Algebra
Geometria Analityczna na Płaszczy´znie
Aleksander Denisiuk
Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku
ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk
Geometria Analityczna na Płaszczy´znie
Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Współrz ˛edne na płaszczy´znie
• Osie Ox, Oy
• Współrz ˛edne punktu A: odci ˛eta (abscissa), rz ˛edna
(ordinata)
• Znaki współrz ˛ednych
• Dla ka˙zdej pary (x, y) istnieje punkt A o takich
współrz ˛ednych
Niektóre zbiory
• x < b • y < d • a < x < b • c < y < d • a < x < b, c < y < d Algebra – p. 4Trójk ˛
at
• Pole trójk ˛ata • S(A1, A2, A3) = 1 2 (y3 − y1)(x2 − x1) − (y2 − y1)(x3 − x1) Algebra – p. 5Odległo´s´c mi ˛edzy punktami
• dist(A1(x1, y1), A2(x2, y2)) = p(x2 − x1)2 + (y
2 − y1)2
Przykład 1. Współrz ˛edne ´srodka okr ˛egu, opisanego na trójk ˛acie.
Podział odcinka w stosunku
λ
1: λ
2 • y = λ2y1+λ1y2 λ1+λ2 • x = λ2x1+λ1x2 λ1+λ2 • t = λ1 λ1+λ2, λ2 λ1+λ2 = 1 − t, ◦ x = (1 − t)x1 + tx2, y = (1 − t)y1 + ty2 ◦ t < 0: • x1 = 1·x+(−t)x2 1−t • y1 = 1·y+(−t)y2 1−t ◦ t > 1 Algebra – p. 7Twierdzenie Cevy
Twierdzenie 2. Je˙zeli boki trójk ˛ata podzielone s ˛a odpowiednio w stosunku
a : b, b : c oraz c : a, to odcinki, ł ˛acz ˛ace wierzchołki i punkty podziału maj ˛a wspólny punkt. B C A A′ B′ C′ c : b c :a a : b • Dzielimy AA′ w stosunku (b + c) : a Algebra – p. 8
Równanie krzywej
• f(x, y) = 0
• Równanie okr ˛egu o promienu R i ´srodku (x0, y0) ◦ (x − x0)2 + (y − y
0)2 = R2
• Krzywa x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 − c > 0)
Przykład 3. • Miejsce geometryczne punktów, stosunek odlegó´sci których od danych punktów A i B jest stały i równy k 6= 1.
• Równanie okr ˛egu, który przechodzi przez wspólne punkty okr ˛egów
x2 + y2 + a1x + b1y + c1 = 0, x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0 oraz dany punkt A.
Równanie parametryczne krzywej
• x = ϕ(t), y = ψ(t)
• Parametryczne równanie okr ˛egu ◦ x = R cos t, y = R sin t
• Przej´scie mi ˛edzy równaniem parametrycznym a ogólnym
Punkty przeci ˛ecia krzywych
• f1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0
• f(x, y) = 0, x = ϕ(t), y = ψ(t)
• x = ϕ1(t), y = ψ1(t) x = ϕ2(t), y = ψ2(t)
Przykład 4. x2 + y2 = 2ax, x2 + y2 = 2by
• (0, 0) • 2ab2 a2+b2, 2ba2 a2+b2 Algebra – p. 11
