INTERNATIONAAL CONGRES
TECHNISCHrR
MECHANICA
DELFT (HOLLAND)
22-28 APRIL 1924
UITTREKSELS DER
VOORDRACHTEN
P1924-1
Delft University of Technology
Ship Hydromechanics Laboratory
Library
Mekelweg 2 2628 CD Delft
Phone: +31 (0)15 2786873
E-mail: p.w.deheer tudelft.n1
DOOR HET UITVOEREND COMITÉ UITGEGEVEN
TECHNISCHE BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ J.WALTMAN JR TE DELFT
ARCHIEE
-9
Lab.v. Scheepsbouwkund
Technische Hogeschool
Delft
INTERNATIONAAL CONGRES
P1924-1
TECHNISCHrR
MECHANICA
DELFT (HOLLAND)
- 22-28 APRIL 1924
UITTREKSELS DER
VOORDRACHTEN
+9
DOOR HET UITVOEREND COMITÉ UITGEGEVEN
BIJ DE TECHNISCHE BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ J.WALTMAN JR TE DELFT
PREFACE.
In offering the present collection we desire to express our
heartiest thanks to all scientists who have complied with our request
to send in abstracts of the communications they intend to read at the International Conference on Applied Mechanics at Delft. It is to be hoped that this little book may prove to be of use to
over-come the difficulties caused by the variety of spoken languages, and that at the same time it may have its value as a preliminary
record of the Conference, which is to be followed later on by
a publication of the Proceedings in extenso.
Care has been taken to make the typographical appearance as agreeable as the short limits of time would allow ; much time has
been given to the reading of the proof-sheets, and correction proved
to be not always an easy matter, as the authors of the abstracts now and then had omitted a word in their texts, while sometimes a slip of their pen appeared to occur in some formula. Possibly more errors may have escaped our attention, and consideration is requested beforehand.
Our thanks are due to Mr. W. WALTMAN, director
of the
"Technische Boekhandel en Drukkerij" at Delft, for the care bestowed on the printing-, and especially for his kindness in illuminating- thisbook by some typical air foto's from Delft. The Editors,
C. B. BIEZENO. J. M. BURGERS.
CONTENTS.
Appendix : Abstract of Prof. FOTTINGER's communication on
Vector-Integraphs (received too late for printing among the
communications of section I) 129
Index 132
P.
Communications to be read at the general meetings.
Section I 38
Section II 69
Section III 94
IAV.
Scheepsbouwkundi
Technische Hogeschool
23 APRIL 1924 9 h. a.m.
1.
Prof. Ir. C. B. Biezeno, Delft.
Graphical and Numerical stress Determination
inBeams and Plates.
In the lecture to be delivered the girder and the flat plate will
be dealt with. Concerning the first various methods are given to determine graphically or analytically the bendingmoments in such
cases, where the girder is supported elastically, either in a finite
number of points or along its whole length. The
first of these methods is illustrated for the case of three elasticsupports ; it consistsin comparing the descents of the third point of support, obtained in two different ways when different values are contributed to the moment of transition. The corresponding points define two similar series of points, whose double point is to be sought. The extension
of this method to the general
case is illustrated by diagrams. The second of the above-mentioned methods uses only therepeated MOHR construction, and is defined by a simple
iteration-process. Though it proves in practice more convenient than the
former construction, it is bound by a convergency limit. In case
the convergency condition should not be satisfied, another iteration-process can be used, which, however, is also limited by a converg-ency-condition.
If the validity of either of the
iteration-processes mentionedholds, the construction can generally be restricted to only a few iterations (2, 3, 4).
The first of these iteration-methods admits of an application to the girder elastically supported along its whole length. The determination of the convergency-limit occurs, however, in quite a different way.
With regard to the flat plate starting, from the method of Rfrz a simple alteration is mentioned, which enables us to determine in a very elementary manner the maximalstresses in a rectangular plate, whether supported freely or fixed at its circumference and loaded by a continuous load.
By substituting the approximate solution
F
fi
+12 F2 +13 F3 +
(the functions F being functions which satisfy individually all boundary conditions) in the first member of the equation
12 (m2-1)
12
(M2-a function is obt(M2-ained, which is denoted by Eh3
p. The
coefficients f are determined by the conditions that the integrals f p dy dz and fp dy dz, taken over well-chosen regions of theplate-surface, are equal. The characteristic element in this method is
that the conditions for the coefficients/ are
integral-conditions.
Two other applications of this method are referred to, oneof which
relates to the above-mentioned elastically-supported girder. The other we owe to Dr. HENCKY, who treats the case of a rectangular plate, on whose sides only normal stresses,lying in the plane of the plate,
are applied. The problem is reduced by him to that of a plate loaded normally to its plane.
This problem of Dr. HENCKY having been discussed, vve draw
attention to another method of approximationof Prof. GALERKIN, who
exactly in the same manner as RITZ, puts as the approximating solution of the equations :
aEv ,
x
A u +
-
, etc. ; 2 a x the expressions: U == 11 'Pi 992 ' = g1+ g2 2+
h2 Z2 'the functions 449,4,,z again being functions, which individually satisfy all boundary-conditions.
The coefficients f, g, h are determined by the conditions:
f
(Au+
m E*,m 2
+
q, dx dy dz o. etc.ax
the integrals being taken over the whole volume of the body. It is proved that this method ofGALERKIN, which requires much
less ciphering than that of RITZ, and is therefore preferable, can be identified with RITZ' method.
A generalisation of the methods of RITZ, GALERKIN and BIEZENO is proposed.
Finally an eletnentary method to determine the maximal stresses in mushroom-plates is mentioned, which we ol,ve to Mr. KOCH, who for this purpose makes only use of the well known results
of a
flat plate (extending itself indefinitely- in all directions),elastically supported, and loaded by a concentrated load.
REFERENCES :
C. B. BIEZENO, Versl. Akad. v. Wetensch. Amsterdam, XXIII, 1917.
C. B. BIEZENO, Versl. Akad. v. Wetensch. Amsterdam, XXXII, 1923.
J. DROSTE, Versl. Akad. v. Wetensch. Amsterdam, XXXII, 1923.
C. B. BIEZENO en J. J. KOCH, De Ingenieur", 1923, No. 2.
H. HENCKY, Foppl-Festschrift 1924.
B. GALERKIN, Reihenentwicklungen fur Gleichgewichtsprobleme an
Platten und Balken (t915, Russian). J. J. KOCH, De Ing-enieur", 1924.
March 17',
4
23 APRIL 1924 lo h. a.m.
2.
Prof. E. G. Coker, M.A., D.Sc., F.R.S., London.
Some engineering problems of stress distribution.Sections.
Introduction and description of some methods of photo-elastic
measurement illustrated by :
Stress distributions in the foundation of walls ;
(e) Incompletely braced structures ;
Contact pressures and stresses due to pins and rivets; The design of structural and inachine elements;
The action of cutting tools.
One of the discoveries of pure science, which is of growing practical importance, is the Brewster effect of temporary double refraction, a property possessed in varying- degrees by nearly all transparent materials when loaded.
This phenomenon is exceedingly useful in measuring stress
distri-bution in models of engineering structures and machines, especially as it is possible from such experiments to infer with considerable accuracy the stress distribution in the actual bodies themselves,
without any reference to the
theory of elasticity beyond theassumption that the material of which the model is made behaves as an elastic body.
It is also known that under plane stress the retardation R of a polarised beam passed through a transparent plate of glass or nitro-cellulose is expressed by the law
R --= c (p q) t
where c is an optical constant, p and q are the principal stresses at a chosen point, and t is the thickness of the material.
The methods of obtaining the stateof stress followed here are(I) measurement of the isoclinic bands for determining directions of
stresses, (2) neutralisation of the colour effects of doublerefraction
by a tension member cut from the same plate of the material as
the body so that (p
q) is measured without reference to theoptical constant
or the
thickness, and (3) observations of the change of thickness of the plate model which are compared with those observed in the standardtension member whereby a measure of the sum (p q) of the principal stresses is obtained at the same point as for the optical measurements without introducingany elastic moduli. These three measurements at a point completely
specify the nature of the stress
there, and when repeated at asufficient number of points give the distribution of stress throughout
the body.
A method of this kind is of wide application in questions of importance to engineers, especially in cases where the problem is not amenable to mathematical calculations, either because of its complexity or on account of the discontinuities in the structure or machine, which latter are usually inevitable for constructional
reasons.
A simple example of this latter kind is afforded by the foundations
of walls, bridge piers and the like, and some simple cases are discussed in detail, and the observed stresses produced at sudden increases of section in a foundation are examined.
In other structures, such as steel and reinforced concrete bridges, the bracing may be incomplete or redundant, and in either case the mathematical difficulties of determining the stress at any point
of the structure are very great, although by photo-elastic measurement
of a model the state of the stress can be easily measured to
asufficient accuracy for all practical purposes.
An incompletely braced cantilever is discussed as an example
of this type of structure, and the paper then proceeds to an
experimental discussion of the stress distribution produced by pins and rivets and also the contact pressure at the boundary of holes, such as is found in all riveted structures.
The design of parts of machines and structures by photo-elastic
experiments is also illustrated
by aid of simple
examples of suspension bridge links and levers, for which shapes are readily found such as have been independently evolved by engineers from long experience of such members under working conditions.In conclusion the author describes some research work now in
progress on the actions of cutting
tools, in which the stressdistributions found
in both work and tool are described when
materials are under the action of turning, planing and milling cutters.One of the principal features of cutting action,
as shown by
these experiments,is that when the tool is so shaped that it is
truly cutting a ductile material the action is perfectly continuous, and the stress distribution with reference to the point of the tool remains invariable. If, however, the tool is not correctly shaped
the stress distribution varies in a cyclical manner, and the material is not truly cut but is sheared or else broken off byan intermittent
bending action, while the shaving is torn or pushed off, leaving a ragged and irregular surface. The work required to perform the operation is then much greater than in true cutting action, and the surface of the material is left uneven and cannot be finished to gauge, except by further machining operations.
Photo-elastic experiments also show that tools behaving in this intermittent manner either lift or depress the material at and near the point of the tool, and in general it is only when little or no such strain is experienced thad a tool cuts correctly and leaves a
smooth surface.
Metals are found to
nive similar results under the action of cutting tools. In the machining of plates a bow" wave is alsoobserved in front of the tool indicating plastic deformation, and if the limiting contour of this deformed area lies below the point of the tool, the finished surface is left permanently deformed. The addition of lubricant causes in general a sudden contraction of the bow" wave and its bounding, curve is then usually found to lie
entirely within the shaving removed, and the finished surface is not then permanently stressed.
March 12th, 1924.
23 APRIL 1924 11 h. a.m.
3.
Dr. A. A. Griffith, Farnborough (Hants).
The soap film method of solving stress problems. If a soap film be slightly displaced from a plane, say the (x, plane, either by establishing a difference of pressure between its two sides or by stretching it on a boundary which is itself slightly displaced from the plane of (x, y), the equation to the surface of
the film is, very nearly,
a2 z az,
P
- o
2.2 ay2 s
where z is the coordinate normal to (x, y), p is the difference of pressure and s is the surface tension of the soap solution. With a
g,iven pressure the value of p/2s is constant.
Several problems in the mathematical theory of elasticity depend on the discovery of a solution of an equation of the above type or of an equation which can be reduced to the above type) which satisfies some given condition at points on a given closed curve (r, y) o, known as the boundary. In those cases where it is
possible to construct a soap film whose boundary, satisfies the given
condition, the problem may be solved by forming such a soap film and making appropriate measurements of its shape.
The simplest of these problems is that of finding the shear stresses due to the twisting of a cylindrical beam. In this case the boundary is the contour of the cross-section of the beam and the
problem is solved by finding a function 1,1, which satisfies theequation:
az ;I" az,",
a .z2 ay2
and which is zero at all points on the boundary.
The appropriate soap film may therefore be formed by cutting, in a thin flat plate which represents the (x, y) plane, a hole of the same shape as the cross-section of the beam, stretching a soap film
over the hole, and blowing the film up slightly by means of a
difference of pressure maintained between the two sides of the plate.
Values of z may be found by direct measurement of the film, and
values of may then be found from the equation :
4S
=
zThe value of 4slp is most conveniently determined from a film stretched on a circular hole and blown up by the same pressure p. The stress at any point may be found directly by
the slope of the film at that point, relatively to the plane of the plate, by appropriate optical means. The torsional stiffness of the beam may be found by measuring the volume included between the surface of the film and the plane of the plate.
In another class of problems the equation to be solved is :
a2 az
o
3 x2 a y2
and the boundary values of cp are given explicitly in terms of x and y. The problem of finding the shearing stresses in a beam, bent by a load at one end and fixed at the other, is of this kind.
Here the solution of the problem is obtained from a soap film stretched on a boundary whose displacement from the plane of
(x, y) is adjusted to conform to the boundary condition. This film
is not blown up.
In some problems in which the boundary consists of two or more distinct curves (for example, problems relating to tubular
beams) the relative heights of the boundary curves above the plane of (x, y) are not given directly by the boundary condition. In these cases the boundaries must usually be so adjusted as to make the conjugate Laplacian function single-valued. It is always
possible to do this in applications of the soap film method.
The error of the soap film method of solving stress problemsis
usually not g-reater than about 2 0/0.
February 19th, 1924.
23 APRIL 1924
111/4 h. a.m.
4.
Prof. Dr. L. Prandtl, Göttingen.
Spannungsverteilung in plastischen Körpern.
(Zusammenfassender Bericht tiber neuere Arbeiten). Fur die Beurteilung der Vorgange, bei denen die Elastizi-tatsg-renze uberschritten wird, ist es notwendig, auch die
Aende-rungen in der Spannungsverteilung zu studieren, die durch den Wechsel
des Gesetzes zwischen Spannung und Forrnanderung hervorgerufen
werden. Es ist nur in wenigen Fallen möglich diese Aufgabe fur jedes beliebigc Formanderungsgesetz zu lösen (Biegung durch ein Moment allein, Torsion des Kreisquerschnittes). Die Aufgabe wird etwas einfacher, wenn man einen Stoff annimmt, der bis zu einer
bestimmten Elastizitatsgrenze sich rein elastisch verhalt, nach
Ueber-schreitung dieser Grenze aber ideal plastisch" ist. Hierunter sei verstanden, dass die Grosse der Spannung nicht von dem Betrage der unelastischen Formanderung abhangt, also keine Verfestigung oder Entfestigung mit fortschreitender Formanderung eintritt. Der
Zugversuch mit einem solchen Stoff wiirde also, wenn von
Nebener-scheinungen abgeseben wird, ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm in Form einer geknickten Linie, bestehend aus der elastischen Ge-raden und einer wagerechten GeGe-raden liefern.
Beim allgemeinen Spannungszustand lässt sich das plastische
Verhalten, wenn man den Ideen von OTTO MOHR folgt, durch die maximale Schubspannung charakterisieren, die eine fur jedes Material charakteristische Funktion von 6-1 4- ist (er, 62 63 sind die
Haupt-2
spannungen, nach ihrer Grosse geordnet). Die mittlere
Hauptspan-nung cr2 ist nach Mohr ohne Einfluss auf die Grenzschubspannung
7-ma Die erwahnte Funktion kann vielfach mit guter
2
fi
Annaherung linear angenommen werden: 7,x = a b.
+
, wobei2
b eine Reibungsziffer der plastisch gegeneinander zu verschiebenden
Teilchen ist. Bei dem speziell plastischen Korper", der im Fol-genden besonders ausfuhrlich behandelt werden soil, ist b=--- o,
so dass = const. wird (nbereinstimmend mit der Annahme von
CouL0mB).
2). Der Zusammenhang zwischen Spannung und Formanderung beim allgemeinen Spannungszustand ist selbst unter den Mohr'schen
Annahmen nicht g-anz einfach. Die Formanderung besteht aus zwei Teilen, dem elastischen Teil, der auch nach Ueberschreitung
der ;Elastizitatsgrenze in den Betragen auftritt,
die nach dem
Elastizitätsgesetz der jeweiligen Spannung entsprechen, und dem
plastischen Teil, der dem Gesammtbetrage nach unbestimmt
ist, aber der Bedingung gehorchen muss, dass die Hauptachsen
des Ellipsoids der
Dehnungsgeschwindigkeiten
mitden Hauptachsen des Spannungszustandes zusammenfallen und
zug-leich die Vorzeichen der Dehnungsgeschwindigkeiten gewissen
Reg-eln genngen. Man muss hier zwischen dein halb-plastischen und dem voll-plastischen Zustande unterscheiden (Benennung von
V. KÁRA6.N). Der erstere Zustancl ist vorhanden, wenn die mittlere
Hauptspannung einen Wert zwischen den beiden anderen
Haupt-span nungen hat, der letztere, wennsie mit einer der beiden äusseren
Spannungen zusammenfallt. Beim halb-plastischen Zustand verhalt
sich die Dehnung in Richtung der mittleren Hauptspannung elastisch
ohne plastischen Anteil und die plastischen Anteile der
Dehnungs-geschwindigkeiten in den beiden anderen Rich tungen haben entgegen-gesetztes Vorzeichen. Beim voll-plastischen Zustand haben die
plas-tischen Dehnungsgeschwindigkeiten in den Richtungen der beiden
gleichen Hauptspannung,en das gleiche Vorzeichen, im tibrigen aber
beliebige Beträge, die in Richtung der ungleichen Hauptspannung das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Summe der
Dehnungsge-schwindigkeiten bestitnmt sich dabei dadurch, dass sich das Volumen
nur elastisch ändern kann.
Die Verhältnisse sind wesentlich einfacher fiir den zweidimen-sionalen Spannungszustand, der im allgemeinen als halb-plastisch ang-esehen werden kann (mit mittlerer Hauptspannung senkrecht zur Ebene des zweidimensionalen Spannungszustandes). Im Falle des speziell plastischen Körpers kann man hier die folgende
Dar-stellung geben Trägt man die Schiebungen senkrecht zur
Deh-nungsdifferenz e, auf, so stellt irgend ein Punkt A dieser
- Ebene den augenblicklichen plastischen Anteil von a und
dar ; die weg-en der Plastizitätsbedingung möglichen elastischen
o- 1,111.1
Anteile sind in einem Kreis vorn Radius p = ( v)
um den Punkt A enthalten (o. Elastizitatsgrenze beim Zugversuch,
E
Elastizitätsmodul, G =-- Schubmodul, =-- Poisson'sche Zahl). Irgend ein Punkt B auf dem Kreis stellt die augenblicklicheGesamt-formanderung dar, die Richtung- A B (A B =-- elastischer Anteil !)
gibt zugleich tiber die Richtung der Hauptspannungen Aufschluss.
Die obige Regel fur die Dehnung-sgeschwindigkeiten lasst sich nun so geometrisch interpretieren : wird der Punkt B irgendwie nach dem
Aeusseren des Kreises bewegt, so folgt der Punkt A demPunkt B
in konstanter Entfernung nach, indem er sich immer in der jewei-ligen Richtung A B bewegt. Verschiebt sich B nach dem
inneren, so bleibt A liegen, bis B an einer anderen Stelle den Kreis wieder tiberschreitet. Die geschilderte Bewegung lasst sich, wie
hier bemerkt sei, durch fol,genden Mechanismus veranschaulichen :
A sei ein schwerer Punkt auf einer rauhen wagerechten Ebene und sei durch einen biegsamen unausdehnbaren Faden mit dem Punkte B verbunden. Wird E irgendwie langsam bewegt, so folgt ihm A in der geschilderten Weise.
3). Fiir den halbplastischen Zustand bei der Torsion mit mässig
kleinem Verdrehungswinkel kommt man nach NADAI zu einer
ähn-lichen Darstellung fur die Abhängigkeit von 7, und von und
NáDAI und TREFFTZ konnten das Torsionsproblem bei kleiner und grosser Ueberschreitung der Elastizitatsgrenze sehr weitg-ehend aufklären.
Fur das allgemeine zweidimensionale Spannungsproblem war man
dagegen gezwungen, auf die Behandlung der Zustande bei kleiner und massiger Ueberschreitung der Elastizitätsgrenze zu verzichten, musste sich vielrnehr auf die Falle beschränken, wo die plastischen
Formänderungen so gross sind, dass die elastischen Anteile dagegen
vernachlässigt werden können. Man kommt so zu der Aufgabe, die
Spannungen in einem KOrper zu ermitteln, der nur plastischer
Form-änderungen fahig ist, von Spannungen, die unterhalb der
Elastizi-tä.tsgrenze liegen, aber uberhaupt nicht deformiert wird. Bei diesem
Körper wird dann auch die Volumenänderung gleich Null und die Grenzen des elastisch bleibenden Gebietes gegen das plastisch de-formierte k-önnen als starr angesehen werden. Fur die plastischen Formänderungen wird dabei angenommen, dass sie immerhin noch so klein sind, dass die bei kleinen Verschiebungen erlaubten Ver-einfachungen noch anwendbar sind.
Herr HENCKY hat gezeigt, class das Spannungssystem bei der in dieser Weise beschränkten Aufgabe statisch bestimmt ist, d.h. dass sich Lösungen dafur entwickeln lassen, ohne die Formande-rungen gleichzeitig zu betrachten. FUr den speziell plastischen
Körper hat Hencky ferner zeigen können, class das System der Gleitlinien", die hier unter 45° zu den Hauptspannungslinien
ver-laufen, besonders einfache geometrische Eigenschaften besitzt, die
22 a
sich am ktirzesten durch die Formel o (L. FOPPL)
aus-u 07,
drUcken lassen =-_ Richtung der Tangente an die eine Gleit_ linienschar, u und y Parameter der beiclen Scharen), und dass auch der Spannungszustand in einer sehr einfachen Art mit dem eben genannten Tangentenwinkel zusammenhängt. Die ersten Lösungen (Eindringen eines Stempels in einen KW-per, Druckbelastung von
stumpfen Schneiden) sind bereits vorher von PRANDTL angegeben
worden ; dieser konnte auf Grund der Hencky'schen Gesetze
spater weitere Lösungen angeben. Eine sehr allgemeine Methode, bei der die Hencky'sche Aufgabe auf Ouadraturen zuruckgefuhrt
ist, ist kurzlich von CARATHEODORY und ERHARD SCHMIDT
ange-geben worden.
Literatur (ZAMM = Zeitschrift für angew. Mathematik und
Mechanik):
Prandtl, Göttinger Nachrichten 1920, S. 74. ZAMM 1921, S. 15.
Nádai,
S. 20.Hencky,
1923, S. 241.Prandtl,
S. 401.Nádai,,1
S.442-Caratheodory u. Erh. Schmidt, ZAMM 1923, S. 468.
L. Föppl, Drang und Zwang- 2. Aufl. 1924, S. 354.
Trefftz, Unveröffentlichtes Manuskript, wird in der ZAMM
erscheinen. 28. Marz 1924.
23 APRIL 1924
21/,, h. p.m.
5.
Dr. A. A. Griffith, Farnborough (Hants).
The theory of Rupture.
The breaking stresses of solids under simple tension should be expressible as the summation of the intermolecular cohesive forces exerted over unit area. Since the intrinsic pressure is a measure of the order of mag-nitude of this latter quantity, it follows that the breaking stress and the intrinsic pressure should be of the same order of magnitude. Actually, however, it is found that the intrinsic pressures are about 20 tO ioo times greater than the observed
values of the breaking stresses.
A like discrepancy appears if one considers the energy aspect of the problem. The strain energy at rupture should be of the same order as the heat of vaporisation, but, in fact, no such
corres-pondence exits.
Physically, this implies that there must be very great local
concentrations of energy within the solid, at the moment of rupture. One possible cause of such concentrations, namely, the existence of minute cracks in the material, has been investigated theoretically at some length ; the conclusion has been reached that, in brittle solids at least, this is in fact the most important reason for the low observed strengths. The strength of a plate containing a crack has been worked out in terms of the length of the crack and the surface tension and elastic moduli of the material. Experiments on the strength of cracked glass bulbs and tubes have given results
in satisfactory agreement with the theory, and have shown that,
at fracture, the stress at the corners of the cracks was certainly
many times greater than the breaking stress of the glass as determined
in the ordinary way, and was probably of the same order as the
intrinsic pressure.
From the theory, the minimum size of crack which can give the necessary weakening effect may be worked out, and, in general, it is found to be of the order 10-3 to 10-4cms. In very fine fibres
cracks of this size cannot exist whence it follovvs that the strength of such fibres is greater the smaller their diameter.
Subject to certain assumptions, the laws of rupture, under various
types of stress, of a solid containing a large number of small cracks oriented at random, may be worked out in terms of the breaking stress under simple tension. In particular, it is found that the
crushing strength should be eight times the tensile strength. This agrees well with the results of experiments on brittle materials,
such as stone and cast iron. In the case of hardened steel, the
crushing strength is difficult to determine accurately, but it appears to be not less than six times the tensile strength.
By heating glass to a sufficiently high temperature, and allowing it to cool quickly, it may be put into a state in which it possesses
nearly the theoretical molecular tenacity, but this state is, in general,
unstable, so that the strength rapidly diminishes with time. Glass treated in this way has been found to possess temporarily a tenacity as high as 600 kg. per sq. mm. The spontaneous loss of strength is possibly due to some kind of partial crystallisation.
Pure vitreous silica similarly treated acquires a permanent tenacity
of about 370 kg. per sq. mm. This is not more than half the
molecular tenacity, but this discrepancy is probably due to the presence of small gas bubbles in the material.
The greatest care is necessary in protecting the surfaces of these strong vitreous solids. The slightest abrasive action, even rubbing
with the finger, may give rise to surface cracks and seriously weaken the material.
There is another kind of energy concentration which can occur in solids consisting of aggregates of differently oriented crystals. Where two dissimilar crystal faces are in contact, there must in general exist a mutual surface tension, and if this surface energy is sufficiently great, intercrystalline fracture may occur at a stress
much less than the intrinsic
pressure. In this connection, it is interesting to notice that soft iron becomes brittle at the tempe-rature of liquid air, and that under such conditions it breaks with an intercrystalline fracture.The theory of the rupture of ductile solids cannot at present be
usefully discussed, since too little is known of the process of plastic
straining which precedes fracture, so that it cannot be said whether,
and, if so, how, that process could cause the concentration of
energy necessary for fracture. February 19th, 1924.
23 APRIL 1924
31b, h. p.m.
6.
Ing. J. Czochralski, Frankfurt
a. M.Die Beziehungen der Metallographie
zurphysikalischen Forschung.
Während die Chemie als zuverlassige Beraterin in der Metalltechnik
seit langer Zeit eingeftihrt ist, hat es sehr lange gedauert, bis auch
die Physik in
eng-ere Beziehungen zur Metallkunde trat. In derzweitenIfte des vorigen Jahrhunderts
wurde dieFestigkeits-prtifungteilweise unter dem Druck der Abnehmer, besonders der BehOrdeneingefuhrt. Erst in den letzten Jahrzehnten lenkten HEYN,
LUDWIK und TAMMANN das wissenschaftliche Interesse auf die
Vorgänge bei plastischen Formanderungen der Metalle.
Die wissenschaftliche Bearbeitun,g dieses Gebietes erwies sich aber als sehr schwierig, da man es bei einem Metallkörper stets mit einem
Haufwerk von sehr vielen einzelnen Kristallen zu tun hat, und die Eigenschaften dieses Gesamtgebildes nicht immer in einfachem
Zusammenhang mit denen des einzelnen Kristalls stehen. Es wurden
aber Methoden gefunden, um Metallkristalle von solcher GrOsse
herzustellen, dass die Untersuchung der mechanischen Eigenschaften am einzelnen Kristall möglich war. Drei Verfahren ftihren zu diesem
Ziel. Das erste besteht darin, dass
man aus langsam erstarrtenSchmelzen grosse Kristallindividuen herausschneidet. Nach dem zweiten Verfahren wird durch langsames Herausziehen eines im
Wachsen begriffenen Kristalls aus einer Schmelze ein Kristallfaden
erzeugt. Das dritte Verfahren beruht auf derRekristallisation defor-mierter Metalle. Dieses Verfahren liefert die besten Ergebnisse.
Als bequemes Mittel, die Lage der Kristallachsen zu bestirnmen, erwies sich die Benutzung der Reflexionserscheinungen an geatzten
Metallflachen. Mit Hilfe dieser Methode liesssich schon eine wichtig-e
Beobachtung machen, nämlich die, dass diese kristallographisch
bedingten Aetzeffekte bei Biegungs- und Verdrehungsbeanspruchung
ihre gegenseitige Lage in kontinuierlicher Abhängigkeit von der Geometrie des Biegungvorgangs andern. Bei sehr starken Defor-mationen wird der Aetzeffekt immer schwächer, ohne dass damit die Anisotropie des Kristalls vollstandig verschwunden ware ; sie
zeigt sich noch deutlich, indem bei weiterer
mechanischer Bean-spruchung, unerwartete Formänderungen hervorgerufen werden. Es entsteht z. B. aus einem zylindrischen Stabe durch Verdrehung
eine flamische Saute, je nach der Orientierung von verschiedener
Pr5gung.
Die Ergebnisse g-enauerer Untersuchung der mechanischen Eig-en-schaften in kristallographisch verschiedenen Richtungen beim Kupfer werden durch Modellkörper dargestellt. In diesen Modellkörpern ist
in den verschiedenen Richtungen der Wert der Festigkeit bezw. der gleichförmigen Dehnung durch den Abstand der Oberfläche
des Körpers vom Mittelpunkt ausgedruckt. Es zeigt sich, dass geringste
Festigkeit und geringste Dehnung ungefähr senkrecht zur Warfel-fläche zu finden sind, dass dagegen die grösste Festigkeit senkrecht
zur Oktaederfläche, die grösste Dehnung senkrecht zur
Dodekaeder-fläche auftritt. Die Werte der Festigkeit schwanken zwischen 12,9 und 35 kg/mm2, die gleichförmige Dehnung beträgt zwischen
und 550/o.
Durch weitgehende Deformation, wie sie beim Walzen und Ziehen
auftritt, werden die beschriebenen Verhältnisse vollkommen verän-dert. Die Festigkeit ist in diesem Fall ziemlich in allen Richtungen gleich und zwar etwas grösser als die maximale Festigkeit im nicht
deformierten Zustand. Die Dehnung ist ebenfalls in allen Richtungen
nahezu gleich geworden und annä.hernd auf Null gesunken. Der Körper hat also seine Kristallnatur fast viillig eingebtisst. Sein
Verhalten ist ähnlicher dem eines isotropen Körpers als dem eines
Kristalls.
Die geometrisch-mechanische Auswertung dieser Tatsachen ergibt
ftir die theoretische Betrachtung der Vorgänge bei der Deformation
von Metallen wichtige Folgerungen. Eine viel vertretene Hypothese (Translationshypothese) sagt aus, dass die sogenannten Gleitebenen,
die man parallel zu den Oktaederflächen bei schwachen
Deforma-tionen an polierten Metallkörpern leicht beobachten kann, in den
Richtungen geringsten Verschiebungswiderstandes liegen. Die mechanischen Gesetze der Kräfteverteilung beim Zugversuchergeben,
dass grösste Dehnung dann auftreten muss, wenn die Ebenengeringsten
Verschiebungswiderstandes mit den Ebenen grösster Schubkrafte zusammenfallen, die um 45° gegen die Zugrichtunggeneigt liegen.
Aus den oben beschriebenen Versuchen geht aber hervor, dass gerade bei einer derartigen Lage der Gleitebenen das Minimum an Dehnung- gefunden wird. Daraus folgt, dass die Gleitebenen sich
nicht durch geringsten, sondern durch grössten
Verschiebungs-widerstand auszeichnen. Wenn man die Atomverteilung auf der
Ebene grössten Schubwiderstandes (Oktaederflä.che) mit der auf der
Wurfelfläche, der Ebene kleinsten Schubwiderstandes, vergleicht,
so zeigt sich, dass grosster Schubwiderstand und grösste Atomdichte
zusammenfallen. Die verhaltnismässig grosse Streuung der hohen
Dehnungswerte deutet darauf hin, dass nicht nur eine Ebene, sondern ganze Scharen von Ebenen nahezu als gleich begtinstigt anzusprechen
sind. 16
Alles in allem wird man durch die Untersuchungsergebnisse immer
wieder auf die Hypothese gedrängt, dass das Kristallgitter selbst durch die Deformation Aenderungen erleidet (Verlagerungshypo-these). Augenscheinlich strebt das Gitter mit zunehmender Verfes-tigung einem Zustand grösserer Symmetric zu, indem sich die
Atomabstände immer mehr ausgleichen. Leider ist bisher noch keine
Einigkeit iiber die Deutung der Röntgenuntersuchungen an
defor-mierten Kristallen zu erreichen gewesen. Jedoch haben die zuerst
scheinbar sehr starken Einwendungen gegen die Annahme von Gitterstörungen von dieser Seite her an Gewicht viel verloren. Dagegen sind von der Seite der geometrischen Kristallographie stärkste Bedenken gegen die Erklärung von Biegungserscheinungen
in Kristallen durch Translation geäussert worden.
Nach den Erfolg-en der physikalischen Forschung, die zur Lehre vom
Raumgitter gefährt haben, ist es gemeinschaftliche Aufg-abe von
Physik und Metallographie, durch Erforschung- der Gesetze des
Fliessens von Kristallen, also der mechanischen Beeinflussung des Raumgitters, der metallverarbeitenden Technik ihren wissenschaft-lichen Unterbau zu geben.
27. März 1924.
25 APRIL 1924 9 h. a.m.
7.
Prof. Dr. G. I. Taylor, F. R. S.,
Cambridge.
Experiments with rotating fluids.
In general it may be said that the flow observed when bodies
are moved in a fluid does not correspond with the predictions of hydrodynamical theory. The reason is that at present there is no satisfactory method for taking account of the boundary conditions which are the determining- factor in the flow. The experiments here
described were undertaken to find out whether the predictions of
theory are verified more accurately when the force which determines
the nature of the flow is applied throughout the volume of the fluid. Centrifugal force brought into play by rotation is one which is well
adapted both to the theoretical reasonin,g and to experiment. In the first four experiments to be described attention is concentrated
on the differences which are to be expected between the flow set up by any given motion of the boundaries when the fluid is not
rotating and the corresponding flow when the whole system including
fluid and boundaries, is given a uniform rotation. In every case the result afterwards observed was predicted mathematically before
the experiment had been carried out. Experiment 1.
Slide 1. A solid cylinder of the same density aswater is towed through water by means of threads stretching across a diameter
of the glass containing vessel. This vessel which is circular floats in water contained in a similar but slightly larger vessel and it can be made to rotate about a vertical axis by means of a horizontal jet of water directed tangentially on to its outer surface. A view of the basin as seen by an eye looking vertically down on it will be projected on the screen by means of a lantern and 45° mirrors.
Slide i shows the arrangements adopted for towing the cylinder
across the basin when the whole system has attained a uniform rotation. The threads which tow the cylinderlie beneath the middle line of a celluloid bridge which will be seen rotating on the screen. The experiment consists in showing that the cylinder travels under the centre line of the bridge, that is in the direction towards which the threads are pulling it. A sphere onthe other hand when towed under the same conditions is deflected to one side so that it follows a curved path. Slide 2 is a photograph of the cylinder
in the middle of its path. Slide 3 is a
photograph of a sphere under similar circumstances.Experiment 2.
The difference between the reactions of the fluid on the solids moving- through them in the two cases of experiment r is due to
the fact that the only possible kind of fluid flow which remains
unaltered by a uniform rotation of the whole system is a 2-dimensional
one in which particles originally in a line parallel to the axis of rotation remain so throughout the motion. All other kindsof flow are altered by rotation. A vortex ring for instance follows a curved path instead of a straight one. Slide 4 shows a vortex ring from above, fluid at rest. Slide 5 shows a vortex ring in a rotating fluid. Experiment 3.
Any fluid motion which is slow relative to the speed of rotation of the system is necessarily 2-dimensional in its general characteristics,
though it may have in addition a small oscillation about this state of 2-dimensional motion. A slow motion is communicated to the
water by moving the containing vesselor by stirring it and leaving
it for a short time to settle down under the influence of viscosity. The water is then marked by inserting; a small jet of ink. When
the system is not rotating the coloured
portion of the fluid isspread about by the currents into sheets which cross and recross one another till the colour becomes almost uniformly distributed. VV'hen the system is rotating- the motion is 2-dimensional and can therefore only allow the colouring matter to diffuse into sheets which are everywhere parallel to the axis of rotation. These sheets
will appear on the screen as thin lines which can never cross one another however complicated the
pattern of the ink streak, as
seen from above, may become. Slides 6 and 7 show photographs of these vertical sheets of ink from above.Experiment 4.
Even when a 3-dimensional body like a sphere is moved slowly in a fluid the flow set up is 2-dimensional whenever the boundary conditions admit the possibility of such a motion. If a sphere is moved slowly in any direction in an infinitely extended rotating fluid the only possible 2-dimensional flow is
one in which a
cylindrical volume of the fluid extending above and below the sphere is carried about with itas though rigidly fixed to
it.Outside this cylinder the fluid behaves
as though it were being
moved by a solid cylinder instead of
by the liquid containedinside an imaginary cylinder enclosing the sphere.
In the case when the sphere (or other solid which might have been expected to give rise to 3-dimensional motion) moves in the
described above is still possible when the fluid is not infinite but is bounded by planes perpendicular to
the axis of rotation. The
experiment in which this was shown to be true is not suitable for demonstration through a lantern. Slide 8 shows the apparatus in which a body in the form of a short cylinder, 1/3 of the height of the rotating tank in which it is contained,is caused to move
slowly through water. Coloured ink can be ejected into the water at a level half way between the top of the moving body and the under side of the glass top of the tank. When the ink is ejectedat a point
infront of the middle of the imaginary
cylinderenclosing the moving body it divides as this imaginary cylinder
approaches it, some of the ink passing to the right and some to
the left, the water above the moving body remaining clear. This is shown in slide 9.
Slide
to shows the case when
the ink is ejected at a pointinside the imaginary cylinder. The ink is then carried along with the moving body, remaining vertically above it as though rigidly attached to it. It will be seen that noneof the ink escapes outside
the imaginary cylinder. Experiment 5.
When a body in
the form of a solid of revolution moves
symmetrically along the axis of a rotating fluid, either the particles on the axis are pushed ahead of the solid, or else they passalong it close to its surface. The former occurs when the motion is slow, the latter when it is not. When the body does not move slowly, any symmetrical ring of fluid which is at the moment in contact with the solid must at some previous time have been concentrated
in a
ring of infinitely small radius on the axis of symmetry. Since the angular velocity of this ring before the approach of the solid body was equal to that of the whole system, and since itpreserves its angular momentum, it must therefore have stopped
rotating by the time
it is passing over the surface of the solid.If the fluid in contact with the solid body is
not rotating with
the rest of the system the solid itself will stop rotating unless its rotation is maintained by an external couple.In the experiment to be shown a light celluloid ball is allowed to move vertically along the axis of a rotating fluid. It will be seen to stop rotating as soon as
it begins to move, but it
starts to rotate again as soon as it stops moving.Experiment sa.
If the ball moves slowly it
does not stop rotating though
itslows down. A jet
of ink placed on the axis above the ball ispushed up as soon as the ball begins to move. This experiment
is imperfect because the height of the containing vessel is not
great enough. Experiment 6.
The stability, for symmetrical disturbances, of a viscous liquid
contained between concentric rotating cylinders has been investigated
mathematically. It has been shown that if the cylinders rotate in the same direction the motion is stable at all speeds provided that
co1r12 <ce22-22 where co,, r, are the angular velocity and radius of
the inner cylinder and co,, r2 are those of the outerone. If ce1/ce2>r22/r12
(including all cases when they rotate in opposite directions) the motion is unstable provided the speed of rotation is greater than a certain value which can be calculated. This is the first case in which any steady motion of a viscous fluid has ever been proved to be unstable.
When the inner cylinder rotates while the outer one is fixed the instability consists in the formation of vortices in the axial planes. In slide i i the stream lines in an axial plane are shown. These vortices rotate in the axial planes alternately in opposite
directions, and they are separated by equidistant planes perpendicular
to the axis. The existence of these vortices is provedexperimentally by distributing coloured fluid in a thin sheath covering the surface of the inner cylinder. This sheath is formed when the cylinders are rotating less rapidly than the critical speed at which instability is expected. The speed is then gradually increased till the predicted vortices suddenly make their appearance.
The effect of the vortices is tocause the sheath of coloured fluid to g-ather itself together into equidistant rings. Theserings spread
out from the inner cylinder over the horizontal planes which separate
the successive vortices from one another. When the coloured sheet
reaches the outer cylinder it divides and spreads upwards and downwards, remaining in close contact with the outer cylinder. At
points midway between the outward-flowing horizontal sheets where these upward and downward-flowing- sheets meet, they join together
and form intermediate horizontal sheetswhich are indistinguishable in appearance from the outward-flowing ones.
The flow will be projected on the screen by means of a lantern the light from which passes horizontally throug-h the apparatus. The horizontal sheets should be seen on the screen as horizontal
lines. The upward and downward-flowing sheets which are not seen
edgeways should not appear on the screen at all. Slides 12 and 13 show the appearance to be expected.
When the cylinders rotatc in opposite directions the instability
gives rise to similar effects, but there are two sets of vortices, one set being in contact with the inner cylinder and the other set being- in
contact with the outer one. The methodof distributing- the colouring
matter then shows up only the inner set leaving a clear space of uncol-oured water where according to theory the outer vortices should exist.
Slides 14, 15 and 16 are photographs of the experiment when
the cylinders rotate in opposite directions. The accuracy with
which theory predicts thc critical speeds at which instability sets in is quite extraordinary, the error being in most cases less than 20/0. Slide 17 shows comparison between theory and experiment. The instability is clearly not of the same type as the turbulence observed in Reynolds' experiment on the flow through a pipe.
March 6th, 1924.
25 APRIL 1924 io h. a.m.
8.
Prof. Dr. Th. von Kármán, Aachen.
Die Stabilität der Laminarbewegung und die Theorie
der Turbulenz.
Der Referent beabsichtigt folgende Punkte zur Sprache zu bringen :
1. Die beiden Arten der Uebertragung von Schubspannungen in der Flussigkeit. Molekulare und molare Schwankungen. Die
Deutung der REvNoLus'schen Kennzahl :
1 U
E
c
(1-.= lineare Abmessung der Strömung-sanordnung; U =
Strömungs-geschwindigkeit ; molekulare Weglänge ;
Molekulargeschwin-digkeit).
Das Energiekriterium fin- das Anwachsen von Schwankungen
bei einer Latninarströmung. Der elliptische Wirbel
von H. A.
LORENTZ. Schärfere Fassung des Kriteriums durch ORR, HAMEL,
und den Referenten, als Variationsproblem: bei geg-ebener
Dissi-pation und bei gegebenen Randbedingungcn (die Flüssigkeit haftet an der Wand) soll das Maximum des Integrals:
Jf
d
dy u v elx dy
ermittelt werden ( U0 Geschwindigkeit der gegebenen Grund-strömung ; u, y Schwankungsgeschi,vindigkeiten).
Kurzer Bericht uber die Methode der kleincn Schwingungen.
Uebersicht uber die diesbezuglichen Arbeiten von KELVIN, ORR,
SOMMERFELD, HOPE, VON MISES und anderen. Das Versagen der
Methode im CouETTE'schen Fall.
Versuche zur tieferen Einsicht in die mechanischen Vorgänge
beim Ablauf von Störungen. Der Grenzfall nichtreibender FlUssig-keit. Die schwingungsfä.higen Systeme nach RAYLEIGH.
Bet-tick-sichtigung der Reibung im Falle sehr geringer Reibung. PRANDTL'S
Versuch der Anwendung der Grenzschichtmethode. Der Wandeinfluss. Einfluss der Reibung bei Koinzidenz der
Fortpflanzungsgeschwindig-keit der Störung mit der StrömungsgeschwindigFortpflanzungsgeschwindig-keit. Bilanz des
Reibungseinfl usses.
Versuche zur theoretischen Berechnung des ausgebildeten turbulenten Zustandes. Die empirischen Grundlag-en. Die
polation auf R Nimmt der Reibungskoeffizient (bezogen auf
das Geschwindigkcitsquadrat) ohne Grenze ab (BLAsius'sches Gesetz)
oder gibt es
einen Minimalwert auch bei vollkommen glattenWanden (Standpunkt von STANTON)? Die halbempirischen
Berech-nung,en auf Grund des BLAsius'schen Gesetzes (PRANDTL,Referent).
Rein theoretische Abschdtzungen des turbulenten
Reibungswider-standes (BuRGERs). Die Bestimmung, der Wirbelgrösse als zentrales
Problem. Abschdtzungen von TAYLOR und dem Referenten uber Wirbelgrösse und die daraus sich ergebcnden Folgerungen.
27. Md.rz 1924.
25 APRIL 1924. 11h. a.m.
9.
Prof. Dr. J. M. Burgers, Delft.
The motion of a fluid in the boundary layer along
a plane surface.
Whenever a fluid moves tangentially along a surface, the influence
of the frictional forces exerted by the latter does not penetrate beyond a lay-er of a certain thickness a, at the outer side of which
the original or undisturbed motion subsists. This layer has been
called boundary layer by ...PRANDTL (1904).
In the following considerations the surface will be supposed to
be plane and smooth, and to have an (infinitely) sharp leading edge.
The coordinate x will be measured from the leading edge along the surface ; y will be measured normally to it. The velocity of the current outside of the boundary layer will be called V (x) ; the components of the (mean) velocity inside of the layer will be de-noted by u, v.
increases with x; at the leading edge may bc supposed to be zero.
Calling- the kinematical coefficient of friction, REYNOLDS'
characteristic number for a given part of the boundary layer is :
R* =- V d I v.
The motion in the boundary layer may be either laminar or
turbulent (PRANDTL, VON KaRmáN). The laminar motion will become unstable to disturbances of sufficient magnitude as soon as R* surpasses
a critical limit of at least about 2000, its value increasing with diminishing amplitude of the disturbances. Some circumspection is necessary in defining the difference between laminar and turbulent motion. In windchannel experiments e.g. the original current never
remains absolutely steady, but always shows greater or smaller
fluctuations. These fluctuations propagate themselves into the
boun-dary layer, but only when Ir surpasses its critical value, they give rise to the appearance of rather larg-e oscillations of such a kind that the turbulent frictional force:
p T= - p u' y'
(u', 27' : fluctuations of the velocity about its mean value) comes into play between adjacent layers of the fluid.
The most general equation to describe
the motion is VONKáRmaiN's equation of momentum :
a a
d
di
d Vd
xu2 d y
Vd-J u d y v a
Vd (1)=_-- lima ulo.y for y 0).
If the dependance of u on y be
known, (I) gives an equation of the first order for Eq. (1) may be integrated into :
where : ==
f dy(Vu);m=---
dy u (Vu).
In the problem before us d VIdx is usually taken to be zero ; in windchannel experiments it may have a small positive value.
Neglecting dVIdx, the distribution of u over the boundary layer is governed by :
u,
3 u S2 u a Tu --f- V Y
a x a y y2 y
Supposing for a inoment that T and u are functions of y only, and putting : u =-- V. (41, d eq. (3) transforms into :
d
=
lb " T' V2 (4)dx
VIt appears that the supposition made is allowable in two cases
only :
(z) T ----= o (laminar motion) ; then 2 al V and : 1,1) 1,G" =-- - c
(to be solved by numerical methods BLASIUS 1907) ;
b) 11, " vIV'd is negligible (turbulent motion with a high value
of R*, for not too small values of sl).
No method to determine T a priori has as yet been given. Various
functions may be constructed by building up the turbulent motion
from an assembly of LORENTZ'S elliptic vortices, having diatneters
ranging from a lower limit e to the value of e.g.:
T=__0v2IdDID7
445 D 5D21 (1,4 y (1 .0)' (5)for > ER; 0 being- independent of 4. By solving the equation :
tp V)" =-- const. T' (6)
an estimation of distribution of the velocity rnay be obtained ; then the REYNOLDS-LORENTZ energy equation determines e, andfinally
an estimation of the frictional force may be deduced.
This procedure leads to the quadratic law of resistance with
about 6 times too high a value of the resistance coefficient. More-over the curve u (y) obtained differs from the observed one ; in
reality the turbulence does not decrease so fast when going- outwards,
as the vortex field considered would make believe. A somewhat
26
fadx fq
dV
dd x
x (2)better result might be Obtained if it was supposed that the maximal diameter of the vortices surpasses d.
With respect to VON KáRIliN's important semi-empirical formulae
the reader is
referred to the paper mentioned below.Experimental researches on the flow in the boundary layer have
been performed by CALVERT (1893), RIABOUCHINSKY (1914 with
a Pitot tube along an endles moving- band) and at Delft by ir.
B. G. VAN DER HEGGE ZIJNEN and the author. VAN DER HEGGE
ZIJNEN has executed a gyeat number of velocity determinations in the boundary layer along a plane, smooth, sharp-edged glass
plate, mounted in a windchannel, by means of hot wire
ane-mometers of diameters 0,005 and 0,0015 cm. The aneane-mometers were calibrated empirically by comparing- them to a Pitot tube. A correction to their indication is necessary if y <0,2 cm, owing to the cooling effect of the wall. This correction is not known with sufficient exactness ; hence the values of a deduced from the mea-surements are somewhat uncertain.
The measurements reveal the simultaneous presence of a laminar part and a turbulent part of the boundary layer, the former one
occurring at small values of x (where a is small), the latter at greater
values of x. The transition from one part to the other is more
or less rapid : it marks itself by a chang,e in the u (y)-curve, and by an increase of a (normally daldx <o). The influence of the magnitude of the fluctuations of the original current on the be-ginning of the transition could be demonstrated.
Numerical verification of eq. (2) gave fairly satisfactory results for the measurements executed with V about 800 cm/sec.
In the turbulent part of the boundary la'yer, both RIABOUCHINSKY's
measurements and most of the Delft ones are in good agreement with VON KáRmáN's formula :
u/ V= (y/). At the end of the glass
plate (x so cm) this formula represents the measurements for values of V ranging from 800 to 3200 cm/sec with an error less than + 3 O/, for not too small values of y. The values of 3 obtained are nearly given by =- 3,3 ( V/toor T cm. Neg,lecting dVIdx, the value of the resistance coefficient :
resistance
c-f (velocity head) . (area)
becomes 0,0043 ( oo)-5-. The values deduced by evaluating
J adz are about 20-10°/o higher.
No certain indication has been found of a y becoming zero when y approaches to 3.
Registration of the fluctuations of the velocity, simultaneously
effected by means of two independently working measuring ar-rangements with one wire within, and a second wire outside of the boundary layer, using torsion string galvanometers (the arrange-ments allowing to record variations of the velocity with a period of about 5. second) has made possible to compare the amplitude of the fluctuations at both places.
The curves obtained show that the amplitude of the fluctuations within the boundary layer, when in the turbulent state, is about 2 times larger than the amplitude of the fluctuations in the outer current. At the outer limit of the boundary layer fluctuations of
about the same magnitude as
those found more outwards, are more or less periodically disturbed by large sudden decreases of the velocity.References :
TH. VON KáRMáN, Ueber laminare und turbulente Reibung, Zeitschr.
f. ang. Math. u. Mech. r, p. 233, 1921.
J. M. BURGERS, On the resistance experienced by a fluid in
turbu-lent motion, Proc. Acad. Amsterdam, XXVI (1923).
J. M. BURGERS and B. G. VAN DER HEGGE ZHNEN, Preliminary
measurements of the distribution of the velocity of a fluid, in the immediate neighbourhood of a plane, smooth surface (to be published in the Verhand. Akad. v. Wet., Amsterdam).
March 30th, 1924.
25 APRIL 1924 2 h. p.m.
10.
Prof. Dr. T. Levi-Civita, Roma.
La &termination rigoureuse des ondes permanentes
d'ampleur finie.
On montre d'abord que le problème des ondes périocliques se
propageant A. la surface d'un liquide pesant de profondeur indéfinie revient rigoureusement A. la question suivante:
Caractériser (s'il en existent) les fonctions :
w () =- + ir
partie réelle)de la variable complexe pe' holomorphes à l'intérieur de la
circonférence p qu'on appellera C, s'annulant A l'origine
=-- o) et vérifiant sur C (c'est-A-dire pour
= e') la relation :
dr
(i) p e-3T sin .9,
der
où p désigne un parametre positif a priori indéterminé, qu'on
peut, sans restriction substantielle, supposer < 1. Toute co non
identiquement nulle donne lieu A un type effectif d'ondes permanentes.
Voici la signification de p, eP, a:
(2)
où l'on entend par c, A la vitesse de propagation et la longueur de l'onde, par g l'accélération de la gravité ; c ep représente la valeur absolue de la vitesse r e la ti v e, c'est-A-dire de la vitesse dont
paraissent animées par rapport A. Fonde les particules liquides
(accom-plissant en réalité des oscillations tres petites) ;
a n'est que l'inclinaison de cette merne vitesse sur l'horizontale.
Dans un mémoire des Math. Ann. (B. 85, 1922; vol. dédie à M. HILBERT) j'avais étudie des problemes se rattachant à (i) et A des equations un peu plus générales, mais sans épuiser le vrai problème des ondes. J'avais cru toutefois de pouvoir affirmer que, dans ce cas, p doit 'are précisément =-- i, comme il arrive dans la première approximation de AIRY.
La conclusion était hative, comme M. WEYL eut alors l'obligeance
de me faire remarquer. Nous constaterons en effet que la solution rigoureuse correspond A p < i, ce qui est bien conforme aux
résultats obtenus par STOKES et RAYLEIGH en poussant les approxi-mations (malgré les doutes légitimes sur laconvergence de celles-ci).
Pour determiner la fonction w () et la constante p on commence
par remarquer qu'en traitant a,
7, p - comme des quantités du
premier ordre, la condition 5. la frontière (1) se réduit :
dr
d
Si le profil de l'onde est bifront (c'est-5.-dire symétrique par rapport
la verticale moyenne) on en tire comme première approximation de co (correspondante aux ondes simples de AIRY):
=
i
((.4 constante réelle arbitraire),et on reconnait aisément qu'il est loisible de supposer que cc th,z,
contient en facteur.
On pose ensuite
=
fl Wn (Z"p= I
k1..t"et on parvient 5. assigner de proche en proche, d'après (I), pour
n = 2, 3, ...., les fonctions wM (holomorphes pour
etnulles du second ordre pour
ainsi que les constantes k. D'une maniere precise, des qu'on suppose connues :w2, ;
on tire de (1), pour n>
dT
_ k
sin cz
do-z dependant exclusivement de Xi, co2,
. .. ce_
k1, k2, ...,k,,_
et pouvant par consequent etre regard& comme fonction connue de 6.
On reconnait au surplus que
k,,s -I z (0)
est unefonction impaire, ce qui rend automatiquement nuls le terme
con-stant et le coefficient de cos 6- dans son développement de FOURIER.
En adoptant pour km _, la valeur :
k k2, ...,k_
on annule aussi le coefficient de sin cr.
D'après cela l'équation (4) et les conditions qualitatives rappelées tout 5. l'heure définissent univoquement co,,
La convergence des series (3) (uniforme pour 1(41 assez petit, et,
b. regard de co, pour I I) s'établit à l'aide de la méthode des
limites, par comparaison avec des majorantes convenables.
25 APRIL 1924
23/4 h. p.m.
11.
Ing. E. Hogner, Stockholm.
Ueber die Theorie der Schiffswellen und des
Schiffswellenwiderstandes.
Bei der bisherigen Erforschung der Schiffswellen und ihres Anteils am Schiffswiderstand hat man sich teils einer mehr
tech-nischen, teils einer mehr theoretischen Methode bedient. Die
BegrUnder der ersten Methode sind SCOTT RUSSELL, RANKINE,
W. FROUDE und R. E. FROUDE. Die Anfange der theoretischen Erforschung des Problems finden sich bei Lord RAYLEIGH und
Lord KELVIN.
Der Vortrag wird das vorliegende Problem unter Heranziehen von der rein theoretischen Literatur und einzelnen Arbeiten aus der technischen Literatur behandeln. Es erscheint dies zweckmassig,
nicht nur um den Stoff zu begrenzen, sondern auch weil die Theorie
auf ihrem jetzigen Standpunkt, trotz ihrer Unvollkommenheit,
dennoch ein Studium vieler charakteristischer Einzelheiten der
betreffenden Erscheinungen erlaubt.
Die zweidimensionalen Schiffswellen, die von einem der Ober-flache entlang seit unendlicher Zeit bewegten Druckstreifen
her-vorgerufen werden, wurden zuerst, unvollstandig, von POPOFF,
später, vollstandig, von Lord RAYLEIGH, Lord KELVIN, LAMB und HAVELOCK berechnet. Das Ergebnis einer Berechnung des
Falles, wo die Beweg-ung des Druckstreifens in endlicher Zeit beginnt und aufhört, wird vom Vortragenden vorgelegt. Die von
einem Kreiszylinder, der sich in grosser Tiefe unter der Oberflache
bewegt, verursachten Wellen wurden zuerst von LAMB und später
in etwas verschiedener Weise von GREEN berechnet.
Ober die dreidimensionalen Schiffswellen veröffentlichte Lord
KELVIN verschiedene Ergebnisse schon 1887 in einem Vortrag in the Institution of Mechanical Engineers. Im Jahr 1905 nahm er
die Frag,e wieder auf. Einen Gedanken Lord RAYLEIGHS ausführend,
baut er ein dreidimensionales Wellensystem aus einer unendlichen
Anzahl zweidimensionaler Systeme auf. LAMB hat eine Berechnung
derjenigen Wellen ausgefuhrt, die durch einen auf der
Wasserober-flache bewegten Druckpunkt entstehen. EKMAN hat Formeln auf-gestellt, die fur einen weit allgemeineren Typus des idealisierten Schiffes gelten, namlich fur einen zu der Bewegungsrichtung und einer dazu senkrechten Richtung symmetrischen, sonst aber will-ktirlichen, innerhalb eines begrenzten Gebietes wirksamen Druck.
HAVELOCK hat eine Untersuchung uber die durch einen bewegten
Druckpunkt hervorgerufenen Wellen ausgefuhrt, und HOPF hat die Berechnung fur zwei idealisierte Schiffstypen ausgefuhrt, teils fur eine Reihe sich nacheinander ausgleichender kreisförmiger Ver-tiefungen der Wasseroberfläche, teils fur eine Reihe nacheinander
innerhalb eines ¡Aber die Oberfläche fortschreitenden kreisförmigen
Gebietes entstehender Impulse. Die vier letztgenannten Verfasser haben ebenfalls die Erscheinungen behandelt, die in Wasser
begrenzter Tiefe auftreten. Endlich hat GREEN die Wellen berech-net, die in tiefem Wasser die Vorsvärtsbewegung einer Kugel in grosser Tiefe unter der Oberfläche begleiten.
Bei allen diesen Berechnunp-en wurden derartige Approximationen eingefuhrt, dass die Endformeln nur die Wellenbewegung in grosser
Entfernung vom Schiff widergeben, d.h. in Entfernungen, die sehr
gross sind im Verhältnis zu der derSchiffsgeschwindigkeit
entsprechen-den Wellenlänge. An das bekannte Verhältnis, dass, laut sämtlicher
Formeln, die Amplitude der Wellen gegen die Grenzebenen" des Wellensystems hin sich dem Unendlichen nähert wird erinnert,
sowie an die Approximation HAvELocx's, die eine Berechnung des Wellenprofils in den Grenzebenen selbst erlaubt.
Vortragender teilt darauf die Ergebnisse einiger Untersuchungen
mit, die Wellen betreffen, die durch einen auf der Oberfläche fortschreitenden, begrenzten Druck von ganz willkurlicher
Ver-teilung entstehen. Die vorher an den
Grenzebenen auftretende Singularität ist hier beseitigt worden, und das Ergebnis stellt somitdie Wellenbewegung an den Grenzebenen undausserhalb derselben
mit derselben Annäherung wie in den ubrigen Teilen des Wellen-systems dar. Ausserdem werden Formeln vorgelegt zur Berechnung der Wellenbewegung in mittlerer und kleiner Entfernung vomSchiff.
Was den Widerstand betrifft, den die Wellenbildung der Vor-wärtsbewegung des Schiffs entgegenstellt, wird an die grundlegen-den Arbeiten von RUSSELL, RANKINE, W. FROUDE
und R. E.
FROUDE erinnert, besonders an die Froudesche Modellmethode,
mittels der neben Versuchen in Schiffsgrösse viele fur die
Schiff-baukunst wichtige Spezialuntersuchungen in Versuchsanstalten aus-geflihrt worden sind. Arbeiten von BAKER, GEBERS, KENT, KREY,
SCHAFFRAN, TAYLOR und WEITBRECHT werden erwähnt. Diese
Untersuchungen betrafen die Einwirkung verschiedener Faktoren auf den Widerstand, wie der Schiffslä.nge, der Interferenz zwischen Bug- und Heckwellen, der Völligkeitsgrade, der Verhältnisse der Hauptmasse des Schiffs, der Einschränkung der Fahrwassertiefe
und -Breite, u.s.w.
In diesem Zusammenhang wird die Theorie
des
Totwasser-widerstandes" von BJERKNES und EKMAN besprochen.
Darauf folgt ein Bericht Uber die rein theoretischen
suchungen fiber den Wellenwiderstand. Fur den zweidimensionalen Fall gab Lord KELVIN schon 1886 eine Formel fUr den
Zusammen-hang des Widerstandes und der Wellenamplitude. LAMB hat vollstandige Formein gegeben fur den Widerstand eines an der
Oberflache fortschreitenden Druckstreifens und eines Kreiszylinders,
der sich in grosser Tiefe bewegt. Der Widerstand eines
Druck-streifens wurde auch von HAVELOCK behandelt, auch in dem Fall, wo die Bewegung des Druckstreifens in endlicher Zeit begonnen hat. Der erste, der rein theoretisch das dreidimensionale
Widerstands-problem behandelte, durfte MICHELL (1898) sein, welcher den
Wellenwiderstand eines Schiffes von willkUrlicher Form berechnet
hat, jedoch unter der Einschrankung, dass die Neigung der
Schiffs-seite gegen die Symmetrieebene sehr klein sei.
In einer Reihe von Arbeiten hat späterhin HAVELOCK dem
Wellenwiderstand ein eingehendes Studium gewidmet. Mit Elementen
der zweidimensionalen Widerstandstheorie baut er eine
Wider-standsformel auf, die eine geringe Anzahl von der Geschwindigkeit annähernd unabhängiger Konstanten besitzt. Die
Interferenzwir-kungen verschiedener Druckverteilungen werden von ihm unter-sucht. Auch berechnet er den Wellenwiderstand, ausser fUr einen Kreiszylinder, fin- eine Kugel und fur ein Ellipsoid bei Bewegung
tief unter der Oberflache und fur aus rotationssymmetrischen Elementen zusammengesetzte Drucke, die der Oberflache entlang
fortschreiten. In einer 1922 veröffentlichten Arbeit werden Wider-standsberechnungen ausgefuhrt fur einen speziellen rotationssym-metrischen Druck auch fur begrenzte Wassertiefe. Diese Berech-nung gibt eine interessante Beleuchtung gewisser experimenteller
Tatsachen. Schliesslich wendet HAVELOCK 1923 die TheorieMICHELLS
an, um in einem idealisierten Fall den Einfluss des verschiedenen Verlaufs der horizontalen Schittslinien out den Widerstand zu untersuchen. Auch hier zeigt sich eine schöne Obereinstimmung mit alteren experimentellen Untersuchungen.
Zuletzt teilt der Vortragende eine Widerstandsformel mit, die
eine Berechnung des Wellenwiderstandes gegen die Bewegung der
Oberflache entlang von einem Druck mit ganz willkfirlicher Ver-teilung erlaubt.
Benutzte Literatur:
G. S. BAKER, Ship Form, Resistance and Screw Propulsion, London
1915.
G. S. BAKER and J. L. KENT, Trans. Inst. Nav. Arch. Londen 1913. V. W. EKMAN, Norw. North. Pol. Exp. 1893-1896 XV, Christiania
1904; Arkiv f. mat. astr. o. fys. 3 :2 (1906), 3 : 11 (1907),
Stockholm.
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