Het mechanische gedrag van uit zacht polyetheen vervaardigde buizen voor relatief lage radiale belastingen en korte belastingduur

(1)

(2)

I

245.-I

Het mechanische gedrag van uit zacht polyetheen vervaardigde buizen voor relatief lage radiale

belastingen en korte belastingduur.

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT Afd. der Weg- en Waterbouwkunde

(3)

I

245.

-I

I. Inleiding

In september 1966 rjchtte het KIWA een verzoek tot het laboratorium voor Vloeistofmechanica om ~etgedrag van bepaalde verbindingsstukken voor knnst-stofbuizen bij optreden van waterslag daarin te onderzoeken. De kunststof-buizen kunnen zijn vervaardigd van P.V.C. en polyetheen. In dit rapport wordt uitsluitend aandacht besteed aan polyetheenbuizen. Het onderzoek is uitgevoerd door ir. C. Kranenburg.

Het doel van het verrichte onderzoek was te kamen tot een beschrijving van het tijdsafhankelijke mechanische gedrag van deze buizen als gevolg van radiale belastingen, Teneinde gegevens te verkrijgen over dit gedrag zijn een aantal metingen uitgevoerd, waarbij het onderzoek beperkt is tot die gevallen waarbij de optredende rek van elastische aard is. Hieronder wordt verstaan het verschijnsel dat de vormverandering van een proefstuk na het opheffen van de belasting (al of niet na enige tijd) weer nul wordt. Bovendien is de belastingduur in alle gevallen relatief kort geweest, n.l. maximaal vijf minuten.

Deze metingen worden beschreven in parg. 2.

In parg. 3worden uit de meetresultaten konklusies getrokken t.a.v. het mechanische gedrag van het materiaal, die dus slechts geldig zijn voor de

.

beperkte spanningen en belastingtijden, die in beschouwing werden genomen. Deze konklusies leiden tot een berekeningswijze die gebaseerd is op de theorie van de lineaire systemen.

Hierbij zijn twee gevallen te onderscheiden, n.l. het geval waarbij de span-ning als opgelegd wordt beschouwd en een geval waarbij de rek voor geschre-ven is. Deze berekeningswijze wordt gegegeschre-ven in parg.

4.

In deze paragraaf wordt eveneens enige aandacht geschonken aan de berekening van eventuele plastische vervormingen.

In parg. 5 zijn enkele toepassingen van de berekeningsmethode gegeven, waarvan er één gekontroleerd is door een meting.

De overige toepassingen hebben betrekking op een verbindingskonstruktie tussen twee polyetheen buizen, waarbij de buizen in een relatief gJ.adde mof ge~d worden. Hierbij is o.a. nagegaan hoe groot de krachten kunnen

zijn die benodigd zijn om de mof op de buÏ3 te schuiven, hoe groot de spanningen in de buis in de mof na enige tijd zijn en de betekenis hiervan als er vacuum als gevolg van waterslag optreedt.

(4)

I

245. - -2-2. Metingen

De metingen werden uitgevoerd met behulp van apparatuur van het Stevin Laboratorium te Delft, waarmee o.a. een sinusvormig in de tijd var ierende

(harmonische) oliedruk opgewekt kan worden. Frequentie, gemiddelde druk en drukamplitude zijn binnen bepaalde grenzen variabel.

Het aanbrengen van blokbelastingen (zie fig. 2) van willekeurige grootte en gedurende willekeurige tijd is eveneens mogelijk. Het apparaat werd voor het beproeven van kunststofbuizen geschikt gemaakt.

De opstelling van het proefstuk is weergegeven in fig. 1.

De onderzijde van het proefstuk is geklemd in een voet waarop ook de olietoevoer is aange31oten. De boven-zijde is afgesloten door een losse kop.

In parg. 7.1. ,wrdt aangetoond dat door deze bevestigingswijze de axiale rek ongeveer gelijk is aan nul.

I

.

I

'

~!

l::.u;~""a."cL vet""p\.<lQ.t'>'-,~cl_ :

1 1/

<::>l'neVl'IE:I·'

I

li

\...., =

+

-

'

1 ~

i ~

-

->

--

,

, jl 1 '~ dnLl<.. • r -'::!l1 Oplle.w-,el -. )

~

.

~1'

ol~e ~ :..--.J.

:

,

-==

_

.

f~9. ~

Midden tussen onder- en bovenzijde zijn rond de buis vier induktieve verplaat -singopnemers op onderlinge afstanden van een kwart van de cirkelomtrek aan-gebracht. Er is met vier verplaatsingopnemers gewerkt teneinde door middelen van de vier waarden afwijkingen van de cirkelvorm~ de buis en verplaatsingen van de buisas te elimineren. De gemeten verplaatsingen en drukken werden

kontinu geregistreerd. De proefstukken bestonden uit stukken zacht polyetheen buis (fabrikaat Drakatyleen), uitwendige diameter circa 32

ImIl.

,

wanddikte ca. 3,5 mm., lengte ca. 15 cm., permanent toelaatbare spanning 25 Kgf/cm2

(KIWA-voorschrift). De lengte is zodanig gekozen dat ter plaatse van de verplaatsingopnemers de invloed van de inklemming aan boven- en onderzijde van het proefstuk verwaarloosd kon worden. In tegenstelling tot wat

oor-spronkelijk in de bedoeling lag, is niet een harmonisch variërende belasting op het proefstuk aangebracht maar stap- en blokbelastingen.(Voor een ver-klaring van de begrippen stap- en blokbelastingen zie fig. a)

(5)

I

245.-I

-3-~ fig.2. _p

t

p

t

o ti bLr.>kbeLa.~-t~n9 o _-7_t

SI::a..f'beLast(n'j

De reden hiervoor is dat m.b.v. de responsie op een stapfunktie het gedrag t.g.v.

een willekeurig drukverloop te berekenen is indien het systeem zich lineair ge-draagt. Hierop wordt in parg.

4

nader ingegaan.

Voor een drietal monsters werd de verplaatsing van de buiswand geregistreerd als funktie van de tijd; dit voor stapbelastingen van verschillende grootte en voor een blokbelasting. Dit laatste geval is bedoeld als kontrole meting (zie pag.5).

Het meetschema is weergegeven in tabel I. Tabel I 2 P (Kgf/cm ) o inwendige druk metingnummer

I

stapbelasting

,

Ii blokbelasting

I

1 1

_!

2 3

I

2

10,a

l

2,5

I

2 i 2,0 I 10,5 Kgf/cm I

_4,5

_6,0

_i

_{gedurende 9}_,_6sec I 1

:

I ! i 6,7 ! i 8,0 8,8 10,0 I 10,7

t

De tijd, nodig voor het bereiken van de eindspanning p van een stapbelasting, o

bleek veel groter te zijn dan de eigen trillingstijd van de radiale trilling van

het proefstuk. Dit betekent dat de traagheidskrachten van de bewegende buiswand de meting niet beïnvloeden. De registratie van de verplaatsingen vond plaats gedurende enkele minuten, zodat alleen informaties werd verkregen voor relatief

kort durende belastingen.

o

(6)

I

-4 -2.2. Meetresultaten

Teneinde inzicht te verkrijgen in de eigenschappen van het buiswandmateriaal zelf zijn de drukken omgerekend in tangentiele spanningen in de buiswand en de verplaatsingen ln tangentiele rekken van de buiswand. Er wordt hierbij verondersteld dat de Quiswanddikte klein is t.o.v. de buisdiameter.

De traagheidskrachten van de bewegende buiswand mogen verwaarloosd worden, zoals in parg. 2.1. werd uiteengezet.

De uit deze overweg.ingen volgende relaties zijn:

w(t) rl ~t(t)

=

_r en crt(t)= d p(t) g Hierin is: ~\(t) w(t)

tangentiele rek van de buiswand

gemiddelde radiale verplaatsing van de buiswand gemiddelde straal van de buis

=

ri + d/2

tangentiele spanning ln de buiswand inwendige straal van de buis

gemiddelde wanddikte inwendige druk tijd d p(t) t

Voor elke meting zijn de rekken uitgezet tegen de tijd; hierbij is de tijd op logaritmische schaal weergegeven, zie fig. 3, 4, 5 en 6.

De fig. 3,4 en 5 geven de rekken als funktie van de tijd t.g.v. de stap~ belastingen.

De bijbehorende (konstante) tangentiele spanningen o zijn bijgeschreven.

o

Fig. 6geeft de gemeten responsie op een blokbelasting.

3. Konklusies uit meetresultaten

Na het wegnemen van de belasting bleek de rek van de buiswand zodanig af te nemen dat na een tijdsinterval groot ten opzichte van de belastingduur,weer de oorspronkelijke waarde nul werd aangenomen. Dit betekent dat bij relatief korte belastingduur en voor het onderzochte spanningsgebied (crt<45 Kgf/cm2) plastische verschijnselen geen rol spelen.

(7)

I

245.

-Deze verschijnselen kunnen echter wel optreden bij spanningen, die belangrijk groter zijn dan de hier beschouwde.

Uit de fig. 3,4 en 5,die de resultaten voor de stapbelastingen weergeven, blijkt dat de rek in alle gevallen rechtlijnig verloopt met de logaritme van de tijd. Deze responsie kan dus als volgt worden weergegeven:

F(o ) in {g(o

)

.

t }

+

o 0 f(ooi,

waarin F(o ), g(o ) en 1'(0 ) voor=a.Lsnog onbekende funkties zijn van de

000

grootte van de stapbelasting 0 •

o

De waarde van t ligt tussen 0,5 en ca. 300 sec.

Het is duidelijk dat bovenstaande betrekking niet kan gelden voor t

=

O.

Daarom wordt gesteld:

f( 0 ).

o

];ezeverschuiving van de tijdas ~s toelaatbaar mits

g(o ) • t. »1,

o m~n

waarin t. de kleinste tijd is waarbij een waarneming ~s gedaan m~n

(t.

=

0,5 sec.) In het onderstaande zal blijken dat aan deze eis wordt m~n

voldaan.

De rek ten tijde t

=

0 bedraagt: €t(o)

=

f(o_o). De funktie f(o )₀ vertegenwoordigt dus het gedeelt2 van de rek dat momentaan optreedt. Als de belasting wordt opgeheven verdwijnt dit gedeelte van de rek weer

onmiddellijk mits de vervorming elastisch was. Het onmiddellijk optredende gedeelte van de rek was met de beschikbare apparatuur niet te meten, omdat de tijd die nodig was voor een verandering van de druk eventuele sprongen in

de rekkromme verdoezelde. uit andere onderzoekingen 1S bekend dat voor zacht

polyetheen bij kamertemperatuur dit gedeelte van de rek klein is t.o.V. de

totale rek, mits de belastingduur groot is t.o.V. de tijdschaal van het materiaal

=

t , zie het onderstaande).

o

Er is dan ook verondersteld, dat de gehele rek tijdsafhankelijk is, m.a.w.

f(o )

=

0 o

De waarden van de fnnkties F(o ) en g(o ) zlJn berekend m.b.v. de grafieken

o 0

(8)

I

.

I

245."-' ~

6-Uit deze twee laatste figuren blijkt dat F(o ) bij benadering evenredig is o

net 0 en dat g(cr ) geen duidelijke afhankelijkheid van 0 vertoont.

o 0 0

(De grote spreiding in de vaarden van g(0 ) is ontstaan doordat deze funktie

o als argunent van een logari tne optreedt.) Vandaar oot gesteld is:

F(cr ) o o o =-E en g(IJo)

=

t_o

waarin E en t konstanten zijn . Uit de riet i.ngen werdende waarden voor deze o

konstanten bepaald:

4

2

• 10 KgflCD (geniddelde helling ~ fig. 7)

tV

t tV 0,001 sec. o

Gezien de spreiding van de T.leetpuntenan fig. 8 is denauvTkeurigl1eidvan de

bepaling van t gering. o

Aan de bovengenoemdeeis: g(o ).t_o _r._un. (%500»>1 is voldaan.

Het de foruules voor F(o ) en 8(0 ) wordt de fornule voor de r-ekt.g.v.

o 0

een stapbelasting 0 ,aangebrac:lt op t

=

0:

o o o E ,Q,n( 1 + .:Lt o ( 1)

=

4. Bescbrijving van het nec~lanischegedrag van het :oateriaal t.g.v. willekeurig

variè'rende spanningen en rekken

Formule (1) bezit de belangrijke eigenschap dat de rek op een bepaald tijd

-stip evenredig is net de aangebrachte spanning.

Als de spanning Hordt beschouwdals ingangssignaal en de rek als ui tgang

s-signaal (of ongekeerd) van een nechani.sch systeem betekent deze eigenschap

dat dit systeem lineair is. Voor een dergelijk systeem is een eenvoudige ma

-tematische bescl1rijving Dogelijk , waarop in het resterende deel van deze

paragraaf wor-dtingegaan.

De rekresponsie van het systeem op een ten tijde t

=

0 aangebracht willekeurig

spanningsverloop o+(t) wordt gegeven door:

v

r

t 0t(-r)

\ (t)

=

J

E k( t-T) dr (2a) o

(9)

I

4.2. I

I

245.-

-7-waarin k(t) de responsie is op een eenheidsspanningstoot, die optreedt op het tijdstip t

=

o.

Als K(t) de responsie op een eenheidsspanningstap op t

=

0,voorstelt dan geldt:

Ot

=

E 1), aangebracht

dK(t)

dt

=

k(t) Uit (1) vindt oen in dit geval:

k(t) =--1

t +t

o

zodat de rek volgt uit:

E:t(t)

f

t lo(T} E (2b)

=

o t +t+r o

Voor een afleiding van deze resultaten wordt verwezen naar parg. 7.2.1.

_~

_

~_~~~~!___~E~~~~

5 _~!~_~~~~~_~!h~!~

_

~

!g~B~:

~~€t.!~~

In tegenstelling met het voorafgaande wordt nu de rek als opgelegd en de spanning tengevolge daarvan als onbekende beschouwd.

De spanningsresponsie H(t) op een eenheidsstap in de rek (€

=

1), aangebracht

op t

=

0,volgt uit vergelijking (2a): t

1

=

I

H(I) dl

t +t-T (3)

o 0

Het bepalen van de funktie H(t) komt dus neer op het oplos sen van de inteo

-graalver ~lijking (3).

In purge 7.2.2. wordt hierop nader ingegaan. Eveneens wordt daar aangetoond dat de spanning t.g.v. een willekeurig variërende rek wordt gegeven door:

°t(t) to É:t(t)+

r

~t(I) R(t-I) dl (4)

=

E d tt(t) 0 waarin: it(t)

=

_dt

H(

t)

₌

H(t) - _{ó (~} _)~ 1 • H m( 1+~) 0 _t 0

(10)

I

245.-I

-8 -t t { o voo~ ~ 0 en

t

>

=

:~

voor :.~ < ~t 0 o 0 ~t to ) ...

)

l1t~ 0

De funktie H(t) vertoont in het gehele interval 0 < t < 00 slechts eindige

waarden.

Hoewel het onderzoek beperkt werd tot elastische vervormingen lijkt het

zinvol aan te geven op welke wijze eventuele plastische vervormingen in de

berekening kunnen worden opgenomen. Als het materiaal zich zuiver plastisch

gedraagt, geldt voor de funktie k(t) in vergelijking (2a):

k(t)

=

k

o (5 )

waarin k een konstante is. De respons1e op een spanningsstap met grootte

o

cr,die vanwege

(

5 )r

echtlijnig met de tijd verloopt, wordt verondersteld

o

lineair afhankelijk van cr te z1Jn. Er geldt dan:

o

~t(t)

k

=

_.2.

p

waar1n P een konstante is. De spanning is dus evenredig met de reksnelheid.

Zie voor een afleiding van deze resultaten parg. 7.3.

Superpositie op elastische vervorming 1S vanwege de veronderstelde lineari

teit van het systeem toegestaan:

k

o p

Het geval waarbij een bepaalde spanning moet worden overschreden alvorens

lineaire plastische rek optreedt kan eveneens op de hierboven behandelde

wij ze beschreven worden.'

5. Enkele toepassingen

De algemene vergelijking (2a) wordt toegepast voor een speciaal geval, n.l.

(11)

I

245.-

-9-{!

°t(t)

=

s₀ voor o <t <t1

C

\

(t)

=

o voor t < o en t > t1 Het resultaat is: E:t;(t)

=

so ~n(1+~)t voor tO 1 s ~n(1+ t +t~t ) 001 voor t> t1 0< t< t 1 E (t)

=

t

C

t

E-t (zie fig. 9) waaruit blijkt:

1e. lim et(t)

=

0, dit kamt overeen met

t~ 00

--L_

o _t

I

het veronderstelde elastische gedrag.

2e. 1r·m s0 ( t1 ) s0

tot Q,n1+ t +t-t

=

t +t

,.- 1 0 1 0

wuaroee de responsie op een spanning

-stoot met grootte s ~s teruggekregen.

o

De resultaten voor de rek voor t> t1 zijn vergeleken met de waarden

ver-kregen uit een oeting, zie fig.

6.

I.v.m. de tijdschaal is het punt t=O

gelegd bij het einde van d~ blokbelasting. De a~ijkingen van de

meetre-sultaten zijn vrij groot maar voor de voorspelling van het gedrag van een

materiaal in de tijd nog wel aanvaardbaar.

Met behulp van de theorie gegeven in parg. 4 is het mogelijk het gedrag in

de tijd van een polyetheenbuis, die in een verbindingsmof is geschoven, te

berekenen. De oof wordt verondersteld de in fig. 11 gegeven vorm te hebben.

Er wordt uitgegaan van een aantal veronderstellingen:

1e.De invloed van de optredende SChuifspanningen op het buiswandmateriaal

is te verwaarlozen.

2e. De verbindingsmof is als stijf te beschouwen t.o.v. de buis.

3e. De beproevingsresultaten voor trek in het materiaal zijn eveneens geldig

(12)

I

-I

I

245.--10

-4e. Bij het in de mof schuiven wordt de buis niet verwarmd.

5e. De beproevingsresultaten zijn geldig voor onbeperkte belastingduur. Voor het hieWbehandelde geval nemen de spanningen zeer snel af na het insteken van de buis in de mof (b.v. tot enkele Kgf/cm2 na een aantal uren), zo-dat verschijnselen als plastische kruip waarschijnlijk geen grote rol spelen.

De rek et van de buiswand wordt bepaald door het verschil ó tussen inwendige straal van de mof en de uitwendige straal van de onbela.stebuis:

ó rg

Een evenwichtsbeschouwing van de buis levert (zie fig. 10): o (t)

=

ru o (t)- ri p(t)

t d r d

waarin:

cr (t)

=

radiale spanning tussen buiswand r

en mof.

~(t) ru

=

uitwendige straal van de buis.

Drukspanning is positief verondersteld.

fig. 10

Deze twee vergelijkingen resulteren met gebruikmaking van de vergelijkingen (2a) en (3) in:

o (t)

=

E

r

Ld

ru.rg H(t) + ri p(t)ru (6)

De afleiding van

(6)

wordt gegeven in parg. 7.4. Met deze vergelijking kan men de grootheid 0berekenen aan de hand van gestelde eisen. Als men b.v.

eist dat de verbinding na n jaar nog een vacuum (dat op kan treden als gevolg van waterslag) moet kunnen doorstaan zonder dat lek optreedt

(cr (t) > 0),vindt men: r

'

.

=

ri rg E2:_ m1n d EH n (7 ) waarin:

pd

=

het verschil tussen de atmosferische druk en de dampspanning van water. H

=

de waarde die de funktie H(t) na n jaar heeft aangenomen (zie parg.7.2.2.),

n

6 .

=

de minimale waarde van ~ opdat na n jaar geen lek optreedt bij vacuum.

(13)

I

-11-De waarde van 0 . moet worden verhoogd met de toegestane negatieve gemiddelde ml.n

maatafwijking van de uitwendige straal.van de buis en de toegestane positieve gemiddelde afwijking van de inwendige straal van de mof.

Een numeriek voorbeeld:

I

voor ri = 1 ,25 cm. d = 0,35 cm. 4 2 E = 2,4. 10 Kgf/cm pd = Kgf/cm2 n = 50 H50 = 0,035 ó = 0,006 cm ml.n

I

vindt men:

I

M.b.v. vergelijking

(

6 )

kan men de totale kIemkracht op de buis berekenen als funktie van de tijd. De trekkracht die de verbinding kan opnemen is afhankelijk van deze kIemkracht.

I

De veronderstellingen '1 t/m

4

van parg. 5.2. worden ook hier aangehouden. Door de wrijving tussen buiswand en binnenzijde van de verbindingsmof is een

zekere kracht nodig om de buis in de mof te schuiven. Deze wrijvingskracht Fi wordt evenredig gesteld met de totale kIemkracht op de buis:

l

U(t)

Fi(t) = f 2 nru cr(x.t)dx

r I

f = vlTijvingskoë'fficiënt

u(t)= de afstand waarover de buis l.nde mof steekt als funktie van de tijd

= lengtekoördinaat t.o.v. de voorzijde van de buis.

I

waarin:

I

x

I

De integraal in het rechter lid van bovenstaande vergelijking stelt de totale

I

kIemkracht voor. _~~r _IJ_r(..x_,t) ~~~\ I ~~-~ •

I

.

I ~

r

yY\1;~ . bu.i c, I : x • I •

"

i

~ ...,.,.~---- --'-- -."__--'-r

t

u..ct.l I

=J

:__j

I

r.Ct) \.. F.:.~. 11

I

In parg.

7.5.

wordt aangetoond, dat de

konstante kracht Fi nodig voor het in-schuiven van de buis over een afstand Q, in een tijd t,q,wordt gegeven door:

Fi = Fo (8 ) (11~Q,)

,

Q,il 0 waarin : F = 2 nf -d

s

tE 0 rg

(14)

I

245. -

-12-ó ligt tussen ó • ,gegeven door vergelijking (7) en ó • + y, waarin y

m~n m~n

de som is van de toegestane negatieve en positieve gemiddelde afwijkingen van de uitw'endigebuisstraal ru en de inwendige straal van de mof. De mi-nimale en maximale waarden voor Fi liggen hiermee vast.

Uit de vergelijkingen

(4)

en

(8)

volgt dat hoe langzamer de buis in de mof wordt geschoven hoe lager de initiële spanningen in de buiswand blijven. Het is dus mogelijk de tangentiele spanningen zo laag te houden dat geen plastische vervorming optreedt; dit is van belang omdat door plastische vervorming de klemspanning ar wordt verminderd. OVerigens heeft de snel-heid van inschuiven geen invloed op het gedrag van de verbinding na enkele jaren.

Voor dezelfde waarden als gebruikt in parg. 5.2. is voor een tweetal i n-schuiftijden ti de benodigde inschuifkracht Fi berekend.

Bovendien is gekozen:

f

=

0,3

8 = 0,006 cm.

y

=

°t

3 = 0,015 cm. (voorschriftKIWA voor polyethe en-buizen)

=

5 cm

t = 0,001 sec.

o

Men vindt _{voor tt = 10 sec.}: (Fi) . '\,35 Kgf, (Fi)

_:t

125 Kgf

m~n 'V max

en vo_{or t}_{t =}100 sec. : (Fi) . % 30 Kgf, (Fi) '\, 100 Kgf

m~n max 'V

6. Samenvatting

Het materiaal polyetheen bleek zich voor de beschouwde spanningen en be~ lastingtijden bij benadering lineair te gedragen; het was daardoor mogelijk aan de hand van meetresultaten een relatief eenvoudig rekenmodel te kon-strueren.

Met dit rekenmodel werd voor een bepaald belastinggeval een berekening uit-gevoerd. De resultaten van deze ber-ekerri.nvertoonden vrij grote verg schillen met de bijbehorende meting. Dit betekent dat aan de kwantitatieve resulta~ ten van de gemaakte berekeningen geen al te grote waarde gehecht moet wor -den. Bovendien zijn in parg. 5.2. de resultaten van de metingen geëxtrapo-leerd voor een zeer lange belasting duur zodat verschijnselen als plastische kruip, veroudering e.d. buiten beschouwing zijn gebleven.

De gegeven berekeningswijze geeft echter een goed kwalitatief inzicht ~n het gedrag van het materiaal.

(15)

I

245 .

- -13-7. Appendix

Uit het evenwicht van de buiswand volgt: ri at

=

p-_d .2 , ri

E·

nrl. {a} 0'

=

2nri.d

=

:iP -a d

I<

'À.r~

>1

waarl.n:

at

=

tangentiele spannl.ngin de buiswand

0'

=

axiale spanning in de buiswand

a

p

=

inwendige druk

rl.

=

inwendige straal van de buis d

=

dikte buiswand

De rekken voor een elastisch isotroop materiaal worden met de vergelijkingen

(a):

=

(b) e:

=

't O'a ~ "E₁

=

1~1~ ri __2_ p E1 d

waarin:

=

axiale rek van de buiswand

t-t;= tangentiele rek van de buiswand

V

=

dwarskontraktiekoëfficiënt

E1

=

elasticitietsmodulus bij lijnspanningstoestand Voor het materiaal polyetheen geldt bij benadering:

zodat E % 0

a (c)

Tussen de elasticiteitsmodulus E voor de tangentiele richting bij afwezig -heid van axiale rek, en de elasticiteitsmodulus E1 bij afwezigheid van

axiale spanning bestaat dus het verband:

E1

=

(1-~

V

)

E (d)

Het door de vergelijking (2a) gegeven verband tussen spanning en rek l.

Sge-kompliceerder dan dat l.nde vergelijkingen (b).De verkregen resultaten (c) en (d) blijven echter geldig.

(16)

I

-14-I

I

In het onderstaande worden enkele eigenschappen van lineaire systemen afgeleid en toegepast op het mechanische gedrag van het buiswandmateriaal.

I

Als k{t) de rekresponsie voorstelt op een eenheidsspanningstoot, ged

e-finieerd door:

1

E (\ (t) 1

E

O't (t) = -_ilt1 voor

o

< t > ilt

ilt-+0 , = 0voor t < 0 en t >

I

dan kan de respons~e op een willekeurig var,iërende spanning worden bere-kend op grond van het superpositiebeginsel.

De responsie op het tijdstip t op een stoot groot O'(T) en werkend in het tijdsinterval (T,T+ ilT) is:

O't(T)LlT

il

!;

\

(

t) = E k(t-T ), zae figuur.

De responsie op het tijdstip t op

het gehele spanningsverloop van

T= 0 tot T

=

t vindt men door integratiE

G:;5

t)

r

-_-

-t

~'1:)t

1---t-L

_",I ~t(t)

r

O't(T) = E O't(t) =

o

voor t < O.

k{t-T) dT hierbij is verondersteld dat

I

De responsie K{t) op een eenheidsspanningstap, gedefinieerd door:

I

E O't(t) 1 O't(t) E is dus: K(t)

=

r

= 0voor t < 0

I

Differentiëren geeft: = 1 voor t > 0 (t k{t-T) dr «

1

k(T) d'r dK = k(t) dt zodat t tn{1+

t)

dus t 1 0

1

~t(T) d'r t +t-r o 1 k(t) = t +t o

I

In dit geval is K(t) =

I

e (t)= t

2

4

5

(17)

.-I

I

-

15-I

In principe is het spanningsverloop t.g.v. een voorgeschreven rek op de

-zelfde wijze te bepalen als voor het omgekeerde probleem is gedaan in parg. 7.2.1.: uit de spanningsresponsie op een eenheidsstoot volgt de res-ponsie op een willekeurig rekverloop.

Teneinde echter bepaalde analytische moeilijkheden te vermijden wordt hier gebruik gemaakt van de spanningsresponsie H(t) op een eenheidsstap in de rek i.p.v. een eenheidsstoot. Aan het einde van deze paragraaf wordt aan-getoond dat het systeem ook met de responsie op een eenheidsstap kan worden beschreven.

De spanningsresponsie H(t) op een eenheidsstap 1n de rek is te verkrijgen door in vergelijking (2b) te stellen:

I

e:(t)

₌

( 0, t _~ 0

{

.,

t > 0 t

Dit geeft:

=

r

H( r) _dT _{of, na} _{invoering van} _een

t +t- T

0 0

I

_{dimensieloze tijd: 8}₌ t ₈1 ₌ ....L _{en H(t} ₈₁₎₌ _I1(" 8 ):1

t t 0 0 0 1 =

f

Ril!;(81} d 8 1 (3) 1+8 - 81

I

Door deze bevTerking is de parameter t uit de integraalvergelijking

verdwe-o !jf

nen, zodat slechts een funktie H (8) behoeft te worden bepaald.

De funktie H~(8) vertoont een singulariteit, een oneindig grote waarde, 1n de oorsprong8

=

O. Het plotseling aanbrengen van de rek op het tijdstip t= 0 resulteert blijkbaar in oneindig grote spanning op t = 0, althans 1n dit rekenmodel. De oorzaak hiervan is het buiten beschouwing laten van de momentane rek (zie parg. 3.2.).

De singulariteit is echter te scheiden van het resterende deel van de span-ningsresponsie

If(

e ) •

Stel hiertoe:

I

!f(8) = i?(8) + 6(8), waarin:

r

8 <

o

en

e

>48

_"'

=

!

IS(8) =

J

o

< 8 < M 68 ~O '.M'

(18)

245.-,

I

'

I

,

245. --16

-VergelijkinB (3) gaat hiermee over in:

= r e

H

:;(e 1) 1 + lim _1

(66

i

1+e7

d

e

M -7 0 M

b

~

ra H

x(

e

1}

r

öe

~ 1 ;: J d

e

1+ lim

I

_1_ !Ln(1+ 1+0-M 0 1+

e-

el

M -7 0

b,e

r

H

!t

e

a1 ~ _d

_e

₁₊ 1

=

1+

e-

e

1+6 0

e

r

H

!t{e1

2

1

--

_1+e

=

1+

e

-e

1 d

e

(3a)

De integraal in 'Vergelijking (3a) wordt nu gelijk aan nul voor

e

=

0 (zie linker lid) dus

H

!t

e

)

is nu eindig voor

e

=

0

Deze integraalvergelijking bezit geen elementaire oplossing. ~eneinde een indruk te krijgen van het verloop van

H ~

alsfunktie van a zullen grenzen waarbinnen

H

~

ligt en het gedrag in omgevingen van

a

=

0 en

e

= ~

worden aangegeven.

Fysisch is het duidelijk dat

H

:;(e) monotoon dalend is:

H

!te

El1) >

H

~(e) als

e

1<

e

,

zodat

_e_< H!t(e)

1+6

re

b

1+

e

-

e

1

=

H

!t(e) !Ln(1+9)

Eenmaal differentiëren van vergelijking (3a) geeft:

H

)i:(9) = e -H~((JJ.'I) 1 1 + _1_ ~ -.H~(a 1) ( u dB;:'

(-oJ

(

1+8+ 8 1 ) 2 ( 1+9 )2 1+8

6

1+ El

-e

1 d

e

1 =

e

= 1+9

Het resultaat van beide bewerkingen is dus:

El

1+8

1

1+e

H

~(e) >

(19)

I

245. --17-' -x

Het gedrag van H in een omgeving van

a

=

0 is te verkrijgen door het rechter lid van vergelijking (3a) te benaderen met de trapeziumregel:

8

1+a

~

~ [~+

~

(~)

.

+

H

~

(0) ]

a,

~

H

~(o) + ~(1+a)

H

~(a)

a « 1

voor

e ~

0volgt hieruit:

dus:

H-

~(O) :: 1 , +

H

Ha)

H

x(a )

H

x(a) 'V'V - 1- voor 1+8 a « 1 -x

Teneinde het gedrag van H (a) te verkrijgen voor a~ 00 wordt het rechter

lid van vergelijking (3a) gesplitst:

se

.

X

H

x(el) d 81 +

t

H

!'e

(e

1) d a1

₌

--a 'V'V 1 voor 8~ 00 1+ 8~ 8 1 8 1+ 8~ a1 1+0 0 Noem de 10integraal 11 en de 2012 11

=

a =a( a~) en

o

< a < 1 ii-'!:(81) 1 1 d

a

1+

a

-

a

o I

=

H

x( aa~) 11+

a

a .o-:

a

Voor 12 geldt,omdat

H

~(a) monotoon dalend is:

d

e

1

---

=

1+ 8~

J

d r1 1+a

-

a

1 I >

H

X(8) 2 1 lü Kies nu

a

X

=

a

=

met m >1 en laat

a ...

00 De 10 integraal wordt: 1-1 nr

~

e

I1 ::

H

x( «s ) 1 1 """-1 - +1- aam ,

a

< ....,.. 0 voor

e ...

00 1 1 - -1 - +1~"(lem

a

dus lim I1

=

0 , zodat

a

...

00

(20)

I

245.

--18 -dus geldt voor a~ 00: 1 1

H

X(a) .Q.n1+a( - am) < 1<

H

}I!(am)Q,n(1+a-aID) Het linker deel geeft:

H

x(a) <

---~--~l---~

1 .Q.n[a(~ 1- 6m -1 )] 1 Q,na en het rechter deel 1

H

~(6m» ---1 .Q.n(1+6 -6 m) of: 1 1 ~ ---=--in6m mina

=

[ m 1 __L.~ Q,na (- +1·~ .oi ~1

)J

a

m

a

De beide ongelijkheden samengenomen geeft:

>

H

!lC(a»_1_

tna mina

laat nu het getal m willekeurig dicht naderen tot 1, echter zodanig dat

blijft gelden m >1. Uit de hier verkregen ongelijkheid volgt dan dat

H

!lC(a)de funktie i~a willekeurig dicht benadert voor a ~ 00

voor a ...".00

H ~(a)~.Q,~a voor a ...00

Een funktie die voldoet aan de afgeleide ongelijkheidsvoorwaarden, het gedrag voor

e

...

0 en het gedrag voor

e...

00 lS:

-!IC 'V 1

H (a) 'V 1+ in(1+6)

Uit een numerieke berekening blijkt dat ook voor waarden van

e

tussen 0 en

00 de afwijkingen tussen de juiste waarden van H~(a) en deze benaderende

fUnktie nooit meer dan enkele procenten bedraagt. Deze nauwkeurigheid is,

gezien de overige onnauwkeurigheden, ruim voldoende, dus:

H

x(e) .",tv o(a) + 1 <

e

1+

9,ri (

1+a) voor 0 < 00 H(t) 'V'V

ö

(!

)+ 1 1+ in( 1+~ ) voor

o

<t < 00 0 _to waarln: _i_< 0 t

~

: J

r

'

en - >

-

t

=

t

=

8(L)

₌

0 0 t ~t ...,..0 0 to

_o

< t < --~t ~t' t t 0 0

'.

(21)

I

,..-,19

-I

I

Nu de responsie H(t) op een eenheidsstap in de rek bekend is kan, weer met gebruikmaking van het superpositiebeginsel, de spanningsresponsie op een willekeurig in de tijd variërende rek worden berekend.

I

€ (t)

-t

De verandering in de rek gedurende een tijdsinterval ~T op het tijdstip T kan worden opgevat als een'stapje ~Et(T) in de rek: ~€ t{T) = ~t{T) ~T

De spanningsresponsie~ het tijdstip t hierop ~s:

/

I

1:~J Tt ')1

I

1 E

De responsie t.g.v. het rekverloop van T= 0 tot T = t bedraagt op het tijdstip t:

I

=

o

I

Hierbij is verondersteld dat Substitutie van de splitsing

i

Gt(t) = to ~t{t) + Et{t) = 0 voor t ~ 0 H{t) = o{~ ) + H(t) rt • .Q. Et(T) H(t-T) dr levert: o met

I

AlsspanningsverlOOp'de rek op embtepaussen T=ald tijdd enstip t evT= t (linenreedairig ggeedrag) geldt weersteld mag worden m: et het

Et(t)

=

r

k(t-T) d'r

I

o

Hierin is Peen evenredigheidskonstante.

I

Beschouw het geval dat Gt(t)

=

0 voor {~ > t1, dan ~s voor t > t 1:

< 0 E (t)

f1

Gt(T) k(t-T) d'r

=

t P 0

I

245.

(22)

-I

I

245.-

-20-Gtl

_t

_.A

Kies nu als definitie voor zuiver plas-tisch gedrag dat de rek et(t) kon~tant is

voor t ~ t1 (dus na het wegnemen van de spanning) , dus: ~t(t) = €o voor t ~ t1, o ti

;~lL

i

o ti zodat: ~ o

=

o

Het linker lid van deze vergelijking is onafhankelijk van t, dit moet dus

eveneens gelden voor het rechter lid, m.a.w.: k(t-,) is konstant voor

{ t ~t1

O< , < 1- t Dit betekent omdat t1 willekeurig is, dat k(t) konstant is (=k0)

voor alle t ~ 0,zodat:

f

t a (,)

Et(t)

=

ko tp dt

o

Eenmaal differentiëren geeft:

at(t)

È (t)

=

k

toP

Het evenwicht van de buis levert:

2r'

2 at(t).d = ar (t).2ru - p(t ~

a_];.

(e)

01': at(t) =

!

f

ar(t) - ~~ p(t) .

De rek van de biîi.swàndbedraagt (zie parg.

5.2). : (J(t) 0 _of _{met vergelijking} ₍₃₎ Clft.) -t Ct =-t'

1 :

:

0,

rg

s

t

R

(t)

Et =-_rg _{t +t}_-_t d, (f) 0 0 10( I-t.t

-uit de materiaaleigenschappen, weergegeven door vergelijk:Ïrg(2b) volgt:

t 1

et

=

J

Ë

at{,) d,

o t +t- ,

o

(23)

I

7.5. I

I

245. -

-21-Eliminatie van \ en crt(t)uit (e), (f) en (g) geeft:

f

t

.l

E

[E:!:!

d or

Cr)

-

4-P(-r)J -

d

~

rg H(·r)

t + t _ T dT

=

0 voor alle t ~ 0

o 0

Aan deze relatie wordt voldaan als de teller van de integrand gelijk aan nul is. Voor de radiale spanning cr(t) op de buiswand vindt men dan:

r a (t)

=

r ad ru rg H(t) + ~~ p(t) voor t ~ 0 E

Zoals in parg. 7.2.2. werd aangetoond heeft H(t) een oneindig grote waarde voor t

=

O. In werkelijkheid treedt deze waarde echter niet op o~dat de mo-mentaan optredende rek buiten beSChouwing is gelaten. Bovendien wordt, door het inschuiven van de buis in de mof, de rek Et niet onmiddellijk maar geleidelijk aangebracht.

Bovenstaande formule geldt dan ook voor tijden met t»t , zoals in parg. 3.1 o

werd uiteengezet.

Zie fig. 11voor de betekenis van de symbolen.

De schuifkracht ~Fi(t) op een buiswandring met breedte ~x bedraagt: ~Fi(t)

=

f. 2 nru a (x,t) ~x

r

De totale schruifkracht Fi(t) bedraagt:

i

U(t)

Fi(t)

=

2 nfru a (x,t) dx r

Uit formule

(5)

volgt met p(t)

=

0:

a (x1t)

=

E ad H{t-t)!(x»,waar-a.n tX(x) de tijd is

r ru rg

gedurende welke de doorsnede x zich in de mof bevindt. Men vindt voor Fi(t):

Fo

r

t) ~

Fi(t)

=

-;:-

0 H {t-t"(x)

I

dx , met Fo = 2nf -d ó tE rg Uit de definitie voor t~(x) volgt de relatie:

x

=

u

f

t-t~

1

(24)

I

245.--22

-Met H { t-t (x)~ L5

=

H(t )~ dx

=

du(t-t~) dt~

=

_

du(t-t~) dtX

=

-

û(t-t~)dt~ dtX dt x =

° ;;;

u(t=,tx)

=

0, t;,t

=

t x

=

u(t) ~ tX =

°

wordt de vergelijking voor de kracht:

Fi(t) =-Fo

~ ft H(t~)û(t-t~) dt~

o

Dit resultaat is met enige moeite ook direkt in te Z1en. Tenslotte wordt nagegaan welke konstante kracht nodig is om de buis in eenbepaalde tijd t~ in de mof te schuiven. Met Fi(t)

=

Fi is de voorgaande formule te schrijven als:

1

=

r

H(tx) .

{

r ~

~

û(t-t~)} dtX

o

We kunnen de oplossing van deze integraalvergelijking voor û(t-t~) opschrijven m.b.v. vergelijking (3): H(t-'l:) t +t-t~ o of: