Opis termodynamiczny
polaryzacji stężeniowej
w transporcie membranowym
roztworów nieelektrolitów
Jolanta Jasik-Ślęzak, Andrzej Ślęzak Katedra Zdrowia Publicznego,
Politechnika Częstochowska
Streszczenie
Korzystając z równań Kedem-Kat-chalsky’ego, wyprowadzono wyrażenie dla współczynnika polaryzacji stężeniowej (χ). Otrzymane wyrażenie zawiera strumień ob-jętościowy roztworu (Jvm), parametry
trans-portowe membrany (ωm) oraz stężeniowych
warstw granicznych (ωl, ωh). Obliczenia
przeprowadzone na podstawie otrzymanego wyrażenia pokazały, że dla membrany poli-merowej o ustalonych właściwościach trans-portowych, współczynnik χ jest nieliniową funkcją różnicy stężeń roztworów. Owa nie-liniowość jest związana z pojawieniem się niestabilności konwekcyjnej, łamiącej syme-trię kompleksu lh/M/ll względem kierunku
grawitacyjnego.
Słowa kluczowe: transport membranowy, równania Kedem-Katchalsky’ego, polaryza-cja stężeniowa, stężeniowe warstwy granicz-ne.
Thermodynamical description
of the concentration polarization
in a membrane transport
of non-electrolyte solution
SummaryAn expression for concentration po-larization coefficient (χ) was derived from Kedem-Katchalsky equations. This expres-sion contains the volume flux (Jvm), transport
parameters of a membrane (ωm) and
con-centration boundary layers (ωl, ωh).
Calcula-tions performed using the obtained expres-sion showed that for a polymeric membrane with fixed transport properties, coefficient χ is a nonlinear function of concentration difference of solutions. This nonlinearity is related to the appearance of the convection instability that breaks symmetry of the lh/M/
ll complex in relation to the gravitational
di-rection.
Key words: membrane transport, Kedem-Katchalsky equations, concentration polar-ization, concentration boundary layers
WSTĘP
Polaryzacja stężeniowa (CP) jest spontanicznym zjawiskiem występującym w układach fizykoche-micznych [1, 2]. Polega ona na tworzeniu się różnego typu warstw w otoczeniu porowatych obiektów, ta-kich jak membrana czy elektroda [3, 4]. Membrany polimerowe - zarówno obojętne - są bardzo czułe na zmiany otoczenia fizykochemicznego. W związku z tym wydajność zachodzącego przez nie transpor-tu może być kontrolowana przez zmiany pH [5] i/lub stężenia roztworów przylegających do obiektu [6, 7], lub przez pola zewnętrzne [8-10]. W procesach mem-branowych o charakterze technicznym takich jak na przykład nanofiltracja czy odwrócona osmoza CP,
obniża wydajność tych procesów i jest zjawiskiem niekorzystnym [11]. W układach biologicznych ob-niżanie wydajności procesów transportu często ma charakter regulatorowy i jest zjawiskiem korzyst-nym, szczególnie w procesie transportu przez nabło-nek jelitowy [12, 13].
Podstawowym narzędziem wykorzystywanym do opisu transportu membranowego są równania Ke-dem-Katchalsky’ego [14]. dla przypadku, w którym membrana rozdziela jednorodne roztwory roztwo-rów nieelektrolitów, roztwo-równania te opisują strumień objętościowy (Jv) i strumień solutu (Js) a ich postać
jest następująca π σ Δ Δ p m p v L P L J = − (1) Js = ωmΔπ+Jv(1− σm)C (2)
W termodynamice procesów membranowych Kedem-Katchalsky’ego właściwości transportowe membrany, traktowanej jak „czarna skrzynka”, są scharakteryzowane przez parametry fenomeno-logiczne Lp, σm i ωm, które oznaczają odpowiednio
współczynniki: przepuszczalności hydraulicznej, od-bicia oraz przepuszczalności solutu. Pierwszy człon prawej strony równania (1) jest objętościowym stru-mieniem hydraulicznym, a drugi – objętościowym strumieniem osmotycznym. Pierwszy człon równa-nia (2) opisuje strumień dyfuzyjny, a drugi – strumień adwekcyjny. ∆P = Ph – Pl jest różnicą ciśnień
hydro-statycznych (Ph, Pl oznacza wyższą i niższą wartość
ciśnienia hydrostatycznego). ∆π = RT(Ch – Cl) jest
różnicą ciśnień osmotycznych (RT oznacza iloczyn stałej gazowej a temperatury termodynamicznej, na-tomiast Ch i Cl – stężenia roztworów), C– jest średnim
stężeniem solutu w membranie. Wyrażenie opisujące C– ma postać [14] ln( ) 1 − − = l h l h C C C C C ≈ 21( ) l h C C + (3)
Przybliżenie C– = 0,5 (Ch + Cl) jest słuszne dla
roztworów rozcieńczonych i małej różnicy (Ch − Cl).
Wartości liczbowe współczynników Lp, σm oraz ωm
można wyznaczyć w serii niezależnych eksperymen-tów [14].
Większość spontanicznie zachodzących proce-sów transportu w otoczeniu membrany, prowadzi do kreacji niejednorodności modyfikujących trans-port membranowy [2, 4, 6, 10]. Jednym z powodów pojawiania się niejednorodności jest wspomniana polaryzacja stężeniowa, prowadząca do czasowo-przestrzennej ewolucji pola stężeń [15, 16], a tym
sa-mym do ewolucji bodźców i przepływów termody-namicznych [6]. Proces powstawania niejednorodno-ści ma charakter dyfuzyjny i polega na formowaniu się, po obydwu stronach membrany, stężeniowych warstw granicznych (CBl) [2, 4, 15]. Warstwy te są najczęściej traktowane jako ciekłe membrany (pseu-domembrany) i w związku z tym przypisuje im się odpowiednie właściwości transportowe, wyrażane poprzez wartości odpowiednich współczynników przepuszczalności [17].
W poprzednich pracach [17–20] równania (1)– (3) wykorzystywano do opisu w warunkach pola-ryzacji stężeniowej strumienia objętościowego [17], określenia stężeniowej liczby rayleigha [18] oraz do ustalenia relacji między efektywnym i rzeczy-wistym współczynnikiem przepuszczalności solutu [19]. W pracy [20] opracowano model matematyczny, opisujący różnicę stężeń w poprzek membrany w wa-runkach polaryzacji stężeniowej (Ci − Ce), która jest
związana z kreacją stężeniowych warstw granicznych (ll, lh) po obydwu stronach membrany polimerowej
(M). W obecnej pracy, korzystając z wyników przed-stawionych w ref. [19, 20], równania (1)–(3) zostaną wykorzystane do wyprowadzenia współczynnika polaryzacji stężeniowej.
CHARAKTERYSTYKA UKŁADU MEMBRANOWEGO
W celu wyprowadzenia współczynnika pola-ryzacji stężeniowej, weźmy pod uwagę układ mem-branowy przedstawiony na ryc. 1. W tym układzie membrana (M), ustawiona w płaszczyźnie horyzon-talnej, rozdziela rozcieńczone i niemieszane mecha-nicznie roztwory tej samej substancji o stężeniach w chwili początkowej Ch i Cl (Ch > Cl). Podobnie
jak w poprzednich pracach [np. 17, 19] zakładamy, że membrana jest izotropowa, symetryczna, elek-troobojętna i selektywna dla wody i rozpuszczonej w niej substancji.
Zgodnie z formalizmem Kedem-Katchalsky’ego [14], właściwości transportowe membrany M okre-ślone są przez współczynniki: przepuszczalności hy-draulicznej (Lp), odbicia (σm) i przepuszczalności
sub-stancji rozpuszczonej (ωm). Zakładamy, że roztwory
jedynie w chwili początkowej (t = 0) są jednorodne, zarówno w każdym punkcie roztworów jak i na po-wierzchni styku roztworów z membraną. Ponadto zakładamy, że procesy transportu membranowego są izotermiczne. dla t > 0, woda i substancje rozpusz-czone, dyfundujące przez membranę, formują po obydwu jej stronach stężeniowe warstwy graniczne
ll oraz lh, o charakterze pseudo-membran, które są
elementami kompleksu ll/M/lh [18, 19]. Grubość tych
warstw w stanie stacjonarnym wynosi odpowiednio δh i δl. Uformowane warstwy powodują, że w stanie
stacjonarnym stężenia roztworów na stykach lh/M
i M/ll zmienią się odpowiednio do wartości Ci oraz
Ce (Ch > Ci > Ce, Ci > Ce > Cl). strumień objętościowy
i strumień substancji rozpuszczonej przez membra-nę oznaczony odpowiednio przez Jvm i Jsm.
Właściwości transportowe warstw ll i lh są
scha-rakteryzowane odpowiednio przez współczynniki: odbicia spełniające warunek σl = σh = 0,
współczynni-ki dyfuzji Dl i Dh oraz współczynniki
przepuszczalno-ści solutu ωl i ωh. Współczynniki ωl i ωh są związane
z grubościami δh i δl oraz współczynnikami dyfuzji
Dl i Dh poprzez wyrażenia: ωl = Dl(RTδl–1) oraz ωh =
Dh(RTδh–1) [17]. strumienie substancji rozpuszczonej
przez warstwy ll i lh są oznaczone odpowiednio przez
Jsl i Jsh. strumień objętościowy i strumień substancji
rozpuszczonej przez kompleks ll/M/lh oznaczono
od-powiednio przez Jvs i Jss. Współczynniki transportowe
kompleksu ll/M/lh określone są przez współczynniki:
odbicia (σs) i przepuszczalności solutu(ωs).
Współ-czynniki ωs, ωm, ωl i ωh dla roztworów binarnych,
w warunkach dyfuzyjnych (Jv = 0), są związane ze
sobą następującym wyrażeniem [21]
h l m l m h h l m s J s J v ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ζ ζ + + = = =( ) =0 (4)
W przypadku, gdy stężeniowe warstwy granicz-ne są symetryczgranicz-ne, spełniogranicz-ne są warunki ωl = ωl = ωo
i δl = δh = δo. W związku z tym równania (4) i (5) dla
przypadku gdy Dl = Dh = Do można zapisać w
posta-ci m o o J s v ω ω ω ζ) 2 ( =0 = + (5)
RÓWNANIE DLA WSPÓŁCZYNNIKA POLARYZACJI STĘŻENIOWEJ
Współczynnik polaryzacji stężeniowej (χ), zde-finiujemy jako stosunek różnicy stężeń w poprzek membrany w warunkach polaryzacji stężeniowej (Ci
− Ce) i w warunkach jednorodności roztworów (Ch
− Cl) h l e i
C
C
C
C
−
−
=
χ
(6)Z definicji tej wynika, że jeśli (Ci − Ce) → (Ch −
Cl), to χ → 1. stąd wynika, że dla χ=1 polaryzacja
stężeniowa nie występuje. Oznacza to, że roztwory rozdzielane przez membranę są jednorodne. Z kolei, jeśli (Ci − Ce) → 0, to χ → 1. stąd wynika, że dla χ =
0 polaryzacja stężeniowa jest maksymalna. Oznacza to, że stężeniowe warstwy graniczne wytworzone po obydwu stronach membrany zmniejszają do mini-malnej wartości różnicę (Ci − Ce). Można zatem
na-pisać, że współczynnik χ może przyjmować wartości z przedziału 0 ≤ χ ≤ 1.
W celu obliczenia tego współczynnika dla ukła-du przedstawionego na ryc. 1, wykorzystamy for-malizm termodynamiczny Kedem-Katchalsky’ego, którego podstawę stanowią równania (1)–(6). Korzy-stając z równania (2), równania opisującego strumień solutu przez warstwę ll, membranę (M), warstwę lh
oraz kompleks ll/M/lh,można zapisać odpowiednio
w następującej postaci [6, 20] ) ( ) ( 21 l e vl l e l sl RT C C J C C J = ω − + + (7) Jsh Jsl Jsm Jvm Ci Ce Cl Ch lh ll M h l Pl Ph Jvs Jss
ryc. 1. Układ membranowy: M – membrana; ll i lh
– stężeniowe warstwy graniczne, Ph i Pl – ciśnienia
mechaniczne; Cl i Ch – stężenia roztworów poza
war-stwami; Ce i Ci – stężenia roztworów na granicach
ll/M i M/lh; Jvm – strumień objętościowy przez
mem-branę M; Jvs – strumień objętościowy przez kompleks
ll/M/lh; Jsl, Jsh i Jsm – strumienie solutu odpowiednio
przez warstwy ll, lh oraz membranę M; Jss – strumień
solutu przez kompleks ll/M/lh
Fig. 1. A membrane system: M – membrane; ll and lh –
concentration boundary layers, Ph and Pl –
mechani-cal pressures; Cl and Ch – concentrations of solutions
outside the layers; Ce and Ci – the concentrations of
solutions at boundaries ll/M and M/lh; Jvm – the
vol-ume flux through the membrane M; Jvs – the volume
flux through the complex ll/M/lh; Jsl, Jsh and Jsm – the
solute fluxes through the layers ll, lh and the
mem-brane M, respectively; Jss – the solute flux through
Jsm = ωmRT(Ci −Ce)+12Jvm(1− σm)(Ci +Ce) (8) ) ( ) ( 21 i h vh i h h sh RT C C J C C J = ω − + + (9) Jss =ωsΔπ+21Jvs(1−σs)(Ch+Cl)= ζsωmΔπ+12Jvs(1− ζsσm)(Ch +Cl) (10) ) )( 1 ( Δ ) )( 1 ( Δ 21 2 1 l h m s vs m s l h s vs s ss J C C J C C J = ω π+ −σ + = ζ ω π+ − ζ σ +
W stanie ustalonym spełniony jest następujący warunek ss sh sm sl J J J J = = = (11) vs vh vm vl J J J J = = = (12)
dostosowując znaki w równaniu (1) do ekspery-mentu prowadzonego w warunkach polaryzacji stę-żeniowej oraz przyjmując ΔP=0, możemy napisać
Jvm= σLp mRT(Ci −Ce) (13) Jvs =LpσsRT(Ch−Cl)=LpσmζsRT(Ch−Cl) (14) Z równań (10) i (14) wynika definicja współ-czynnika ζs odpowiednio w warunkach Jvm = 0 lub
ΔP = 0 mianowicie 0 0 ( ) ) ( = = − = = vs vs J l h m ss J s J RTJC C ω ζ ζ (15) Δ 0 0 Δ ( ) ) ( = = − = = P l h m p vs P s P L RTJC C σ ζ ζ (16)
dokonując odpowiednich przekształceń alge-braicznych równań (8), (9), (12) i (13) oraz (9), (10), (12) i (13) otrzymujemy [20] 2 2 1 0 2 2 2 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( vm vm vm vm e i J J J J C C γ γ γ ψ φ ψ φ ψ φ + + − + − + − = − (17) gdzie: φ0 − ψ0 = ωlωh(Ch − Cl)(RT)2, φ1 − ψ1 = 0,5RT[(ωl − ωh)(Ch − Cl) + 2σm(ωhCh + ωlCl)], φ2 − ψ2 = 0,25(σm − 1)(Ch − Cl). γ0 = [ωm(ωl + ωh) + ωlωh](RT)2, γ1 = 0,5σm(ωl − ωh), γ2 = 0,25(1 − 2σm).
Uwzględniając równanie (17) w definicji (6) otrzymujemy 2 2 1 0 2 2 1 0 vm vm vm vm J J J J γ γ γ ξ ξ ξ χ + + + + = (18) gdzie: ξ0 = ωlωh(RT)2, ξ1 = 0,5RT[(ωl − ωh) + 2σm(ωhCh + ωlCl) (Ch − Cl)–1], ξ2 = 0,25(σm − 1).
Korzystając z równań (8), (9), (11) i warunku Jvm
= Jvs = 0 lub z równań (12), (13), (14) i warunku ΔP =
0, można pokazać, że
Ci−Ce =ζJ(Ch−Cl) (19)
Ci−Ce = ζP(Ch−Cl) (20)
gdzie: ζJ=ζP=ωsωm–1.
Z kolei po podzieleniu lewej i prawej strony rów-nań (19) i (20) przez (Ch − Cl) otrzymujemy
J J s P s P ζ ζ v ζ ζ =( )Δ =0 =( ) =0 = (21)
dyskusja równania (18) prowadzi do następują-cych wniosków:
1. dla Jvm=0, równanie (18) upraszcza się do postaci J J m h m l h l h l J J v vm ωω ωω ω ω ζ ω ω χ χ = + + = = = = 0 0 ) ( (22)
2. Jeśli spełniony jest warunek ωl = ωl = ωo, to
rów-nanie (18) przyjmuje postać 0 2 2 2 2 1 0 vm vm vm J J J τ τ λ λ λ χ + + + = (23) gdzie: λ0 = ωo2(RT)2, λ1 = RTσmωo(Ch + Cl)(Ch − Cl)–1], λ2 = φ2 − ψ2 = 0,25(σm − 1), τ0 = (RT)2ωo(2ωm + ωo), τ1 = 0, τ2 = γ2 = 0,25(1 − 2σm).
3. Jeśli jednocześnie przyjmiemy, że Jvm = 0 oraz ωl
= ωh = ωo, to równanie (18) otrzymuje postać
J J m o o J v ζ ω ω ω χ = + = =0 2 (24) WYNIKI OBLICZEŃ
Biorąc pod uwagę równania (15), (16) i (18) wy-konano obliczenia współczynników ζJ, ζP i χ w
wa-runkach polaryzacji stężeniowej. Wyniki obliczeń przedstawiono na rycinie 4. W przypadku zależności (15), a do obliczeń wykorzystano następujące dane: ωm = 0,82 × 10–9 mol n–1s–1, R = 8,31 J mol–1K–1, T =
295 K oraz wartości strumienia Jss zilustrowane na
rycinie 2. W przypadku zależności (16), a do obli-czeń wykorzystano następujące dane: Lp = 5 × 10–12
m3 n–1s–1, σm = 0,068, R = 8,31 J mol–1K–1, T = 295
K oraz wartości strumienia Jvm zilustrowane na
ry-cinie 4. W przypadku zależności (18), wykorzystano uproszczoną jej postać, przedstawioną przez
wyra-żenie (23), a do obliczeń wykorzystano następujące dane: σm = 0,068, ωm = 0,82 × 10–9 mol n–1s–1, R = 8,31
J mol–1K–1, T = 295 K, wartości współczynnika ωo,
zi-lustrowane na rycinie 2 oraz wartości strumienia Jvm
zilustrowane na rycinie 3.
Wyniki obliczeń współczynników ζJ, ζP i χ, w
za-kresie różnicy stężeń (Ch − Cl) od −0,08 mol l–1 do
+0,08 mol l–1, przedstawiono za pomocą
odpowied-nich krzywych na rycinie 4. Otrzymane krzywe ilu-strujące zależności ζJ = f(Ch − Cl) (krzywa 1), ζP = f(Ch
− Cl) oraz χ = f(Ch − Cl) są nieliniowe, a ich wartości,
które ilustrują mieszczą się w 17% korytarzu błędu. Z przebiegu tych krzywych wynika, że dla tych sa-mych wartości i znaków (Ch − Cl) wartości
współ-czynników ζJ, ζP i χ są dodatnie. Ponadto, z przebiegu
tych krzywych wynika, że w zakresie badanych (Ch
− Cl), wartości współczynnika χ są zawarte w
prze-dziale 0,1 ≤ χ ≤ 0,57. W poprzedniej pracy [18] za-uważono, że dla (Ch − Cl) = 0,015 mol l–1, stężeniowe
warstwy graniczne tracą stabilność hydrodynamicz-ną i w układzie pojawiają się konwekcyjne ruchy roz-tworu. stężeniowa liczba rayleigha, sterująca tym procesem osiąga wartość krytyczną równą (RC)kryt =
1709,3. Zatem krytyczną wartość powinien przyjmo-wać współczynnik polaryzacji stężeniowej.
Zależnie od sposobu dochodzenia do krzywych przedstawionych na rycinie 4, współczynnik ten przyjmuje następujące wartości (ζJ)kryt = 0,27, (ζP) kryt = 0,21 oraz (χ)kryt = 0,24. Oznacza to, że wartość
współczynnika polaryzacji stężeniowej większa od wartości krytycznej świadczy o pojawieniu się w oto-czeniu membrany ruchów konwekcyjnych, wpływa-jących destrukcyjnie na stężeniowe warstwy granicz-ne, a tym samym – ograniczające proces polaryzacji stężeniowej. -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 ωο 10 9 [mol N -1s -1] Ch-Cl [mol l-1] -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
ryc. 2. Zależność współczynnika przepuszczalności solutu (ωo) od różnicy stężeń glukozy (∆C = Ch − Cl)
[20]
Fig. 2. A dependence of the solute permeability coef-ficient (ωo) on a difference in glucose concentrations
(∆C = Ch − Cl) [20] -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 -2 0 2 4 6 8 10 Jss 10 5 [mol m -2 s -1 ] Ch-Cl [mol l-1] -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 -2 0 2 4 6 8 10
ryc. 3. Zależność strumienia solutu (Jss) od różnicy
stężeń glukozy (∆C = Ch – Cl) dla układu
jedno-mem-branowego [19]
Fig. 3. A dependence of the solute flux (Js) on a
dif-ference in glucose concentrations (∆C = Ch – Cl) for
the single-membrane system [19]
-0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 -1 0 1 2 3 Jvs 10 8 [m s -1 ] Ch-Cl [mol l-1] -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 -1 0 1 2 3
ryc. 4. Zależność osmotycznego strumienia objęto-ściowego (Jvs) od różnicy stężeń glukozy (∆C = Ch –
Cl) dla układu jedno-membranowego [19]
Fig. 4. A dependence of the volume osmotic flux (Jvs)
on a difference in glucose concentration (∆C = Ch –
UWAGI KOŃCOWE
Polaryzacja stężeniowa występująca w ukła-dzie jednomembranowym, jest związana z kreacją stężeniowych warstw granicznych. Jej miarą może być współczynnik polaryzacji stężeniowej, którego definicję zaproponowano w niniejszym opracowa-niu. Korzystając z termodynamicznego formalizmu Kedem-Katchalsky’ego, opracowano model matema-tyczny współczynnika polaryzacji stężeniowej (χ). Otrzymane wyrażenie (równanie 18) jest równaniem kwadratowym, ze względu na strumień objętościo-wy roztworu (Jvm) i zawiera parametry transportowe
membrany (ωm) i stężeniowych warstw granicznych
(ωl, ωh), oraz stężenia roztworów rozdzielanych przez
membranę w chwili początkowej (Ch, Cl).
Obliczenia przeprowadzone na podstawie otrzy-manego w pracy modelu pokazały, że dla membrany polimerowej o ustalonych właściwościach transpor-towych, współczynnik polaryzacji stężeniowej jest nieliniową funkcją różnicy stężeń roztworów roz-dzielanych przez membranę (Ch − Cl) i przyjmuje
wartości z przedziału 0,1 ≤ χ ≤ 0,57. Polaryzacja stę-żeniowa jest tym większa, im mniejsza jest wartość współczynnika χ. nieliniowość charakterystyki χ = f(Ch − Cl) jest związana z pojawieniem się
niestabil-ności konwekcyjnej dla (Ch − Cl) > 0,015 mol l–1.
LITERATURA
[1] spiegler K. s.: Polarization at ion exchange membrane-solution inter-face. desalination (1971), 9, 367–385.
[2] Barry P. H., diamond J. M.: effects of unstirred layers on membrane phenomena. Physiol. rev. (1984), 64, 763–872.
[3] Ahlberg e., Falkenberg F., Manzanares J., schiffrin d. J.: Convective mass transfer to partially recessed and porous electrodes. J. elec-troanal. Chem. (2003), 548, 85–94.
[4] dworecki K.: interferometric investigation of the near-membrane diffusion layers. J. Biol. Phys. (1995), 21, 37–49.
[5] Kovács Z., discacciati M., samhaber W.: Modeling of amino nanofiltration by irrevers-ible thermodynamics. J. Membr. sci. (2009), 332, 38–49.
[6] Ślęzak A.: irreversible thermodynamic model equations of the transport across a horizontally mounted membrane. Biophys. Chem. (1989), 34, 91–102.
[7] Oduor P.G., Casey F.X., Podoll A.: Modeling of concentration polarization laeyr evolution and breakthrough concentrations in dead-end hyperfiltration. J. Membr. sci. (2006), 285, 376– 384.
[8] Choi J-H., Moon s-H.: structural change of ion-exchange membrane surfaces under high electric fields and its effects on membrane properties. J. Colloid interface sci. (2003), 265, 93–100. [9] rubinstein i., Zaltzman B., Kedem O.:
elec-tric fields in and around ion-exchange mem-branes. J. Membr. sci. (1997), 125, 17–21.
[10] dworecki K., Ślęzak A., Ornal-Wąsik B., Wąsik s.: effect of hydrodynamic instabilities on solute transport in a membrane system. J. Membr. sci. (2005), 265, 94–100.
[11] Baker r.: Membrane technology and applica-tions. John Wiley & sons, new York, 2004. [12] levitt M. d., Furne J. K., strocchi A.,
An-derson B. W., levitt d. G.: Physiological measurements of luminal stirring in the dog and human small bowel. J. Clin. invest. (1990), 86, 1540–1547.
[13] Baumgartner H., Montrose M. H.: regulated alkali secretion acts in tandem with unstirred layers to regulate mouse gastric surface pH. Gas-troenterology (2004), 126, 774–783.
[14] Katchalsky A., Curran P. F.: nonequilibrium thermodynamics in biophysics, Harvard Uni-versity Press, Cambridge, 1965
ryc. 5. Zależności współczynników polaryzacji stę-żeniowej (ζJ, χ, ζP) od różnicy stężeń glukozy (Ch − Cl)
obliczone na podstawie równań (15), (16) i (18) Fig. 5. dependences of polarization concentration coefficients (ζJ, χ, ζP) on a difference in glucose
con-centrations (Ch − Cl), calculated based on equations
(15), (16) and (18) -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 3 2 1 ζJ , χ , ζP Ch-Cl [mol l-1] -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1 - ζJ= f(Ch-Cl) 2 - χ = f(Ch-Cl) 3 - ζP= f(Ch-Cl)
[15] dworecki K., Wąsik s., Ślęzak A.: Tempo-ral and spatial structure of the concentration boundary layers in in membrane system. Physi-ca A (2003), 326, 360–369.
[16] dworecki K., Ślęzak A., Ornal-Wąsik B., Wąsik s.: evolution of concentration field in a membrane system. J. Biochem. Biophys. Meth-ods (2005), 62, 153–162.
[17] Ślęzak A.: Membrane transport of the non-homogeneous non-electrolyte solutions: math-ematical model based on the Kedem-Katchalsky and rayleigh equations. Polim. Med. (2007), 37, 57–66.
[18] Ślęzak A., Grzegorczyn s., Jasik-Ślęzak J., Michalska-Małecka K.: natural convec-tion as an asymmetrical factor of the transport through porous membrane. Transp. Porous Med. (2010), 84, 685–698.
[19] Jasik-Ślęzak J., Ślęzak A.: relacja między efektywnym i rzeczywistym współczynnikiem
przepuszczalności solutu przez membranę poli-merową. Polim. Med. (2010), 40, 2, 29–36. [20] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.:
Ocena wartości różnicy stężeń determinującej transport membranowy w warunkach polary-zacji stężeniowej. Polim. Med. (2010), złożona w redakcji.
[21] Ginzburg B. Z., Katchalsky A.: The friction-al coefficients of the flows of non-electrolytes through artificial membranes. J. Gen. Physiol. (1963), 47, 403–418.
Adres do korespondencji Katedra Zdrowia Publicznego Wydział Zarządzania
Politechnika Częstochowska al. Armii Krajowej 36b 42-200 Częstochowa
tel. (34) 325 0417, tel./fax (34) 361 3876 e-mail: ajslezak@zim.pcz.pl
