą niededukcyjną, k tó rą m ożem y stosow ać nauczając cudzoziem ców m atem atyki i jej języka. M eto d ą, o której w arto powiedzieć choćby kilkanaście zdań jest a n a lo g ia 27, m ająca w m atem atyce szczególne zastosow anie.
W teoriach m atem atycznych spotykam y wiele zbiorów lub naw et całych system ów podobnych stru k tu raln ie, czyli inaczej - ten sam system (język, algebra) zaksom atyzow any m oże mieć różne in terp re tacje28 (m odele). N
ie-25 Tak w tradycji logicznej nazywają się wyrażenia: czy, kto, co, gdzie itp. zaw arte w pytaniu. Por. Mala encyklopedia logiki. Warszawa 1970, hasło Pytanie i Partykuła pytajna.
26 Wszystkie pytania wybrałam z książki J. J e r z e w s k i e g o . Wstęp do m atem atyki. Łódź 1983, s. 17, 32, 35. Nie chcę przez to negować wielu walorów dydaktycznych tej książki.
27 Analogię rozumiem tak, jak I. D ą m b s k a , Kilka uwag o rozumowaniach na podstawie analogii, [w:] Rozprawy logiczne..., s. 31. Inne pojm owanie wnioskowania przez analogię można znaleźć np. w Malej encyklopedii logiki, s. 347.
28 Interpretacją teorii, albo inaczej modelem semantycznym teorii nazywa się układ przed-miotów (indywiduów, predykatów), które przyporządkow ane są wyrażeniom danej teorii i speł-niają aksjom aty tej teorii. Inaczej mówiąc, jest to układ przedmiotów prawdziwie opisywanych przez tę teorię.
śm iertelnym , ale i d o skonałym przykładem niech będzie algebra B oole’a ja k o pew na stru k tu ra logiczna będąca zbiorem niepustym o w yróżnionych elem en-tach 0 i 1 i określonych aksjom atycznic operacjach + , —, \ A lgebra ta ma wiele różnych interpretacji ja k klasyczny rachunek zdań (w yróżnione są w artości logiczne praw dy i fałszu, a operacje to altern aty w a, koniunkcja i negacja), rach u n ek zbiorów bez relacji e (w yróżniony zb ió r pusty i uniw ersal-ny, a operacje to sum a logiczna, iloczyn i dopełnienie zbioru), teoria sieci elektrycznych. Te w szystkie interpretacje są względem siebie izom orficzne, czyli jedno-jed n o zn aczn e. Jeżeli tak, to relacje w p row adzone w jednym zbiorze m ożna „przenieść” d o drugiego bez żadnych d o d atk o w y ch inform acji a tylko nazyw ając je inaczej. I tak to, co w rach u n k u zdań nazyw a się koniunkcją, w ra ch u n k u zbiorów - iloczynem. Relacje te w jednej i w drugiej interpretacji algebry B oole’a m ają d o k ład n ie te sam e własności. W obec tego to w szystko, co m ówi się o koniunkcji zdań m ożna powiedzieć o iloczynie zbiorów . Przy zachodzącym izom orfizm ie w nioskow anie jest tu niezaw odne, czyli zawsze z praw dziw ości racji w ynika praw dziw ość następstw a. W naszej praktyce pedagogicznej zaliczyłabym jed n ak ten rodzaj w p row adzania pojęć m atem aty -cznych do niededukcyjnych. Po to, aby niezaw odnie „p rzen o sić” relacje i ich własności z jednej interpretacji d o drugiej, m usim y znać stru k tu rę rozw ażanych interpretacji i zdaw ać sobie spraw ę z ich izom orficznego podobieństw a. N a poziom ie przygotow ania cudzoziem ców d o wyższych studiów w Polsce, i to najczęściej studiów politechnicznych, nie pokazuje się (ani to jest możliwe) d o k ład n y ch s tru k tu r d anych teorii, a tym bardziej, nie dow odzi się w ym agane-go izom orfizm u.
O bie opisane przeze m nie m etody w p row adzania pojęć m atem atycznych m ogą być i są z pow odzeniem stosow ane na zajęciach dla cudzoziem ców , a tylko, być m oże, nauczający nie zawsze zdają sobie spraw ę z teoretycznego ro d o w o d u tych m etod. T erm iny m atem atyczne są specjalnie p o d a tn e na tego rodzaju zabiegi, chociażby dlatego, że nie żąd a się od nich jednoznaczności sem antycznej, a tylko syntaktycznej. A nalogię m ożem y stosow ać w m atem aty -ce ze względu na izom orfizm różnych interpretacji danej stru k tu ry . T akich teorii izom orficznych poza m atem aty k ą i logiką form aln ą nie ma.
Ł atw o zauw ażyć, że m etoda deiktyczna jest m eto d ą dość elem entarną. W prow adzanie pojęć per analogiam w ym aga od słuchacza większego zaaw an -sow ania tak w m atem atyce, ja k w logice form alnej.
Przedstaw ione propozycje m ożna nazw ać za V. V. Q u in e m 29 „z p u n k tu w idzenia logiki” , a więc starałam się zastosow ać pew ne osiągnięcia logiki (szeroko rozum ianej) w m etodyce nauczania cudzoziem ców języka m atem aty -ki. N ie są to ani jedyne m etody, ani jedyny p u n k t w idzenia. O statn io dużo m ów i się o m etodzie słow otw órczej i m ój przykład z rów noległobokiem
d o sk o n ale n adaje się do stosow ania takiej m etody. W każdym razie żadnej z tych m etod nie m ożna stosow ać m echanicznie (jeśli w ogóle tak ie m etody w dyd ak ty ce istnieją), a w ybór jednej z nich lub stosow anie kilku jednocześnie, naw et do jednego pojęcia, zależy od wielu p o zaform alnych czy n n ik ó w 30. M am nadzieję, że poczynione tu uwagi m ogą mieć zastosow anie nie tylko do m atem aty k i i jej języka, ale i innych przedm iotów z grupy m atem atycz- no-fizycznych.
K oncepcję tu p rzed staw io n ą ch a rak tery zu ją w najogólniejszym w ym iarze dw a założenia: 1) należy o d stąp ić od skom plikow anych definicji słownych term in ó w m atem atycznych w czasie, gdy m ożliwości językow e słuchaczy na to nie pozw alają, 2) więcej czasu poświęcić na uzupełnienie w iadom ości z logiki form alnej, k tó ra m oże być pom ostem do p o rozum ienia się m iędzy w ykładow cą i stu d en tem o raz pom agać w ćw iczeniach językow ych. Z m uszanie stu d en ta do b u d o w an ia skom plikow anych językow o definicji słow nych po kilku czy naw et k ilk u n astu tygodniach nauki języka nie jest niczym uzasadnione, a u p rasz-czanie, jeśli odbyw a się kosztem treści, absolutnie niedopuszczalne. Z drugiej stro n y , m atem aty k nie m oże zajm ow ać się na zajęciach tylko tym , co zdoła d o k ład n ie opisać po polsku, bo dla wielu naszych słuchaczy pob y t w Studium jest szansą na uzupełnienie, często bard zo niepełnej, wiedzy m atem atycznej. N ie znaczy to absolutnie, że definicje ostensyw ne m ogą być definicjam i ostatecznym i (z w yjątkiem pojęć pierw otnych teorii, gdzie na poziom ie naszego nauczania definicje takie zastępują układ ak sjo m ató w ) i nic m usim y w p ro w a-dzać p o praw nych definicji, gdy tylko jest to możliwe. N ie sądzę je d n a k , aby na uczelniach o profilu zaw odow ym w ym agano bezbłędnego w y pow iadania po polsku skom plikow anych definicji m atem atycznych, jeśli stu d en t ta k ą definicję rozum ie, tzn. potrafi pojęcie popraw nie stosow ać, i nie m a k ło p o tó w z jej form alnym zapisem .
30 T ak np. K w a p i ń s к i, op. cii., s. 112 podaje definicję funkcji zdaniowej jak o wyrażenia zawierającego zmienne. Rozumiem problemy językowe występujące w tym okresie nauczania, tzn. nie pozwalające na precyzyjną i popraw ną definicję, ale może lepiej byłoby podać przykłady: (1) x jest liczbą naturalną, (2) p.Aq=*r vs, (3) p vq=>, z komentarzem : wyrażenia (1) i (2) są funkcjami zdaniowymi, wyrażenie (3) nie jest funkcją zdaniową oraz pokazać podstawienia w miejsce zmiennych x, p, r, s, q odpowiednich stałych.
