Wektory w ukªadzie wspóªrz¦dnych A. Mróz 1. Dane s¡ trzy wektory a = [1, 2, 3], b = [0, −1, 2], c = [1, 1, 0]. Wyznacz wspóªrz¦dne wektora
p = 3a + 2b − c.
2. Wyznacz dªugo±¢ wektora a = [−1, 2, −2].
3. Wyznacz dªugo±ci przek¡tnych równolegªoboku ABCD zbudowanego na wektorach AB = [3, −2, 1] i AD = [0, 3, −1].
4. Dane s¡ trzy wierzchoªki równolegªoboku ABCD: A = (0, 0), B = (3, 1) i D = (−1, 1). Wyznacz wspóªrz¦dne wierzchoªka C oraz punktu przeci¦cia przek¡tnych.
5. Dany jest jeden z wierzchoªków trójk¡ta A = (2, −5, 3) i wektory jego boków AB = [4, 1, 2] i BC = [3, −2, 5]. Znajd¹ pozostaªe wierzchoªki i wektor CA.
6. Dany jest wektor a = [−3, 4]. Wyznacz wektor jednostkowy kolinearny z a i o zwrocie przeciwnym do a.
7. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami a = [−1, 1, 0] i b = [0, 1, 1]. 8. Znajd¹ cosinusy kierunkowe wektora a = [1, −1, 2].
9. W pªaszczy¹nie xy znajd¹ wektor p prostopadªy do wektora [5, −3, 4] i maj¡cy jednakow¡ z nim dªugo±¢.
10. Dane s¡ wektory AB = [2, 1, −2] i BC = [3, 2, 6] b¦d¡ce bokami trójk¡ta ABC. Wyznacz k¡ty tego trójk¡ta.
11. Znajd¹ rzut wektora a = [2, 1, −1] na o± o kierunku wektora b = [1, 2, 1].
12. Dane s¡ dwa punkty A = (−1, 0, 3) i B = (−2, 5, 0). Wyznacz dªugo±¢ wektora AB oraz jego rzuty na osie ukªadu.
13. Wyka», »e dla dowolnego niezerowego wektora suma kwadratów jego cosinusów kierunkowych jest równa jeden.
14. Wektor a tworzy z osiami Ox i Oz k¡ty 60◦ i 45◦. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorem a i osi¡ Oy.
15. Wektor AB o pocz¡tku w punkcie A = (1, 1, 1) i dªugo±ci 5√3tworzy z osiami ukªadu jednakowe k¡ty ostre. Oblicz wspóªrz¦dne punktu B.
16. Wyra¹ pole trójk¡ta przy pomocy wektorów wodz¡cych jego wierzchoªków. 17. Oblicz pole trójk¡ta ABC, gdy AB = [2, 1, −2] oraz BC = [3, 2, 6].
18. Oblicz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach p = [3, 1, −2], q = [−4, 0, 3] i r = [1, 5, −1]i zbadaj, czy wektory te tworz¡ ukªad prawoskr¦tny, czy lewoskr¦tny.
