Wektory

Algebra

Wektory

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Wektory

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Definicja wektora

• _{Wektorem nazywa si ˛e skierowany odcinek.}

A

B

• _{Kierunek wektora pokazuje strzałka.} • _{Punkt A jest pocz ˛atkiem wektora}

• _{Punkt B jest ko ´ncem wektora} • _{Oznaczenie: a =} −_AB−→

Równo´s´c wektorów

• _{Dwa wektory s ˛a równe, je˙zeli jeden z nich mo˙ze zosta´c}

otrzymany z drugiego poprzez przesuni ˛ecie równoległe.

• _{Relcja równo´sci wektorów jest relacj ˛a równowa˙zno´sci:} ◦ _{a = a (symetryczna)}

◦ _{a = b ⇒ b = a (zwrotna)}

◦ _{a = b, b = c ⇒ a = c (przechodnia)}

Wektory, cd

• _{Dwa wektory s ˛a zgodnie kolinearne, je˙zeli s ˛a równoległe}

i maj ˛a ten sam zwrot.

• _{Dwa wektory s ˛a niezgodnie kolinearne, je˙zeli s ˛a równoległe}

i maj ˛a przeciwne zwroty.

• _{Długo´s´c odcinka AB, przedstawiaj ˛acego wektor a, nazywa}

si ˛e jego długo´sci ˛a |AB| = |a| = kak

• _{wektor nazywa si ˛e zerowym, je´sli jego pocz ˛atek i koniec si ˛e}

Dodawanie wektorów

• _{Sum ˛a wektorów a i b nazywa si ˛e wektor a + b, otrymany}

z tych wektorów b ˛ad´z równych im wektorów jak na poni˙zszym rysunku

a + b

a b

Dodawanie wektorów przemienne i ł ˛

aczne

• _{a + b = b + a} b + a a + b a b a b • _{(a + b) + c = a + (b + c)} a b c a+ b b+ c

Odejmowanie wektorów

• _{Wektor a − b — jest wektorem, suma którego z b}

a

a _{− b} b

Nierówno´s´c trójk ˛

ata

• _{|a + b| 6 |a| + |b|}

Mno˙zenie wektora przez liczb ˛e

• _{Iloczynem wektora a i liczby λ ∈ R jest wektor λa} ◦ _{|λa| = |λ| · |a|}

◦ _{λa i a s ˛a zgodnie kolinearne, je˙zeli λ > 0 oraz}

niezgodnie kolinearne, gdy λ < 0

◦ _{0 · a = 0} • _{λ(µa) = (λµ)a}

• _{(λ + µ)a = λa + µa} • _{λ(a + b) = λa + λb}

Iloczyn skalarny wektorów

• _{K ˛atem mi ˛edzy wektorami a i b nawyzamy k ˛at mi ˛edzy}

wektorami a i b, które maj ˛a wspólny pocz ˛atek

• _{Iloczynem skalarnym wektorów a i b jest liczba a · b (ab):} ◦ _{ab = |a||b| cos ϕ (ϕ jest k ˛atem mi ˛edy a i b)}

• _{ab = ba} • _a2

= aa = |a|2

• _{(λa)b = λ(ab)}

• _{je˙zeli |e| = 1, to (λe)(λe) = λµ}

Projekcja wektora na prost ˛

a

• _{Rzut (projekcja) wektora a na prost ˛a jest wektor a¯, którego}

pocz ˛atkiem jest rzut pocz ˛atka wektora a na prost ˛a, a ko ´ncem — rzut ko ´nca wektora a na t ˛e prost ˛a.

• _{ab = ¯ab, gdzie a¯ jest rzutem a na prost ˛a, zawieraj ˛ac ˛a b} • _{(a + b)c = ac + bc}

• _{Je˙zeli a, b, c s ˛a trzema niezerowymi wektorami, nie}

równoległymi jednocze´snie jednej płaszczy´znie, to

ar = 0, br = 0, cr = 0 ⇒ r = 0

Iloczyn wektorowy

• _{Iloczynem wektorowym wektorów a i b jest wektor a × b:} ◦ _{0, je˙zeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory s ˛a}

równoległe

◦ _{Wpozostałych przypadkach}

• _{a × b jest prostopadły do płaszczyzny a, b}

• _{długo´s´c wektora a × b jest równa polu powierzchni}

równoległoboku wyznaczonego przez wektory a, b

• _{układ wektorów a, b, a × b jest zorientowany dodatnio}

• _{a × b = −b × a}

• _{|a × b| = |a||b| sin θ, gdzie θ jest k ˛atem mi ˛edzy a i b} • _{(λa) × b = λ(a × b)}

Projekcja wektora na płaszczyzn ˛e

• _{Rzutem (projekcj ˛a) wektora a na płaszczyzn ˛e jest wektor a}′_, którego pocz ˛atek jest rzutem pocz ˛atka a na płaszczyzn ˛e, a ko ´ncem — rzut ko ´nca a.

◦ _{Rzutu równych wektorów s ˛a równe}

◦ _{Rzut sumy wektorów jest sum ˛a rzutów}

• _{Je˙zeli wektor a}′ _{jest rzutem a na płaszczyzn ˛e, prostopadł ˛a} do b, to a × b = a′ × b

• _{(a + b) × c = a × c + b × c}

1. c = 0

2. |c| = 1

◦ _{Niech a}′ _{oraz b}′ _{b ˛ed ˛a rzutami odpowiednio a oraz b} na płaszczyzn ˛e, prostopadł ˛a do c. Wtedy mno˙zenie wektorowe przez c b ˛edzie obrotem o π₂

• _{(a × b)}2

= |a|2|b|2 − (|a||b| cos θ)2, gdzie θ jest k ˛atem mi ˛edzy wektorami

Iloczyn mieszany

• _{Mieszanym iloczynem trzech wektorów nazywa si ˛e liczba}

(abc) = (a, b, c) = (a × b) · c

• _{(abc) = 0 ⇐⇒ jeden z wektorów jest zerowy lub wektory}

s ˛a komplanarne

• _{Warto´s´c bezwzgl ˛edna (abc) zgadza si ˛e z obj ˛eto´sci ˛a}

równoległo´scianu, wyznaczonego przez wektory a, b oraz c

• _{Znak (abc) okre´slony jest przez orientacj ˛e układu wektorów}

a, b oraz c

• _{(abc) = a · (b × c)}

Współrz ˛edne wektora wzgl ˛edem bazy

• _{Niech dane b ˛ed ˛a trzy niezerowe, niekomplanarne wektory}

e1, e2, e3. Wtedy ka˙zdy wektor r mo˙ze zosta´c jednoznacznie przedstawiony jako suma

r = r1e1 + r2e2 + r3e3

◦ _{Niech r = r}′

1e1 + r2′ e2 + r3′ e3 b ˛edzie inn ˛a reprezentacj ˛a 1. r jest równoległy do jednego z wektorów e

2. r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorów e

3. r nie jest równoległy do ˙zadnej z par wektorów e

• _{Wektory e1, e2, e3 nazywane s ˛a baz ˛a przestrzeni wektorów.} • _{Liczby r1, r2, r3 nazywane s ˛a współrz ˛ednymi wektoru r}

w bazie e1, e2, e3.

Działania liniowe na wektorach

• _{Niech dana b ˛edzie baza e1, e2, e3.} ◦ _{Niech dane b ˛ed ˛a dwa wektory:}

r o współrz ˛ednych (r1, r2, r3) oraz

r′ o współrz ˛ednych (r1′ , r2′ , r3′ ).

• _{Wtedy wektor r ± r}′ _{b ˛edzie miał współrz ˛edne}

(r1 ± r₁′ , r2 ± r₂′ , r3 ± r₃′ ).

◦ _{Niech dane b ˛ed ˛a wektor r o współrz ˛ednych (r1, r2, r3)}

oraz liczba λ ∈ _R.

• _{Wtedy wektor λr b ˛edzie miał współrz ˛edne}

Baza kartezja ´nska

• _{Niech dana b ˛edzie baza i, j, k — składaj ˛aca si ˛e z wektorów}

jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio.

◦ _{Baza i, j, k nazywa si ˛e baz ˛a kartezja ´nska} ◦ _{a = xai + yaj + zak = (ai)i + (aj)j + (ak)k} ◦ _{Liczby cos α =} ai |a|, cos β = aj |a|, cos γ = ak |a| nazywane s ˛a cosinusy kierunkowe Algebra – p. 18

Działania metryczne w bazie kartezja ´nskiej

• _{Niech dana b ˛edzie kartezja ´nska baza i, j, k. Wtedy} ◦ _{ab = xaxb + yayb + zazb} ◦ _{a × b ma współrz ˛edne}      ya za yb zb      , −      xa za xb zb      ,      xa ya xb yb      ◦ _{(abc) = xc}      ya za yb zb      − yc      xa za xb zb      + zc      xa ya xb yb      = xa      yb zb yc zc      − ya      xb zb xc zc      + za      xb yb xc yc     

Wyznacznik macierzy

3

× 3

Definicja 1. det    a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33    =        a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33        = = a11      a22 a23 a32 a33      − a12      a21 a23 a31 a33      + a13      a21 a22 a31 a32      = = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13− − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 Algebra – p. 20

Działania metryczne w bazie kartezja ´nskiej, cd

• _{a × b =}        i j k xa ya za xb ya zb        • _{(abc) =}        xa ya za xb yb zb xc yc zc