ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Geometria 3W
ALEKSANDER DENISIUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Wypisz równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt M i równoległej do płaszczyzny Ax + By + Cz +
D= 0, gdzie
(1) M (1, −5, 8), A = 3, B = −4, C = 10, D = −5, (2) M (−1, 0, 8), A = −1, B = −4, C = 0, D = 5,
(3) M (1, −5, 8), A = −1, B = −4, C = 0, D = 5,
(4) M (−1, 0, 8), A = 3, B = −4, C = 10, D = −5.
Ćwiczenie 2. Wypisz równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt M i prostopadłej do wektora n, gdzie (1) M (1, −5, 8), n = (3, −4, −5), (2) M (1, 0, 8), n = (0, −4, −5), (3) M (−1, 0, 0), n =−−−−M1M→2, M1(0, 3, 2), M2(−1, 0, 1) (4) M (1, −5, 8), n = (−3, 1, −5), (5) M (0, 0, 2), n = (0, 7, 0), (6) M (1, 0, 8), n = (0, −4, 5). (7) M (0, 3, −1), n =−M−−−1M→2, M1(1, −1, 0), M2(3, 0, 2) Ćwiczenie 3. Jak jest położona płaszczyzna względem układu współrzędnych:
(1) 3y + 2z − 1 = 0, (2) 2x − y − 1 = 0, (3) x + z = 0, (4) 2x + 3 = 0, (5) y = 0, (6) 2x + y − 5z = 0, (7) 2x + y = 0, (8) 3y − 4z = 0, (9) z + 4 = 0?
Ćwiczenie 4. Wypisz równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt M i równoległej do wektorów s1, s2gdzie (1) M (2, −1, 3), s1= (2, −1, 3), s2= (3, 0, 1),
(2) M (1, 0, −2), s1= (−2, 5, 4), s2= (3, 1, 7).
Ćwiczenie 5. Wypisz równanie płaszczyzny, przechodzącej przez trzy punkty: (1) M1(1, 3, 4), M2= (3, 0, 2), M3= (2, 5, 7),
(2) M1(−1, 2, 5), M2= (3, 1, 4), M3= (1, 1, 7).
Ćwiczenie 6. Znajdź długości odcinków, odcinanych na osiach współrzędnych płaszczyzną (1) 3x − 2y + z − 6 = 0, (2) 3x − 2y + z + 6 = 0.
Ćwiczenie 7. Sprawdź, czy punkty są komplanarne:
(1) M1(2, −1, 3), M2= (1, 4, 5), M3= (2, 0, 5), M4= (1, 2, 3),
(2) M1(1, 2, 5), M2= (0, 0, 2), M3= (−2, −4, 0), M4= (3, 6, 2). Ćwiczenie 8. Oblicz kąt między płaszczyznami:
(1) x + 2y − z + 5 = 0 a 2x − y + z − 3 = 0, (2) √2x + y − z + 7 = 0 a y = 0,
(3) 2x − y + 2z − 10 = 0 a x − y + 5 = 0
Ćwiczenie 9. Wypisz równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt M(−1, 2, 3), równoległej do płaszczyzny (1) 3x + 2y − z + 1 = 0,
(2) określonej przez punkty M1(1, 0, −2), M2(3, 4, 5), M3(−1, 2, 0),
(3) Oyz
Ćwiczenie 10. Wypisz równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt M(1, 0, −2), prostopadłej do płaszczyzn (1) x − 2y + z + 5 = 0 oraz 4x + 3y − 2z − 1 = 0,
(2) x + 2y + z + 5 = 0 oraz 4x − 3y − 2z − 1 = 0.
2 ALEKSANDER DENISIUK
Ćwiczenie 11. Oblicz odległość punktu M od płaszczyzny
(1) x − 3y + 2z − 1 = 0, M(1, −1, 2), (2) −x + 2y + 3z − 4 = 0, M(0, −1, 2).
Ćwiczenie 12. Znajdź odległość między płaszczyznami (1) 2x − 3y + 6z − 21 = 0 a 4x − 6y + 12z + 35 = 0, (2) x − 2y + z − 1 = 0 a 2x − 4y + 2z − 1 = 0.
Ćwiczenie 13. Wypisz równanie prostej, przechodzącej przez punkt M i równoległej do wektora s, gdzie (1) M (1, −5, 8), s = (3, −4, 10),
(2) M (−1, 0, 8), s = (−1, −4, 0),
(3) M (1, −5, 8), s = (−4, 0, 5), (4) M (−1, 0, 8), s = (−4, 10, −5).
Ćwiczenie 14. Wypisz równanie prostej, przechodzącej przez punkt M(4 − 3, 2) (1) równoległej do osi Oy,
(2) prostopadłej so płaszczyzny x − 3y + x − 5 = 0,
(3) równoległej do osi Ox,
(4) prostopadłej so płaszczyzny Oyz.
Ćwiczenie 15. Wypisz równanie prostej, przechodzącej przez punkt M i prostopadłej do wektorów s1, s2, gdzie (1) M (1, −5, 8), s1= (3, −1, 5), s2= (0, −1, 2),
(2) M (0, 2, −1), s = (2, 0, −3), s2= (1, 1, −3),
(3) M (3, 4, −2), s = (3, 4, 0), s2= (0, 0, 2),
(4) M (−1, 0, 8), s = (−4, 10, −5), s2= (3, −4, 10). Ćwiczenie 16. Wypisz równanie kanoniczne prostej:
(1) x= 2t + 1, y= t − 3, z= 3t − 5, (2) x= 5t, y= 1 − 2t, z= 3, (3) ( 2x + y + z − 1 = 0, 3x + 2y + z − 1 = 0, (4) ( 2x + 3y − 5z + 14 = 0, 2x + 3y + z − 4 = 0, (5) x= 7t − 5, y= −t + 3, z= t, (6) x= 2, y= −5, z= t + 1, (7) ( 3x − 2y + 5z − 10 = 0, 2x + y − z = 0, (8) ( x+ 4 = 0, y − 1 = 0, (9) ( z= 2x + 1, z= 3y − 2.
Ćwiczenie 17. Wypisz równania stron trójkąta ABC, gdzie A(−3, 2, 1), B(1, −1, 0), C(2, 3, −5). Ćwiczenie 18. Wypisz równania stron trójkąta ABC, gdzie A(0, −2, 5), B(3, 4, 1), C(1, 0, −5). Ćwiczenie 19. Znajdź kąt pomiędzy prostymi
(1) x−1 2 = y−5 −1 = z 4 a x 2 = y 3 = z−54 , (2) x+1 3 = y 4 = z+1 0 a osią Ox, (3) ( x+ 2y + z − 1 = 0, x − 2y + z − 1 = 0, a ( x − y − z − 1 = 0, x − y + 2z − 1 = 0, (4) ( 3x − y + 2z = 0, 6x − 3y + 2z = 2 a osią Oy
Ćwiczenie 20. Wypisz równanie prostej, przechodzącej przez punkt M(3, −1, 2) prostopadle do prostych (1) x−1 2 = y−7 1 =z−34 i x 1 = y −1 = z 2, (2) x 1 = y−2 3 = z+5 −4 i ( x= 0, y= 0. Ćwiczenie 21. Wyznacz, czy dwie prostę się przecinają. Jeżeli tak, to znajdź punkt przecięcia:
(1) x−2 1 = y+3 2 =z−43 i x−3−2 = y+3 3 = z−51 , (2) ( x+ 3y − 4z + 7 = 0, 3x + y2z − 5 = 0. i ( x − y + 3z − 6 = 0, 2x + y − z + 3 = 0, (3) ( 3x + y + 7z − 2 = 0, x+ y − 4z + 3 = 0. i ( 4x + 2y + 3z + 1 = 0, 9x + 5y + 2z + 9 = 0.
Geometria 3W 3
Ćwiczenie 22. Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną: (1) x−1 2 = y+2 1 = z 1, x + 2y − z + 5 = 0, (2) ( x+ y − 2z + 3 = 0, x+ 2y − 3z − 1 = 0, 2x − y − z + 7 = 0, (3) x= 1, y= t − 1, z= t + 5, x+ 2y + z − 1 = 0.
Ćwiczenie 23. Dla jakiej wartości α: (1) prosta x−1
2 =
y+5
4 =
z
−1 jest pównoległa do
płasz-czyzny αx + 2y − 6z + 5 = 0, (2) prosta x−1 1 = y+7 α = z−3
−2 jest pównoległa do
płasz-czyzny 2x + 8y − 15z + 3 = 0, (3) prosta x−5 α = y+2 7 = z−3
−4 jest prostopadła do
płasz-czyzny 2x + 8y − 16z + 7 = 0, (4) prosta x−1 1 = y+1 α = z−5
−6 jest prostopadła do płasz-czyzny αx + y − 6z + 1 = 0.
Ćwiczenie 24. Wypisz równanie prostopadłej z punktu M(3, −5, 1) do płaszczyzny
(1) 2x − y + 5z + 3 = 0, (2) 3x − 2z + 4 = 0, (3) y − 1 = 0,
Ćwiczenie 25. Wypisz równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt M(3, −5, 1) (1) prostopadłej do prostej x−1 2 = y+3 −1 = z+2 4 , (2) równoległej do prostych x−23 = y+1 1 = z 1 oraz x 1 = y 2 = z 1. Ćwiczenie 26. Znajdź punkt przecięcia prostej a płaszczyzny:
(1) x−1 2 = y+1 1 = z+3 2 , x + y − z + 1 = 0, (2) ( 3x − y + 2z − 4 = 0, x+ y − z − 1 = 0, x − 2y + z = 0.
Ćwiczenie 27. Znajdź rzut punktu A(3, −1, 4)
(1) na płaszczyznę 2x + y − z + 5 = 0, (2) na prostą x+7 1 = y+2 2 = z+2 3 . Ćwiczenie 28. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez
(1) punkt A(1, 3, 5) oraz prostą x−1
2 = y+1 1 =z−23 , (2) prostą x−2 3 = y−3 3 = z 1 równolegle do prostej x+1 1 = y 1 = z 1, (3) równoległe proste x−1 2 = y+2 3 = z 1i x 2 = y−1 3 = z+2 1 ,
(4) przecinające się proste x−2
3 = y−4 1 = z−21 i x+2 1 = y−1 2 = z 1, (5) prostą x−1 2 = y+1 3 = z+1 1 prostopadle do płaszczy-zny x − y + 2z − 5 = 0.
E-mail address: denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk
