Właściwości funkcji ciągłych

(1)

Analiza Matematyczna. Wła ´sciwo ´sci funkcji ci ˛

agłych

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Wła ´sciwo ´sci funkcji ci ˛

agłych

•Wła´sciwo´sci funkcji ci ˛agłych •Definicja •Lokalne •Globalne •Monotoniczne

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Definicja funkcji ci ˛

agłej

Niech dana b ˛edzie funkcja

f

(x)

, okre´slona w otoczeniu punktu

a

. Definicja 1. Funkcja

f

(x)

nazywa si ˛e ci ˛agł ˛a w punkcie

a

, je˙zeli

lim

x→a

f

(x) = f (a)

. Je˙zeli

f

(x)

jest ci ˛agł ˛a w ka˙zdym punkcie zbioru

(4)

Własno ´sci lokalne funkcji ci ˛

agłych

Twierdzenie 2. Niech dane b ˛ed ˛a funkcje

f

(x)

i

g(x)

, ci ˛agłe w punkcie

a

. Wtedy funkcje

f

_{± g}

,

f

_{· g}

oraz f_g(x)(x) (ostatnia przy zało˙zeniu

g

(a) 6= 0

) s ˛a ci ˛agłe w punkcie

a

.

Wniosek 3. 1. Stała funkcja jest ci ˛agł ˛a. 2.

f

(x) = x

jest funkcj ˛a ci ˛agła.

3. Wielomian jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a.

4. Niech

R(x) =

P_Q(x)(x) b ˛edzie funkcj ˛a wymiern ˛a, przy czym

Q

_{(x) 6= 0}

na przedziale

[a, b]

. Wtedy

R

(x)

jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na przedziale

[a, b]

.

(5)

Własno ´sci lokalne funkcji ci ˛

agłych, cd

Definicja 4. Funkcja

f

_{: X → R}

nazywa si ˛e ograniczon ˛a z góry (z dołu), je˙zeli

∃M ∈ R

(

m

_{∈ R}

), takie

∀x ∈ X

spełnia si ˛e

nierówno´s´c

f

(x) 6 M

(

f

(x) > m

). Funkcja, ograniczona z dołu i z góry nazywa si ˛e ograniczon ˛a.

Twierdzenie 5. Funkcja, ci ˛agła w punkcie

a

, jest ograniczona w otoczeniu

a

.

Twierdzenie 6. Niech funkcja

f

b ˛edzie ci ˛agł ˛a w punkcie

a

, oraz

f

(a) > 0

(

f

(a) < 0

). Wtedy, w otoczeniu punktu

a

,

f

(x) > 0

(

f

(x) < 0

).

(6)

Funkcje zło˙zone

Definicja 7. Niech dane b ˛ed ˛a dwie funkcje

f

_{: X → Y}

oraz

g

_{: Y → Z}

. Wówczas funkcja

h

_{= g ◦ f : X → Z}

,

h

_{: x 7→ g(f(x))}

nazywa si ˛e funkcj ˛a zło˙zona (superpozycj ˛a funkcji

f

i

g

).

f

(x)

x

₀, funkcja

g

(y)

y

₀

= f (x

0

)

. Wtedy

g

◦ f

(7)

Wła ´sciwo ´sci globalne funkcji ci ˛

agłych

f

b ˛edzie ci ˛agł ˛a na przedziale

[a, b]

i ma w ko ´ncach tego przedziału warto´sci ró˙znych znaków

(

f

(a)f (b) < 0

). Wtedy istnieje taki punkt

x

₀

_{∈ (a, b)}

, ˙ze

f

(x

₀

) = 0

.

Dowód. Rozwa˙zmy przypadek

f

(a) > 0

,

f

(b) < 0

. Za

x

₀ mo˙zna przyj ˛a´c

sup { x ∈ [a, b] | f(x) > 0 }

.

Wniosek 10. Niech funkcja

f

[a, b]

. Wtedy

∀γ

mi ˛edzy

f

(a)

a

f

(b)

istnieje

x

₀

_{∈ (a, b)}

, takie, ˙ze

f

(x

₀

) = γ

.

Wniosek 11. Równanie

a

₀

+ a

₁

x

+ a

₂

x

2

_{+ · · · + a}

_2k

x

2k

+ x

2k+1

= 0

, gdzie

k >

0

, ma przynajmniej jeden pierwiastek.

(8)

Kresy funkcji. Twierdzenia Weierstrassa

Definicja 12 (cf. definicj ˛e 4). Funkcja

f

_{: X → R}

jest ograniczona z góry (z dołu, ograniczona), je˙zeli takim jest zbiór

{ f(X) }

. Liczby

inf { f(X) }

oraz

sup { f(X) }

nazywaj ˛a si ˛e odpowiednio dolnym i górnym kresem funkcji

f

:

inf

x∈X

f

(x) = inf { f(X) }

,

sup

x∈X

f

_{(x) = sup { f(X) }}

.

Twierdzenie 13 (Pierwsze twierdzenie Weierstrassa). Niech funkcja

f

[a, b]

. Wtedy

f

jest ograniczona na tym przedziale.

Twierdzenie 14 (Drugie twierdzenie Weierstrassa). Niech funkcja

f

[a, b]

. Wtedy

f

osi ˛aga na tym przedziale swoje kresy.

Dowód. Załó˙zmy, ˙ze

M

= sup

x∈[a,b]

f

(x)

nie jest osi ˛agalnym. Wtedy

1

(9)

Funkcje monotoniczne

Definicja 15. Niech dana b ˛edzie funkcja

f

_{: X → Y}

. 1. Funkcja

y

= f (x)

nazywa si ˛e rosn ˛ac ˛a, je˙zeli

∀x

1

, x

2

: x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) < f (x

2

)

.

2. Funkcja

y

= f (x)

nazywa si ˛e malej ˛ac ˛a, je˙zeli

∀x

1

, x

2

: x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) > f (x

2

)

.

3. Funkcja

y

= f (x)

nazywa si ˛e niemalej ˛ac ˛a, je˙zeli

∀x

1

, x

2

: x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) 6 f (x

2

)

.

4. Funkcja

y

= f (x)

nazywa si ˛e nierosn ˛ac ˛a, je˙zeli

∀x

1

, x

2

: x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) > f (x

2

)

.

5. Funkcja

y

= f (x)

nazywa si ˛e monotoniczn ˛a, je˙zeli ona jest nierosn ˛ac ˛a lub niemalej ˛ac ˛a.

6. Funkcja

y

= f (x)

nazywa si ˛e ´sci´sle monotoniczn ˛a, je˙zeli ona jest rosn ˛ac ˛a lub malej ˛ac ˛a.

(10)

Przykłady funkcji monotonicznych

Przykład 16. 1.

f

(x) = x

ro´snie na całej osi

_R

.

2.

f

(x) = x

2 jest rosn ˛ac ˛a na półprostej

[0, +∞)

i malej ˛ac ˛a na

(−∞, 0]

.

3.

f

(x) = sign x

jest niemalej ˛ac ˛a.

(11)

Odwrotna funkcja

f

_{: X → Y}

.

1. Je´sli

∀x

₁

, x

₂

_{∈ X : x}

₁

_{6= x}

₂

_{⇒ f(x}

₁

_{) 6= f(x}

₂

)

, to funkcja

f

nazywa si ˛e ró˙znowarto´sciow ˛a (injektywn ˛a).

2. Je´sli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X

, taki ˙ze

f

(x) = y

, to funkcja

f

nazywa si ˛e odwzorowaniem „na” (funkcj ˛a surjektywn ˛a).

3. Ró˙znowarto´sciowe odwzorowanie „na” nazywa si ˛e wzajemnie-jednoznacznym odwzorowaniem (funkcj ˛a bijektywn ˛a).

f

_{: X → Y}

. Funkcja

f

−1

_{: Y → X}

(o ile taka funkcja istnieje) nazywa si ˛e odwrotn ˛a do

f

, je˙zeli

1.

∀x ∈ X f

−1

(f (x)) = x

czyli

f

−1

◦ f = 1

X1.

(12)

Funckja odwrotna, cd

Twierdzenie 19. Niech dana b ˛edzie funkcja

f

_{: X → Y}

.

Wówczas istnieje funkcja odwrotna

f

−1

_{: Y → X ⇐⇒ f}

jest wzajemnie-jednoznacznym odwzorowaniem.

Przykład 20. 1. Niech

f

_{: [a, b] → [2a, 2b], f(x) = 2x}

. Wtedy

f

−1

: [2a, 2b] → [a, b], f

−1

(y) =

y₂. 2. Niech

f

_{: [0, 2] → [0, 4], f(x) = x}

2. Wtedy

f

−1

: [0, 4] → [0, 2], f

−1

(y) = √y

.

(13)

Wła ´sciwo ´sci funkcji monotonicznych

Twierdzenie 21. Niech dana b ˛edzie monotoniczna na przedziale

[a, b]

funkcja

f

. Wtedy

∀c, a 6 c < b

(

∀c, a < c 6 b

) istnieje

lim

x→c+

f

(x)

(x→c−

lim

f

(x)

).

Dowód. Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie niemalej ˛ac ˛a. Wtedy

lim

(14)

Wła ´sciwo ´sci funkcji monotonicznych

Twierdzenie 22. Niech dana b ˛edzie rosn ˛aca (malej ˛aca) na przedziale

[a, b]

funkcja

f

,

f

(a) = α

,

f

(b) = β

. Wtedy, je´sli zbiorem warto´sci

f

jest przedział

[α, β]

(

[β, α]

), to na tym przedziale jest okre´slona funkcja odwrotna

f

−1

, która równie˙z jest rosn ˛ac ˛a (malej ˛ac ˛a).

Dowód.

1.

f

jest odwzorowaniem „na”,

2.

f

jest funkcj ˛a ró˙znowarto´sciow ˛a, 3.

x

₁

< x

₂

_{⇐⇒ f(x}

₁

) < f (x

2

)

.

(15)

Funkcja odwrotna do monotnonicznej

Twierdzenie 23. Niech dana b ˛edzie rosn ˛aca (malej ˛aca) na

przedziale

[a, b]

funkcja

f

,

f

(a) = α

,

f

(b) = β

. Na to, aby

f

była ci ˛agł ˛a, potrzeba i wystarczy, ˙zeby

∀γ

mi ˛edzy

α

i

β

istniał punkt

x

_{∈ [a, b]}

, taki ˙ze

f

(x) = γ

.

Twierdzenie 24. Niech dana b ˛edzie rosn ˛aca (malej ˛aca) na

przedziale

[a, b]

i ci ˛agła funkcja

f

,

f

(a) = α

,

f

(b) = β

. Wtedy, na przedziale

[α, β]

(

[β, α]

) okre´slona jest funkcja odwrotna

f

−1, która równie˙z jest rosn ˛ac ˛a (malej ˛ac ˛a) i ci ˛agła.