• Nie Znaleziono Wyników

Granica i ciąglosć funkcji

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Granica i ciąglosć funkcji"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA GRANICA I CIGŠO‘‚ FUNKCJI

1. Obliczy¢ granice: a) lim x→2 x + 1 x2+ 1, b) limx→5 x3− 4x2− 5x x2− 6x + 5 , c) limx→3 x3− 27 x − 3 , d) lim x→∞ 2x3+ 5x2− x + 5 4x3− 2x − 2 , e) limx→1 (x − 1)√2 − x x2− 1 , f ) limx→1  1 1 − x− 3 1 − x3  , g) lim x→2 x3 − 8 x − 2, h) x→−2lim x3+ 3x2+ 2x x2− x − 6 , 2. Obliczy¢ granice: a) lim x→5 √ x − 1 − 2 x − 5 , b) limx→3 √ x + 13 − 2√x + 1 x2− 9 , c) x→25lim √ x − 5 x − 25, d) lim x→0 tgx 1 −√1 + tgx, e) limx→0 √ x2+ 1 − 1 √ x2+ 25 − 5, f ) limx→0 √ x2+ 1 −x + 1 1 −√x + 1 , g) lim x→−∞( √ x2+ 1 + x), h) lim x→−∞ 2x √ x2 + 1.

3. Wiedz¡c, »e lim

t→0 sin t t = 1, obliczy¢ granice: a) lim x→0 sin 5x x , b) limx→2 sin(x − 2) 2x − 4 , c) limx→0 3x 5 sin 7x, d) lim x→0 1 −√1 − x sin 4x , e) limx→0 √ 3x + 4 − 2 sin 5x , f ) limx→0 sin 3x 4x , g) lim x→0 4x 3 sin 2x, h) limx→0 sin 2x sin 3x, i) limx→0 tg2x sin 3x, j) lim x→∞x sin 1 x, k) limx→0 √ 1 − cos x sin x , l) x→−2lim x2− 4 arctg(x + 2). 4. Obliczy¢ granice: a) lim x→π4 cos 2x

sin x − cos x, b) limx→0

tg2x tgx , c) x→∞lim arcsin 1 − x 1 + x, d) lim x→−3 arcsin(x + 3) x2+ 3x , e) x→∞lim arctg x + 1 x + 2, f ) limx→0 arctgx x , g) lim x→−2 arcsin(x + 2) x2+ 2x , h) limx→0 sin 5x − sin 3x sin 3x , i) limx→0ln(xctgx), j) lim x→0(1 + 3x) 1 x, k) lim x→∞  x + 1 x − 2 2x−1 , l) lim x→∞x(ln(x + 1) − ln x). 5. Obliczy¢ granice: a) limx→4 x 2−2x−8 x2−9x+20; b) limx→1 x n−1 x−1 , n ∈ N; 1

(2)

c) limx→0 √ x2+1−x+1 1−√x+1 ; d) limx→0 3 sin 2x4x ; e) limx→8 sin(8−x1 8πx);

f) limx→π 1+cos xsin2x .

6. Obliczy¢ granic¦ funkcji w punkcie x0, je±li istnieje:

a) sin αx x , x0 = 0; b)  x2 2+x2 x2 , x0 = +∞; c)  x2 2+x2 1 x2 , x0 = 0; d) arc tg x x , x0 = 0; e) arc sin x x , x0 = 0; f) sin1 x, x0 = 0; g) x sin1 x, x0 = 0.

7. Obliczy¢ granice jednostronne funkcji w podanym punkcie oraz granic¦ (o ile istnieje): a) f (x) = 1 (1 − x), x0 = 1, b) f (x) = 1 (1 − x)2, x0 = 1, c) f (x) = 1 1 − x2, x0 = 1, −1, d) f (x) = 2 1 x, x 0 = 0, e) f (x) = x (3 − x)2, x0 = 3, f ) f (x) = x (3 − x)3, x0 = 3, g) f (x) = 21−x1 , x 0 = 1, h) f (x) = 1 x2− 4, x0 = 2, −2, i) f (x) = 4x2−41 , x 0 = 2, −2, j) f (x) = e− 1 x, x 0 = 0, k) f (x) = e1−x31 , x 0 = 1, l) f (x) = |2 − x| x − 2 , x0 = 2, m) f (x) = 2ctgx, x0 = 0, n) f (x) = |x − 1| x − 1 + x, x0 = 1, o) f (x) = arctg 1 1 − x, x0 = 1.

8. Znale¹¢ granice lewostronne i prawostronne funkcji w punkcie x0:

a) f(x) = dx2e + x, x 0 = 10; b) x ≥ 0, f(x) = limn→+∞ x n 1+xn, x0 = 1; c) f(x) = xe1 x, x0 = 0; d) f(x) = 2 1 x−a, x 0 = a, a ∈ R; e) f(x) = x | sin x|, x0 = 0. 2

(3)

9. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji: a) f (x) = ( x2−4 x+2 dla x 6= −2 −4 dla x = −2, b) f (x) = (sin x |x| dla x 6= 0 1 dla x = 0, c) f (x) = ( ex−1 x dla x 6= 0 1 dla x = 0, d) f (x) = ( 2x+ 3 dla x ≤ 0 (x − 2)2 dla x > 0, e) f (x) = ( 21x dla x 6= 0 1 dla x = 0, f ) f (x) = ( 1−cos x x2 dla x 6= 0 1 2 dla x = 0 , g) f (x) = ( 2ctgx dla x ∈ (−π 2, π 2) \ {0} 0 dla x = 0 , h) f (x) = (√ xarctgx1 dla x > 0 0 dla x = 0.

10. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji: a) f : R −→ R, f(x) = x2, b) f : R \ {0} −→ R, f(x) = 1 x, c) f : R+ −→ R, f(x) = √ x, d) f : R −→ R, f(x) = |x|, e) f : R −→ R, f(x) = 1 dla x 6∈ Q 0 dla x ∈ Q, f) f : R −→ R, f(x) =0x dla x 6∈ Qdla x ∈ Q; g) f : R −→ R, f(x) =  1 dla x = 0 sin x |x| dla x 6= 0; h) f : R \ {1} −→ R, f(x) = x2−x3 |x−1|; i) f : R −→ R, f(x) = dxe − d−xe.

11. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji (w zale»no±ci od warto±ci parametrów a, b): a) f(x) =  0 , x = 0 x sinx1 , x 6= 0 ; b) f(x) =    (x−1)2 x2−1 , |x| 6= 1 a , x = −1 b , x = 1 ; c) f(x) =  x , |x| ≤ 1 x2+ ax + b , |x| > 1 .

12. Dobra¢ parametry tak, aby funkcja byªa ci¡gªa:

a) f (x) = (ln(5+x)−ln 5 x dla x 6= 0 a dla x = 0, b) f (x) = (√1+x−1 x dla x 6= 0 a dla x = 0, 3

(4)

c) f (x) = ( 21x + 1 dla x < 0 3x2+ a dla x ≥ 0, d) f (x) = ( x |x| dla x 6= 0 a dla x = 0, e) f (x) =      x2+ b dla x > 2 2a − 1 dla x = 2 x2+x−6 2−x dla x < 2 , f ) f (x) = (√ sin22x 2x dla x 6= 0 a dla x = 0. 13. Pokaza¢, »e funkcja speªniaj¡ca warunek Lipschitza:

∃C ∀x,x0∈R |f (x) − f (x0)| ≤ C|x − x0|

jest ci¡gªa.

14. Pokaza¢, »e warunek Lipschitza implikuje jednostajn¡ ci¡gªo±¢, a jedno-stajna ci¡gªo±¢ implikuje ci¡gªo±¢ funkcji.

15. Sprawdzi¢ jednostajn¡ ci¡gªo±¢ nast¦puj¡cych funkcji: a) f : [0; 1) −→ R, f(x) = √x; b) f : R −→ R; f(x) = x2; c) f : [−a; a] −→ R; f(x) = x2, a > 0; d) f : (0; 1] −→ R; f(x) = 1 x; e) f : (0; 1] −→ R; f(x) = sin1 x.

16. Sprawdzi¢, czy funkcja speªnia warunek Lipschitza: a) f : [0; 1] −→ R; f(x) =√x;

b) f : [1; ∞) −→ R; f(x) =√x. 17. Pokaza¢ z denicji Cauchy'ego, »e:

a) limx→0 √ x = 0; b) limx→x0 √ x =√x0;

18. Znale¹¢ lim supx→0f (x) i lim infx→0f (x), je±li:

a) f(x) = sin1 x; b) f(x) = 1 x2 sin 2 1 x. 4

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jest to jedyny punkt nieci¡gªo±ci funkcji

Znajd¹ przykªad funkcji f(x, y), która jest ci¡gªa ze wzgl¦du na ka»d¡ zmienn¡ z osobna (przy zaªo»eniu, »e druga zmienna jest ustalona), ale nie jest ci¡gªa.

W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci... dr Krzysztof ›yjewski IP›; rok

W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci.. 28-30 skorzysta¢ z

[r]

Niech X oznacza zbiór funkcji rzeczywistych, ci¡gªych, okre±lonych na odcinku

Dla ci głych funkcji n zmiennych prawdziwe s twierdzenia analogiczne do własno ci funkcji ci głych jednej zmiennej. W

Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, gdy jest rosn¡ca, niemalej¡ca lub nierosn¡cana tym