z wykładu

420 Ci

ą

gi i szeregi funkcyjne

Definicja

Niech Xbędzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f_n :X →K dla

,... 3 , 2 , 1 =

n , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Ciąg

)

(f_n nazywamy ciągiem funkcyjnym.

Definicja

Mówimy, Ŝe ciąg funkcyjny (fn), gdzie fn :X →K dla n=1,2,3,... jest zbieŜy punktowo do funkcji f :X →K na zbiorze X, gdy ∀x∈X | fn(x)− f(x)|→0,

tzn. . | ) ( ) ( | 0 _{, ,}

ε

ε

> ∃ ε ∈ ∀ ≥ ε − < ∀ ∈ ∀x X n _x N n n _x f_n x f x Funkcję f(x) lim f_n(x) n→∞

= nazywamy granicą punktowąciągu funkcyjnego

)

(f_n . Piszemy wtedy f_n(x)→ f(x) dla kaŜdego x∈X .

Przykład

n n x x

f ( )= , x∈<0,+∞). Jaka funkcja jest granicą punktową dla ciągu (f_n(x)) ?

Definicja

Mówimy, Ŝe ciąg funkcyjny (f_n), gdzie f_n :X →K dla n=1,2,3,... jest zbieŜny jednostajnie do funkcji f :X →K na zbiorze X , gdy sup| ( )− ( )|→0

∈X fn x f x x , tzn. . | ) ( ) ( | sup 0

ε

ε

> ∃ ε∈ ∀ ≥ ε − < ∀ ∈ f x f x n n N n _n X x

Funkcję f(x) nazywamy granicą jednostają ciągu funkcyjnego (f_n). Piszemy wtedy fn_→→ f na zbiorze X .

Uwaga

ZbieŜność jednostajna ciągu implikuje zbieŜność punktową.

Granicą jednostajną ciągu funkcyjnego moŜe być jedynie funkcja będąca granicą punktową tego ciągu.

Jeśli f_n→→ f na zbiorze X , to równieŜ f_n→_→ f na kaŜdym podzbiorze Y ⊂ X . Mimo, Ŝe fn →/ f na zbiorze X (punktowo lub jednostajnie), ciąg (fn)moŜe

Przykłady

n n x x

f ( )= . Wtedy

ciąg (f_n) nie jest zbieŜny jednostajnie na przedziale <0,1>. Jeśli 0<δ ≤1 to ciąg (f_n) jest zbieŜny jednostajnie na przedziale

> − <0,1

δ

.

Ciąg fn(x)=xn(1−x)n jest zbieŜny jednostajnie na <0,1>. Ciąg f_n(x)=xn(1−xn) nie jest zbieŜny jednostajnie na <0,1>.

Kryterium Cauchy’ego zbie

Ŝ

no

ś

ci jednostajnej ci

ą

gu funkcyjnego

Niech Xbędzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f_n :X →K dla

,... 3 , 2 , 1 =

n , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Ciąg funkcyjny (f_n) jest zbieŜny jednostajnie na zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy

. | ) ( ) ( | sup , 0

ε

ε

> ∃ ε ∈ ∀ ≥ ε − < ∀ ∈ f x f x n m n N n _{n m} X x Dowód

Definicja

Niech Xbędzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f_n :X →K dla

,... 3 , 2 , 1 =

n , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Szereg

∑

n n x

f ( ) nazywamy szeregiem funkcyjnym.

Definicja

Szereg funkcyjny

∑

n

n x

f ( ), gdzie f_n :X →K dla n=1,2,3,... nazywamy zbieŜnym punktowo do funkcji f :X →K na zbiorze X , gdy jego ciąg funkcyjny sum częściowych

∑

= = n k k n x f x s 1 ) ( )

( jest zbieŜny punktowo do funkcji f na zbiorzeX, tzn. ∀x∈X |sn(x)− f(x)|→0, a więc . ) ( ) ( 0 1 , ,

ε

ε

> ∃ ε ∈ ∀ ≥ ε − < ∀ ∈ ∀

_∑

= x f x f n n N n X x n k k x x

Funkcję f(x) nazywamy sumą punktową szeregu

∑

n n x f ( ). Piszemy wtedy

∑

= n n x f x f( ) ( ) dla kaŜdego x∈X .

Przykład

Definicja

Szereg funkcyjny

∑

n

n x

f ( ), gdzie f_n :X →K dla n=1,2,3,... nazywamy zbieŜnym jednostajnie do funkcji f :X →K na zbiorze X , gdy jego ciąg funkcyjny sum częściowych

∑

= = n k k n x f x s 1 ) ( )

( jest zbieŜny jednostajnie do funkcji f na zbiorzeX, tzn. sup| ( )− ( )|→0

∈X sn x f x x , a wiec . ) ( ) ( sup 0 1

ε

ε

> ∃ ε ∈ ∀ ≥ ε − < ∀

_∑

= ∈ f x f x n n N n n k k X x

Funkcję f(x) nazywamy sumą jednostajnąszeregu funkcyjnego

_∑

n n x f ( ). Piszemy wtedy f f n n_→→

∑

na zbiorze X .

Przykład

n n x x f ( )= . Wtedy Szereg funkcyjny

∑

∞ =0 n n

x nie jest zbieŜny jednostajnie na przedziale

) 1 , 0 < . Jeśli 0<δ ≤1 to szereg funkcyjny

∑

∞ =0 n n

x jest zbieŜny jednostajnie na kaŜdym przedziale <0,1−

δ

> do funkcji

x x f − = 1 1 ) ( .

Uwaga

ZbieŜność jednostajna szeregu implikuje zbieŜność punktową.

Sumą jednostajną szeregu funkcyjnego moŜe być jedynie funkcja będąca sumą punktową tego szeregu.

Kryterium Cauchy’ego zbie

Ŝ

no

ś

ci jednostajnej szeregu funkcyjnego

Niech Xbędzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f_n :X →K dla

,... 3 , 2 , 1 =

n , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Szereg

∑

fn jest zbieŜny jednostajnie na zbiorze Xwtedy i tylko wtedy, gdy

. | ) ( | sup 0 1 ε ε > ∃ ε ∈ ∀ > ≥ ε < ∀

_∑

+ = ∈ f x n m n N n n m k k X x Dowód

Kryterium Weierstrassa zbie

Ŝ

no

ś

ci jednostajnej szeregu funkcyjnego

Niech Xbędzie dowolnym niepustym zbiorem i niech fn :X →K dla

,... 3 , 2 , 1 =

n , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. JeŜeli istnieje ciąg (an) nieujemnych liczb rzeczywistych taki, Ŝe

n n X x a x f ≤ ∈ | ( )|

sup dla wszystkich liczb n∈N,

+∞ <

∑

an ,

to szereg funkcyjny

∑

f_n jest zbieŜny bezwzględnie i jednostajnie na zbiorze X.

Dowód

Funkcja dzeta Riemanna

Funkcja

∑

∞ = = 1 1 ) ( n x n x

ζ , dla x∈(1,+∞) przyjmuje skończone wartości.

Pytanie o wartość funkcji ζ(x) (w dowolnym x) nadal nie jest rozwiązane. Hipoteza Riemanna (1859):

„Wszystkie rozwiązania równania ζ(z)=0, z∈C, leŜą na jednej prostej.”

nadal nie jest udowodniona.

Kryterium Abela zbie

Ŝ

no

ś

ci jednostajnej szeregu funkcyjnego

Niech Xbędzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f_n:X →R dla

,... 3 , 2 , 1 = n . JeŜeli 0 ) (x ≥ fn dla wszystkich n∈N i x∈X,

ciąg liczbowy (fn(x)) jest monotoniczny dla kaŜdego x∈X ,

ciągi liczbowe (fn(x)) są wspólnie ograniczone, tzn. dla pewnej liczby

+∞ < ≤M 0 M x fn N n X x ≤ ∈ ∈ sup| ( )| sup ,

szereg funkcyjny

∑

g_n(x) jest jednostajnie zbieŜny na X , to szereg

∑

f_n(x)g_n(x) jest równieŜ jednostajnie zbieŜny na X .

Dowód

Kryterium Dirichletta zbie

Ŝ

no

ś

ci jednostajnej szeregu funkcyjnego

Niech Xbędzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f_n:X →R dla

,... 3 , 2 , 1 = n . JeŜeli 0 ) (x ≥ f_n dla wszystkich n∈N i x∈X,

M x g n k k X x ≤

∑

= ∈ 1 ) ( sup ,

to szereg

∑

f_n(x)g_n(x) jest równieŜ jednostajnie zbieŜny na X .

Dowód

Przykład

Szereg

∑

∞ =1 sin n n nx

jest jednostajnie zbieŜny na kaŜdym przedziale

, 2 , − > <δ π δ gdzie 0<δ <π . Szereg

∑

∞ =1 sin n n nx