Kwantowe splątanie dwóch atomów (pdf)

2005

Światowy Rok

FIZYKI

Kwantowe splątanie dwóch

atomów

Ryszard Tanaś

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Zakład Optyki Nieliniowej

Plan wykładu

1 Ewolucja dwóch atomów 5

1.1 Emisja spontaniczna . . . 5

1.2 Równanie „master” . . . 20

1.3 Stany kolektywne . . . 22

1.4 Ewolucja stanów kolektywnych . . . 31

1.5 Rozwiązania analityczne . . . 32

2 Jak mierzyć stopień splątania? 33 2.1 „Concurrence” (zgodność, współbieżność) . . . 33

2.2 „Negativity” (ujemność) . . . 34

3 Kwantowe splątanie dwóch atomów 35 3.1 „Concurrence” . . . 35

3.3 Dwa atomy przygotowane w stanie symetrycznym . 36

3.4 Dwa atomy przygotowane w stanie antysymetrycznym 38

3.5 Jeden atom wzbudzony . . . 39

3.6 Dwa atomy wzbudzone . . . 45

4 Podsumowanie 50

5 Nasze prace 51

1 Ewolucja dwóch atomów

1.1 Emisja spontaniczna

|e1i

|g1i

ω0

Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce

1 Ewolucja dwóch atomów

1.1 Emisja spontaniczna

|e1i

|g1i

ω0

Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce

kwantowej.

Obecnie, w informatyce kwantowej, każdy układ dwustanowy to

kubit (ang. qubit)!

|e₁i

|g₁i

|e₁i

|g₁i

Jeśli jednak oświetlimy go światłem o częstości bliskiej częstości przejścia atomowego, to atom, absorbując foton, przechodzi do . . .

|e₁i

|g₁i

. . . stanu wzbudzonego.

Z tego stanu atom spontanicznie, a właściwie w wyniku oddziaływania z próżnią fotonową, przechodzi do . . .

|e₁i

|g₁i

. . . stanu podstawowego emitując foton.

|e₁i

|g₁i

. . . stanu podstawowego emitując foton.

Takie przejście to emisja spontaniczna. Szybkość z jaką atom traci energię charakteryzuje dane przejście atomowe; jest to współczynnik Einsteina A, tutaj zwany Γ.

|e₁i

|g₁i

Wypromieniowany w wyniku emisji spontanicznej foton o energii ¯

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Ale foton może być wyemitowany przez atom w dowolnym

kierunku, a więc jest pewna szansa, że dotrze także do atomu pierwszego . . .

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

. . . i wzbudzi atom pierwszy.

W ten sposób powstaje pomiędzy atomami oddziaływanie. Atomy przestają być niezależne i zaczynają zachowywać się kolektywnie. Tak poglądowo, i nie całkiem poprawnie (chodzi raczej o fotony

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r₁₂ = const < λ).

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r₁₂ = const < λ).

Badamy kolektywną emisję spontaniczną, dla różnych warunków początkowych, np. jeden atom wzbudzony, jak tutaj . . .

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

. . . lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj.

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i r₁₂

. . . lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj.

Interesuje nas kwantowe splątanie dwóch atomów.

Dwa atomy to przecież dwukubitowy rejestr, a splątanie kwantowe

1.2 Równanie „master”

Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie: ∂ ˆρ ∂t = − i 2 X i=1 ω_i [S_iz, ˆρ] − i 2 X i6=j Ω_ij h S_i+S_j−, ˆρ i −1 2 2 X i,j=1 Γ_ij ρSˆ _i+S_j− + S_i+S_j−ρ − 2Sˆ _j−ρSˆ _i+

1.2 Równanie „master”

Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie: ∂ ˆρ ∂t = − i 2 X i=1 ω_i [S_iz, ˆρ] − i 2 X i6=j Ω_ij h S_i+S_j−, ˆρ i −1 2 2 X i,j=1 Γ_ij ρSˆ _i+S_j− + S_i+S_j−ρ − 2Sˆ _j−ρSˆ _i+ Parametry kolektywne: Ω₁₂(r₁₂) = Ω₂₁(r₁₂) oddziaływanie dipol-dipol Γ₁₂(r₁₂) = Γ₂₁(r₁₂) tłumienie kolektywne

-0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Γ

/Γ

Ω

/Γ

r

/λ

Zależność parametrów kolektywnych Γ12 i Ω12 od odległości r12

1.3 Stany kolektywne |e1i |g1i ω0 |e2i |g2i ω0

Niezależne atomy — baza obliczeniowa:

|e1i |g1i ω0 |e2i |g2i ω0 Ω12

Włączenie oddziaływania dipol-dipol do hamiltonianu i jego rediagonalizacja prowadzi do nowych stanów — stanów

|ei |gi ω0 ω0 |si |ai Ω12 Ω12 |e1i |g1i |e2i |g2i Stany kolektywne: {|gi = |g₁i ⊗ |g₂i, |ei = |e₁i ⊗ |e₂i, |si = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i
, |ai = √1 2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i
}

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym |si = √1

2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i

,

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym |si = √1

2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i

,

to mamy dwa atomy w stanie maksymalnie splątanym!

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego |si maleje w tempie Γ + Γ₁₂ (szybko).

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego |si maleje w tempie Γ + Γ₁₂ (szybko).

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego |si maleje w tempie Γ + Γ₁₂ (szybko).

W jakim tempie maleje stopień splątania?

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym |ai = √1

2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i
są maksymalnie splątane!

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym |ai = √1

2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i
są maksymalnie splątane!

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu

antysymetrycznego |ai maleje w tempie Γ − Γ₁₂ (wolno — „decoherence free”).

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12

Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu

antysymetrycznego |ai maleje w tempie Γ − Γ₁₂ (wolno — „decoherence free”).

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

Jeśli obydwa atomy są wzbudzone, to układ znajduje się w stanie |ei = |e₁i ⊗ |e₂i, który jest stanem iloczynowym i nie ma

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ12} Γ_{− Γ12}

Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych |si i |ai.

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ12} Γ_{− Γ12}

Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych |si i |ai.

1.4 Ewolucja stanów kolektywnych ˙ ρ_ee = − 2Γρ_ee ˙ ρ_eg = − (Γ + 2iω₀) ρ_eg ˙ ρss = − (Γ + Γ12) (ρss − ρee) ˙ ρaa = − (Γ − Γ12) (ρaa − ρee) ˙ ρ_as = − (Γ + i2Ω₁₂) ρ_as

W przypadku dwóch identycznych atomów w próżni ewolucja w

bazie stanów kolektywnych opisywana jest bardzo prostym układem równań, który łatwo rozwiązać.

1.5 Rozwiązania analityczne ρ_ss(t) = ρ_ss(0) e−(Γ+Γ12)t _{+ ρ} ee(0) Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂  e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt  ρ_aa(t) = ρ_aa(0) e−(Γ−Γ12)t _{+ ρ} ee(0) Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂  e−(Γ−Γ12)t _{− e}−2Γt  ρ_as(t) = ρ_as(0) e−(Γ+i2Ω12)t ρ_ee(t) = ρ_ee(0) e−2Γt ρ_eg(t) = ρ_eg(0) e−(Γ+2iω0)t ρ_gg(t) = 1 − ρ_ee(t) − ρ_ss(t) − ρ_aa(t)

2 Jak mierzyć stopień splątania?

2.1 „Concurrence” (zgodność, współbieżność)

2 Jak mierzyć stopień splątania?

2.1 „Concurrence” (zgodność, współbieżność)

W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄ {λ_i} — wartości własne macierzy R

2 Jak mierzyć stopień splątania?

2.1 „Concurrence” (zgodność, współbieżność)

W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄ {λ_i} — wartości własne macierzy R

R = ρ σ_y ⊗ σ_y ρ∗ σ_y ⊗ σ_y

0 ≤ C ≤ 1 C = 0 nie ma splątania

2.2 „Negativity” (ujemność)

A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

2.2 „Negativity” (ujemność)

A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

N = max  0, −2 X i ν_i  

{ν_i} — ujemne wartości własne częściowo transponowanej macierzy gęstości ρT1

2.2 „Negativity” (ujemność)

A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

N = max  0, −2 X i ν_i  

{ν_i} — ujemne wartości własne częściowo transponowanej macierzy gęstości ρT1

0 ≤ N ≤ 1 N = 0 nie ma splątania

3 Kwantowe splątanie dwóch atomów 3.1 „Concurrence” C(t) = max 0, C(t) C(t) = q ρ_ss(t) − ρ_aa(t)2 + 2=ρ_sa(t)2 − 2 q ρ_ee(t)ρ_gg(t)

3 Kwantowe splątanie dwóch atomów 3.1 „Concurrence” C(t) = max 0, C(t) C(t) = q ρ_ss(t) − ρ_aa(t)2 + 2=ρ_sa(t)2 − 2 q ρ_ee(t)ρ_gg(t) 3.2 „Negativity” N (t) = max 0, N(t) N(t) = q ρss(t) − ρaa(t) 2 + 2=ρ_sa(t)2 + ρ_gg(t) − ρ_ee(t)2 − ρ_gg(t) + ρ_ee(t)

3.3 Dwa atomy przygotowane w stanie symetrycznym |ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂

3.3 Dwa atomy przygotowane w stanie symetrycznym |ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ C(t) = ρ_ss(t) = e−(Γ+Γ12)t N (t) = q 1 − 2ρss(t) 1 − ρss(t) − 1 − ρss(t) 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S

to

p

ie

ń

sp

lą

ta

n

ia

Γt

Ewolucja C(t) oraz N (t) dla układu dwóch atomów przygotowanych w

3.4 Dwa atomy przygotowane w stanie antysymetrycznym |ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12

3.4 Dwa atomy przygotowane w stanie antysymetrycznym |ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ − Γ12 C(t) = ρ_aa(t) = e−(Γ−Γ12)t N (t) = q 1 − 2ρaa(t) 1 − ρaa(t) − 1 − ρaa(t) 

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20

S

to

p

ie

ń

sp

lą

ta

n

ia

Γt

Ewolucja C(t) oraz N (t) dla układu dwóch atomów przygotowanych w

3.5 Jeden atom wzbudzony

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Stan początkowy: |Ψ(0)i = |e₁i|g₂i

3.5 Jeden atom wzbudzony

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Stan początkowy: |Ψ(0)i = |e₁i|g₂i

Stan iloczynowy.

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

W bazie stanów kolektywnych: |Ψ(0)i = √1

2 |si + |ai

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

W bazie stanów kolektywnych: |Ψ(0)i = √1

2 |si + |ai
Niezerowe elementy: ρss(0) = ρaa(0) = 1₂ obsadzenia ρ_as(0) = ρ_sa(0) = 1 2 koherencje

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ12}

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ12}

„Concurrence” ma wtedy postać: C(t) = 1 2 q e−(Γ+Γ₁₂)t _{− e}−(Γ−Γ₁₂)t2 _{+ 2e}−Γt _sin(2Ω 12t) 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S

to

p

ie

ń

sp

lą

ta

n

ia

Γt

Ewolucja C(t); jeden atom wzbudzony (|Ψ(0)i = |e1i|g2i)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S

to

p

ie

ń

sp

lą

ta

n

ia

Γt

„Concurrence” C(t) i „negativity” N (t) dla tych samych parametrów (Γ12 = 0.95 Γ, 2Ω12 = 9.30 Γ)

3.6 Dwa atomy wzbudzone

|e₁i

|g₁i

|e₂i

|g₂i

Stan początkowy: |Ψ(0)i = |e₁i|e₂i

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i

|ei |gi |si |ai |e₁i |g₁i |e₂i |g₂i Γ + Γ₁₂ Γ + Γ₁₂ Γ_{− Γ12} Γ_{− Γ12}

„Concurrence” ma wtedy postać: C(t) = max 0, C(t) C(t) =     Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂  e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt  − Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂  e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt      − 2e−Γt√ρgg

„Concurrence” ma wtedy postać: C(t) = max 0, C(t) C(t) =     Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂  e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt  − Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂  e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt      − 2e−Γt√ρgg ρ_gg(t) = 1−  Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂  e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt  + Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂  e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt  + e−2Γt 

„Concurrence” ma wtedy postać: C(t) = max 0, C(t) C(t) =     Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂  e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt  − Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂  e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt      − 2e−Γt√ρgg ρ_gg(t) = 1−  Γ + Γ12 Γ − Γ₁₂  e−(Γ+Γ12)t _{− e}−2Γt  + Γ − Γ12 Γ + Γ₁₂  e−(Γ−Γ12)t − e−2Γt  + e−2Γt 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 5 10 15 20

S

to

p

ie

ń

sp

lą

ta

n

ia

Γt

„Concurrence” C(t) „negativity” N (t); dwa atomy wzbudzone ρee(0) = 1 przy r12 = λ/12 (Γ12 = 0.95 Γ)

4 Podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂) • Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez „concurrence” C(t) lub

„negativity” N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi • C(t) 6= N (t)

4 Podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂) • Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez „concurrence” C(t) lub

„negativity” N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi • C(t) 6= N (t)

4 Podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂)

• Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez „concurrence” C(t) lub

„negativity” N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi • C(t) 6= N (t)

4 Podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂)

• Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez „concurrence” C(t) lub

„negativity” N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi • C(t) 6= N (t)

4 Podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂) • Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez „concurrence” C(t) lub

„negativity” N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi

• C(t) 6= N (t)

4 Podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂) • Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez „concurrence” C(t) lub

„negativity” N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi

• C(t) 6= N (t)

4 Podsumowanie

• Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego

atomów

• Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ₁₂, Ω₁₂) • Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie

splątanymi — czyli stanami Bella

• Stopień splątania mierzony przez „concurrence” C(t) lub

„negativity” N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi • C(t) 6= N (t)

5 Nasze prace

• Z. Ficek, R. Tanaś

Correlated superposition states in two-atom systems

in Modern Nonlinear Optics, Part I, ed. M. Evans (Wiley, New York, 2001) vol 119 of Advances in Chemical Physics, pp. 215-266

• Z. Ficek, R. Tanaś

Entangled states and collective nonclassical effects in two-atom systems

Physics Reports 372, 369 (2002)

• Z. Ficek, R. Tanaś

Entanglement induced by spontaneous emission in spatially extended two-atom systems

J. Mod. Opt. 50, 2765 (2003)

• R. Tanaś, Z. Ficek

Fortschr. Phys. 51, 230 (2003)

• R. Tanaś, Z. Ficek

Entangling two atoms via spontaneous emission

J. Opt. B 6, S90 (2004)

• R. Tanaś, Z. Ficek

Stationary two-atom entanglement induced by nonclassical two-photon correlations

J. Opt. B 6, S610 (2004)

Dostępne na: http:

6 Podziękowanie

Badania te są obecnie wspierane finansowo przez Ministerstwo Nauki i Informatyzacji w ramach grantu 1 P03B 064 28.

2005

Światowy Rok

FIZYKI

Dziękuję!