Marcin Lipiński, Skutki jitteru odtworzonego zegara szeregowego w detekcji odbieranego strumienia danych.AGH Katedra Elektroniki

Marcin LipiĔski

Katedra Elektroniki AGH

Al.Mickiewicza 30, 30-059 Kraków mlipinsk@uci.agh.edu.pl

SKUTKI JITTERU ODTWORZONEGO ZEGARA SZEREGOWEGO W

DETEKCJI ODBIERANEGO STRUMIENIA DANYCH

Streszczenie: W referacie przedstawiono ogólnie zjawisko

zaleĪnoĞci stopy báĊdu w transmisji w pasmie podstawowym od przesuniĊcia momentu próbkowania w procesie detekcji strumienia danych. Zaprezentowano równieĪ przykáadowe analizy BER dla konkretnych ksztaátów odbieranego sygnaáu obarczonego szumem w sytuacji, w której przesuniĊcie momentu próbkowania ma charakter statyczny oraz losowy wynikający z jitteru odtworzonego zegara szeregowego transmisji.

. WSTĉP

Detekcja odbieranego sygnaáu binarnego w transmisji w pasmie podstawowym jest procesem szczegóáowo opisywanym i analizowanym w licznych pozycjach literaturowych [], [2], [3], [4], [5]. W pozycjach tych uwzglĊdnia siĊ przede wszystkim wpáyw szumu addytywnego oraz interferencji miĊdzysymbolowych na uzyskiwaną w detekcji stopĊ báĊdu. W niniejszej pracy wykazano, Īe oprócz szumu i interferencji miĊdzysymbolowych, dodatkowym czynnikiemPoniewaĪ momenty próbkowania w detekcji wyznaczane są przez odtworzony sygnaá zegara szeregowego, w niniejszej pracy przeanalizowany zostanie ogólnie wpáyw odchyáki momentu próbkowania od optymalnego, na warunki detekcji sygnaáu obarczonego szumem addytywnym i w rezultacie na BER w odbiorze.

2. OPIS ZJAWISKA

Na wstĊpie zakáada siĊ, Īe odbierany sygnaá ma postaü ciągu impulsów PAM, który moĪna zapisaü w postaci:

( )

=

_¦

⋅

(

−

)

m m g t mT a t y , _

gdzie am jest dwuwartoĞciowym ciągiem

informacyjnym o zerowej wartoĞci Ğredniej, a g(t) funkcją opisującą pojedynczy impuls. Dla potrzeb niniejszej analizy rzeczywisty przebieg impulsu aproksymujemy funkcją:

( )

» ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § ⋅ + = t T t g  cos π 2  . 2

We wstĊpnej fazie analizy nie uwzglĊdnia siĊ szumu zawartego w sygnale. Teoretycznie w idealnym procesie detekcji próbkowanie jest dokonywane w momentach tm, gdy sygnaá osiąga wartoĞü ekstremalną,

lecz w rzeczywistym przypadku naleĪy siĊ liczyü z moĪliwoĞcią wystąpienia czasowego przesuniĊcia tego momentu o ∆t. IlustracjĊ tego efektu wystĊpującego w trakcie próbkowania sygnaáu odpowiadającego sekwencji a_m−=−,a_m=,a_m+=− pokazano na rysunku . t am+1= - am= tm ∆y ∆t y(t) am-1= -

Rys.  Báąd amplitudowy próbkowania w procesie detekcji

Skutkiem tego jest redukcja amplitudy sygnaáu o wartoĞü:

( )

¸ ¹ · ¨ © § ⋅ ⋅ = − = T t t y y ǻ 2 sin 2 ǻ  ǻ 2 π . 3

 _{Dla potrzeb dalszej analizy ogranicza siĊ przedziaá}

wartoĞci −T 2<∆t<T 2.

2003

Poznañskie Warsztaty Telekomunikacyjne

3.EFEKT STATYCZNEGO PRZESUNIĉCIA MOMENTU PRÓBKOWANIA

W dalszym ciągu rozwaĪaĔ naleĪy uwzglĊdniü wszystkich osiem moĪliwych trójbitowych sekwencji w odbieranym sygnale oraz dwa moĪliwe znaki odchyáki czasowej, co zawarto w tabeli.

Zakáadając, Īe moment próbkowania wystĊpuje w trakcie trwania bitu am, oraz uwzglĊdniając zarówno

symetriĊ zaáoĪonego ksztaátu funkcji opisującej sygnaá, jak równieĪ analogicznoĞü wystĊpujących kombinacji przedstawionych w tabeli , caáoĞü rozwaĪaĔ moĪna sprowadziü do dwóch odmiennych przypadków. Pierwszym z nich jest przypadek, w którym w najbliĪszym sąsiedztwie momentu próbkowania nie wystĊpuje Īadne zbocze lub wystĊpuje jedno zbocze, przy czym znak odchyáki czasowej jest taki, Īe ǻ =y 0.

am-1 - - - -     am - -   - -   am+1 -  -  -  -  y ∆ dla 0 <

∆t 0 0 ∆y -∆y -∆y -∆y 0 0

y

∆ dla 0 >

∆t 0 -∆y -∆y 0 0 -∆y -∆y 0

Tab.  MoĪliwe sekwencje odbieranych bitów i wynikowy báąd amplitudowy

Jak wynika z zawartoĞci tabeli  áączne prawdopodobieĔstwo wystąpienia takiego przypadku w ciągu odbieranego sygnaáu wynosi PI= 0.5. W takim

przypadku prawdopodobieĔstwo wystąpienia báĊdu detekcji, powodowane jest jedynie addytywnym szumem gaussowskim o wariancji wynoszącej σ ._n2 Opisuje je klasyczny, znany z literatury [2], [3] wzór:

(

)

∫

∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − ⋅ = 0 2 2 / 2  exp 2  dy y P n n I e σ σ π . 4

Drugi przypadek zachodzi, gdy przesuniĊcie momentu próbkowania powoduje powstanie báĊdu amplitudy ∆y≠0, a jego wartoĞü opisuje wyraĪenie 3. àączne prawdopodobieĔstwo wystąpienia takiego przypadku w ciągu odbieranego sygnaáu wynosi

PII= 0.5. UwzglĊdnienie uchybu amplitudy prowadzi

do wyraĪenia opisującego áączne prawdopodobieĔstwo wystąpienia báĊdu detekcji sygnaáu w obecnoĞci gaussowskiego szumu addytywnego w postaci:

(

y y

)

_y P n n II e d 2  ǻ exp 2  0 2 2 /

³

∞ − » » ¼ º « « ¬ ª _{+ −} − ⋅ = σ σ π . 5

Wypadkowo prawdopodobieĔstwo wystąpienia báĊdu detekcji spowodowanego szumem gaussowskim i uchybem amplitudy, który wynika z przesuniĊcia momentu próbkowania, to suma:

II e I e II e II I e I e P P P P P P P = ⋅ _/ + ⋅ _/ =0,5⋅ _/ +0,5⋅ _/ . 6 Przeksztaácając wyraĪenia ze wzorów 4 i 5, przy wykorzystaniu definicji komplementarnej funkcji báĊdu 2_{, wzór 6 moĪna zapisaü w postaci:}

¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − + ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § = n n e y P σ σ 2 ǻ  erfc 4  2  erfc 4  _. 7

Dla zerowej wartoĞci przesuniĊcia momentu próbkowania ∆t=0 báąd ∆y=0, a wzór 7 uzyskuje

znaną postaü [2]. [3]: ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § = = n y e P σ 2  erfc 2  0 ǻ . 8

Dla kaĪdej niezerowej wartoĞci ∆t≠0 amplituda sygnaáu jest mniejsza od maksymalnej i prawdopodobieĔstwo wystąpienia báĊdu jest wiĊksze niĪ w przypadku opisanym wzorem 8. Na rysunku 2 pokazano zaleĪnoĞü stopy báĊdu spowodowanej áącznie addytywnym szumem gaussowskim i przesuniĊciem momentu próbkowania w funkcji wzglĊdnej wartoĞci tego przesuniĊcia ∆t T , gdzie T jest czasem trwania bitu. Do sporządzenia wykresu zaáoĪono, Īe ksztaát odbieranego impulsu odpowiada funkcji zapisanej wzorem 2, a jako narzĊdzie wykorzystano program Mathematica. -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0-6 0-4 0-2 0-0 0-8 0-6 0-4 0-2 00 BER ∆t/T BER0=0 -6 BER0=0-5 BER0=0-2 BER0=0-9

Rys. 2 ZaleĪnoĞü áącznej BER od wzglĊdnego przesuniĊcia momentu próbkowania

Na rysunku pokazano cztery krzywe, kaĪda dla innej wartoĞci parametru BER0, oznaczającego stopĊ báĊdu w

detekcji przy ∆t=0. Krzywe mają charakter funkcji parzystych, co wynika z symetrii ksztaátu impulsu wzglĊdem tm, a wartoĞü BER jest stale rosnąca w miarĊ

wzrostu bezwzglĊdnej wartoĞci ∆t T . àatwo zauwaĪyü, Īe najsilniejszą zaleĪnoĞü wartoĞci BER od

2 Def.-

( )

³

( )

∞ − = x u u x 2 exp d erfc 2 π .

przesuniĊcia momentu próbkowania wykazuje krzywa o pierwotnie najmniejszej stopie báĊdu.

4. EFEKT WYWOàANY JITTEREM ODTWORZONEGO ZEGARA SZEREGOWEGO

Kontynuacją powyĪszego rozwaĪania jest analiza wpáywu jitteru momentu próbkowania na proces detekcji sygnaáu odbieranego. Uproszczoną analizĊ tego zjawiska moĪna równieĪ znaleĨü w literaturze [6].

W poniĪszej, obszerniejszej analizie tego efektu, zakáada siĊ, Īe przesuniĊcie momentu próbkowania t∆ ma charakter zmiennej losowej o znanym rozkáadzie gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa pdf_∆y

( )

∆t . Konsekwentnie báąd amplitudy ∆y ma równieĪ charakter losowy i z uwagi na to, Īe przyczyną jego powstawania jest jitter odtworzonego zegara szeregowego jest nazywany szumem indukowanym jitterem [6]. PoniewaĪ przebieg sygnaáu w otoczeniu tm

na rysunku  opisany jest funkcją wyraĪoną wzorem 2, rozkáad gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa szumu amplitudowego pdf_∆y

( )

∆t oblicza siĊ wedáug znanej procedury nieliniowego przeksztaácenia funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa [7], [8], i moĪna go przedstawiü jako:

( )

(

)

(

y

)

y T y T pdf y pdf t y ǻ 2 ǻ ǻ  arccos ǻ ǻ ǻ − »¼ º «¬ ª ₋ = _ππ 9

Aby obliczyü áączne prawdopodobieĔstwo báĊdu detekcji w warunkach jednoczeĞnie wystĊpującego gaussowskiego szumu addytywnego o wariancji σn

oraz jitteru momentu próbkowania o znanym rozkáadzie pdf_∆t

( )

∆t moĪna zastosowaü wzór 7, przy czym naleĪy dokonaü uĞrednienia prawdopodobieĔstwa báĊdu ze wzglĊdu na statystyczny charakter ∆y. Prowadzi to do:

°¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® ­ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − + ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § = n n e y E P σ σ 2 ǻ  erfc 4  2  erfc 4  _. 0 Dla ksztaátu impulsu opisanego funkcją 2 przyrost wyraĪony wzorem 3 ∆y≥0,a wartoĞü Ğrednia z definicji wynosi:

( )

y y y y E MAX MIN y y y n n ǻ d ǻ pdf 2 ǻ  erfc 2 ǻ  erfc

³

_ǻ ∆ ∆ ⋅ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − = °¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® ­ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − σ σ . 

Z powyĪszych rozwaĪaĔ i wzorów wynika, Īe do okreĞlenia wpáywu jitteru momentu próbkowania sygnaáu odbieranego na prawdopodobieĔstwo wystąpienia báĊdu detekcji niezbĊdna jest znajomoĞü funkcji rozkáadu gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa momentu próbkowania. W niniejszej pracy zdecydowano siĊ na przybliĪenie krzywych rozkáadu

rzeczywistego modelem analitycznym w postaci rozkáadu beta , który w przedziale

t

∈

[

t

_min

, t

_max

]

wyraĪa wzór:

( ) (

₍

) (

₎

_{( )}

_{( )}

)

γ γ γ γ γ , B ǻ _{2 } min max  max  min ȕ − − − − − − = t t t t t t t pdf 2 gdzie γ jest parametrem áączącym wartoĞci graniczne

tmin, tmax z wariancją rozkáadu ı zaleĪnoĞcią:2_β

(

)

» » ¼ º « « ¬ ª − − =  4 2  2 2 min max ȕ ı t t γ , _3

a B

( )

γ ,γ jest funkcją beta Eulera [7].

Zakáadając, w pierwszym przybliĪeniu, Īe graniczne wartoĞci przyjĊtego modelowego rozkáadu beta wynoszą odpowiednio t_MIN =−T 2 i

2

T

t_MAX = , z czego wynikają graniczne wartoĞci 0

=

∆yMIN oraz ∆yMAX =, a nastĊpnie podstawiając do wzoru 9 wyraĪenie 2, doprowadzamy ogólny wzór  do postaci:

( )

( ) y

(

y

)

y y y y E n n ǻ d 2 2  2 , B 2 arcsin 4  2 ǻ  erfc 2 ǻ  erfc  0 2   2

³

_⋅ ∆ −∆ » » ¼ º « « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § _∆ − ⋅ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − = °¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® ­ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − − − π γ γ π σ σ γ γ . .4

Podstawiając powyĪszy wzór do 0 moĪna obliczyü wartoĞü áącznego prawdopodobieĔstwa báĊdu detekcji dla jednoczeĞnie wystĊpującego addytywnego szumu gaussowskiego w odbieranym sygnale oraz skáadowej szumu indukowanej jitterem momentu próbkowania. Przy zastosowaniu programu Mathematica wykonano seriĊ obliczeĔ i wykreĞlono zaleĪnoĞü stopy báĊdu od wzglĊdnej wartoĞci jitteru wyraĪonej relacjąσ_β T .

0.0 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0. 0-4 0-2 0-0 0-8 BER 0-4 0-6 BER0 = 0-6 BER0 = 0 -9 BER0 = 0 -2 BER0 = 0-5 T β σ

Rys. 3. ZaleĪnoĞü áącznej BER od wzgáĊdnej wartoĞci jitteru

Rezultat w postaci wykresów pokazano na rysunku 3. KaĪda krzywa przedstawia powyĪszą zaleĪnoĞü dla pierwotnej stopy báĊdu powodowanej wyáącznie addytywnym szumem gaussowskim o wartoĞciach kolejno od góry BER0=0-6, BER0=0-9,

BER0=0-2, BER0=0-5.

5. WNIOSKI

Podobnie, jak w przypadku stopy báĊdu powodowanej áącznie zjawiskiem addytywnego sumu gaussowskiego i przesuniĊcia momentu próbkowania pokazanego na rysunku 2 równieĪ i w przypadku wykresów z rysunku 3 widaü znacznie silniejszą zaleĪnoĞü BER od jitteru wzglĊdnego dla sytuacji, w których wynikowa stopa báĊdu powodowana wyáącznie addytywnym szumem gaussowskim w odbieranym sygnale jest niewielka. Ponadto widaü wyraĨnie, Īe wpáyw jitteru na wynikową stopĊ báĊdu dla wartoĞci

03 . 0 ≤ T β

σ , jest maáo znaczący, nawet dla bardzo niewielkich wyjĞciowych poziomów BER0. Dla

wiĊkszych wartoĞci σ_β T wpáyw jitteru na BER

bardzo silnie wzrasta.

Analizując otrzymane rezultaty moĪna stwierdziü, Īe w ogólnym przypadku wraĪliwoĞü BER na przesuniecie momentu próbkowania oraz na jitter odtworzonego zegara szeregowego jest tym silniejsza, im wiĊksze jest nachylenie funkcji opisującej odbierany impuls w otoczeniu wybranego momentu tm,

z reguáy jednoznacznego z momentem wystĊpowania maksymalnej wartoĞci amplitudy. Prowadzi to do praktycznej konkluzji, Īe dla minimalizacji przedstawionych efektów wskazane jest, aby ksztaát odbieranych impulsów PAM charakteryzowaá páaski i rozlegáy wierzchoáek.

6. PODSUMOWANIE

Na zakoĔczenie niniejszej pracy naleĪy stwierdziü, Īe pokazano w niej, zarówno jakoĞciowo, jak i na konkretnym przykáadzie iloĞciowo, iĪ statyczne przesuniĊcie momentu próbkowania w procesie detekcji oraz jitter synchronizującego ten proces odtworzonego zegara szeregowego transmisji mogą, obok szumu addytywnego zawartego w sygnale oraz ewentualnych interferencji miĊdzysymbolowych, w istotnym stopniu decydowaü o wynikowej stopie báĊdu.odbieranego strumienia danych.

SPIS LITERATURY

[]. G.P.Agrawal – Fiber-Optic Communication Systems – John Wiley&Sons 997

[2]. K.Feher – Digital communications – Satelite/Earth Station Engineering – Prentice-Hall, Egelwood Cliffs 983 [3]. S.Haykin – Systemy telekomunikacyjne –

Tom  WKà 998

[4]. H.Hodara – Fiberoptic Receiver Performance – Crane, Russak&Co.983

[5]. M.S.Roden – Digital Transmission – Prentice-Hall982

[6]. G.P.Agrawal, T.M.Shen – Power Penalty Due to Decission Time Jitter in Optical

Communication Systems – Electronic Letters, No.22 986, strony 450-45

[7]. A.Papoulis – PrawdopodobieĔstwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne – WNT 972 [8]. L.Hasse, L.Spiralski – Szumy elementów i