Zadania z linii wpływu belek statycznie niewyznaczalnych

EJ EJ EJ

4

8

A _{B C} D

6

P=1 MA VD EJ EJ EJ

4

6

8

EJ EJ EJ A _B C D

V

D

LwV

_D

+

1

P=1

x

-+

LwM

_A

+

-LwM

_B

M

_A

+

-Linie wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych

Zadanie 1.:

Dla poniższej belki naszkicuj linie wpływu reakcji M

A

, M

B

i V

D

.

Za pomocą metody

przemieszczeń wyznaczyć rzędne poszczególnych linii w połowie rozpiętości każdego przęsła.

1. Szkice linii wpływu poszczególnych reakcji metodą kinematyczną:

2. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła AB - Schemat podstawowy metody przemieszczeń (wstawiamy blokady obrotu):

4

6

8

2EJ 4 = EJ 4EJ 4 = EJ 2 4EJ 6 = 2EJ 3 2EJ 6 = EJ 3 3EJ 8 4EJ 6 = 2EJ 3 2EJ 6 = EJ 3 P=1

2

2

1 4 8 = 1 2 1 2           EJ EJ 103 , 0 321 , 0 2 1   - stan f1=1: - stan f2=1:

- obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła AB

Układ równań metody przemieszczeń:

             0 0 20 2 22 1 21 10 2 12 1 11 k k k k k k    

Wyznaczenie współczynników układu:

0 2 1 24 25 8 3 3 2 3 3 5 3 2 20 10 22 21 12 11           k k EJ EJ EJ k k EJ k EJ EJ EJ k

Podstawienie współczynników do układu i rozwiązanie:

                0 0 24 25 3 0 2 1 3 3 5 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

0,039 V = 0,00488_D1 0,00488 8 C D 0,6605 (M ) 0,179 (M ) 0,039 A1 B1 EJ EJ EJ A _B C D

V

D

LwV

_D

+

1

P=1

x

-+

LwM

_A

+

-LwM

_B

M

_A

+

-0,6605 0,179 0,0048

Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:

Przy obliczaniu momentów przyjęto znaki zgodne z metodą przemieszczeń: moment kręcący zgonie z ruchem wskazówek zegara „+”, moment kręcący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara „-”.

6605 , 0 2 1 103 , 0 0 321 , 0 2           EJ EJ EJ MA 0,039 103 , 0 3 2 321 , 0 3          EJ EJ EJ EJ MC_L 179 , 0 2 1 103 , 0 0 321 , 0 _{   }         EJ EJ EJ M L B 0,039 103 , 0 8 3 321 , 0 0           EJ EJ EJ M P C 179 , 0 103 , 0 3 321 , 0 3 2 _{  }          EJ EJ EJ EJ M P B

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła AB

Wartość

M

A1 z rysunku odpowiada rzędnej na linii wpływu MA w połowie rozpiętości pierwszego przesła. Ponieważ moment rozciąga włókna górne, liniia wpływu momentu MA w pierwszym przęśle przyjmuje znak „-”. Analogicznie w przypadku

M

B1

.

Aby obliczyć rzędną w połowie pierwszego przęsła na LwVD, szukamy

wartości reakcji VD dla tego przypadku obciążenia. W tym celu odcinamy ostatnie przęsło, zaznaczmy moment MC i z równań równowagi wyznaczamy wartość reakcji VD1.



MCP 0,039VD180  00488 , 0 8 039 , 0 1   D V

Ponieważ reakcja VD ma zwrot do góry, wartość 0,00488 będzie się znajdować na dodatnim polu linii wpływu. Naniesinie wartości rzędnych na poszczególne linie wpływu w połowie rozpiętości przęsła AB:

i i

i

i

M

M

M

P=1 1 6 8 = 3 3 3 4 3 4           EJ EJ 923 , 0 635 , 0 2 1   0,3175 (M ) 0,635 (M ) 0,346 A2 B2 0,346 V =-0,043D2 0,043 8 C D

3. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła BC:

Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła BC

Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

75 , 0 75 , 0 20 10    k k

Podstawienie współczynników do układu i rozwiązanie:

                0 4 3 24 25 3 0 4 3 3 3 5 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach: 3175 , 0 923 , 0 0 635 , 0 2                EJ EJ EJ MA 0,346 4 3 923 , 0 3 2 635 , 0 3                 EJ EJ EJ EJ MC_L 635 , 0 923 , 0 0 635 , 0 _                 EJ EJ EJ M L B 0,346 923 , 0 8 3 635 , 0 0                 EJ EJ EJ M P C 635 , 0 4 3 923 , 0 3 635 , 0 3 2 _{ }                 EJ EJ EJ EJ M P B

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC:

Moment

M

A2

rozciąga włókna dolne więc wartość 0,3175 znajduje się na dodatniej części linii wpływu.

Moment

MB2

rozciąga włókna górne więc wartość 0,635 znajduje się na ujemnej części linii wpływu.

Wyznaczenie wartości reakcji V

D2:



M_CP 0,346V_D280  043 , 0 8 346 , 0 2   D V

P=1 3 8 16 = 4 4 3 2 EJ EJ EJ A _B C D

V

D

LwV

_D

+

1

P=1

x

-+

LwM

_A

+

-LwM

_B

M

_A

+

-0,6605 0,179 0,00488 0,3175 0,635 0,043           EJ EJ 538 , 1 308 , 0 2 1  

Naniesinie wartości rzędnych na poszczególne linie wpływu w połowie rozpiętości przęsła BC:

4. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła CD:

Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła CD

Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

2 3 0 20 10    k k

Podstawienie współczynników do układu i rozwiązanie:

                0 2 3 24 25 3 0 0 3 3 5 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach:

154 , 0 0 538 , 1 0 308 , 0 2           EJ EJ EJ MA 0,923 538 , 1 3 2 308 , 0 3          EJ EJ EJ EJ M L C 308 , 0 0 538 , 1 0 308 , 0 _{   }         EJ EJ EJ M L B 0,923 2 3 538 , 1 8 3 308 , 0 0            EJ EJ EJ M P C 308 , 0 0 538 , 1 3 308 , 0 3 2 _{   }          EJ EJ EJ EJ M P B

0,154 (M ) 0,308 (M ) 0,923 A3 B3 0,923 V =0,3846D3 0,6154 4 C P=1 D

4

EJ EJ EJ A _B C D

V

D

LwV

_D

+

1

P=1

x

-+

LwM

_A

+

-LwM

_B

M

_A

+

-0,6605 0,179 0,00488 0,3175 0,635 0,043 0,154 0,308 0,3846

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC

Moment

M

A3

rozciąga włókna górne więc wartość 0,154 znajduje się na ujemnej części linii wpływu.

Moment

MB3

rozciąga włókna dolne więc wartość 0,308 znajduje się na dodatniej części linii wpływu.

Wyznaczenie wartości reakcji V

D3:



M_CP 0,92314V_D380  3846 , 0 8 923 , 0 4 3    D V

Ponieważ wartość reakcji wyszła dodatnia, rzędna 0,3846 znajduje się po dodatniej stronie linii wpływu. Naniesinie wartości rzędnych na poszczególne linie wpływu w połowie rozpiętości przęsła CD:

EJ EJ EJ A B C D -LwM 6 6 8 + + -LwM + -LwM ₊ +

x1

x2

x3

P=1 EJ EJ EJ A _B C _p=6kN/m D 6 6 8 p=6kN/m EJ EJ EJ A B C D 6 6 8 EJ EJ EJ A _B C D 6 6 8 X1 X1 _{X2 X2}

Zadanie 2:

Znajdź ekstremalny moment przęsłowy od obciążenia użytkowego p=6kN/m

dla poniższego układu na podstawie linii wpływu.

Powyższy układ składa się z trzech przęseł. Nie wiadomo, na którym z nich powstanie moment ekstremalny, ani w którym konkretnie miejscu. Dla wyznaczenia ekstremalnego momentu przęsłowego na podstawie linii wpływu szkicujemy linie wpływu momentów dla dowolnie obranych przekrojów w każdym z trzech przęseł.

W przypadku poszukiwania ekstremalnego momentu przęsłowego należy obciążyć dane przęsło i wszystkie inne części belki, na których dana linia wpływu ma ten sam znak – w tym przypadku pola dodatnie linii wpływu. Rozważając szkice linii LwMαα i LwMδδ, aby znaleźć ekstremalne momenty na przęśle AB i CD należy

jednocześnie obciążyć skrajne przęsła, rozwiązać metodę sił i wyznaczyć wartości ekstremów.

Rozważając szkic LwMbb, widać, że aby otrzymać ekstremalny moment na przęśle BC, należy obciążyć środkowe przęsło.

Aby rozwiązać zadanie należy zatem rozpatrzeć dwa przypadki obciążenia: 1. Obciążenie skrajnych przęseł:

.

EJ EJ EJ A _B C D 6 6 8 X1=1 X1=1 1/6 1/6 1/3 1 X1=1 EJ EJ EJ A _B C D 6 6 8 X2=1 X2=1 1/8 1/6 7/24 1 X2=1 EJ EJ EJ A _B C _p=6kN/m D 6 6 8 p=6kN/m 6 6 8 =27 8 6 8 =48 2 2

M

₀ - stan X1=1 - stan X2=1 - obciążenie zewnętrzne:

Wyznaczenie współczynników układu równań metody sił:

EJ EJ 4 2 1 3 2 6 1 2 1 1 11       



EJ EJ 54 1 2 1 6 27 3 2 1 10       



EJ EJ 1 1 3 1 6 1 2 1 1 12       



EJ EJ 128 1 2 1 8 48 3 2 1 20       



EJ

EJ

3

14

1

3

2

8

1

2

1

1

3

2

6

1

2

1

1

22















_

_

_

_

_

_

_

_

_







        kNm X kNm X 924 , 25 2 018 , 7 1 EJ EJ EJ A B C p=6kN/m D 6 6 8 p=6kN/m

M

7,018 25,924

x1

x3

M

_AB

M

_CD A _B 6 p=6kN/m x1 7,018 V_A C _D 8 p=6kN/m x3 V_D 25,92

Podstawienie współczynników do układu i rozwiązanie:

             0 2 1 0 2 1 20 22 21 10 12 11       X X X X                 0 128 2 3 14 1 1 0 54 2 1 1 4 EJ X EJ X EJ EJ X EJ X EJ

Przebieg wykresu momentów zginających od obciążenia założonego na skrajnych przęsłach uzyskany na podstawie wyznaczonych nadliczbowych X1 i X2:

Wyznaczenie momentu ekstremalnego na przęśle AB:



M_B 7,018V_A66630  VA 16,83kN T[x1]16,836x10x12,805m 2 1 1 6 1 83 , 16 ] 1 [x x x x MAB      2 805 , 2 805 , 2 6 805 , 2 83 , 16      23,6kNm

Wyznaczenie momentu ekstremalnego na przęśle CD:



MC 25,92VD86840  V_D 20,76kN T[x3]20,766x30x33,46m 2 3 3 6 3 76 , 20 ] 3 [x x x x M_CD      2 46 , 3 46 , 3 6 46 , 3 76 , 20      35,91kNm

EJ EJ EJ A _B C D 6 6 8 p=6kN/m EJ EJ EJ A _B C D 6 6 8 p=6kN/m 6 6 8 =27 2 M₀         kNm X kNm X 17 , 9 2 208 , 11 1 EJ EJ EJ A _B C D 6 6 8 p=6kN/m 11,208 9,17 x2

M

_BC M

2. Obciążenie środkowego przęsła:

Rozwiązanie układu metodą sił:

Schemat podstawowy i wykresy od jednostkowych momentów oraz współczynniki δ11, δ12, δ21, δ22 są takie same jak w pkt. 1.Pominięto je zatem w rozwiązaniu:

- obciążenie zewnętrzne:

Wyznaczenie współczynników układu równań metody sił:

EJ EJ 54 1 2 1 6 27 3 2 1 10       



EJ EJ 54 1 2 1 6 27 3 2 1 20       



Podstawienie współczynników do układu i rozwiązanie:

             0 2 1 0 2 1 20 22 21 10 12 11       X X X X                 0 54 2 3 14 1 1 0 54 2 1 1 4 EJ X EJ X EJ EJ X EJ X EJ

Przebieg wykresu momentów zginających od obciążenia założonego na środkowym przęśle uzyskany na podstawie wyznaczonych nadliczbowych X1 i X2:

B _C 6 p=6kN/m x2 9,17 T_B 11,208

Wyznaczenie momentu ekstremalnego na przęśle BC:



MC 9,1711,208TB66630  T_B 18,34kN T[x3]18,346x30x33,06m 11,208 2 3 3 6 3 34 , 18 ] 3 [x  x  x x  M_BC 11,208 2 06 , 3 06 , 3 6 06 , 3 34 , 18       16,82kNm