• Nie Znaleziono Wyników

Pewne problemy ewolucji różniczkowych zasad wariacyjnych mechaniki w XIX i XX wieku

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pewne problemy ewolucji różniczkowych zasad wariacyjnych mechaniki w XIX i XX wieku"

Copied!
25
0
0

Pełen tekst

(1)

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA

4, 9 (1971)

PEWNE PROBLEMY EWOLUCJI RÓŻ NICZKOWYCH  ZASAD  WARIACYJNYCH  MECHANIKI W XIX I XX WIEKU

N . J.  C Y G A N O W A (WOŁ G OG R AD )

Począ tek XI X wieku charakteryzował  się  w mechanice ponownym wzrostem zainte-resowania problematyką  róż niczkowych zasad wariacyjnych. Sprzyjał y temu zjawisku w zasadzie dwie okolicznoś ci.

P o pierwsze, p o d wpł ywem wymogów techniki rozszerzeniu uległ o poję cie wię zów nał oż onych n a ukł ad pun któw materialnych. Poczę to rozważ ać nie tylko wię zy dwustron-ne, stacjonarne i holonom iczne, ale również wię zy jednostronne, niestacjonarne i nawet anholonomiczne.

To rozszerzenie poję cia wię zów wymagał o też odpowiedniego uogólnienia systematu mechaniki analitycznej Lagran ge'a, opracowanego w swoim czasie dla wię zów dwustron-nych i stacjonarnych, bazują cego n a zasadzie przemieszczeń wirtualnych wraz z zasadą D 'Alemberta — ten zespół  zasad bę dziemy dalej nazywali zasadą  D 'Alemberta- Lagrange'a.

W dzieł ach M . W. OSTROG RAD ZKIEG O i jego szkoł y1

' został y wyczerpują co opracowane podstawy analitycznej teorii równowagi i ruchu ukł adów mechanicznych, ograniczonych przez wię zy o najogólniejszej postaci. Teoria ta został a oparta o uogólnioną  zasadę  prze-mieszczeń wirtualnych i zasadę  D 'Alem berta.

P o drugie, rozwój fizyki doś wiadczalnej n a przeł omie XVIII i XI X wieku zaktuali-zował  problemy matematycznego opracowania wyników obserwacji. Szerokie zastoso-wanie znalazł a m etoda najmniejszych kwadratów, stanowią ca nadzwyczaj skuteczne na-rzę dzie matematycznej obróbki rezultatów eksperymentów. Cenny wkł ad w opracowanie, tej metody wniósł  C. F . G AU SS. Z asada najmniejszych kwadratów przywiodł a G AUSSA w 1829 r. [26] do sformuł owania nowej róż niczkowej zasady wariacyjnej w mechanice, nazwanej przez niego zasadą  najmniejszego przymusu. Z asada najmniejszego przymusu jest najogólniejszą  zasadą  m echan iki, sł uszną  zarówno dla ukł adów holonomicznych, jak i dla ukł adów anholonomicznych (liniowych i nieliniowych). N adzwyczaj wielka

J )

 Szczegółową  analizę  prac Ostrogradzkiego z dziedziny mechaniki analitycznej moż na znaleźć w na-stę pują cych ksią ż kach: ruefleHKO, B. B., IIorpeSbiccKHii, H . B., Miixauji BacuMeeuu OcmpoipadcKUu, M ., 1963; FepoHHMyc, 51. JL, Ouepuu o pa6omax Kopufeee pyccicou jiiexahiiKu, M .3 1952; rparoptaH , A. T . j M.B. OcmpoipadcKUUj, M . , 1961; 3KyK0BCKnft, H . E., Ynenue mpydu M.B. OcmpoipadcKozo

no MexaHurte, C6. co*i. T. VI I , M - JI, 1950; IIorpe6biccKHftj H . B., O MexauuKe cucmeM c udeaMmutu mydepoKuaawią uMii CSH3HMU, Tpyflti H .H .E . H T . , T. 34,  M „ 1960; TrajruHa, H . A., Ka3apHH3 A. A., TpanmoeKa npuuą una eo3MooicHux nepeMeią eHuu e mpydax M. B. OcmpoipadcKOio u eeo WKO/ IU, O iepraa HCTOpHH  MaieMaTH KH  H  M eXaH H KH3  M . j  1 9 6 3 .

(2)

454 N . J. CYGANÓW A

wartość teoretyczna i praktyczna zasady najmniejszego przymusu uwarunkowana jest jej ogólnoś cią, prostotą  i klarownoś cią idei. Z akres zastosowań zasady nie ogranicza się bynajmniej do problemów mechaniki teoretycznej; zasada G aussa stosowana jest w fizyce teoretycznej i innych pokrewnych dziedzinach przyrodoznawstwa. W pracach badaw-czych XIX i XX wieku zasada G aussa zajmuje poczesne miejsce. Wielu wybitnych mate-matyków, mechaników i fizyków zwrócił o w swych pracach uwagę  na tę  zasadę  ze wzglę du na jej wielkie walory teoretyczne i praktyczne, nadają c jej ogólniejszy i szerszy sens.

Koniec XIX wieku i pierwsza ć wierć XX wieku znamionował y się  w dziedzinie zasad wariacyjnych mechaniki analitycznej wynikami o duż ym uogólniają cym znaczeniu. D o-tyczy to zarówno zasad cał kowych, jak i róż niczkowych zasad mechaniki.

W 1896 r. O. HOELDER [30] sformuł ował  ogólną  zasadę  cał kową  mechaniki, która w decydują cy sposób wpł ynę ł a na kierunki dalszych poszukiwań w dziedzinie zasad, wa-riacyjnych. Z asada cał kowa H oeldera został a uogólniona i rozwinię ta w pracy A. VOSSA

[45].

W 1897 r. L. KONIGSBERGER [32] wyprowadził  uogólnione postacie róż niczkowych zasad wariacyjnych, odpowiadają ce uogólnieniu poję cia potencjał u kinetycznego.

W począ tkach XX wieku P. JOU RD AIN [31] sformuł ował  nową  róż niczkową  zasadę wariacyjną , stanowią cą  poś rednie ogniwo mię dzy zasadami D 'Alemberta- Lagrange'a i G aussa. D alszy rozwój tej zasady zwią zany jest z pracam i szkoł y austriackiej [19].

Istotne miejsce w badaniach z pierwszej ć wierci XX wieku zajmuje zagadnienie zależ-noś ci pomię dzy zasadami róż niczkowymi i cał kowymi w mechanice. W fundamentalnych traktatach HOELDERA i VOSSA wykazany został  zwią zek ogólnej zasady cał kowej z zasadą D 'Alemberta- Lagrange'a; w toku dalszych badań , w szczególnoś ci w pracach H . BRELLA [24] i C. SCHAEFERA [42], zwią zek ten został  wyeksponowany jeszcze wyraź niej . W pra-cach H . BRELLA [25] i R. LEITINGERA [33] znaleziono relację  pomię dzy zasadą  H oeldera-Vossa i zasadami G aussa i Jourdain a. Ogólna transformacja zasady D 'Alemberta- La-grange'a do postaci cał kowej nasuwał a myśl o analogicznym przekształ ceniu innych zasad róż niczkowych. Z tego punktu widzenia interesują cą  jest praca E. SCHENKLA [44], w której wyprowadzona został a postać cał kowa zasady G aussa.

N owy etap w ewolucji róż niczkowych zasad wariacyjnych rozpoczę ty został  w 30 la-tach XX wieku pracami A. P. PRZEBORSKIEGO [39] i N . G . CZETAJEWA [20], w których zasada D 'Alemberta- Lagrange'a został a rozszerzona n a ukł ady z nieliniowymi wię zami anholonomicznymi pierwszego rzę du. Idee CZETAJEWA miał y decydują cy wpł yw n a dalsze badania w dziedzinie róż niczkowych zasad mechaniki, prowadzone przez szkoł ę  radziecką . Zasada najmniejszego przymusu G aussa w jej postaci klasycznej, uogólnienia zasady i zastosowanie jej do róż nych problemów mechaniki, zagadnienie niesprzecznoś ci zasad G aussa i D 'Alemberta- Lagrange'a, warianty drugiej z tych zasad, zastosowanie obydwu zasad róż niczkowych do wyprowadzenia równań dynamicznych dla ukł adów anholono-micznych, ukł adów o zmiennych masach i ukł adów z wię zami nieidealnymi — oto krą g podstawowych problemów, które został y rozwinię te w pracach mechaników radzieckich w okresie ostatnich 35 lat.

Omówimy teraz bardziej szczegół owo niektóre spoś ród wymienionych etapów ewolucji róż niczkowych zasad wariacyjnych w mechanice.

(3)

P E WN E P ROBLEM Y E WOLU C JI R Ó Ż N I C Z K O WYCH  Z ASAD  WARIACYJN YCH  455

1. Z h istorii ewolucji zasady G aussa — zasady najmniejszego przymusu

1.1 Z a sa d a najmniejszego przym usu w twórczoś ci G aussa. Z wią zek zasady najmniejszego przymusu z metodą  najmniejszych kwadratów. Z asada G aussa stanowi analogię  fizyczną  dla metody najmniejszych kwadratów. G AU SS napom yka o tej analogii mimochodem, na zakoń-czenie swego artykuł u [26]:

^Nadzwyczaj charakterystyczne jest to, ż e jeż eli ruchy swobodne są  sprzeczne z naturą ukł adu, wówczas ulegają  one zmianom, zupeł nie tak samo, jak w toku obliczeń zmianom ulegają  wnioski geometrów, uzyskane bezpoś rednio, po zastosowaniu do nich metody naj- mniejszych kwadratów w tym celu, by uczynić te wnioski niesprzecznymi z warunkami ko-niecznymi, podyktowanymi przez istotę  zagadnienia. Tę  analogię  moż na był oby kontynuować , lecz wykracza to poza ramy sformuł owanego obecnie przeze mnie zagadnienia.)).

Z historycznego i logicznego pun ktu widzenia kwestia ta zasł uguje na bardziej wnikli-we rozważ enie.

Zgodnie z zasadą  najmniejszego przymusu, funkcja kwadratowa wzglę dem przyspieszeń

nazwana przez G AU SSA przym usem , osią ga minimalną  wartość na rzeczywistym ruchu ukł adu pun któw m aterialnych.

We wzorze tym skł adnik

4

1 • 'v

t

\ mi

reprezentuje kwadrat odchylenia rzeczywistego ruchu pun ktu ukł adu o masie m-v od ruchu

swobodnego w nieskoń czenie mał ym przedziale czasu dt. W metodzie najmniejszych kwadratów wyraz ten odpowiada kwadratowi odchylenia rzeczywistej wartoś ci od war-toś ci obserwowanej. Czynnik mt przy kwadracie odchylenia odpowiada czynnikowi

«wagi» w metodzie najmniejszych kwadratów. D o zasady najmniejszego przymusu do-szedł  G AU SS niewą tpliwie przez analogię  z metodą  najmniejszych kwadratów. Interesują ca jest jedn ak kwestia, czy powracał  on do tej analogii po 1829 r. i jeś

li tak, to jak odzwier-ciedlił y się  w dalszej jego twórczoś ci naukowej idee, sformuł owane przezeń w owej jedy-nej pracy z mechaniki analitycznej [26].

Aby wyjaś nić tę  kwestię , zwróć my się  do tez doktorskich A. RITTERA, ucznia G AUSSA, oraz do zachowanych n otatek RITTERA Z wykł adów G AUSSA O metodzie najmniejszych kwadratów, sporzą dzonych w 1850- 1851 r. RITTER studiował  n a U niwersytecie w G ottin-gen od 1850 do 1853 r., w 1853 r. obronił  pracę  doktorską , której tem at został  zapro-ponowany przez G AU SSA. W wykł adach zimowego semestru 1850- 1851 r. G AU SS rozważ ał zagadnienie okreś lenia najmniejszej wartoś ci sumy kwadratów zmiennych, speł niają cych zadane nierównoś ci liniowe. Z pu n kt u widzenia zasady najmniejszego przymusu do tego zagadnienia matematycznego sprowadza się  problem okreś lenia rzeczywistego ruchu

(4)

456 N . J. C YG AN OWA

ukł adu punktów materialnych z wię zami jednostronnymi. Rzeczywiś cie, wzór dla przy-musu

dtA

w którym czynnik —r-  moż na odrzucić, jako nie wpł ywają cy n a ekstremum przymusu, za pomocą podstawienia liniowego

/ —.. X,

moż na przekształ cić do postaci

D wukrotnie róż niczkując po czasie warunki dla jednostronnych wię zów holonomicznych

oraz jednokrotnie róż niczkując warunki dla jednostronnych wię zów anholonomicznych

/ ^ ClriXi~f" Ur 5^. U  (T =  1, .£, . . . , I)

(- 1

uzyskujemy / n + /  nierównoś ci liniowych wzglę dem przyspieszeń 5ć ;, które moż na przed-stawić w postaci

(1.2)

Mechaniczny problem okreś lenia rzeczywistego ruchu ukł adu punktów materialnych n a podstawie zasady G aussa najmniejszego przymusu sprowadza się do poszukiwania mini-mum Z przy warunkach (1.2), a więc w peł ni pokrywa się ze sformuł owanym przez GAUSSA matematycznym problemem okreś lenia minimum sumy kwadratów przy warun-kach wyraż ają cych się przez nierównoś ci liniowe. Wedł ug ś wiadectwa RITTERA [41] G AU SS nie mówił , jakie zagadnienia naprowadził y go na myśl o tym problemie mate-matycznym. N aturalnie powstaje kwestia, czy sam G AU SS zdawał  sobie sprawę ze zwią zku tych dwu problemów? Czy matematyczny problem okreś lenia minimum sumy kwadra-tów zmiennych, przy warunkach wyraż ają cych się przez nierównoś ci, został  przezeń sformuł owany w zwią zku z zasadą najmniejszego przymusu? Wiele poszlak skł ania ku pozytywnej odpowiedzi na to pytanie. N ajbardziej przekonywają cą spoś ród nich jest wskazanie przez GAUSSA [26], [27] na istotne znaczenie warunków, wyraż onych przez nierównoś ci. D latego wł aś nie centralne miejsce w pracy doktorskiej RITTERA zajmuje za-stosowanie zasady najmniejszego przymusu do ukł adów z wię zami jednostronnymi.

Zapoznajmy się pokrótce z treś cią wspomnianego wykł adu G AU SSA O metodzie naj-mniejszych kwadratów [28].

(5)
(6)

458 N . J. C YG AN Ó W A

ków do zagadnienia wyjś ciowego, dochodzi się  do nowego ukł adu wartoś ci zmiennych, odpowiadają cego kierunkowi najszybszego zmniejszania się  sumy ich kwadratów. Z m ian a tego nowego ukł adu wartoś ci w znalezionym kierunku doprowadza do ukł adu wartoś ci minimalizują cych sumę  kwadratów, wzglę dnie przekształ cają cych nierównoś ci (1.4) w rów-noś ci. W ostatnim przypadku rozważ ony proces zostaje powtórzony wzglę dem tych nie-równoś ci, które przekształ cają  się  w dem tych nie-równoś ci.

Pod pewnymi wzglę dami C. F . G AU SS nie w peł ni rozważ ył  zagadnienie m in im um . D otyczy to przede wszystkim zał oż eń wyjś ciowych: nie zawsze moż na znaleźć ukł ad war-toś ci zmiennych, który przekształ ca w równoś ci n spoś ród zadanych nierównoś ci i speł nia pozostał e m—n nierównoś ci. G AU SS nie dowodzi też jednoznacznoś ci rozwią zania pro-blemu, i

Pomimo to samo sformuł owanie problemu minimum, przy warunkach wyraż ają cych się  przez nierównoś ci, nadaje szczególną  wartość jego pracy. Pozwala ono wnioskować, że G AU SS pragną ł  doprowadzić do koń ca problem matematyczny, wynikają cy z zastoso-wania zasady najmniejszego przymusu do ogólnego przypadku wię zów jedn ostron n ych.

Korzystają c z metod geometrii wielowymiarowej G AU SS W swoich wykł adach poł oż ył również podwaliny pod geometryczne traktowanie zagadnienia minimum z nierównoś cia-mi. Jego idee stał y się  podstawą  odpowiedniego rozdział u pracy doktorskiej RITTERA [41]. Tak wię c, wypowiedziawszy w pracy z 1829 r. zasadę  najmniejszego przymusu, G AU SS powrócił  do niej w ostatnich latach swojego ż ycia, mają c n a celu sformuł owanie jej jako problemu matematycznego na ekstremum dla wię

zów jednostronnych, tzn. wy-raż ają cych się  przez nierównoś ci.

1.2. Podstawowe etapy ewolucji zasady Gaussa. Analiza materiał ów ź ródł owych umoż liwia wy-róż nienie nastę pują cych etapów ewolucji zasady G aussa.

Pierwszy etap zawiera się  w okresie od pracy G AU SSA (1829) do pracy R. LIPSCH ITZA (1876). W swojej pracy G AU SS podał  jedynie sł owne sformuł owanie zasady.

W badaniach naukowców niemieckich: REUSCHLE'G O [40],SCHEFFLERA [43], MOBIU SA [37],

RITTERA [41], zakoń czonych n a tym etapie pracą  sł ynnego matematyka LIPSCH ITZA [35], rozwijano matematyczne interpretacje sł ownego sformuł owania zasady G aussa, wyjaś nia-no charakter wariacji w tej zasadzie, opracowywano analityczne sformuł owanie zasady we współ rzę dnych kartezjań skich i uogólnionych, ustalano zwią zek pomię dzy zasadą  naj-mniejszego przymusu a metodą  najmniejszych kwadratów, stosowano zasadę  najmniej-szego przymusu do problemów statyki.

Analityczne wyraż enie zasady wią zane jest zazwyczaj z nazwiskiem H . SCHEFFLERA. Artykuł  SCHEFFLERA (1858) zawiera dość systematyczne badanie zasady G aussa, w toku którego uzyskuje się  analityczne wyraż enie dla przymusu w prostoką tnym ukł adzie współ -rzę dnych kartezjań skich (1,1).

Jednakże praca SCHEFFLERA nie jest pierwszym obszernym badaniem zasady G aussa. Poprzedził a ją  praca doktorska ucznia G AU SSA RITTERA (1853) oraz praca REU SCH LE'G O (1845).

W zwią zku z zasadą  G aussa trzeba też wspomnieć o Podrę czniku statyki Mómu.SA (1837). MÓBIU S rozważa statyczną  zasadę  najmniejszych kwadratów nie jako szczególny przypadek dynamicznej zasady G aussa, lecz podaje dla niej samodzielne uzasadnienie, wychodzą c z zasady przemieszczeń wirtualnych.

(7)

P E WN E P ROBLEM Y E WOLU C JI R ÓŻ N I C Z K OWYCH  ZASAD  WARIACYJN YCH  459'

Sł ynny niemiecki m atem atyk R. LIPSCH ITZ [35] jako pierwszy skorzystał  z wyraż enia zasady G aussa we współ rzę dnych uogólnionych, opierają c się  o wyniki swoich badań róż niczkowych form kwadratowych i biliniowych. P raca LiPscHiTZAJest pogł ę bionym stu-dium zasady G aussa, zawierają cym ostateczne rozwią zanie kwestii interpretacji sł ownego sformuł owania tej zasady, sprecyzowaniem charakteru wariowania.

Wyraż enie dla przymusu we współ rzę dnych uogólnionych stał o się  począ tkiem cał ej serii prac, rozwijają cych sformuł owania analityczne.

D alsza ewolucja zasady jest istotnie zwią zana z pracam i najwybitniejszych przedstawi-cieli przyrodoznawstwa teoretycznego drugiej poł owy XIX wieku: amerykań skieg o ma-tematyka i fizyka D . G IBBSA i austriackiego fizyka L. BOLTZMANNA, których badania w dziedzinie fizyki statystycznej był y ś ciś le zwią zane z metodami mechaniki analitycznej. Przede wszystkim należy tu wymienić artykuł  G IBBSA [29], Jako podstawowy wzór dynamiki traktuje G IBBS relację

która wyraża w postaci wariacyjnej zasadę  G aussa. Przechodzą c w tej relacji najpierw do współ rzę dnych uogólnionych, a nastę pnie do ą uasi- współ rzę dnych, uzyskuje G IBBS równania ruchu w postaci wyprowadzonej znacznie póź niej przez APPELA. N astę pnie G IBBS formuł uje tezę , że zasada G aussa dla ukł adów z wię zami jednostronnymi jest ogólniejsza od zasady przemieszczeń wirtualnych w poł ą czeniu z zasadą  D 'Alemberta. BOLTZMAN N w W ykł adach zasad mechaniki [23] szczegół owo analizuje tę  tezę  G IBBSA, nazywają c ją  twierdzeniem G ibbsa. M im o to, tezy G IBBSA i BOLTZMANNA nie moż na uważ ać za sł uszne. Z asada wirtualnych przemieszczeń w poł ą czeniu z zasadą  D 'Alem-berta, w tej postaci, jaką  nadał  jej OSTROG RAD ZKI (G IBBS i BOLTZMANN prawdopodobnie nie znali prac OSTROG RAD ZKIEG O), umoż liwia rozwią zanie zagadnień ruchu z wię zami jed-nostronnym i, w tym samym stopniu co zasada G aussa.

Pod wpł ywem prac G IBBSA i BOLTZMAN N A, poczynają c od 90 lat XIX wieku, zasada G aussa zajmuje znaczne miejsce w badaniach szkoł y austriackiej (prace WASSMUTHA [47,

48, 49], LEITIN G ERA [34], SCH EN KLA [44], BRELLA [25]). W pracach reprezentantów tej

szkoł y dalszemu uś ciś leniu ulega analityczne sformuł owanie zasady i jej zwią zek z inny-mi zasadami mechaniki.

N astę pny etap ewolucji zasady, się gają cy do naszych dni, zwią zany jest z badaniami uczonych rosyjskich i radzieckich, spoś ród których w pierwszej kolejnoś ci wymienić n a - '

leży prace J. I. G R D I N Y, J. A. BOŁOTOWA oraz N . G . CZETAJEWA. J. I. G RD IN A przeniósł

zasadę  G aussa n a ukł ady anholonomiczne z wię zami wolowymi (1910- 1916). J. A. BO-ŁOTOW (1916) sformuł ował  uogólnienie zasady G aussa, odpowiadają ce nowemu spojrzeniu na wyzwalanie ukł adów materialnych. O ile G AU SS rozważ ał peł ne wyzwolenie ukł adu materialnego od wszystkich wię zów, o tyle BOŁOTOW analizował  wyzwolenie czę ś ciowe, polegają ce na wyzwoleniu ukł adu od wszystkich wię zów jednostronnych i czę ś ci wię zów dwustronnych. BOŁOTOW sformuł ował  dobitnie i wyraź nie podstawowe zał oż enia, stano-wią ce podstawę  dowodu uogólnionej zasady G aussa. Postulaty te odegrał y poważ ną rolę przy kolejnych uogólnieniach zasady G aussa, dokonanych przez uczonych radzieckich. U ogólnioną  zasadę  G aussa wykorzystał  BOŁOTOW do rozwią zania zł oż onego zagadnienia

(8)

4 6 0 •   N .  J .  C Y G A N O W A , ...;• .*, , :

sł abnię cia wię zów jednostronnych. BOŁOTOW udowodnił  również sł uszność uogólnionej za-sady G aussa w teorii uderzenia, ograniczają c się  we wszystkich przypadkach do ukł adów holonomicznych lub liniowych anholonomicznych. N ieliniowe ukł ady anholonomiczne nie został y rozważ one w pracy BOŁOTOWA. , •  •  .. .

Kolejny etap uogólniania zasady G aussa zwią zany jest z pracam i N . G . CZETAJEWA, dotyczą cymi nieliniowych ukł adów anholonom icznych2). ..

2, Ewolucja zasady D'Alemberta- Lagrange'a i Gaussa w pracach A. P. Przeborskiego i N. G. Czetajewa

Z badaniami A. P . PRZEBORSKIEGO [39] i N . G . CZETAJEWA [20] zwią zane jest prze-niesienie zasady D 'Alemberta- Lagrange'a na ukł ady z nieliniowymi wię zami an holon o-micznymi pierwszego rzę du, uzyskane dzię ki odpowiedniemu uogólnieniu poję cia prze-mieszczenia wirtualnego. U ogólnienie to został o dokonane w począ tkach lat 30 XX wieku niezależ nie przez obydwu uczonych. Poza tym w pracy [39] PRZEBORSKI podał  definicję przemieszczenia wirtualnego dla ukł adów z wię zami anholonomicznymi drugiego rzę du, liniowymi wzglę dem przyspieszeń. N iestety, praca PRZEBORSKIEG O [39] nie został a nale-ż ycie oceniona ani w swoim czasie, ani we współ czesnych badaniach z historii mechaniki.

N a przykł ad, w pracy B. N . FRADLIN A [18, s. 24] bł ę dnie przypisuje się  uogólnienie zasady D 'Alemberta- Lagrange'a na ukł ady z wię zami anholonomicznymi drugiego rzę du HAMMELOWI (1938), podczas gdy uogólnienie to zawarte już był o w pracy [39] PRZEBOR-SKIEG O, ukoń czonej w marcu 1931 roku i opublikowanej w 1933 roku.

2.1. Badania A. P. Przeborskiego [39]. W pracy [39] rozważa PRZEBORSKI zagadnienie formuł owania równań ruchu ukł adu z wię zami anholonomicznymi. Rozpatrywane są wię zy anholonomiczne pierwszego rzę du, liniowe lub nieliniowe wzglę dem pierwszych pochodnych współ rzę dnych oraz wię zy anholonomiczne drugiego rzę du, liniowe wzglę -dem drugich pochodnych od współ rzę dnych.

We wstę pie do swej pracy PRZEBORSKI stwierdza: «.Zagadnienie formuł owania równań

ruchu nieswobodnego ukł adu materialnego posiada doś ć obszerną  literaturę . W ydaje mi się jednak, ż e sformuł owanie i rozwią zanie tego zagadnienia nie jest jeszcze wystarczają co ogólne. W idzę  przyczynę  tego stanu rzeczy w tym, ż e zagadnienie to analizowane był o prawie wył ą cznie z czysto matematycznego punktu widzenia i mechaniczny punkt widzenia był  przy tym cał kowicie lub prawie cał kowicie pomijany. Od 1912 roku wskazuje na to nieustannie Delassu w cał ym szeregu swoich znakomitych artykuł ów i w swoich „W ykł a-dach dynamiki" (Paryż, 1913).

W1921 r. Begen w swojej bardzo interesują cej pracy doktorskiej na temat „Teoretyczna analiza kompasów ż yroskopowych Antschutza i Sperry'ego", wychodzą c z tego punktu widzenia, zbadał  nowe wię zy, nazwane przezeń serwowię zami. Jednakż e Begen nie wypro-wadził  ogólnych wniosków.

Moim celem jest sformuł owanie w ogólnej postaci zagad-nienia budowania równań ruchu nieswobodnego ukł

adu m a-2 )

 W pracy tej ograniczyliś my się  do krótkiego przeglą du podstawowych etapów ewolucji zasady G aussa. Bardziej szczegółowy zarys historii tej zasady moż na znaleźć w ksią ż ce: H . X. H.biraHOBa3

(9)

P E WN E PROBLEM Y E WOLU C JI R Ó Ż N I C Z K O WYCH  ZASAD  WARIACYJN YCH  461

t  e r  i a l n e g o  o r a z  p o d a n i e  r o z w i ą z a n i a  t e g o  z a g a d n i e n i a  d l a

p r z y p a d k ó w ,  n a j c z ę ś c i ej  s p o t y k a n y c h w  p r a k t y c e »  [ 3 9 ,  s .  1 8 4 ]3 )

.

P rzeborski wyprowadza równ an ia ruchu ukł adu z anholonomicznymi wię zami nie-idealnymi, zakł adając znajomość sumy prac elementarnych, wykonanych przez reakcje wię zów Rt n a wszelkich dopuszczalnych przemieszczeniach ukł adu dxt, tzn.

3« 3n

(2.1) ^JR

t

8x

t

=  JJp

t

dx„

(- 1 i- /

gdzie Pi są danymi funkcjami t, xh xit Xf

Jeż eli analityczne warun ki wię zów wyraż one są równaniami (2.2) /fc =  0 (* =  1,2, ...,/ >),

to przemieszczenia wirtualne dxt okreś la PRZEBORSKI jako takie przemieszczenia, które

speł niają równania

3n

(2.3) y,Tr

dx

i =  ° (

k

 = *>

 2

> - ./ O ,

przy czym  |( =  x;, gdy odpowiednie wię zy są holonom iczne;  | ; =  Xi, gdy wię zy są

anholonomiczne pierwszego rzę du, liniowe lub nieliniowe; ić; =  ^ dla przypadku wię zów anholonomicznych drugiego rzę du, liniowych wzglę dem drugich pochodnych od współ -rzę dnych. D o takiej definicji przemieszczeń wirtualnych dla rozważ anych wię zó w an-holonomicznych doprowadził o PRZEBORSKIEG O wyprowadzenie równań ruchu w postaci równ ań Lagrange'a pierwszego rodzaju. Zapisując n a podstawie zasady wyzwalania od wię zów równania ruchu ukł adu n punktów materialnych w postaci

(2.4) m, xt =Xi+Rl  ( {= 1 , 2 , . , . , 3n),

gdzie Xi są skł adowymi sił  czynnych, oraz zakł adają c, że przemieszczenia wirtualne ukł adu speł niają relacje liniowe

(2.5) £AjM~0 U = 1, 2, ...,/ >).

gdzie Aji są danym i funkcjami t, x;, xt, xh autor uzyskuje wzory na reakcje wię zów

p

(2.6) Bt =  P,+ j^XjAjt (i =  1,2,..., 3n).

; = i

Równania ruchu (2.4) są przedstawione w postaci

*Jt {i =  1. 2, .... 3«).

M noż niki wię zów Xj okreś lone są z równań liniowych

p 3n 3n

]= l 1=1 / - I

3 )

(10)

462 N . J. CYGANOWA

gdzie f; =  Xj dla wię zów holonomicznych,  |; =  x; dla wię zów anholonomicznych pierw-szego rzę du (liniowych i nieliniowych), £( =  xt dla wię zów anholonomicznych drugiego

rzę du, liniowych wzglę dem drugich pochodnych od współ rzę dnych; ojk jest zadaną funkcją

t, Xi, Xi.

Wyznacznik ń ukł adu równań (2.7)

gdzie

ma nastę pują cą postać:

V

8fk

^

1 = 1 i 8xt

k,J** 1,2,- ...,

w przypadku, gdy wszystkie wię zy (2.2) ukł adu są holonomiczne, zaś przemieszczenia wirtualne óxi speł niają relacje

U=*l, 2 p), tzn.

Jeż eli wię zy (2.2) są niezależ ne, to A #  04 )

, wobec czego z ukł adu (2.7) m oż na wyznaczyć mnoż niki Xj.

N a to, by mnoż niki Ay moż na był o wyznaczyć w przypadku wię zów anholonomicz-nych pierwszego rzę du, wystarczy przyją ć, że

co oznacza, że przemieszczenia wirtualne są zdefiniowane jako wielkoś ci speł niają ce rów-nania

Wówczas wyznacznik A przyjmie postać 3 H

A =

i dla wię zów niezależ nych bę dzie oczywiś cie róż nił się od zera. Zupeł nie tak samo dla wię zów anholonomicznych, liniowych wzglę dem drugich pochodnych od współ rzę dnych wystarczy zał oż yć

A- - 8f

J

4 >

(11)

P E WN E P ROBLEM Y E WOLU C JI R ÓŻ N I C Z KOWYCH  Z ASAD  WARIACYJN YCH  463

Wyznacznik A ukł adu (2.7), w tym przypadku, oblicza się  ze wzoru

3n

A =

i nie jest równy zeru, gdyż zakł ada się , że wię zy są  niezależ ne. W przypadku, gdy na ukł ad punktów materialnych nał oż one są  wię zy wszystkich trzech rozważ anych rodzajów, wyznacznik A w sposób oczywisty róż ni się  od zera i z ukł adu (2.7) moż na wyznaczyć mnoż niki 2.j.

W omawianej pracy [39] PRZEBORSKI wyprowadza też równania ruchu ukł adu z wię -zami nieideał nymi wszystkich trzech wspomnianych rodzajów, odpowiadają ce równaniom Lagrange'a drugiego rodzaju. Z akł ada się , że dana jest praca sił  reakcji na przemieszcze-niach wirtualnych, speł niają cych równania liniowe (2.5).

N iech dane bę dą  równania wię zów holonomicznych: (2.8)  / i = 0 ,  /2 =  0, ...,  /w =  0,

wię zów anholonomicznych pierwszego rzę du:

(2.9)  / « + i - 0 , fm+2 = 0, ..., fm+h = 0

oraz liniowych wię zów anholonomicznych drugiego rzę du:

(2- 10) fm + h + l = 0, fm + h + 2 = 0, ..., fm+h + g ~ ®< przy czym m- \ - h- \ - g = p.

U wzglę dniają c równania (2.8) wię zów holonomicznych, mamy (2.11) xi = xi(t,quCj2,...,qlt) (i= 1,2, . . . , 3 n ) ,

gdzie q1,q2, • • •, ?,, — współ rzę dne uogólnione, \ i — In—m.

U ogólnione prę dkoś ci qk, speł niają ce równania (2.9), moż na wyrazić jako funkcje

pewnych v =  / J,—h dowolnych parametrów ra

(2.12) Clk = fk(tiqu - '- ,qii\ ri, .- ,rv) (k = 1, 2, ...,/J).

Z równań (2.11) i (2.12) mamy wówczas

(2- 13) ^ =fi(t,q1, . . . , g„ ; ru ...,rv),

(2.14) Xi = coi(t,qu...,qfi;rll...,rv;ril...,rv).

Z równań (2.10) wię zów, po podstawieniu do nich wzorów (2.11), (2.13) i (2.14) dla

xh Xi, xi, moż na otrzymać wyraż enie dla ra

 w funkcji od Q — v—g dowolnych para-metrów Sp w postaci

(2.15) rs =  nx( t , qX t  . . . , q ^ , ru  . . . , rv; su  . . . , sp)  ( a =   1 , 2 ,  . . . , v ) .

Tak wię c okreś lenie ruchu ukł adu sprowadza się  do wyznaczenia (IA- V+Q funkcji qk, ra

i Sp. F unkcje te speł niają  / n- \ - v równań róż niczkowych pierwszego rzę du (2.12) i (2.15). Pozostał e Q brakują cych równań otrzymuje się  z zasady D 'Alemberta- Lagrange'a dla

(12)

464 N . J. CYGANOWA

óxi, speł niają cych równanie (2.5). Do/ > równań (2.5) dodaje się  jeszcze 3n—p dowolnych

relacji o postaci

(2.16) j^Ar+i,tdxi =  da, (/  =  1, 2, ...,3n- p),

gdzie Ap+hi są  funkcjami t, xu xt, xit zaś dat są  dowolnymi liczbami, takimi, że równ an ia

(2.5) i (2.16) tworzą  ukł ad niezależ ny, liniowy wzglę dem ox,. N a podstawie (2.11), (2.13), (2.14) i (2.15) wszystkie An (ij =  1, 2, . . . , 3rc) m oż na rozpatrywać jako funkcje t, qk,

rx, s/ p.

Z równań (2.5) i (2.16) otrzymujemy

(2.17) 8xl = ^.aadą l (i =  1, 2, ..., 3«). / = i

Z równań (2.15) i (2.17) ze wzglę du n a dowolność da, mamy

3n

(2.18) ^Ajtau = 0 ( ; =  1,2 p; I = 1,2 in- p).

Podstawiają c do równania D 'Alemberta- Lagrange'a wzór (2.17) dla óx;, uwzglę

dnia-ją c równania (2.18) i wzór (2.6) dla reakcji oraz biorą c po d uwagę  dowolność wielkoś ci

6au wyprowadził  PRZEBORSKI równania ruchu ukł adu w postaci

3n

(2.19)  ^f l j ( ( w. xi_ Zi- Pi) =  0  ( / =  1, 2 g; Q =  in- p).

Ze wzglę du n a relacje (2.11), (2.13), (2.14) i (2.15) równania (2.19) są  skoń czonymi rów-naniami wzglę dem wielkoś ci qk, ra, Sp. Okreś lając z nich Q wielkoś ci sp i podstawiają c

uzyskane wyraż enia do równań (2.15) i (2.12), otrzymujemy p,- \ - v równ ań róż niczkowych pierwszego rzę du dla wyznaczenia / J,- \- V funkcji ra i qk. W celu zupeł nego wyznaczenia

tych funkcji wystarczy zadać ich wartoś ci w pewnej chwili czasu t0.

Jeż eli wię zy nał oż one n a ukł ad są  idealne holonomiczne i liniowe anholonomiczne pierwszego rzę du, to z równań Przeborskiego (2.19) wynikają  równania M aggi'ego5)

, wy-prowadzone dla tego wł aś nie przypadku.

2.2 Zasady Gaussa i D'Alemberta- Lagrange'a w pracach N.G. Czetajewa. W dziedzinie zasad róż niczkowych' mechaniki analitycznej uczeni radzieccy uzyskali wyniki o wybitnym znaczeniu uogólniają cym. D otyczy to przede wszystkim badań róż niczkowych zasad mechaniki w twórczoś ci naukowej wybitnego uczonego radzieckiego N . G . C Z E -TAJEWA. N iewą tpliwie decydują cy był  wpł yw idei CZETAJEWA n a dalsze badan ia radzieckiej szkoł y mechaniki w tej dziedzinie.

W pracy [20] CZETAJEW przeniósł  zasadę  D 'Alemberta- Lagrange'a n a nieliniowe wię zy anholonomiczne pierwszego rzę du, uogólniają c poję cie przemieszczenia wirtualnego. C Z E -TAJEW podał  taką  definicję  przemieszczeń wirtualnych, która pokrywa się  z definicją  tych

5)

 Maggi, O., Di alcune nuove forme delie equazioni delia dinamica, applicabili ai sistemi anolonomi, Atti delia Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti delia classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Roma, ser. 5, v. 10, 2- e sera. 1901, p. 287- 292. Patrz również: T . JleBH- ^lHBHTa H Y. AMajibflHj Kypc

(13)

P E WN E PROBLEM Y E WO LU C JI R ÓŻ N I C Z KOWYCH  ZASAD  WARIACYJN YCH  465

przemieszczeń dla ukł adów holonomicznych i liniowych anholonomicznych i dla której zasady D 'Alemberta- Lagrange'a i G aussa stają się niesprzeczne.

N iech na ukł ad nał oż one są w ogólnym przypadku nieliniowe anholonomiczne wię zy rzę du pierwszego. Jeż eli ukł ad posiada k stopni swobody, to skł adowe prę dkoś ci punktów ukł adu w ruchu rzeczywistym w rozpatrywanej chwili moż na przedstawić jako funkcje niezależ nych wielkoś ci qs i ich pochodnych po czasie

(2.20) ki =  (hit, q„ qs) (i =  1, 2,  . . . , 3 n ; s — 1, 2, ...,k).

Przemieszczenia wirtualne okreś lone są wedł ug CZETAJEWA relacjami

k

(2.21) ax, =  JV ~ aq

s

,

gdzie aqs są dowolnymi wielkoś ciami nieskoń czenie m alym i 6)

.

Idealne wię zy obustron n e okreś lone są aksjornatycznie jako takie, dla których przy zadanych sił ach zewnę trznych sł uszna jest zasada D 'Alemberta- Lagrange'a

3n

(2.22) £ (miXi- Xi)axi =  0,

wzglę dem przemieszczeń wirtualnych (2.21). Z okreś lenia (2.22) wyprowadzona jest za-sada G aussa w uogólnionej postaci, odpowiadają ca nowemu spojrzeniu na wyzwolenie ukł adu materialnego. O ile G AU SS rozważ ał peł ne wyzwolenie ukł adu materialnego (wy-zwolenie od wszystkich wię zów), zaś BOŁ OTOW — wyzwolenie czę ś ciowe (wyzwolenie ukł a-du od czę ś ci wię zów), o tyle CZETAJEW nazywa wyzwoleniem ukł adu materialnego wszelkie przekształ cenie, rzą dzone przez okreś lony algorytm matematyczny (wyzwolenie parame-tryczne) ; mianowicie, jeż eli w ruchu rzeczywistym ukł adu skł adowe prę dkoś c i jego punk-tów zadan e są wzorami (2.20), to w ruchu wyzwolonym zadane są wzorami

(2.23) X( =  at(t, qs, qs) + «,(*, qs, r/r, rjt),

gdzie otj są dowolnymi funkcjami zaznaczonych zmiennych, zaś liczba nowych parame-trów r\r równa jest liczbie nowych swobód, uzyskanych przez ukł ad. CZETAJEW przeniósł

uogólnioną zasadę G aussa w postaci BOŁ OTOWA n a nieliniowe ukł ady anholonomiczne dowodzą c, że dla nieliniowych ukł adów anholonomicznych i przy zaproponowanych przez niego aksjomatycznych definicjach przemieszczeń wirtualnych i wyzwolenia, odchylenie rzeczywistego ruchu ukł adu od ruchu wyzwolonego jest mniejsze od odchylenia dowol-nego z ruchów wirtualnych od tegoż ruchu wyzwolonego.

Z równań wię zów (2.20) i okreś lenia (2.21) wynika, że istnieją przemieszczenia wir-tualne, proporcjonalne do róż nicy dk— dxt pomię dzy zmianą prę dkoś ci punktów ukł adu

w czasie dt dla ruchu rzeczywistego i takąż zmianą prę dkoś ci dla ruchu wariowanego wedł ug G AUSSA. W tym przypadku, równanie D 'Alemberta- Lagrange'a (2.22) moż na zapisać w postaci

3n

(2.24) V (m, dx, - X, dt) (dk, -  6xt) =  0. 6 )

(14)

466 N . J. CYGANOWA

Z definicji wyzwolenia (2.23) ukł adu w sposób oczywisty wynika, że przemieszczenia wirtualne danego ukł adu znajdują  się  w zbiorze przemieszczeń wirtualnych ukł adu wy-zwolonego. Jeż eli zał oż ymy, że w chwili t punkty ukł adu w ruchu wyzwolonym mają  te same prę dkoś ci, co w ruchu rzeczywistym, zaś w odcinku czasu dt oddział ywują  n a nie te same sił y zewnę trzne,X,, to dla ukł adu wyzwolonego równania D 'Alemberta- Lagrange'a mają  postać

In

(2.25) \  {mi8ki—Xidt){dxi—6ki) =  0,

gdzie 8ki oznacza zmianę  prę dkoś ci punktów ukł adu w ruchu wyzwolonym w cią gu czasu dt.

Odejmują c równanie (2.25) od równania (2.24) CZETAJEW otrzymuje zwią zek w postaci:

(2.26) Adl+Add- Ai)S=Q,

gdzie wielkość

3n Adi =

oznacza odchylenie ruchu rzeczywistego (d) od ruchu wirtualnego (d) w czasie dt. Ana-logicznie okreś lone są  wielkoś ci Add i Add-  Ze zwią zku (2.26) wynikają  dwie nierównoś ci

(2.27) Ads<Ad5,

(2.28) Add<Ald.

N ierówność (2.28) wyraża uogólnioną  zasadę  G aussa: odchylenie rzeczywistego ruchu ukł adu (d) od rzeczywistego ruchu (<9) ukł adu wyzwolonego w sensie CZETAJEWA jest mniejsze od odchylenia tego ostatniego od dowolnego ruchu (<5) wirtualnego (wariowa-nego wedł ug G AUSSA).

W szczególnym przypadku, jeż eli ukł ad zostaje zupeł nie wyzwolony z wię zów, nierów-ność (2.28) wyraża zasadę  G aussa w postaci klasycznej.

Znaczenie ideowe omówionej pracy CZETAJEWA jest olbrzymie. Oznacza ona nowy etap w rozwoju mechaniki analitycznej. Poprzez wprowadzenie dla nieliniowych ukł adów an-holonomicznych pierwszego rzę du takiego poję cia przemieszczenia wirtualnego, które nie wyprowadza poza ramy podstawowej zasady dynamicznej — zasady G aussa, CZETAJEW znakomicie rozszerzył  dziedzinę  zastosowań mechaniki analitycznej, wł ą czają c do niej nieliniowe ukł ady anholonomiczne pierwszego rzę du. Okreś lenie przemieszczeń wirtual-nych, podane przez CZETAJEWA, jest najbardziej ogólnym spoś ród przyję tych w obecnej chwili. Z okreś lenia tego korzystano w wielu nastę pnych badaniach. D zię ki podanej przez CZETAJEWA definicji parametrycznego wyzwolenia ukł adu, stanowią cej uogólnienie poję ć

wyzwolenia, proponowanych przez G AU SSA [26], M ACH

A [36] i BOŁOTOWA [2], ulega roz-szerzeniu klasa ruchów porównywanych w zasadzie najmniejszego przymusu.

Z kolei, powyż sza definicja wyzwolenia został a dalej rozwinię ta w pracach N . J. K o -CZINA i W. T. KIRCZETOWA. CZETAJEW jako pierwszy zwrócił  uwagę  n a nierówność (2.27),

(15)

P E WN E PROBLEM Y E WOLU C JI R Ó Ż N I C Z K O WYCH  ZASAD  WARIACYJN YCH  467

która wraz z nierównoś cią  (2.28) wynika z równania (2.26) i, wyraża zasadę  w sposób konieczny wypł ywają cą  z zasady D 'Alemberta- Lagrange'a: odchylenie rzeczywistego ruchu

(d) ukł adu od ruchu wirtualnego (d) jest mniejsze od odchylenia tego ostatniego od ruchu

wyzwolonego (<9).

W pracy, opublikowanej w 1941 r. [20], CZETAJEW przypisuje zasadzie G aussa i jej klasycznej postaci interpretację  energetyczną . Rozpatrywany jest ukł ad punktów mate-rialnych z idealnymi holonom icznym i i liniowymi anholonomicznymi wię zami. D la rze-czywistego ruchu ukł adu i ruchu wariowanego wedł ug GAUSSA, W czasie dt konstruowany jest cykl elementarny, skł adają cy się  z ruchu n a wprost w polu sił  oddział ywują cych i ruchu powrotnego w polu sił , wystarczają cych dla spowodowania ruchu rzeczywistego, gdyby ukł ad był  swobodny. Z akł adają c, że dział ają ce sił y są  zależ ne od czasu, współ rzę dnych i prę dkoś ci (co oznacza, że ich wariacja wedł ug G AUSSA jest równa zero) C Z E -TAJEW otrzymuje dla gaussowskiej wariacji pracy n a cyklu elementarnym wielkość

3n

1 1

która zgodnie z zasadą  G aussa zeruje się . Wobec tego, że

A

2

A <

 0,

otrzymujemy, że praca A n a cyklu elementarnym ruchu rzeczywistego jest maksymalna. Z omówioną  pracą  CZETAJEWA bezpoś rednio ł ą czy się  jego analiza ruchów wymuszo-nych [21].

Rozważ any jest ruch ukł adu mechanicznego, zależ nego od pewnych parametrów 6h

zmieniają cych się  w sposób wymuszony, przy czym zmiany parametrów zwią zane są  ze współ rzę dnymi ukł adu i nie dopuszczają  hipotezy zmian bardzo powolnych lub adiaba-tycznych. Wię zy nał oż one n a ukł ad są  z zał oż enia idealne i ograniczają  przemieszczenia wirtualne dxt, &yi3 dzt, dd, przy pom ocy relacji liniowych.

D la rozważ anych ukł adów formuł uje się  podstawową  zasadę  dynamiki, uogólniają cą zasadę  D 'Alemberta- Lagrange'a w postaci

(2.29) ^[{0

l

-

l

i

i

B

i

)dd

l

+(X

t

~m

i

x^dxt+Cr

l

- in

i

y

t

)dy

i

^(Z

i

- m

i

z

t

)dz

t

\  -  O,

i =  l

gdzie 0i oznacza wymuszenie param etru Qh odpowiadają cego punktowi m;. CZETAJEW

podaje dalej warian t zasady (2.29), budują c elementarny cykl dla rzeczywistego ruchu ukł adu i ruchu wariowanego wedł ug G AU SSA (wyobraż alnego); cykl skł ada się  z ruchu na wprost w polu sił  oddział ywują cych oraz wymuszeń i ruchu powrotnego w polu sił , wystarczają cych dla spowodowania ruchu rzeczywistego, gdyby ukł ad był  swobodny. Wzór Czetajewa dla gaussowskiej wariacji pracy na cyklu elementarnym ma postać:

AA

 =

 - i

(16)

468 N . J. CYGANOWA

Przy zał oż eniu, że zadane sił y Xt, Y- n  Z; nie zależą od przyspieszeń, zaś wymuszenia nie zależą od prę dkoś ci i przyspieszeń, CZETAJEW wyraża AA w postaci

Wobec tego, że z zał oż enia przemieszczenia wirtualne zwią zane są relacjami liniowymi, mamy dt2  ... <fr2  ...  * 2  ... dt2 Ad dO A 0 ń o A b Oznacza t o , że z zasady (2.29) wynika AA — 0, zaś wobec A2  A < 0, praca n a cyklu elementarnym dla ruchu rzeczywistego jest maksymalna. Zauważ my, że suma n

może być rozpatrywana jako wyraż enie dla przymusu Z , zaś podstawowa zasada ruchu (2.29) może również być przedstawiona w postaci

i

- mizdA'ż & =  0.

W pracy [22] CZETAJEW sformuł ował  ogólną zasadę dynamiki dla ukł adów z tarciem, n ie zawierają cą w jawnej postaci reakcji wię zów na przemieszczenia wirtualne, ortogonalne wzglę dem rzeczywistych prę dkoś ci punktów ukł adu, tzn . speł niają ce warunki

Xidxi+yt&yt+zidzi =  0 (i =  1, 2, ...,n).

Zbiór takich przemieszczeń CZETAJEW nazwał  (C) — przemieszczeniami. D la najbardziej rozpowszechnionych wię zów z tarciem, praca sił  reakcji, oddział ywują cych n a materialne punkty ukł adu w danej chwili, wykonana n a (C) — przemieszczeniach, jest równ a zeru

hi) =  0.

Przez wyrugowanie z tego warunku reakcji wię zów Rix, Riy, Riz przy pomocy równań

ruchu, CZETAJEW wyprowadza zwią zek

(2.30) £ KmtXt- Xddxt+Qntyt- T d&yt+fah- ZddA =  0,

sł uszny dla dowolnych (C) — przemieszczeń; zwią zek ten m oż na traktować jako uogólnie-nie zasady D 'Alemberta- Lagrange'a n a ukł ady z tarciem. Z asada (2.30) został a dalej

(17)

P E WN E P ROBLEM Y E WOLU C JI R ÓŻ N I C Z KOWYCH  ZASAD  WARIACYJN YCH  469

3. D alsza ewolucja róż niczkowych zasad wariacyjnych w pracach uczonych radzieckich I stotne miejsce w badan iach uczonych radzieckich zajmuje zasada najmniejszego przy-m usu G aussa. Bodź ceiach uczonych radzieckich zajmuje zasada najmniejszego przy-m do dalszego rozwijania tej zasady posł uż yły prace N . G . C Z E-TAJEWA, uogólniają ce zasadę  najmniejszego przymusu. Rozpatrzmy przede wszystkim ewolucję  poję cia «wyzwolenia» ukł adu materialnego.

3.1. Ewolucja poję cia «wyzwolenia» ukł adu w pracach N .  J . Koczina i W.  J . Kirgictowa. Przy parametrycznym wyzwoleniu wedł ug CZETAJEWA może zmieniać się  sens geome-tryczny współ rzę dnych uogólnionych.

N . J. KOC Z I N [8] przeanalizował  wyzwolenie ukł adu, przy którym sens geometryczny współ rzę dnych nie ulega zmianie, mianowicie wyzwolenie od wszystkich lub od czę ś ci wię zów anholonomicznych.

N iech konfiguracja ukł adu materialnego n pun któw bę dzie okreś lona w każ dej chwili czasu przez k współ rzę dnych uogólnionych qs tak, że współ rzę dne kartezjań skie są  zwią

-zane z nim i relacjami

(3.1) Xi =  «,(/ , q,)  ( ( =  1,2, ..., 3«;  v =  1,2, ..., / c). N iech poza tym n a ukł ad nał oż one są  k—l wię zy anholonomiczne (3.2) f,(t,qs,qs) = O {r =  1,2,  . . . , * - / ; s =  1, 2, ...,k),

równania których m oż na zapisać w postaci—rozwią zan ej wzglę dem k—l prę dkoś ci uogól-nionych

(3.3) g„ =  Fv(t, qs, gj (v = l+h ...,k\  / i «•  1,2, ,,.,1),

P o zróż niczkowaniu relacji (3.1) i wykorzystaniu równań wię zów anholonomicznych (3.3), otrzymujemy zależ ność

Przemieszczenia wirtualne okreś lone są  wedł ug CZETAJEWA przez równoś ci

(3.5) ** lub po uwzglę dnieniu (3.4) przez równoś ci

V

Koczin dowodzi, że przemieszczenia wirtualne dxi ukł adu wyzwolonego od wszystkich wię zów anholonomicznych (3.2) zawierają  przemieszczenia wirtualne ukł adu rzeczywi-stego dxi,

(3.7)

^ =

(18)

470 N . J. CYGANOWA

Rzeczywiś cie, równanie dxt =  dxi moż na speł nić, zakł adają c

% =  fy, 0»- 1,2,...,/ ), "Ą  y ^

Analogicznie dowodzi się , że jeż eli ukł ad jest wyzwolony od czę ś ci wię zów anholono-micznych, to przemieszczenia wirtualne danego ukł adu znajdują  się  wś ród przemieszczeń wirtualnych ukł adu wyzwolonego. Wyzwolenie ukł adu z wię zami holonomicznymi i linio-wymi wię zami anholonomicznymi, rozważ ane w pracy BOŁOTOWA [2], staje się  szczegól-nym przypadkiem rozpatrzonego sposobu wyzwalania, jeż eli jako wyjś ciowe współ rzę dne uogólnione qs rozważ ymy współ rzę dne kartezjań skie punktów xt.

Problem wyzwalania ukł adów materialnych został  zbadany od strony jakoś ciowej w latach 60- tych przez W. I. KIRG ETOWA [6]. P odan a został a wystarczają co ogólna de-finicja jakoś ciowa wyzwolenia ukł adu, po czym z definicji tej wyprowadzono algorytm matematyczny wyzwolenia.

Autor rozpatruje ukł ady typu Czetajewa- Przeborskiego, tzn. ukł ady z nieliniowymi wię zami anholonomicznymi pierwszego rzę du. Jeż eli równania wię zów wzię to w postaci

fr(t, xu xt) -  0 (/ • =  1,2, . . . , / ) ,

to przemieszczenia wirtualne wedł ug CZETAJEWA- PRZEBORSKIEG O okreś lone są  zwią zkami

1= 1 '

U kł ad uważ any jest za bardziej swobodny w danym stanie, jeż eli zbiór przyspieszeń, którym może on ulegać w tym stanie, rozszerza się  w porównaniu z ruchem rzeczywistym. Wyzwoleniem ukł adu materialnego nazywane jest wszelkie jego przekształ cenie, które nie zawę ż ając zbioru dopuszczalnych stanów ukł adu, czyni ukł ad w każ dym ze stanów bardziej swobodnym.

Wobec tego wszelkie stany i przyspieszenia, dopuszczalne w ukł adzie podstawowym, uważ ane są  za dopuszczalne w stanie wyzwolonym.

Wychodzą c z tego jakoś ciowego okreś lenia wyzwolenia, formuł uje KIRG ETOW uogól-nioną  zasadę  G aussa dla rozważ anych ukł adów.

N iech A oznacza ukł ad Czetajewa- Przeborskiego, zaś B — ukł ad otrzymany z A po-przez wyzwolenie, przy czym zbiór jego przemieszczeń wirtualnych Sxt

 zawiera prze-mieszczenia wirtualne dxt ukł adu A; u-v oraz vt są  przyspieszeniami punktów ukł adu A,

odpowiednio w ruchu rzeczywistym i dopuszczalnym, w- , — przyspieszenia punktów ukł adu

B w ruchu rzeczywistym, Xt — sił y oddział ywują ce n a ukł ad, jednakowe dla obydwu

ukł adów A i B.

Z asada D 'Alemberta- Lagrange'a dla ukł adów A oraz B ma odpowiednio postać

(3- 8)

3n

(19)

P E WN E PROBLEM Y E WOLU C JI R Ó Ż N I C Z K O WYCH  ZASAD  WARIACYJN YCH  471

Wobec tego, że przemieszczenia wirtualne ukł adu B zawierają przemieszczenia wirtualne ukł adu A, równanie (3.9) m oż na zapisać w innej postaci, mianowicie

(3.10) ^j (niiW i—X^dXi =  0.

Odejmując od równ an ia (3.8) równanie (3.10) otrzymujemy

3n

(3.11) y, mj(ui — W i)dXj =  0.

D la ukł adów Czetajewa- P.zeborskiego istnieją przemieszczenia wirtualne, proporcjonalne do róż nicy przyspieszeń pomię dzy ruchem rzeczywistym i dopuszczalnym, moż na więc przyjąć Podstawiając to wyraż enie dla przemieszczeń wirtualnych do równania (3.11) otrzymujemy 3n ( = 1 Ostatnia relacja prowadzi do znanej toż samoś ci (3.12) Auo—Avw+Awu =  0, gdzie in

zaś wyraż enia dla Avw i Awu są analogiczne.

Ze zwią zku (3.12) wynikają dwie nierównoś ci

A < A A <" A

D ruga z tych nierównoś ci jest wyraż eniem dla uogólnionej zasady G aussa. Wychodząc z jakoś ciowej definicji wyzwolenia, KIRG ETOW wyprowadza dla niego algorytm matema-tyczny. Porównując algorytm uzyskany przez KIRG ETOWA Z algorytmem CZETAJEWA wi-dzimy, że róż nica pomię dzy n im i polega jedynie n a róż nym stopniu ogólnoś ci funkcji sł u-ż ą cych do ich wyraż enia.

3.2. Z asady róż niczkowe dla ukł adów m aterialn ych z liniowymi wię zami anholonomicznymi drugiego rzę du. W pracy [7] KIRG ETOWA dokon an e został o dalsze uogólnienie zasady D 'Alember ta- Lagrange'a n a ukł ady z liniowymi wię zami anholonomicznymi drugiego rzę du

3n

(3.13)  , £ « « *!- a * (1= 1, 2, ..., ™),

(20)

472 N . J. CYGANOWA

gdzie współ czynniki a\h ax zależą od t, xt, xt. Przemieszczenia wirtualne takich ukł adów

speł niają wedł ug PRZEBORSKIEGO zależ noś ci liniowe

(3.14) £a

u

to

t

 = 0 (A =  1,2, ..„ m ),

f= i

gdzie współ czynniki au są identyczne ze współ czynnikami równania (3.13).

KIRG ETOW udowodnił , że w ramach takiej definicji przemieszczeń wirtualnych, zasady G aussa i D 'Alemberta- Lagrange'a stają się niesprzeczne, tzn. obydwie zasady prowadzą do tych samych równań ruchu. Rzeczywiś cie, z warunku minimum przymusu

Alf

1

 "«,

dla ruchu rzeczywistego z uwzglę dnieniem równań wię zów (3.13), otrzymuje się równania ruchu w postaci

gdzie ax są nieoznaczonymi mnoż

nikami Lagrange'a. Te same równania ruchu uzyski-wane są z zasady D 'Alemberta- Lagrange'a. D oł ą czając do równań D 'Alemberta- Lagran-ge'a równania (3.14) pomnoż one przez nieoznaczone mnoż niki, otrzymujemy równanie

Zn m 3n 2J (inixi—X'i)oXi J r^/J  a x 2J aM°xi ~ ^ ' ; = i x= i 1=1

z którego przy odpowiednim doborze mnoż ników ak moż na uzyskać równania (3.15).

D alej KIRG ETOW dowodzi, że definicja (3.14) przemieszczeń wirtualnych m a wł asność jednoznacznoś ci. Polega ona na tym, że wszystkie moż liwe liniowe definicje przemieszczeń wirtualnych ukł adu materialnego, w których przemieszczenia wirtualne nie zależą od sił oddział ywują cych n a ukł ad (warunek ten speł niają wszystkie znane w mechanice anali-tycznej definicje przemieszczeń wirtualnych) i dla których zasady D 'Alemberta- Lagrange'a i G aussa okazują się niesprzeczne, są równoważ ne definicji (3.14), tzn. opisują ten sam zbiór przemieszczeń wirtualnych, co definicja (3.14).

3.3. Zastosowania zasady najmniejszego przymusu do ukł adów [z wię zami nieidealnymi. An alizą

zastosowania zasady G aussa^ do ukł adów z wię zami nieidealnymi jako pierwszy zajął się uczeń CZETAJEWA  — M . S. AM IN ÓW [1]. N astę pnie ciekawe wyniki, dotyczą ce ukł adów z tarciem, uzyskał  w 1960- 1961 roku inny uczeń CZETAJEWA, profesor U niwersy-tetu Moskiewskiego W. W. RUMIANCEW [13], [14]. RU MIAN CEW sformuł ował  dwie postacie zasady G aussa dla ukł adów z tarciem. W pierwszym przypadku do wyraż enia dla przy-musu wchodzą sił y tarcia, w drugim sił y te nie wchodzą. RU MIAN CEW uogólnił  zasadę G aussa na ogólne ukł ady z tarciem, wychodząc z definicji ukł adów z tarciem, podanej

przez PAIN LEVE'EG O.

Omówimy szczegół owiej badania RUMIAN CEWA. W jego pracach dalszej ewolucji uległ a zasada, sformuł owana przez CZETAJEWA dla (C) •— przemieszczeń. N a podstawie tej zasady

(21)

P E WN E PROBLEM Y E WOLU C JI R Ó Ż N I C Z K O WYCH  ZASAD  WARIACYJN YCH  473

RU MIAN CEW wyprowadził  zasadę  G aussa w postaci nie zawierają cej w sposób jawny sił reakcji.

Ograniczenie zbioru przemieszczeń wirtualnych w zasadzie Czetajewa do (C) — prze-mieszczeń powoduje odpowiednie ograniczenie zbioru ruchów dopuszczalnych, z którymi porównywany jest w zasadzie G aussa ruch rzeczywisty.

Rozpatrywane są  jedynie takie ruchy dopuszczalne, w których przyspieszenia punktów ukł adu yi speł niają  warunek nastę pują cy: róż nica mię dzy tymi przyspieszeniami, a przy-spieszeniami punktów w ruchu rzeczywistym wL reprezentuje (C) •— przemieszczenie. Tego

rodzaju ruchy dopuszczalne nazywa RU MIAN CEW (C) •— ruchami, zaś przyspieszenia w nich oznacza jako yf. W tym przypadku zasada Czetajewa dla (C) —-  ruchów rozpatrywanych ukł adów m a postać

Ostatnie równanie m oż na przedstawić w postaci

(3.16) Awy°+Awv—Auy° =  0,

gdzie wielkość

oznacza odchylenie rzeczywistego ruchu ukł adu z tarciem od ruchu swobodnego. Analo-gicznie okreś lone są  wielkoś ci AH.ya i Avf. Z równoś ci (3.16) wynikają  dwie nierównoś ci:

D ruga z nich wyraża zasadę  G aussa w zwyczajnej postaci: odchylenie rzeczywistego ruchu ukł adu z tarciem od ruchu swobodnego jest mniejsze od odchylenia tego ostatniego od dopuszczalnego (C ) — ruchu. W nastę pnej pracy [14] RUMIAN CEW uogólnia wyniki, uzyskane poprzednio dla ukł adów z tarciem, n a pewne ukł ady z wię zami nieidealnymi, szczególnymi przypadkam i których są  ukł ady z tarciem, ukł ady z serwosprzę ż eniami itd. Rozważ any jest ukł ad pun któw materialnych z holonomicznymi i anholonomicznymi nieliniowymi wię zami pierwszego rzę du. Z akł ada się , że wię zy nał oż one na ukł ad są  tego rodzaju, że istnieją  przemieszczenia wirtualne, n a których sił y reakcji nie wykonują  pracy. D o tego rodzaju wię zów należą  n a przykł ad wię zy z tarciem i serwosprzę ż eniami.

Rozumują c podobn ie, jak dla ukł adów] z] tarciem, wyprowadza RU MIAN CEW Z za-sady D 'Alemberta- Lagrange'a zasadę  G aussa, wyraż enie dla której nie zawiera jawnie sił reakcji, zaś przemieszczenia wirtualne są  ograniczone do dopuszczalnych (C) — ruchów.

3.4. Zastosowania zasady Gaussa w mechanice oś rodków cią głych. W latach 60- tych za-sada G aussa przeniesiona został a przez uczonych radzieckich n a szeroką  klasę  ciał stał ych. W. P . TAM U Ż [17] przeniósł  zasadę  G aussa n a ciał a sztywno- idealnie plastyczne, zaś M . I . REITMAN [11], [12] — n a dowolne odkształ calne ciał a stał e. Przymus dla do-wolnego ciał a odkształ calnego wyraża się  przez funkcjonał

(3.17)  / =  f^j- dv-  J Pjiijdv-  j TjUjdS

T

+ j a

jk

e

Jk

dv,

(22)

474 N . J. CYGANOWA

gdzie Q — gę stoś ć, Uj — skł adowe przyspieszeń ruchu, eJk — przyspieszenie odkształ ceń,

Pj i Tj —•  odpowiednio sił y obję toś ciowe i powierzchniowe, ajk — naprę ż enia. Tę  postać

funkcjonał u otrzymuje się  wychodzą c od wyraż enia dla przymusu w ukł adzie pun któw materialnych w postaci

j yj materialnych w postaci

(3.18)

j

1 = 1

gdzie Xt są  skł adowymi sił  zewnę trznych, oddział ywują cych n a punkty ukł ady, xt —

skł adowymi przyspieszeń tych punktów. D la dowolnego ciał a stał ego jako masę  pun ktu

3«  „2

traktuje się  masę  elementarnej czą stki, wobec czego wielkość 2_,  —s —  z e

 wzoru (3.18)

zastę powana jest przez pierwszą  z cał ek ze wzoru (3.17), zaś wielkość J ^ Xixt prowadzi

i- \

do pozostał ych trzech cał ek, odpowiadają cych sił om obję toś ciowym, powierzchniowym i wewnę trznemu stanowi naprę ż enia.

Róż nica wartoś ci funkcjonał u przymusu na ruchu rzeczywistym i kinematycznie do-puszczalnym może być przedstawiona w postaci

j j

ftO (.V)

Otrzymuje stą d REITMAN warunek minimum funkcjonał u wymuszenia w postaci równoś ci naprę ż eń w rozpatrywanej chwili w ruchu rzeczywistym i wirtualnym. Warunek ten bę dzie speł niony dla ciał a sprę ż ystego i dla ciał a sprę ż ysto- plastycznego, opisywanego przez teorię deformacyjną  (to znaczy przy wzajemnie- jednoznacznej zależ noś ci naprę ż eń i odkształ -ceń ), jeż eli w danej chwili czasu zadane są  odkształ cenia. D la ciał a sztywno- idealnie plastycznego, opisywanego przez teorię  pł ynię cia, wystarczy zadać prę dkoś ci odkształ ceń, zaś dla oś rodka lepkiego, w którym naprę ż enia są  jednoznacznie wyznaczane przez za-danie odkształ ceń i prę dkoś ci odkształ ceń, należy zadać te ostatnie.

Zasadę  najmniejszego przymusu w postaci minimum funkcjonał u stosuje R eitm an do mają cego zastosowania praktyczne przypadku obcią ż enia proporcjonalnego ciał a sztywno-idealnie plastycznego. Wreszcie stosuje REITMAN zasadę  G aussa do powł ok sztywno-idealnie plastycznych. M inimalizują c funkcjonał  przymusu uzyskuje REITMAN wzory obli-czeniowe dla przypadku kopuł y kulistej z materiał u sztywno- idealnie plastycznego.

W pracy N . A. KILCZEWSKIEG O i N . N . SZEPIELEWSKIEJ [5] sformuł owano dla cieczy

filtracyjnej postać zasady najmniejszego przymusu, stanowią cą  wniosek konieczny z rów-nań ruchu tej cieczy. Przymus dla cieczy filtracyjnej przy zał oż eniu, że ciecz jest nieś ciś li -wa, zaś oś rodek filtrują cy nie odkształ ca się , m a postać

gdzie vx, vy, vz są  skł adowymi wektora prę dkoś ci ruchu czą stek cieczy w ukł adzie współ

(23)

czynni-PEWN E PROBLEMY EWOLUCJI RÓŻ NICZKOWYCH  ZASAD  WARIACYJNYCH  475

kiem filtracji. D la pola prę dkoś ci rzeczywistego ruchu cieczy filtracyjnej przymus jest mniejszy, niż dla ruchu odpowiadają cego innym rozkł adom prę dkoś ci.

3.5. Zastosowanie zasady D 'Alemberta- Lagrange'a do ukł adów o zmniennej masie. Z a sa d a

D 'Alemberta- Lagrange'a został a przeniesiona n a ukł ady o zmiennej masie w pracach

mechaników radzieckich W. F . KOTOWA [4], W. S. NOWOSIEŁ OWA [9], [10] oraz W. A.

SAP Y [15], [16].

Sapa sformuł ował  zasadę D 'Alemberta- Lagrange'a dla ukł adów o zmiennej masie w przypadku, gdy sił y reaktywne okreś lone są odpowiednio przez absolutne lub wzglę dne prę dkoś ci czą stek, wypromieniowanych lub przył ą czonych do punktów ukł adu.

W pierwszym przypadku zasada D 'Alemberta- Lagrange'a dla wię zó w idealnych obu-stronnych holonomicznych i anholonomicznych m a postać

I

\ F^ +®ail+®ail- Mi%- Mivl)drl =  0,

i- i

gdzie Jrte )

 jest wypadkową sił  zewnę trznych, dział ają cych na <- ty pun kt ukł adu, <Pan —

sił a reaktywna, spowodowana przez prę dkość absolutną czą stek, wypromieniowywanych przez /"- ty pun kt ukł adu, &ai2 —

  s

^a

 reaktywna, spowodowana przez prę dkość absolutną czą stek, przył ą czonych przez z- ty pun kt ukł adu.

W drugim przypadku mamy

5r£ =  O, ( - 1

gdzie &rn i &ra są sił ami reaktywnymi, spowodowanymi przez wzglę dne prę dkoś ci czą stek

wypromieniowywanych lub przył ą czonych w f- tym punkcie ukł adu.

N OWOSIEŁ OW w pracy [10] zapropon ował  równanie D 'Alemberta Lagrange'a we współ -rzę dnych uogólnionych dla ukł adu o zmiennej masie z anholonomicznymi nieliniowymi wię zami pierwszego rzę du, przy uwzglę dnieniu wewnę trznego ruchu czą stek.

Jeż eli poł oż enie ukł adu okreś lone jest przez s uogólnionych współ rzę dnych qs, to

równanie D 'Alem berta- Lagrange'a przyjmuje postać

(3.19)

gdzie DjDt jest pochodn ą po czasie przy zamocowanych masach, JJT/ JEq,, JJTl/ Jqi są pochodnym i od T  przy stał ych masach, Qt są sił ami uogólnionymi, I/J; — uogólnionymi

sił ami reaktywnymi, w skł ad których wchodzą sił y impulsowe, sił y Coriolisa oraz sił y spowodowane przez przyspieszenia wzglę dne.

Z równania D 'Alem berta- Lagrange'a (3.19), p o uwzglę dnieniu wię zó w anholonomicz-nych

Fk(t, qt> g,) -  0 ,

dla których zachodzi relacja

(24)

476 N . J . C YG AN OWA

N OWOSIEŁOW wyprowadza równania ruchu rozważ anego ukł adu, zawierają ce m n oż n iki nieoznaczone.

Lit erat u ra cytowana w tekś cie

1.  M . III. AMMHOBJ K npunifuny Faycca, y^ieH H e aartHCKH  Ka3ancKoro ABim ą n oH n oro Ko 4 , 1935. ' * 2.  E . A. BOJIOTOB, O npUHą une Faycca, H a B e a n w dMSHKO- MaieiwaTHqecKoro oSmecTBa n pH  Ka3aHCK0M

yHHBepcHTeTe, T .  2 1 , Na 3 , 1916, c . 99- 152.

3. %.  H . TPRKKA, 3<XMemKU no dumMime oicueux opzauu3MOe, EnaTepHHOCJiaB, 1916.

4 . B. <E>. KOTOBJ OCHOBU ananumuuiCKoiX uexauuKU dnu cucmejit nepeMemoU Maccu, Yntnbip 3artHCKH TopŁKOBCKoro yH H BepcH Teia, T .  X X VI I I , 1955.

5.  H . A. KH JIK^EBCKH H ,  H .  H . U IEH EH EBCKAH , Flpumfun HamieHbiuezo npimyoicdenun u mKomopue no

npujiooicewin e meopuu <p~UAbmpauuu, H ayiH bie noKJiaflbi Bt ic in eń iiiKOJibi, Pa3fleji «CTpoHTeJitCTBO»,

JNa 4 , 1958.

6. B.  H . KnprETOB, 06 oceoSoxcdeHUU MamepuanvHux cucmeM,  I I M M , T . 2 4 , B  I . 1960.

7. B. H . KnprETOB, O «eo3MoxcHbix nepeMeufeuuMx)} uamepua/

ibHux cucmeM c AUWUHUMU duificfiepeuif-uajibHUMU 0BH3HMU omopozo napadną , I T M M j T .  2 3 , Bbin. 43 M . , 1959.

8.  H . E . K O ^ H H , 06 oceo6ojicdeHuu MexammecKUx cucmeM,  I 1 M M , T . 1 0 , B. 5- 6, 1946.

9. B. C . H OBOCEJIOB, ypaeneuuH deuwcenua neMiueuHUx HUOAOHOMHUX cucmeM c nepeMembiMU MaccaMU,

BecTHHK  J i r y, m 7, 1959.

10. B. C. HOBOCEHOB, Bonpocu MexauuKU nepeMenuux Mace c yuemoM enympemeio demiceHUH uacmuif, BecTKHK JUTY, N s 1, 1957.

11.  M .  H . PEH TM AH , O6ufuu eapuaijuoHHuU npunuun e MexauuKe cnnouawu cpedu u eto npUMCHenue, G rpOH -TejiBHaa iwexaHHKa H  p a c q e i coopy>KeHHft3 N s 5, 1965.

12.  M .  H . PEH TM AH , 06 OÓHOM Memode peiuenun 3adcmu OUHOMUKU meepdoeo mejia u eio npuAooiceuuu

K neynpyiuM o6oAOHKaM, IfeBecTHfl  A H  C C C P , M exaiiH Ka H MauiHHOCTpoeHHe  M , N i 6, 1964.

13. B. B. PyiwflimEB, O cucmeMax c mpeuueM,  I I M M , T .  2 5 ,  B . 6, 1 9 6 1 .

14. B . B. PyMHHi(EB, O óeuoiceHuu neKomopux cucmeM c neubecuibuuMu CSH3HMU, BecTHHK  M F Y ,

1961 r. N i 5.

15. B. A. C AI I A, BapuaifuoHHbie npmuunu a MexanuKe nepeMeimou Maccbi, ł feBecTHH   A H  K a 3.  C C P , cepiM M ai. H  Mex.,  B t i n . 5 ( 9) , 1956.

16. B. A. C AI I A, K eonpocy 06 ocnoeax ana/ iumunecKoti Mexaiiuim nepeMennoń Maccu, Y^eH bie 3anacKH KaaaxcKoro yH - Ta, T .  3 0 , Bbin . 5, 1957.

17. B.  n . TAiviy>K, O6 odriOM MUHUMaAbuoM npuną une e duuaMUKe oicecmKo- ruiacmunecKozo mena,  I I M M , T. 26, B. 4, 1962.

18. B. H

. <t>PA3JiHH, HeioAOHOMHan Mexanuna u ee npuAoxceHun e ecmecmeo3Ha,Huu u mexHUKe (aBTope-(JjepaT flH ccepTarpoi), KaeB 1965.

19.  H . PL. I^BITAH OBA, O npuuuune Mypdena, H a yq u we TpyflM   B I I H , Bojirorpafl 1970.

20.  H .  F . ''IEXAEB, O npUHą une Faycca, H 3B. i<a3aHCKoro (|)H3HKO- MaTeMaTiwecKoro o 6m eciBa, c e p . 3 T. 6, 1932- 1933; Odm eudousMeueuue npUHą una Faycca,  I I M M , T .  y , Bbin . 1,  M , 19 4 1, 11- 12 2 1 .  H .  F . ^IETAEBJ O euHyoicdemibix deuotceuunx,  I I M M . ,  T .  7 ,  B . 1, 1943.

22.  H . T . 'tlETAEB, O ueKomopux C8/ 13JIX c mpeHueM,  I I M M , T . 2 4 ,  B . 1, 1960. 23. L. BOLTZM AN N , Vorlesungen iiber die Prinzipien der Mechanik, I Th.- Leipzig 1897.

24. H . BR E LL, Vber eine neue Fassung des Prinzips der kleinsten Aktion, Wien . Ber. Bd . 122 (2- a), 1913, s. 1031- 1036.

25. H . BR ELL, Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip

des kleinsten Zwanges, Wien . Ber. Bd., 122 (2a), 1913. ,

26. C .  F . G AU SS, Vber ein neues allgemeines Orundgesetz der Mechanik, G relle's J o u rn al, Bd. 4, 1829.

(25)

PEWN E PROBLEMY EWOLUCJI RÓŻ NICZKOWYCH  ZASAD  WARIACYJNYCH  477 28. C. F . GAUSS, Das Princip des kleinsten Quadrate, Werke. Bd. 10 (I), G ottingen, 1917, s. 473- 482. 29. D . W. G IBBS, On the fundamental formulae of dynamics, American Journal of Mathematics, vol. 2, 1879, p. 49- 64. 30. O. HOELDER, Vber die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis, N achricht. d. Gesellschaft d. Wiss., G ottingen, H . 2, 1896, s. 122- 157. 31. P. JOURDAIN, Note on an analogue of Gauss principle of least constraint, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 40, London 1909. 32. L. KONIGSBERQER, Vber die PHncipien der Mechanik, Crelle's Journal Bd. 118, Berlin 1897. 33. R. LEITINGER, Vber Jourdain's Prinzip der Mechanik und dessen Zusammenhang mit dem verallgemein-erten Prinzip der kleinsten Aktion, Wien. Ber. Bd. 116 (2a), 1907. 34. R. LEITTNGER, Vber die Ableitung des Gausschen Primips des kleinsten Zwanges aus den allgemeinsten L agrangeschen Gleichungen zweiter Art, Wien. Ber. Bd., 116 (2a), 1907. 35. R. LiPSCHtTZ, Bemerkungen zu dem Prinzip des kleinsten Zwanges, Crelle's Journal, Bd. 82, Berlin 1876.

36. E. M ACH , Die Mechanik in Hirer Entwicklung historisch- kritisch dargestellt, Wien 1883. 37. A. MOBIUS, L ehrbuch der Statik, Leipzig 1837. 38. L. NORDHEIM, Die Prinzipe der Dynamik, H andbuch der Physik, Bd. 5, Leipzig 1927. 39. A. PRZEBORSKI, Die allgemeinsten Gleichungen der klassischeii Dynamik, Math. Zeitschrift, Bd. 36, Berlin 1933, s. 184- 194. 40. C. REUSCHLE, Vber das Prinzip des kleinsten Zwanges und die damit zusammenhangenden mechanischen Prinzipe, Archiv f. M ath. Phys. Bd., 1845. 41. A. RITTER, Vber das Prinzip des kleinsten Zwanges, G ottingen 1853. 42. S. SCHAEFER, Die Prinzipe der Dynamik, Berlin, Leipzig 1919. 43. H . SCHEFFLER, Vber das Gauss'sche Grundgesetz der Mechanik, Zeitschrift f. Math. Phys. Bd. 3, Leipzig 1858. 44. E. SCHENKL, Vber eine dem Gaussschen Prinzipe des kleinsten Zwanges entsprechende Integralform, Wien. Ber. Bd. 122 (2a), 1913.

45. A. Voss, Vber die Prinzipe von Hamilton und Maupertuis, N achricht. d. G esellsch. d. Wiss., G ottin-gen, m.ph.kl. 1900, s. 322- 327. 46. A. Voss, Die Prinzipien der Mechanik, Encykl. d. m. Wiss., Bd. 4, H I , Leipzig 1901, s. 3- 121. 47. A. WASSMUTH, Vber die Anwendung des Prinzipes des kleinsten Zwanges auf die Elektrodynamik, Ber. Miinchen Akad. m. ph. kl. Bd. 24, 1894. 48. A. WASSMUTH, Transformation des Zwanges in allgemeine Coordinaten, Wien, Ber. Bd. 104 (2a), 1895. 49. A. WASSMUTH, Das Restglied bei der Transformation des Zwanges in allgemeine Coordinaten, Wien. Ber. Bd. 110 (2a), 1901. JOUTECH N IKA — WOŁGOGRAD

Cytaty

Powiązane dokumenty

8 Jan Władysław Dawid (1859–1914), filozof, psycholog, pedagog, pionier polskiej psy- chologii wychowawczej oraz eksperymentalnej, uczeń Wilhelma Wundta i Hermanna

Krajowa Izba Odwoławcza zwróciła uwagę, że w orzecznictwie dopuszcza się co najwyżej zastąpienie wezwania do złożenia dokumentów wezwaniem do potwierdzenia

Zapewnij bezpieczeństwo - upewnij się, że młody człowiek jest pod opieką i jest bezpieczny. Nie wymuszaj obietnic – samookaleczanie i myśli samobójcze są poza

Przyjęty do Sekcji Wydawnictw nakład publikacji ewidencjonowany jest przez kwesturę na koncie pozabilansowym w ujęciu wartościowym na podstawie wartościowego

Gdy dziecko idzie to przedszkola, zaczyna się nowy etap nie tylko dla niego, ale także dla Was kochani rodziców.. Zaczynacie zastanawiać się nad tym, czy

 rozpropagowanie konkursu wśród uczniów oraz zebranie zgłoszeń od rodziców,1.  sporządzenie i wysłanie do organizatorów

Kiedy drzwi otworzyły się, stanęła w nich Hermiona.. Wyglądała

^ Dotyczy kandydatów na rodziny zastępcze niezawodowe, rodziny zastępcze zawodowe, prowadzących rodzinne domy dziecka.. Organizator rodzinnej pieczy zastępczej zapewnia kandydatom,