L A B O R A T O R I U M V O O R
S C H E E P S C O N S T R U C T I E S
T E C H N I S C H E H O G E S C H O O L - DELFT
R A P P O R T N r . S S L 155
BETREFFENDE:
B r e u k m e c h a n i c a e n t o e p a s s i n g s m o g e l i j k -h e d e n v o o r de s t a a l c o n s t r u c t e u r . d o o r P r o f . i r . J.J.W. N i b b e r i n g .BREUKMECHANICA EN
TOEPASSINGSMOGELIJK-HEDEN VOOR DE STAALCONSTRUCTEUR*
SAMENVATTING
Na een bespreking van de verschillen tussen stabiele en instabiele scheurvorming wordl de klassieke behandeling van het probleem van instabiele scheurgroei ge-geven. Vervolgens komen de toepassingsmogelijkheden ter sprake.
Voorts wordt aangegeven hoe de tekortkomingen van de klassieke theorieën kunnen worden opgeheven. De invloed van benaderingen in de wiskundige behan-deling van Wells wordt nader geanalyseerd. De wijze waarop de breukmechanica in praktijk wordt gebracht bij experimenteel onderzoek in het laboratorium voor Scheepsconstructies van de T.H. te Delft wordt toegelicht met vermelding van de ervoor ontwikkelde meettechniek.
Tot slot worden enkele methoden gegeven waarmee de invloed van beperkte plaat-breedten, van drie-assigheid van de spanningstoestand in de plastisch gedeformeerde zone en van hoge belastingssnelheden in rekening kan worden gebracht.
SUMMARY
The differences between stable and mutable fracturing are indicated after which the classic approach of the problem of unstable fracturing is given. Next the practical use of this theory is proved to be small. Moreover is indicated how the theory can be improved. The mathematical treatment by Irwin-Wells is analyzed. The use of fracturemechanics in connection with experimental work in the Delft Ship Structures Laboratory is discussed and the measuring techniques are shown. Finally methods are given for estimating the influence of restricted platewidth, triaxiality of the stress state in small plastic zones and high rates of loading.
1. I n l e i d i n g
Breukmechanica is de letterlijke vertaling van f r a c t u r e mechanics. Het is een be-t r e k k e l i j k nieuwe be-tak van de be-technische mechanica, die zich vooral i n de Verenigde Staten heeft o n t w i k k e l d . Later hebben ook Engeland en Japan veel aan deze weten-schap bijgedragen. I n Nederland is kennis van de breukmechanica maar i n enkele kringen en vaak nog op beperkte schaal aanwezig. Daarbuiten ontmoet men schroom voor het onbekende en veel onbegrip. D i t k o m t mede doordat sommige beoefenaars van breukwetenschappen i n h u n enthousiasme wel eens het contact met de werkelijkheid verloren, o f vergaten de grenzen van toepasbaarheid aan te geven. T o e n bleek dat voor normale constructiestalen de f r a c t u r e mechanics v o o r het meest klemmende probleem — hoe brosse breuk te vermijden — niet de tover-staf was die men zich wenste, hebben vele constructeurs zich teleurgesteld van deze wetenschap afgewend. Hiertoe heeft bijgedragen dat de vakgeleerden een aantal termen als strain energy release rate, critical crack extension force, stress intensity factor etc. hebben ingevoerd die wel eens afschrikwekkend werken; de laatste, ook wel stress field parameter genaamd, k o m t bovendien in de gedaante
voor, a f h a n k e l i j k ervan of we met plane strain, plane stress of een critical value te maken hebben.
* Overgenomen uit „ C ' o n s t r u c t i c m a t e r i a l e n " nov. dec. 1968. ** Technische Hogeschool, D e l f t .
door ir. 1. ]. W. Nibbering
O m de termverwarring niet groter te maken, zullen in dit artikel uitsluitend de Engelse u i t d r u k k i n g e n worden ge-bezigd.
Een gelukkige omstandigheid is dat de breukmechanica niet direct een moeilijke wetenschap is, tenminste niet in wiskundig opzicht. £>e meeste afleidingen z i j n weinig ge-gecompliceerd en vergen niet te veel basiskennis. Zodra men met een aantal begrippen v e r t r o u w d geraakt is en enkele basisformules „ d o o r z i e t " is men spoedig i n staat o m ermee te werken en nieuwe ontwikkelingen i n de l i -teratuur te volgen. D i t , en het feit dat de breukmechanica speciaal voor constructeurs die met staalsoorten van ho-gere sterkte te maken hebben van groot belang is, moge aanleiding z i j n o m er eens kennis mee te maken. D i t arti-kel heeft de bedoeling g e ï n t e r e s s e e r d e n daarbij o p weg te helpen.
2. E c n c n u H l c r o v c r s d M a r e B e i i b n a l M
M e t enige o v e r d r i j v i n g zou men kunnen zeggen dat er voor de breukmechanica maar twee soorten scheuren be-staan en w e l stabiele en instabiele scheuren. Het onder-scheid w o r d t duidelijk u i t de beschrijving van een insU-biele scheur. Het is een scheur die zich kan uitbreiden zonder dat hiervoor uitwendige arbeid behoeft te worden verricht, dus zonder dat de belasting w o r d t verhoogd o f de belaste randen w o r d e n verplaatst. I n de staalbouw hebben tot n u toe instabiele scheuren zich i n hoofdzaak voorgedaan i n de v o r m van zogenaantde brosse breuken. Deze planten zich met een snelheid van 1 & 2 km/sec. voort. Betrekkelijk langzaam groeiende scheuren kunnen echter eveneens een instabiel karakter vertonen. Z i j ko-men vooral i n staalsoorten van hoge sterkte voor. Het zijn voornamelijk schuifbreuken. Vermoeiingsscheuren vor-men i n deze categorie een bijzonder geval.
B i j de scheurvorming onderscheidt men i n het algemeen 3 stadia: het ontstaan o f i n i t i ë r e n , het langzaam (stabiel) uitbreiden tijdens het opvoeren van de belasting, het plotseling versneld voortplanten (instabiel).
Het tweede stadium w o r d t veelal overgeslagen, i n het bijzonder b i j brosse breuken. Stabiele, langzame uitbrei-d i n g van een scheur is eigenlijk alleen mogelijk als, als
S
evolg van de scheurvorming, de uitwendige belasting aalt. Gebeurt dit niet, zoals b i j v . het geval zal zijn b i j eenoneindig lange plaat, dan is de scheur zodra h i j begint te lopen niet meer in staat te stoppen. D i t is eenvoudig in te zien, zonder in energiebeschouwingen te vervallen. I n f i g u u r 1 is een plaat getekend, voorzien van een kunst-matig aangebrachte scheur. De plaat is loodrecht o p het vlak van de scheur belast. A a n de k e r f t i p heerst een spanning die gelijk is aan het produkt van de daar aan-wezige spanningsconcentratie k en de gemiddelde span-ning O . Wanneer de scheur b i j de getekende belasting aan beide einden met een stukje A a aangroeit, stijgt de span-ningsconcentratie k met A k en de spanning aan de voet van de kerf w o r d t (k - I - A k) o.
V ó ó r het verder scheuren was een spanningstoestand, ge-karakteriseerd door ko nodig o m de scheur te laten groeien; i n de nieuwe spanningstoestand die d u i d e l i j k o n -gunstiger is, zal de scheur zeker verder groeien. A l l e e n als door het scheuren de uitwendige belasting daalt, kan (k + Ak)oiiieuw kleiner z i j n dan k . <j„u(i, en k a n de scheur-groei tot stilstand komen. D i t kan zich gemakkelijker voordoen naarmate de plaat waarin zich de scheur be-vindt k o r t e r is. D i t is toegelicht i n f i g u u r 2, w a a r i n een korte plaat is getekend, ingespannen i n een stijf f r a m e . D e k e r f i n de lange plaat van f i g u u r 1 bevindt zich o p zo grote afstand van de belaste randen dat i n de spannings-verdeling aan die randen de aanwezigheid van de kerf niet meer merkbaar is; de spanningsverdeling is gelijk-matig. Tevens zal wanneer de scheur groeit, de gemid-delde spanning i n de plaat nauwelijks dalen i n tegenstel-l i n g tot de korte ptegenstel-laat waar w e tegenstel-l een d u i d e tegenstel-l i j k e d a tegenstel-l i n g optreedt. D i t is i n te zien door het materiaal boven en o n -der de k e r f i n gedachten te vervangen door een stel korte, resp. lange veren ( f i g u u r 3). Een kleine v e r v o r m i n g van de kerfzone (gearceerd) zal de veerspanning van de korte veren i n de b u u r t van de kerf merkbaar doen dalen. D e veerspanning van de lange veren verandert weinig o f niet. U i t d i t alles volgt dat v o o r een oneindig lange (en brede) piaat het verschijnsel van langzame stabiele scheurgroei principieel o n m o g e l i j k is.
D i t w o r d t met enige n a d r u k vermeld omdat i n de litera-t u u r w e l eens lichlitera-tvaardig over de mogelijkheid van slitera-ta- sta-biele scheurgroei w o r d t gesproken, b i j het afleiden van f o r m u l e s die i n principe alleen voor platen met oneindige afmetingen gelden.
1±JLU_L
r r Lu. l i . 1 1 t "- HOW SCHCm ia mm scneu/i 210.10) I -L-J- t t W 1 mon SCHEUR !o EN 5Ct£UH 2la.ialTTTTTT
Fig. 1.Spanningsverde-ling in een lange placil vi)i>r
en na scheurgroei.
22
^ IITJUt •>
0E2E *FSTmD trnmt rXtNS HCT
SCUM-moers coftsTMr
ar-iPHNNtmSyCRXLHi NA tfmimcN MM oe sofw
nr la.aa Fig. 2. Spanningsverdeling aan de bela.ue
rand van een korte plaat voor en na scheur-groei.
VEERKHACHJCN^
r r r
Fig. "Sb. Model van een korte plaat met
.scheur. Dil nunlel geefi evenals dal van fig. .Ul een sterk vereenvoudigd heeld van de werkelijkheid, doordal, de (horizl<de) verbindingen lussen de veren on-derling zijn weggeliilen.
- STRIP MATE-RIAAL MET KERF
; i li | l ! I ; I j : i i ;
i ! l l !1 11
' I I ' II I I : i 11 l i 11 l i l i
Fig. Model van een lange plaat mei
Vanzelfsprekend Is stabiele scheurgroei wèl mogelijk in platen o f constructies waar de spanningsverdeling niet ge-l i j k m a t i g is of waar de mechanische eigenschappen van het materiaal niet u n i f o r m z i j n door de invloed van las-sen, branden o f k o u d vervormen. V e r o u d e r i n g o f verste-viging aan de t i p van een scheur kan ook een oorzaak z i j n .
3. Instabiele scheurgroei i n een oneindig lange en brede piaat
Wanneer een plaat met een kerf of scheur erin onder spanning gebracht w o r d t , rekt het materiaal aan de voet van de kerf. E r w o r d t dus energie i n dat materiaal opge-hoopt ter grootte van
per volume-eenheid.
I n niet-plastisch vervormend materiaal zal ter plaatse van een oneindig scherpe scheur een oneindig grote span-ningsconcentratie aanwezig zijn. Theoretisch zou dan b i j een oneindig kleine belasting de scheur verder moeten groeien. G r i f f i t h heeft deze moeilijkheid ondervangen door te onderstellen dat de kromtestraal ƒ van de scheur-t i p één ascheur-toomafsscheur-tand grooscheur-t is en de scheur zelf ellipscheur-tisch van v o r m is.
M e t behulp van een f o r m u l e voor de spanning aan de t i p van een elliptische scheur van Inglis:
(2a = scheurlengte) l /
-] / — (h = atoomafstand)
'T.nnx = 2 ( 7 y h.
IS
M e n zou nu kunnen denken dat breuk ontstaat als deze spanning de cohesiesterkte overschrijdt, maar dat is niet juist. D i t is toegelicht i n f i g u u r 4.
H e t materiaal aan de k e r f t i p breekt pas op het moment dat de hele „ t r e k k r o m m e " doorlopen is, dus niet op het moment dat de m a x i m u m spanning w o r d t bereikt. I n het materiaal is dan een hoeveelheid energie ondergebracht ter grootte van het oppervlak van die t r e k k r o m m e . B i j de v o r m i n g van een scheur ontstaan er iwee nieuwe
op-pervlakken en k o m t de r o n d o m de scheurtip opgehoopte elastische energie v r i j . Deze energie, gedeeld door de twee oppervlakken w o r d t oppervlakte-energie genoemd (;•).
B i j materialen die plastisch kunnen v e r v o r m e n is de aldus gedefinieerde oppervlakte-energie veel kleiner dan de energie die v ó ó r het breken nodig is o m het materiaal lokaal plastisch te v e r v o r m e n ( f i g u u r 5). In plaats van de oppervlakte-energie spreekt men dan liever van „ f r a c t u r e toughness". D i t is de hoeveelheid energie (,,strain energy") die nodig is o m een lengte-eenheid materiaal (bijv. 1 cm) naast de bestaande kerf tot scheuren te bren-gen. Het is dus de benodigde hoeveelheid scheureneigie per lengte-eenheid scheurtoename, en derhalve een mate-riaaleigenschap.
Zolang een scheur niet groeit, wordt bij hct opvoeren van
Overzlchl van symbolen «r
- -
nominale spanning( 7 , . - spanning op afstand r van scheurtip CT,.
=
"yiiid = vloeigrensV halve scheuropening (fig. 6) •\
0
=
2'!Slip
=
2>/ii|i r= .scheuropening aan scheurtip— <) op moment dat instabiele scheurgroei begint Sm 2/;,,, = scheuropening op halve scheurlengte a halve scheurlengte
a, halve scheurlengte bij begin instabiele scheurgroei
i
=
afstanden vanaf scheurtip, zie f i g . 7X zie fig. 6 W - plaatbreedle
K
=
stress intensity factor voor plane stress K|=
stress intensity factor voor plane strain K , > critical stress intensity factorKic S
critical stress intensity factor p.c.f.
=
plastic constraint factor G strain energy release rateof: crack extension force (tendency) G,.
-
critical G — fracture toughness f=
vervormingssnelheids
=
grootte van de plastische zonede belasting in de omgeving van de scheur arbeid opge-hoopt (strain energy). Deze strain energy is te bereke-nen als de spanningstoestand r o n d o m de kerf bekend is. I r w i n [2] heeft dit gedaan met behulp van f o r m u l e s op-gesteld door Westergaard. Deze hebben alle de volgende v o r m ( f i g u u r 6): K \27TT K f l (ö) — ^ f 2 (Ö) 27rr K 27rr f3 (ö)
K wordt de stress intensity f a c t o r genoemd o f stress f i e l d parameter. Deze is niet gelijk aan de welbekende span-ningsconcentratiefactor, die a f h a n k e l i j k is van de afstand r tot de scheurtip ( k , ) . Het verband tussen K en kr l u i d t :
K = k r . <r . V27rr (zie § 4).
I n K is de gemiddelde spanning al ondergebracht; K heeft dus de dimensie van een spanning per V c m .
V o o r ö = O ^ ir,. = — — 1). V o o r een kerf als i n f i -\'27rr
guur I is bekend dat K = <r\/ira. (2).
4
BftfUK trHEtDl mj OP IPV O'OmaxI MAAR HIERFig. 4. S/wnnini^'-rek diagram voor
..proej-slatijje" ter ffroolle van 2 alonien. Kiguiir
. .ELASIISCH VERVORMD i / l i n OE ORDE VAN IATOOMAFSTAND) PIASIISCH VERVORMD i9 Figuur 6.
D e elastic strain energy i n een plaat die probeert een daarin aanwezige kerf o f scheur te vergroten, kan n u het best worden bepaald door u i t te rekenen hoeveel arbeid er per lengte-eenheid scheurtoename v r i j k o m t als de be-staande kerf over é é n afstandje A a w o r d t opengezaagd* ( f i g u u r 7).
I 11
Figuur 7.
G = /" (M*') (2v) d r . a = r, = , ( r ' )
De f a c t o r Vz voor Or hangt samen met het feit dat de span-n i span-n g aaspan-n de raspan-nd vaspan-n het stukje scheur vaspan-n 1 c m aaspan-nvaspan-n- aanvan-k e l i j aanvan-k gelijaanvan-k is aan or en op het laatst gelijaanvan-k aan
Bekend is (Westergaard) dat
V = ^ ^ < i ^ - x ' ' (3)1
(x gemeten als i n f i g u u r 6) d i t geeft ( f i g u u r 7)
, = | L y ' a 2 - ( a - r r = | . ) / 2 « r ^ ( r ' « a ) (3a), H i e r u i t volgt met f o r m u l e 2 dat:
voor r* moet hierin A a — r worden ingevuld, omdat f gemeten w o r d t vanaf het punt r = A a.
G w o r d t n u
Aa
J y'2^i E r TT ED i t is wel een bijzonder eenvoudige betrekking, welke in v o r m overeenkomt met de bekende u i t d r u k k i n g voor een getrokken staaf
A = ~ F immers K = <r\/.-io, dus G = (5)
2E E De arbeid die v r i j k o m t als de scheur w o r d t opengezaagd
neemt toe naarmate de scheur groter w o r d t . D i t b l i j k t u i t f o r m u l e (5). V a n a f een bepaalde scheurgrootte zal de ar-beid die v r i j k o m t b i j het vergroten van de scheur met é é n c m groter z i j n dan de arbeid nodig o m de scheur nog eens
I c m verder te scheuren, dat w i l zeggen grotei zijn dan
de f r a c t u r e toughness. D i t maakt dat de scheur niet meer kan stoppen. D e strain energy release per lengte-eenheid scheurtoename o f w e l de strain energy release rate is gro-ter geworden dan de f r a c t u r e toughness. D c kritische waarde van de strain energy release rate, de critical strain energy release rate w o r d t nu Go genoemd en is gelijk aan de f r a c t u r e toughness. D e stress intensity f a c t o r K heeft op dat moment ook een kritische waarde bereikt die K , ge-noemd wordt. Tegenwoordig w o r d t de waarde hiervan, die enigszins vergelijkbaar is met de treksterkte van het materiaal, als materiaaleigenschap gehanteerd in plaats
* Deze arbeid wordt gebruikt om hel crnaasliiggcnde ge-biedje te vervormen.
van de f r a c t u r e toughness. D i t ondanks dat v o o r plastisch vervormende materialen Ge principieel de v o o r k e u r dient. I n het gebied v a n betrekkelijk grote plastische ver-vormingen verliest de stress intensity f a c t o r K n a m e l i j k z i j n oorspronkelijke betekenis, omdat de spanning i n de omgeving van de kerf praktisch gelijk is aan de vloei-grens. I n feite w o r d t het al o f niet verder scheuren v a n een kerf dan i n hoofdzaak bepaald door de hoeveelheid rek die het materiaal i n de bestaande situatie k a n onder-gaan [3].
G i s dan gelijk aan (Ty X Stip (11a) S,ip = scheuropening aan de t i p = crack opening displacement = C . O . D . ) c n
Ge = «Ty X S , . , , p (12) ( z i e § 5).
V o o r d a t hier verder op w o r d t ingegaan, w o r d t de strain energy release rate G nog eens langs een andere weg be-rekend o m d i t begrip en de f r a c t u r e toughness wat meer reliëf te geven.
De verplaatsing van een k e r f w a n d i n belaste toestand ten opzichte van die i n onbelaste toestand tj was gelijk aan
| - } / a 2 - x2. (3)
Stel dat de k e r f w a n d e n i n onbelaste toestand aan elkaar geplakt z i j n ; de spanning op die wanden is dan gelijk aan de nominale spanning (door het p l a k k e n is de k e r f w e r -k i n g g e ë l i m i n e e r d ) . Wanneer de l i j m tot smelten w o r d t gebracht, daalt de spanning op de k e r f w a n d e n . A l s de l i j m is gesmolten, staat de k e r f geheel open en is de span-ning o p de k e r f w a n d gelijk geworden aan 0. G e m i d d e l d heeft op de k e r f w a n d dus een spanning gewerkt v a n
g + O
De arbeid die tijdens het smelten v a n de l i j m is v r i j g e k o -men, bedraagt
x = a x . = a
U j 2Vx d x = / \a2 _ x2 . d x ; x = - a x = - a
X
door — = s i n ip te stellen is deze igtegraal op te lossen
u =
E
Als nu de beide einden van de kerf een stukje da w o r d e n ingezaagd, k r i j g t het onder spanning staand materiaal en-der en boven de kerf de gelegenheid de scheur open te trekken, d i t w i l zeggen het materiaal aan de nieuwe scheurtip te v e r v o r m e n . D e energie die hiervoor beschik-baar gekomen is, bedraagt
G = ^ = ^^'"-a da E (strain energy release rate).
Per scheurtip is G = ^ ^ ^ ^ (5) E
Met K = 0 1 - 7 7 3 ( 2 ) geeft d i t weer K - = E G (4)
B i j voldoend grote scheur kan de energie die b i j het gro-ter zagen van de scheur beschikbaar k o m t weer meer z i j n dan nodig is o m die scheur nog zo een stukje te ver-groten en er ontstaat een instabiele breuk.*
D i t gebeurt als G ( = ^ ^ ^ ) > f r a c t u r e toughness G , . Cl
* Men bedenke dal de energie die per lengte-eenheid vrijkomt bij het inzagen van een .scheur bij een spanning waarbij dc scheur op het punt van spontaan scheuren staal, precies gelijk is aan de energie die bij spontaan scheuren per lengte-eenheid zou vrijkomen.
G , is dus weer gelijk aan de ..critical strain eneigy
release rate f o r unstable f r a c t u r i n g " .
De strain energy release rate G w o r d t wel gezien als de kracht die nodig is o m een scheur 1 c m te doen groeien, omdat het de dimensie van een k r a c h t heeft (arbeid ge-deeld door eenheid van scheurgroei). D i t is niet zo aan-t r e k k e l i j k , wanaan-t G is geen krachaan-t maar p o aan-t e n aan-t i ë l e energie. De naam ervoor is crack extension f o r c e , maar zolang de scheur niet groeit, is crack extension f o r c e tendency beter! ( I r w i n ) .
D e critical crack extension f o r c e is dan de eigenlijke crack extension force omdat pas b i j het bereiken van die waarde van G de scheur gaat groeien.
T o t nu toe is gevonden: , = | . ( / a 2 _ x2 , 3 ) , U = - 1
ƒ
x = a 2>?dx = X = — a ^'^'^a'-' _ d U TToSa (5)= strain energy release rate ( = crack extension f o r c e ) ,
Ge = critical strain energy release rate = f r a c t u r e
tough-ness (materiaaleigenschap).
Stress intensity f a c t o r K waarmee or te berekenen is
K
y Z r r
K 2
G = - ^ (4) K 2 = E G ; K . 2 - E G .
D i t alles geldt v o o r plane stress; v o o r plane strain ( I ) is
j , 2 = E G i 2 = E G i c 2
(zie ook slot § 5)
M e t fracture toughness w o r d t nu eens G , , dan weer K r bedoeld, z i j z i j n te onderscheiden door h u n dimensies:
K,. = (kg/cmi^) V c m = k g / c m 2 / 3 , G,. = k g c m / c m . c m = k g / c m .
V o o r een scheur ter breedte 2a i n een oneindig groot plaatveld is
K = crV.-Ta"(2), dus = a ] / ~ ( l a ) ' 2r ^ ^
4. Toepassfaig van het voorgaande
De stress intensity f a c t o r K is door verschillende auteurs berekend voor andere gevallen dan de tot nu toe behan-delde plaat met een kerf op de halve breedte over de volle plaatdikte.
V o o r een ronde staaf met buitendiameter D en een k e r f -diameter d:
K =
. l / d
. f(1); =
( S
( ^ s .
V o o r een buigstaaf met de getekende afmetingen ( f i g u u r
8) is door W i n n en W u n d t gevonden [ I j , [71 K = O \ / h . i ( ^ ) 11^ J punts 4 punt.s lunging hniging Kiguiir 8. voor = 0,9 is f ( i l ) = 0,20 a d 0,23 v o o r „ — 0,8 is „ — 0,32 0,36
H e t toepassen van de f r a c t u r e mechanics i n de p r a k t i j k kan nu als volgt geschieden. Een buigstaaf. die voorzien is van een zeer scherpe kerf w o r d t b i j de laagste ge-bruikstemperatuur tot breuk belast. A l s de nominale
M
breukspanning <r = — berekend over de kerfdoorsnede W
belangrijk lager b l i j k t te z i j n d a n de vloeigrens, k a n deze breukspanning i n de f o r m u l e Ke = <rbre„k | / h f ( ^ ) ingevuld w o r d e n en K c w o r d e n berekend.
D i t is dan de Kc-waarde v o o r die temperatuur, dat mate-riaal en die plaatdikte; het is dus n o o d z a k e l i j k o m de buigproef op een plaat van de i n de constructie vereiste plaatdikte te doen.
M e t de n u gevonden Kcwaarde k a n met a = ^ w o r -jTrac den berekend welke scheuren van het type v a n f i g u u r 1 bij bepaalde spanningen i n de constructie mogen v o o r k o -men zonder dat gevaar v o o r een complete b r e u k be-staat.
E e n andere m o g e l i j k h e i d o m K c te bepalen is een proef-staat als i n f i g u u r 1 belasten tot een bepaalde spanning en de scheur geleidelijk aan openzagen; de scheurgrootte o p het moment van instabiele scheurgroei (ac) k a n dan worden ingevuld i n de f o r m u l e s Gc =
""^^^^
(6) o fE
Kc = ffVTrac . (7) ( B i j de eerstgenoemde buigstaaf kan
na-t u u r l i j k de „ i n z a a g m e na-t h o d e " ook w o r d e n gevolgd en b i j de plaat van f i g u u r 1 k a n de „ b e l a s t i n g - o p v o e r m e t h o d e " worden toegepast).
V e r m o e d e l i j k zal men d i t alles op het eerste gezicht een n u t t i g geheel vinden. Helaas l i j k t het mooier dan het is. want wanneer het toegepast w o r d t op een constructie-staal van normale sterkte (St. 41, St. 52) stuit men o p de m o e i l i j k h e i d dat b i j temperaturen die i n de b u u r t liggen van de i n N e d e r l a n d voorkomende laagste waarden (ca. — 2 0 ° C ) , de buigstaaf nauwelijks tot scheuren is te bren-gen (tenzij het een bijzonder slecht staal b e t r e f t , dat aan geen enkele specificatie voldoet).
Als er uiteindelijk een scheur ontstaat, is de nominale spanning tenminste gelijk aan de vloeigrens. D e conclusie zou dan moeten luiden dat er totaal geen gevaar v o o r ontstaan van een instabiele breuk bestaat. M a a r dat is lang niet a l t i j d waar. I n staalconstructies b e v i n d t zich o p vele plaatsen materiaal dat een aanzienlijk slechtere f r a c -ture toughness bezit dan het o o r s p r o n k e l i j k geleverde materiaal. D i t is een gevolg van lassen, branden, k o u d vervormen e.d. O p de bedoelde plaatsen k u n n e n later wel degelijk scheuren onUtaan. I n veel gevallen z i j n dat brosse breukjes. Deze hebben het grote bezwaar dat z i j van meet af aan een enorme voortplantingssnelheid be-zitten. D i t houdt i n dat het materiaal aan de scheurtip aan uiterst snelle v e r v o r m i n g w o r d t blootgesteld. H i e r -door kan de f r a c t u r e toughness dalen tot een f r a c t i e van de waarde die v o o r langzame v e r v o r m i n g geldt, wat tot gevolg kan hebben dat de scheur ook na het veriaten van de d o o r branden, lassen e.d. bedorven zone niet meer tot stilstand k o m t .
U i t het voorgaande volgt tevens dat instabiele scheuren ook in betrekkelijk gezond materiaal k u n n e n ontstaan, namelijk wanneer de constructie aan een schokbelasting w o r d t blootgesteld. H i e r v o o r is de aanwezigheid van een zeer scherpe kerf o f scheur vereist. H e l materiaal aan de k e r f t i p zal zeer snel vervormen, wat gepaard kan gaan
met een zodanig lage fracture toughness dat breuic ont-staat.
De moraal van deze overwegingen is, dat het geen zin heeft o m K,.-waarden te bepalen v o o r gezond materiaal e n / o f b i j lage belastingssnelheden, tenzij het gaat o m ma-teriaal, waarvan de f r a c t u r e toughness weinig w o r d t be-ïnvloed door een hoge belastingssnelheid, zoals de zeer sterke staalsoorten.
V o o r normaal staal geldt dat het eerst op een realisti-sche wijze moet worden bedorven, voordat de K,. w o r d t bepaald. Het is dan wenselijk dat het materiaal tevens bestand is tegen lichte schokbelastingen, wat betekent dat de Kc-waarde b i j verhoogde belastingssnelheid moet worden bepaald. Valproeven z i j n hiertoe zeer geschikt
[8]. Iets meer over de invloed van de belastingssnelheid
is i n hoofdstuk 9 te vinden.
5. C o m c t i e s v o o r plastische deformatie aan de scheurtip
D e tot nu toe gegeven formules zijn slechts geldig voor materialen, die geen, o f slechts uiterst kleine plastische vervormingen aan de k e r f t i p vertonen, v ó ó r d a t instabiele breuk ontstaat. Z i j hebben dus alleen betrekking op zeer brosse materialen zoals glas. A l s zodanig kan ook staal worden beschouwd i n bepaalde omstandigheden, b i j v . wanneer het belast w o r d t b i j zeer lage temperatuur e n / o f hoge belastingssnelheid. O m de gedachten te bepalen kan men zeggen dat zodra een van een scherpe kerf voorzien stalen proefstuk breekt b i j een nominale spanning die groter is dan de h e l f t van de vloeigrens, de fracture toughness niet meer met voldoende nauwkeurigheid uit de scheurgrootte en breekspanning k a n worden berekend. V o o r het geval van een kerf i n een oneindig grote plaat ( f i g u u r 1) betekent dit dat K c groter is dan aangegeven
door de f o r m u l e Kc = < T g , \ / n a , o f w e l G , > '"'^Br^''
E
D i t zal nader w o r d e n toegelicht.
Neuber, I r w i n , Wells, Dugdale en enkele anderen heb-ben correcties v o o r de aanwezigheid van een plastische zone voorgesteld die ten doel hadden het toepassingsge-bied van de fracture-mechanics te vergroten tot nominale spanningen even beneden de vloeigrens.
Z i j komen neer op een fictieve vergroting van de eigen-l i j k e scheur met een eigen-lengte i n de orde van grootte van de h e l f t van de plastisch gedeformeerde zone.
Een eer voudige en plausibele benadering van het pro-bleem i,i gegeven door Wells [3] mede met gebruikma-k i n g van ideeën van I r w i n , zie f i g u u r 9. A l s het materiaal een vloeigrens oy heeft, is de met een getrokken l i j n ge-tekende elastische spanningsverdeling r o n d o m de kerf of scheur niet mogelijk. O p een afstand ry van de scheurtip zou de elastische spanning de grootte van de vloeigrens moeten hebben. Deze afstand is te berekenen met behulp
j (
van : = ( l ) , w a a r i n <r, = cr^ en V 2 7 r r
zone aan, want als het gearceerde stuk boven oy k o m t tc vervallen, moet voor het evenwicht het gearceerde stuk rechts van de elastische spanningsverdeling ervoor i n de plaats komen; het spanningsbeeld w o r d t dus als aange-geven met een getrokken l i j n in f i g u u r 10.
H e t stukje s is te berekenen u i t 00 00 00 f fffdr = »y 8 + cTrdr = «r^ . s + / ^ r d r 6 ' 'o (zie de f i g u r e n 9 en 10) r „ / < r , d r of (TJ, . s = (r,y/2TTi
A a n de scheur wordt n u een fictieve grootte 2 (a + r^.) toe-gekend ( f i g u u r 11) omdat het elasto-plastisch spannings-veld ( g r t r o k k e n l i j n i n f i g u u r 10), — dat equivalent is met het denkbeeldige elastische spanningsveld (gedeeltelijk gestippeld i n f i g u u r 10) — ten opzichte van de getrokken l i j n i n f i g u u r 9 over een afstand S—ry = 2ry — ry = ry is verschoven.
De werkelijke en denkbeeldige scheur z i j n aangegeven i n f i g u u r 11.
De scheuropening ^tip aan de t i p van de scheur (crack opening displacement = C . O . D . ) heeft een grootte die overeenkomt met de opening v a n een scheur ter lengte. 2(a + r^,) op afstand ry van de t i p ; met de f o r m u l e
2<r
»? = g V 2 a r (r < < a) (3a) geeft d i t
Snp = 2vry = 2 X 12(a + ryjrj,
met K = « T V T T (a + r^) geeft d i t Snp =
Met behulp van K 2
^» = o •> (8) w o r d t d i t 8,,p 4K E TT 4K2 TrE(r„ (10) en met K2 = E G ^ , S , , 4 G (10a) G = • Slip 4 f = Tyi - > ry =
In deze afleiding zitten vereenvoudigingen die ma-ken dat het geheel alleen v o o r ry < < a geldt. Wells heeft de invloed hiervan niet verder bekeken. H e t is de moeite waard o m het toch eens te doen.
Deze ry-waarde k o m t telkens weer terug in de verhande-lingen die de plasticiteit van het materiaal in aanmer-king nemen. Het geeft niet de grootte van de plastische
VCRDILIHO
^ PIASTISf.Hf -.PAN-'MPOfllNC,
Figuur 9.
\ mem DfiL VAN or ; ' ï ' SPANNINOSfUSCTë .TC
• \ M f f f Of LOT
Figuur 10. Fig. I I . Irwin-nunlel
De belangrijkste vereenvoudiging is het gebruik van de f o r m u l e
^ = — 1/ 2ar in plaats van 7; = ^'^ / a 2 _ , 2
E f E f • '
Een tweede is het in één f o r m u l e gebruiken van twee ver-schillende K-waarden, namelijk K = O - V T T (a + ry) en
K = a\/ira. De laatste u i t d r u k k i n g moet per definitie in
K 2
''y — 27r<7 2 (8) gebruikt worden, ofschoon de eerste
eigenlijk juister zou z i j n .
Immers die f o r m u l e geeft de echte K-waarde zoals geldt voor een scheur die naast de tip een plastische zone bezit, r^ uitgedrukt i n deze K-waarde is
7ra<T2 K a = I r l a T r y j o ^ • " = 2 . < r / ( a . r y ) (8a) 27r<T^2 r^2 + a . ry K a 2 ^ 2 ' = O + j / M a 2 K a 27r<7y2 (8') (8b) 2a r, = —1/ - x2 w o r d t 2 a 1/ 2 a ^ | / ( a . r y ) 2 _ a 2 = ^ / ry2 + 2
g |/ + ar^ + ar, = '2a / K a ^ 5" + ^'•y (m b . v . 8
en met behulp van (8b) 2 a V a " / " K
E ' 27ray2 - 3 ^ a +
y
K a 2 + K a 27ra,2M e t K = a\/7r(a + r , ) en (8a) is a te elimineren en het verband tussen »?tip en K te vinden. De uiteindelijk te vinden f o r m u l e is echter veel te ingewikkeld o m er mee te k u n n e n werken. 1/16,, I p a * Aa p a * Aa
Fig. 12. Al.s Je scheur mei halve lengle u daar inzagen
ver-groot wordt tol a -|- f a zal onder invloed van de in de plaal aanwezige elaxlische energie de plastisch gedeji>rnieerde zone tenminste mei dezelfde lengte f\a aangroeien. Hiervoor is per lengte eenheid een arheid o, X <> nodig.
ny O p p . S , —O p p . S ,
Z A a
- ay.i)
Handiger is o m de K-waarden te v e r m i j d e n en alles i n de spanning a u i t te d r u k k e n :
Ty wordt dan met K = a V ^ r a gelijk aan
K2 ^ ^ 2
27ra,2 2a^2 (8c)
De zojuist gevonden u i t d r u k k i n g
2a /
-'7iip = — / r^2 +2ary w o r d t hiermede
2aa2 7^2 E . ay f 4ay2 4aa2 1 / 4aa2 / ~ E . ay
F
4ay2 (10b) V o o r " = "y geeft d i t 4aa2 i / 5 "E O^ S l i p 4 , 5 a a „ry is dan gelijk aan (8c)
en G 2 ^ 2 ^ 37raay2
Ik
I . p . v . a 2 4,7 aay2 E De factor 4,7 scheelt zo weinig met de 4,5 i n, 4,5 aa, S u p = - g
-dat geschreven mag worden G = ay x S,ip. V o o r a = 0,5 ay v/ordt d i t G = 0,88 ay x Stip.
F i g u u r 12 laat zien dat b i j grotere plastische v e r v o r m i n -geldt. B i j kleinere waarden
gen 8 „ p (11a)
is de f o r m u l e echter ook betrouwbaar, zoals b l i j k t u i t het volgende.
Een nauwkeuriger methode dan de hiervoor gegevene o m de aanwezigheid van een plastische zone i n rekening te brengen gaat uit van hct zogenaamde D . M . model ( D u g -dale-Muskhelishvilli).
Dugdale vat de scheur met z i j n plastische zone op als een scheur ter lengte a - I - s waaromheen twee spannings-velden aanwezig z i j n ( f i g u u r 13): het elastische span-ningsveld 1 (inwendig) en een u i t w e n d i g stelsel v a n spanningen ter grootte oy dat over een afstand s op de wanden van de scheur w e r k t .
Fig. n . D.M.-model.
Burdckin en Slone hebben hiervoor berekend [ l j . |7]
8<r a ira = - ^ - - i n sec
a 2 i H
) + —
< T , ' 360
H i e r u i t blijist met (5) dat v o o r kleine waarden v a n ala^ G = 8 . «r,.
V o o r <r - » «r, nadert de u i t d r u k k i n g tot oneindig. V o o r d i t geval is de arbeid die per lengte-eenheid i n de omge-v i n g omge-van een scheur nodig is o m een C . O . D . ter grootte van d aan de scheurtip te geven gelijk aan oy . è ( f i g u u r
12), de f r a c t u r e toughness G
N o g onlangs is i n [6] gebleken dat het D . M . model een duidelijk betere benadering van de w e r k e l i j k h e i d geeft dan het I r w i n - W e l l s model.
Het meten van ^ is niet zo eenvoudig. I n het laboratorium voor Scheepsconstructies van de T . H . te D e l f t w o r d t er de voorkeur aan gegeven de opening van de scheur o f kerf te meten op de halve lengte van de scheur en niet ter plaatse van de scheurtip (zie f i g u u r 14). D i t kan eenvoudig met meetklokjes geschieden. V o o r continue registratie is een meetelement o n t w i k k e l d als in f i g u u r 15 dat bijzonder goed v o l d o e t
De methode van scheurmeten op de halve lengte is voor-al van voordeel b i j vermoeiingsproeven waar meten aan de scheurtip ondoenlijk is omdat de scheurtip zich door-lopend verplaatst. De continue registratie met behulp van het genoemde meetelement maakt het mogelijk de proef zonder toezicht te laten verlopen, omdat de scheurgroei en de grootte van de scheur op het moment van insta-biele breuk eenvoudig u i t de geregistreerde scheurope-ningen z i j n te herleiden met behulp van de f o r m u l e
2 V =
1/ „
g ~ l a2 — x2 (3) en wel als volgt:
Aangezien op de halve scheurlengte w o r d t gemeten, is
X = 0; d i t geeft 8 „ = 27.» = ^ ^ ^
v o o r a moet worden ingevuld a + ry = K2 (3c); a + 2ir<ry2 a + ry = a + (8) met K = «rV^a aa2 (2) = a (1 + 4<r . a (1 + dus S „ = 2TI^ = ~ — <72 2<T,2 (72 2(72 ) a = S„ ^ * ' < ^ ^ 2 ? 2 ) (13) (14) (15) Figuur 14. i-flEHSTRCOKjeS V ^ , , STRIP IVERSNSTAALI T^''^ ^ w / / . ' - / / ' f / ; . / : . • KERF
Fig. 15, Meetelement geschikt voor continue registratie van
snelle vervormingen (Laboratorium van Scheepsconstructies).
G . y ^ i ^ ^ of wel Ke2 = ( a , +ry) te bere¬ kenen.
A l s ry < < a mag voor ry geschreven w o r d e n K . 2 ry = Ty = 27r<Ty2 2 7 r l 7 y 2 want _ 7r(72 (a,, + r . K . 2 27r(7y2 27r(7y2 ( r y < < a ) . ' " ' " ^ ^ (1 - 2(7 D i t geeft
l
E C ( A . S . T . M . f o r m u l e ) Zolang er geen instabiele breuk is ontstaan, geldtK2 Tr(72a (1 Z _ )
2(7,2 ' (16)
Eeri m d r u k omtrent de onbetrouwbaarheid van deze f o r -mule voor spanningen die niet k l e i n z i j n ten opzichte van de vloeigrens is als volgt te krijgen.
V o o r (7 ^ <7, geeft (16) K2 = 77(72 (2a),
I n dit geval geldt ook K2 = (a + t j ) waaruit volgt dat als (7 (7y, Ty a; Ty is i n w e r k e l i j k h e i d
K2 T(7..2 a
a
2 . ( 7 , 2 2T(r 2 = ^ ' De grootte van de plastische zone s is niet aan te eevcn vZ. <<'a'^^ ' = 2ry geldt n a m e l i j k alleen
Deze a is n a t u u r l i j k alleen juist als de theorie klopt met de werkelijkheid. D i t is te v e r i f i ë r e n door tijdens de proef nu en dan de scheurgrootte op te meten en te toetsen aan de op dat moment berekende waarde,
•Als dit niet mogelijk is. kan op een bepaald ogenblik kleurstof in de scheur worden gebracht opdat na atloop van de proef het gekleurde scheuroppervlak kan wor-den opgemeten en vergeleken met de op het m.-ment van kleurstof inbrengen geregistreerde .1,,,.
K l o p t de theorie met de werkelijkheid dan i> de fracture toughnes-s na .ifloop van de proef uit de f o r m u l e
L i t het voorgaande volgt dat naarmate de plastische zone groter is. er meer elastische energie per c m scheurgroei beschikbaar is. De toestand l i j k t gevaarlijker dan b i j af-wezigheid van een plastische zone. We moeten echter bedenken dat de aanwezigheid van een plastische zone er anderzijds juist op duidt dat de fracture toughness van het materiaal groot is. D i t wordt in het volgende toeee-licht.
Wanneer de plastische zone r o n d o m een k e r f t i p een
reUre grootte bereikt heeft. bijv. in de orde van de p L a t
-«Jikte. Z J I het materiaal in die zone in de d i k t e r i c h t i n e v n j pla-stisch kunnen vervormen. .Vlet andere woorden de
neiging van het materiaal i n de buurt van de scheurtip tot plastisch k r i m p e n i n de d i k t e r i c h t i n g wordt dan niet meer verhinderd door het omliggende niet-plastisch ver-vormend materiaal. A l s maat voor de grootte van de plas-tische zone, waarboven dit geldt, w o r d t op grond van ex-perimenten tweemaal de plaatdikte (s = 2t) genomen ( I r w i n ) .
Materiaal in plastische zones die kleiner z i j n dan deze afmeting, bevindt zich in de zogenaamde plane strain condition. A l s de plastische zone groter is dan 2t be-vindt het materiaal zich i n de plane stress condition. Plane strain betekent dat er geen plastische rek i n de dikterichting kan optreden; plane stress dat er geen
span-ningen i n de d i k t e r i c h t i n g werken
(vlakspanningstoe-stand). B i j plane strain is de spanningstoestand in de plas-tische zone drie-assig; b i j plane stress twee-assig.
U i t s = 2 t en het eerder afgeleide s l = r, ; verder is (8).
K-' E G
2 r , volgt
2.<r;2 2 7 7 ( 7 , 2
Slip = 277(7,t (17)
Bekend is dat wanneer de plastische zone zo groot is dat de plane stress situation bestaat, de C . O . D . ' s t o t breuk (^,.) aanzienlijk groter z i j n dan b i j kleinere plastische zones. Het materiaal w o r d t i n z i j n neiging tot plastische v e r v o r m i n g w e i n i g gehinderd door het nagenoeg afwezig z i j n van een drie-assige spanningstoestand en heeft een grote f r a c t u r e toughness. H i e r u i t is een c r i t e r i u m te des-tilleren v o o r de C . O . D . die in een proefconditie tenmin-ste bereikt moet kunnen worden opdat i n de p r a k t i j k geen gevaar voor breuk bestaat en wel de waarde die gevon-den w o r d t door de plaatdikte en de vloeigrens i n de zo-juist gegeven f o r m u l e (17) te brengen.
D i t is de eerste f o r m u l e , w a a r i n de ongunstige invloed van grote plaatdikten tot u i t i n g k o m t , en in rekening w o r d t gebracht! A l s de met (17) berekende dup i n een proefstuk o f constructie bereikt w o r d t , betekent dit, dat v o o r het materiaal i n de plastische zone de plain stress condition geldt.
Noot: de grens tussen plane strain en plain stiess
condi-tions is in principe niet scherp aan te geven.
Dugdale, Rosenfield e.a. zeggen dat een volledige pl.ine stress condition bestaat b i j s > 4t en volledige plane strain b i j s < t.
6. Invloed van beperkte plaatbreedte
V o o r een smalle plaat met een kerf 2a op de halve breed-te gelden de hiervoor gegeven f o r m u l e s niet. I r w i n heeft correctiefactoren opgesteld voor dit en andere gevallen. Als w = de breedte van de plaat en t - de plaatdikte dan w o r d t K-' = (r^w t g ( ' ) (18) met (T =
w w l of met correctie voor een plastische zone
(elastisch)
K2 = . 2 w t s ( ^ . ) ( 1 9 , ( r < 0 , 5 < 7 ,
7. Bepalen van de f r a c t u r e toughness over cen groot temperatuurgebied
De fracture toughness van staal is zoals bekend sterk af-hankelijk van dc temperatuur. D i t betekent dat in principe een groot aantal proeven nodig z i j n o m G, over een groot temperatuurgebied te kunnen bepalen, tenzij er een ceniluiilige betrekking voor K, als f u n c t i e van dc tempei a t u u r bestaat. I n Japan tempeis door Koshtempeiga, K tempei h a r a cn K a
-nazawa [9J de betrekking K,. = K„ . e""/''*' (20) ex-perimenteel gevonden. ( T = absolute temperatuur). K„ en k zijn hierin materiaalconstanten, die gevonden kunnen worden met behulp van twee proeven.
8. Bepalen van de invloed van de verhoging van de vloei-grens aan de scheurtip als gevolg van de daar
aan-wezige drie-assige spanningstoestand. ( G e l d t alleen
voor plane strain)
De verhoging van de vloeigrens als gevolg v a n een drie-assige spanningstoestand aan een scheurtip w o r d t aange-geven door de plastic constraint factor: p.c.f. die gelijk is aan de verhouding van de m a x i m u m spanning i n de omgeving van een scheur tot de vloeigrens van het ma-teriaal:
p.c.f. =
(bij de temperatuur en de belastingssnelheid die v o o r de situatie gelden.)
Experimenteel is gevonden [5] dat p.c.f. = 1 + 2 . 0 ( — ) ; (s < t) 2 heeft de dimensie 1
^ i n c h e s
; v o o r maten i n m m
p.c.f. = 1 + 0,4 ( K
De grootste waarde die de p.c.f. op fysische gronden kan bereiken is 2,6 (Tresca-criterium).
De gemiddelde spanning in de plastische zone is lager dan p.c.f. X rsy. I n het l a b o r a t o r i u m v o o r Scheepsconstructies w o r d t hiervoor genomen:
(7y
cr, ( l + 2 . (p . c . f . ) )
= q . (7y , De ry dient nu te worden berekend v o o r deze oy'. V o o r s > t kan oy' worden bepaald door interpolatie tus-sen de waarde die geldt voor s = t, zijnde q . öy, en s = 2 t, waarvoor oy' = oy.
V o o r brosse breuken die ontstaan zonder enige plastische v e r v o r m i n g , (zuivere splijtbreuken) zoals kan gebeuren bij extreem lage temperaturen o f b i j zeer hoge belastings-snelheden is de m a x i m u m spanning die ter plaatse van een k e r f t i p kan optreden gelijk aan de treksterkte van een ongekerfde staaf b i j een zo lage temperatuur dat geen g l i j d i n g kan optreden. Deze o.ie.napte is nagenoeg onaf-hankelijk van de temperatuur en de belastingssnelheid. De K l , is voor die gevallen te berekenen u i t
p.c.f. = e n p.c.f. = 1 + 0 , 4 (21)
0,4 K 1
1 + ^ - (<7,„„, - 0,4 K ) 1
Kl,. = 2,5 ((7,,,,„, - (7,) (22)
9. I n v l o e d van de belastingssneiheid
In [4] is een f o r m u l e gegeven waaruit de vloeigrens voor hoge belasting.ssnelheden en lage temperaturen kan wor-den berekend.
^ <r. f))= normaat + »370,0 - 780 ö' z + 560 l o g é (231 « in ° K e i v i n
' aan de voet van een scherpe scheur is ' = i'p ' r ^ ' '24)
I E ".{r,i))
1 ~ 0,025 m m = plastisch gebiedje aan scheurtip. Met deze verhoogde vloeigrens moet de ry-waarde v o o r scheurcorrectie w o r d e n berekend.
Een vuistregel [ I ] voor de toename van de vloeigrens met de belastingssnelheid is dat een 10-voudige vergroting van de snelheid ongeveer 4 k g f / m m - verhoging van de vloeigrens levert. D i t geldt voor alle staalsoorten.
Als IO-"' ongeveer de verhouding is tussen normaal sta-tisch en schokbelasten, dan geldt dat de vloeigrens b i j schokbelasting ongeveer 20 k g f / m m ^ hoger is dan b i j statische belastingen. Vandaar dat b i j zeer sterke staal-soorten de verschillen i n gedrag b i j hoge en lage belas-tingssnelheden veel minder uitgesproken zijn dan b i j vloeistaal.
10. Slot
De breukmechanica heeft alle kenmerken van een jonge wetenschap. Hypothesen worden geregeld v e r f i j n d en op hun bruikbaarheid getoetst; de toepassingsmogelijkheden nemen steeds toe. I n verband hiermede was het niet mo-gelijk een overzicht te geven van het hele gebied van de breukmechanica. Belangrijke onderwerpen als het voortlopen van brosse breuken en vermoeiingsscheuren zijn niet expliciet behandeld. W e l is er naar gestreefd
o m de lezer, wat dergelijke problemen betreft niet met lege handen te laten staan. A l l e e n moet het hier gegevene beschouwd worden als handgereedschap waarmee een beh o o r i i j k resultaat kan worden bereikt en niet als v e r f i j n -de apparatuur. Bijvoorbeeld wat het v o o r t p l a n t e n van brosse breuken betreft is er met behulp van de h o o f d -stukken 8 en 9 betrouwbare kwantitatieve i n f o r m a t i e te verkrijgen.
B i j vermoeiingsproblemen kan gebruik gemaakt w o r d e n van het f e i t dat ^ = f ( A K ) , ( A K = K„,„x — Knn,,)
d N
en wel de experimenteel gevonden relatie '^^ = B ( A K ) ^ d N
(Paris en Erdogan); B = constante.
D i t leidt tot*^^ = B ( A ' ^ ) ' * l'^a)^. waarmee de scheur-d N
groei als f u n c t i e van de spanningsamplitude kan worden bepaald. Meer hierover is te vinden i n [ 7 ] . V o o r „ l o w cycle fatigue" kan K op de in h o o f d s t u k 6 aangegeven wijze aangepast worden aan de elasto-plastische situatie. De invloed van rekversteviging zal —• i n tegenstelling tot wat in de meeste gevallen voor statische belastingen geldt — , wel i n rekening moeten w o r d e n gebracht.
Literatuur 1. „Fracture toughness testing and its applications".
A.S.T.M. Special Techn. Publ. no. 381, 1965.
2. Irwin, G. R.: ,,Fracture mechanics". Proc. 1st Symp. on Naval Structural Mechanics, I960. Pergamon Press. 3. IVells, A. A.: ,,Application of fracture mechanics at and
beyond general yielding". British Welding Journal, nov. 1963.
4. Halm, O. T., A. R. Rosenfielii: „Local yielding and ex-tension of a crack under plane stress '. S.S.C. report 165, dec. 1964.
5. Halm, G. T.. A. R. Rosenfield: „Experimental determina-tion of plastic constraint ahead of a sharp crack under plane strain conditions". S.S.C. report 180, dec. 1966.
6. Gerberich, W. W., V. F. Zackay: „On the plane stress plastic zone correction in fracture mechanics". Welding Journal, aug. 1968.
7. Tetelman, A. S., A. J. McEvily .Ir.: „ F r a c t u r e of structural materials", John Wiley & Sons, 1967.
8. Blink, W. P. van den. J. J. W. Nibbering: ..Proposal for
the testing of weld metal f r o m the viewpoint of brittle fracture initiation". Report no. 121 S, Ned. Scheepsstudie-centrum T N O , okt. 1958, IlW-doc. I X 57I-68/X-461-68/ 2912-108-68.
9. Hall. W. J., H. Kihara, W. Soete, A. A. Wells. „Brittle
lc-3
4. Analyse van proefresultaten met behulp van C . O . D .
metingen
4,1. Brosse breukproeven
De klassieke maatstaf b i j de beoordeling van proeven met gelaste, al o f niet gekerfde platen was de breukspanning. Een verbetering was het gebruik van de totale breuk-energie; voor staal was dit meestal gelijk aan het p r o d u k t van de vloeigrens en de verlenging van de proefplaat. M e t de komst van de breukmechanica werd de mogel i j k h e i d geschapen de invmogeloed van de scheur of k e r f -grootte in rekening te brengen. (Een plaat met een kleine scheur zal een hogere belasting kunnen doorstaan dan een plaat met een grote scheur.) De weerstand van een materiaal tegen scheuren, de breuktaaiheid genoemd, zal zowel in de breukspanning als de scheurlengte moeten worden uitgedrukt. V o o r niet-plastisch vervormend mate-riaal is hiervoor gevonden (plaat met centrale scheur):
K c = oj!r V ^ * ;
K c = breuktaaiheid ( = weerstand tegen scheuren)
OBr — bruto breukspanning
a = halve scheurlengte v ó ó r d a t een instabiele breuk ontstaat.
De breuktaaiheid w o r d t ook d i k w i j l s i n de v o r m van breukenergie per lengte-eenheid van de scheur gegeven.
^ G c = .
Wanneer men materiaalgegevens i n de v o r m van G c of K c ter beschikking k r i j g t , kan men daarmee combinaties van toelaatbare spanningen o en toelaatbare soheur-grootten 2a uitrekenen. Helaas heeft dit alles alleen be-tekenis voor zeer sterke staal- en lichtmetaallegeringen. Meer gewone staalsoorten, waartoe staal 60 zeker nog behoort, zijn zo taai, dat het materiaal aan een scheurtip a l t i j d eerst uitgebreid plastisch zal vervormen voordat een onstabiele breuk kan ontstaan. D i e materialen z i j n
ge-STEWK O V E R W E V E N B E E L D DE K R I M P IN DIKTEWtCHTIWO N A H E T L A S S E N
w o o n te goed. Alleen daar, waar z i j g r o n d i g bedorven zijn door lassen, branden e.d. o f wanneer de belasting-snelheid zeer hoog is (schok) kunnen breuken zonder voorafgaande plastische v e r v o r m i n g ontstaan. De lineaire breukmechanica kan hier niet veel beginnen omdat de mate van beschadiging van het materiaal, noch de invloed van hoge belastingsnelheden op de breuktaaiheid een-v o u d i g te k w a n t i f i c e r e n z i j n . Boeen-vendien zal elke constructeur van het materiaal i n z i j n constructie v e r w a c h -ten dat het ter plaatse van kerven o f scheuren voldoende taai is o m niet al b i j kleine plastische v e r v o r m i n g e n te scheuren.
D i t is vooral d o o r Irwin en Wells i n d e r t i j d erkend. Een v o l k o m e n nieuw c r i t e r i u m ten aanzien van wat van een materiaal moet w o r d e n geëist w e r d ingevoerd: materiaal aan de t i p van een kerf o f scheur moet z ó taai z i j n , dat zich aldaar een plastische zone kan o n t w i k k e l e n van v o l -doende grootte o m een vlakspanningstoestand (plane stress situation) te v e r k r i j g e n .
Z o l a n g de plastische zone klein is, bevindt het materiaal zich i n een toestand van vlakke rek (plane strain), ( f i g . 3) dat w i l zeggen dat i n de d i k t e r i c h t i n g trekspanningen heersen. D e spanningstoestand is er triaxiaal, w a a r d o o r het materiaal maar weinig kan rekken. Pas wanneer de plastische zone i n de orde van grootte van 2 X de plaat-d i k t e is, zullen er betrekkelijk grote v e r v o r m i n g e n i n k u n n e n plaatsvinden.
H e t vervelende is nu dat de grootte van de plastische zone, behalve aan de oppervlakte van de plaat, niet te meten is. Een berekening, uitgaande van metingen b i j v . o p de halve kerflengte o f ter plaatse van de k e r f t i p , is w e l uitvoerbaar, zie f i g . 4. M a a r w a a r o m dan niet meteen de v e r v o r m i n g aan de k e r f t i p als maat v o o r de breuk-taaiheid genomen? D i t idee, voorgesteld d o o r Wells, heeft de charme dat men i n feite niets van de breukmechanica h o e f t te weten o m er mee te kunnen w e r k e n ! E n d i t zal vele constructeurs een genoegen z i j n .
D e eenvoudigste procedure zou z i j n te eisen dat i n een constructie een bepaald m i n i m u m C . O . D . ter plaatse van een k e r f o f scheur moet k u n n e n w o r d e n bereikt. M a a r dat moet dan w e l voor een bepaakle scheurgrootte w o r -den gedaan. W a n t hoe groter een scheur is, des te kleiner is de plastische zone b i j een bepaalde C . O . D . D i t is te zien aan de f o r m u l e
= C . O . D . = ^ V V + 2a . r , : (4)
ry = straal van de plastische zone (zie f i g . 4).
W e moeten dus, omdat n u eenmaal de grootte van de plastische zone aangeeft o f er een v l a k k e spannings- o f een vlakke rektoestand bestaat, voor grotere scheuren
KLEINE PLASTISCHE 20NE , MATERIAAL AAN OE SCHEURTIP KAN NIET VR'J KRIMPEN, DOORDAT HET OPGESLOTEN ZIT IN OMRINOEND NIET-PLASTISCH MATERIAAL
^ y ' - ' ) SCHEUR r
^ y ' - ' )
VLAKKE REK (PLANE STRAIN)
- G R O T E P L A S T I S C H E ZONE ( > t ) , H E T M A T E R I A A L A A N DE K E R F T I P K A N V R ' J K R I M P E N TOT l '
\ ) I 'tr' I '\ \
V L A K S P A N N I N O I P L A N E S I R f ^ S l
VOOR EEN SCHEUR ZONDER PLASTISCHE ZONE GELDT : <J, - — \l ^ -ï? ( 1 )
J J
EEN SCHEUR MET EEN PLASTISCHE ZONE HEEFT EEN SCH'JNBARE LENGTE: • ' . « • r ^
' ra • - " • y ^ «t,-cnD. 1 ( D W O R O T D A N : ( J ,
. v / T H ^ T ^
( 2 ) VOO» > . 0 IS d . . d „ ^ a „ . ^ ( . . , ^ )WeRWT VOtOT; T y . - ^ j ^ - « 13) WAARMEDE DE PLASTISCHE ZONE KAN WORDEN M R E K E N O ALS &n IS GEMETEN.
DOOR IN 12) < • ! IN TE VULLEN ^
C O O . \J • 2 l. r y (41 (VERBAND « , i p . » _ » r y )
S U i S T I T U T K MAN ( 3 ) IN (4) ^ C O 0 • J s J - ^ ^ ^
(VERBAND C O D , « — t o - d n i l
Figuur 4
een grotere m i n i m u m C . O . D . eisen. M a a r , gezien de vele onzekerheden die i n een aanpak, gebaseerd op de grootte van de plastische zone nog steeds aanwezig z i j n , kan men v o o r de eenvoud wel met één m i n i m u m C . O . D . -waarde volstaan. V o o r scheuren tussen 10 en 100 m m lengte is b i j v . 0,3 m m geschikt.
Een m o e i l i j k h e i d is het meten van de C . O . D . Het kan het best met behulp van een meetloep geschieden, o f met behulp van f o t o g r a f i e , maar beide methoden hebben h u n bezwaren wanneer het o m gekoelde p r o e f p l a t e n gaat. I n veel gevallen is het eenvoudiger de C . O . D . op enige af-stand van de tip bijv. op de halve scheurlengte, mecha-nisch o f elektromecha-nisch te meten. I n het laatste geval is C . O . D . te berekenen u i t
du„ = C . O . D . = (5) ( f i e . 4)
In f i g . 5 en f i g . 6 zijn resultaten gegeven van de in § 3 genoemde proeven met Electrogas-gelaste platen van 34 m m dikte van N b . genormaliseerd St. 52 [2]. B i j de p u n -ten z i j n de leng-ten van de vermoeiingsscheuren op het moment dat een brosse breuk ontstond, aangegeven. De verschillen tussen de theoretisch meer juiste r j t e m p e -ratuur-presentatie en de C . O . D . ( o f Oii|,)-temperaluur-weergave zijn klein. D i t steunt de mening dat de tweede presentatie voldoende betrouwbaar is voor de p r a k t i j k . Dc presentatie van f i g . 5 en 6 kan w o r d e n vergeleken met een waarin de aloude netto breukspanning is uitgezet ( f i g . 7).
H e l geringe „ s c h e i d e n d v e r m o g e n " van de laatste weer-gave in vergelijking met de eerste twee komt d u i d e l i j k l o l uiting.
4.2. Vermoeiing
bc-lc-5 - ! ê -27 -26 -25 -24 -23 -22 -21 -20 -19 • • p r o t v i n g s t t f n ^ A l u u r ( * C ) Figuur 5 35 -36 . 34 • 31 • 3 0 • 2t 26 • 24 ' 22 • 20 • 16 • 16 • •o*na M j i i u i r 7 .--HCI i - S * J L . -26 -27 -26 -26 - 2 4 -23 -22 -21 - 2 0 .19 - H - W -15 -14 Figuur 6
paald door de cyclische vervormingen aan de tip van de scheur.
B i j „ n o r m a l e " vermoeiing, dat w i l zeggen gepaard gaande met betrekkelijk lage spanningen w o r d e n die v e r v o r m i n -gen geheel beschreven door de spanningsintensiteitsfactor K . Hiermede is de spanning op een afstand r van de scheurtip te berekenen met behulp van
— Stelt dus de spanningsconcentratie op afstand r Oniini
van de scheurtip voor.
U i t de technische mechanica is bekend dat voor een plaat met een centrale kerf K = o\/.-ra, (a = halve scheur-lengte).
Wanneer zo een plaat vermoeid w o r d t , neemt K * toe naarmate de scheurlengte toeneemt. W e kunnen nu de scheurgroei per wisseling o f bijv. per 100 wisselingen uit-zetten als f u n c t i e K , i n dit geval i K genoemd, zijnde het verschil tussen de m a x i m u m en de m i n i m u m waarde van K tijdens een wisseling. Het b l i j k t dan dat het volgende verband wordt gevonden:
da
^ = c , , , K ) " . .
Bij low cycle fatigue bevindt zich aan de tip van de scheur een plastische zone met straal r,., die afwisselend plas-tisch gerekt en gedrukt w o r d t .
De grootte van die plastische zone is ongeveer evenredig met de scheurlengte en met het kwadraat van de ver-houding van de netto spanning en de vloeigrens
n = amplitude van de nominale spanning = U |„.
Een scheur 2a met een plastische zone 2r, kan equivalent worden gedacht aan een scheur a ter lengte van 2 (a + r , ) . De bijkomende | K is dan gelijk aan:
\n \/.7a = | , j \ ' . 7 (a - f r , )
I
.7 a I + ( K))-Bij low cycle fatigue moet da d N nu worden uitgezet als functie van dc/e gccorriuecrdc | K .
* H e t v e r s c h i l l u s s e n K c n K c u i t l u s s e n s p a n n i n g e n t r e k s t e r k t e n | , .
V
8oy- / '^""yJi
s.V ^ a
en v o o r M.S.: J K =
d o o r
een waTgroterë Seu?/r
' ' ' ' ' 'Waar-zeggen dat
H T Ï
en Ms
T z e / M ' ' " " Kzullen hebben, wanneer H P h.i r ^'^'^^"••g'-oeisnelheid
verschillen. "^^""««^^ ^e belastingen ongeveer 10 %
m : f f i ' S r v e t c ; i l l ' l É ^ ^ ü * ' " ^ ^ ^•-'^'^
het uit een oogpum
v a i verm'^"'""'''^"'''^''ï'' dat
sterkte staal t e K n £ i , geTdT.en? «"^ "oge
middelde van de wisselenl^h . "sarmate het
ge-trekgebied ligt '^'"^'^"'^^ belastingen minder ver in het
c^cle'tti^rdïcSchTvf' "'^
de kerftip'nietttërjrdtc^^^^^^^^^^ - n
den u tgedrukt dan in ^ i / - . s kunnen
wor-aangebrLhtfcoïr^c iësi^ erb"::ï'^,'ef i ' ^ ""'^"'^
van een plastische zone een
t y n i s S . ^ deaanwezigheid
terwijl bekend is dat hii l ^ * ^ , '""''*'-T3''^'"eter,
Plastilche p e ^ t l a Ï i n g ^ i s s S i n ^ : e * " Kvoordescheuriveemand ^ " ^ ^ ' " ^ "^^^^
^cS'ÜH'I X"''''''''''''
- ^ ' - ' ^ ' - 1In 4.1. was al gevonden dat
J C . O . D . = J ^ , / , , r : , E V V + 2 a . r j . .
» t t r iïïfv,ïïjL r r
terwijl ter plaatse van
eenJJh
.'^^'''P«tand
verkeert.
spanningsto'estanS aTrbereS'"^ ''^ ^ ' ^ l ^
-vtSstaarwd To'v"
^^y'"'^^'
C . O . D .bij
het hoge sterkte staal Ve J in ^
woorden: de cycirsche
nrru.h
«"et andere
afnemen '^y'='"'«^he plastische vervormingen zullen
H i e r i n gesubstitueerd r = - ^ 'i„ ,
en O =
11.//o geeft ,j
C . O . D . =ofwel
ACOD. =^if^^
a (Aa)' V o o r H . T . S . geeft d i t f C . O . D . 1I.T..S. _ 2 . 3 a a j . j , . . E en v o o r M . S . - * j C . O . D . , , . . . . = ^ i^.M.-<. M . n zou c c h , „ k „ „ „ . „ v c o n d e ^ e l l e n b i j I n hel een L I I bcpa.il w o o r d o p g r o d a n k s Ien k i l t i c l d i k H e n \ \ I r c k k c o n t! c \ \ . niL'iii \ iicrctlii s c h c i i i H e n ,11 v a n ei l i s c h \ V o o r . u o m d r e n \ . i s l a a Kc . v o ( ) r h OOI s j l l van }i I De pi. y e h. i i i l \ e r n i( i wissek' wisscii MO c n , s c h e i i ; leulelii D e IU ke l l i l s e h e i i i l a l e n pl.iMi .Men M ' O l .1 i ( I III k l ee. Ljeiii M 1 D e !in l i e s I l l l e i ^ / P i n
§ 5, B e r e k e n i n g v a n p l a s t i s c h e z o n e s ( 2 r ^ ) ) v e r v o r m i n g v a n de k e r f t i p ((S . ) e n p l a s t i c c o n s t r a i n t f a c t o r ( p . c . f . ) . — t i p * •- ' T i j d e n s de p r o e v e n z i j n de v o l g e n d e g e g e v e n s v e r z a m e l d : l e . a = h a l v e k e r f + s c h e u r l e n g t e ( z i e f i g . 2 6 a ) 6 = o n d e r l i n g e v e r p l a a t s i n g v a n de k e r f w a n d e n op de h a l v e l e n g t e v a n de k e r f ( z i e f i g . 2 6 a ) = n e t t o s p a n n i n g o v e r de k e r f d o o r s n e d e = b r u t o s p a n n i n g o v e r de k e r f d o o r s n e d e . T u s s e n 6 en a g e l d t de v o l g e n d e b e t r e k k i n g V o o r 6 i s X = O m , a . B i j a a n w e z i g h e i d v a n o e n p l a s t i s c h e z o n e s w o r d t g e r e k e n d met e e n s c h i j n b a r e k e r f l e n g t e t e r g r o o t t e v a n a + r , w a a r i n r ~ ^ s .
11 -m E U i t ( 2 ) v o l g t E.ó ( a + ( 2 ) H i e r m e d e i s 6 ^ . ^ t e b e r e k e n e n d o o r i n ( 1 ) v o o r a e n x r e s p e c t i e v e l i j k en a m t e v u l l e n . t i p E r / + 2a.r„ ( 4 ) S u b s t i t u t i e v a n ( 3 ) i n ( , ) l e v e r t t e n s l o t t e 6 a l s f u n c t i e v a n d e g e m e t e n m ' ' t i p =
1 / V - ^ - T ^ )
( 5 )L
'^^iL'i
^iiL
>':f'
H'°"''
^ ^ - i g - ^ " - i n h e t p l a s t i s c h g e b i e d j e d o o r waadde " i t J e t L e n t ^ ^ ^ ^ g ^ ^ ^ - ^ t a n d t e r p l a a t s e g r o t e r d a n d e n o m i n a l e u n i a x ^ ^ l ^ n f K ! d e g e m e t e n 6 k l e i n e r i s d a n i n h e t g e v a l v a n e e n H e d r u k t i n e r \ ^P^""^"gt°^tal?d. De m a t e v a n t r i a x i a l f t e i t w o r d t u i t -g e d r u k t i n e e n p l a s t i c c o n s t r a i n t f a c t o r p . c . f . = " v l o e i t . p . v . k e r f t i p _ " " v l o e i n o m i n a a l De b e r e k e n i n g e r v a n g e s c h i e d t a l s v o l g t : ( z i e f i g . 2 6 a ) . t o e s t a i d : " ^ ^ ^ " ^ ^ ' ^ - f ^ i P g e l d t v o o r de v o i i e d i g e l a s t i s c h e 1/ ( 6 ) w a a r i n K = o V r a .I n
de elasto-plastische toestand i s de spanning aan de k e r f t i n e e l i i k
a a n
a„
t e "
IZIT
' ^ ° " ? - -'\-
- l i P " «van een h o J l L S a f u j ^
ë g e v e n met ^ r ^ , ) . De a f s t a n d r ' i s t e b e r e k e n e n met ( 6 ) y ' ' , r ^ ^ ^ ^ y V o o r K ™oet „ o r d e n i n g e v u l d K = „^^^^^ ( 7 ) , o . d a t v o l g e n s I r w i n
ZyVyyy
^H'^""
^ i i l - ' » - n d e ( H e i n o ) p l a s t i s c h e ' e n g t e g r l f " ^ d c v ' T K ™ " " " " « ' ^ ^ " > « d a t r • - /5 P^"» "^y • <^-i« f i g - 2 6 a ) . G e b l e k e n i si 2 -( 6 a ) en -( 7 ) g e v e n ^•y ~ B r u t o 1 / 2 1 y d i t t e z a m e n met ( 3 ) g e e f t t e n s l o t t e E.6 I - 1 / in 'y "^Bruto / 2 ( E . 6 - 4 a . rr ) ( 8 ) m B r u t o waarmee ' u i t de g e m e t e n 6 ^ - w a a r d e n b e r e k e n d k a n w o r d e n . i ^ K - ^ ^ i ^ ^ * "
