Układy równań liniowych

(1)

Układy równań liniowych

Autorzy:

Michał Góra

(2)

(1)

(2)

Układy równań liniowych

Autor: Michał Góra

DEFINICJA

Definicja 1: Układ równań liniowych

Układ równań postaci

nazywamy układem układem równań liniowych o równań liniowych o niewiadomych niewiadomych . Liczby rzeczywiste (lub zespolone) oraz nazywamy współczynnikami układuwspółczynnikami układu.

DEFINICJA

Definicja 2: Układ równań jednorodny

Układ równań liniowych ( 1 ), dla którego , dla , nazywamy układem jednorodnymukładem jednorodnym. Układ równań, który nie jest układem jednorodnym nazywamy układem niejednorodnymukładem niejednorodnym.

Zapis macierzowy układu równań liniowych

Z układem równań liniowych ( 1 ) można powiązać macierz wymiaru

nazywaną macierzą współczynników układu równańmacierzą współczynników układu równań ( 1 ), oraz dwie macierze kolumnowe (które, dla ułatwienia, nazywać będziemy wektorami):

wektor nazywany wektorem niewiadomychwektorem niewiadomych, wektor to tzw. wektor prawej stronywektor prawej strony. Przy przyjętych oznaczeniach, układ równań ( 1 ) możemy zapisać w postaci macierzowej:

Twierdzenie Cramera

⎧

⎩

⎨

⎪

+

+ ⋯ +

=

a

11

x

1

a

12

x

2

a

1n

x

n

b

1

+

+ ⋯ +

=

a

21

x

1

a

22

x

2

a

2n

x

n

b

2

⋮

+

+ ⋯ +

=

a

m1

x

1

a

m2

x

2

a

mn

x

n

b

m

n

x

1

, …,

x

n

a

ij

b

i

= 0

b

i

i = 1, …, m

m × n

A =

,

⎛

⎝

⎜

a

11

a

21

…

a

m1

a

12

a

22

…

a

m2

…

a

1n

a

2n

…

a

mn

⎞

⎠

⎟

x =

,

b =

;

⎛

⎝

⎜

x

1

x

2

⋮

x

n

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

b

1

b

2

⋮

b

m

⎞

⎠

⎟

x

b

Ax = b.

(3)

W przypadku, gdy liczba równań układu ( 1 ) jest równa liczbie niewiadomych, macierz układu jest macierzą kwadratową. Jeżeli dodatkowo jest to macierz nieosobliwa (czyli kwadratowa o wyznaczniku różnym od zera), wówczas układ równań ( 1 ) nazywamy układem Cramera

układem Cramera. Rozwiązanie równania macierzowego ( 2 ) - a więc i układu ( 1 ) - można wówczas wyznaczyć wykorzystując odwrotność macierzy układu.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Rozwiązanie układu Cramera

Rozwiązanie układu Cramera

Jeżeli macierz jest kwadratowa i nieosobliwa, to równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie; rozwiązaniem tym jest .

UWAGA

Uwaga 1:

Rozwiązanie zerowe jest rozwiązaniem każdego układu jednorodnego. Jeżeli jednorodny układ równań liniowych jest układem Cramera, to rozwiązanie zerowe jest jego jedynym rozwiązaniem.

PRZYKŁAD

Przykład 1: Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnej

Dla układu równań

mamy

. Ponieważ , zatem rozważany układ równań jest układem Cramera. Łatwo sprawdzić, że

stąd, na podstawie twierdzenia Rozwiązanie układu Cramera, otrzymujemy

Oznacza to, że rozwiązaniem układu równań jest , , .

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych oparta na twierdzeniu Rozwiązanie układu Cramera i zilustrowana w przykładzie

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnej wymaga znajomości (lub wyznaczenia) macierzy odwrotnej układu. To praktycznie dyskwalifikuje tę metodę, gdyż w przypadku ogólnym nie istnieje algorytm dobrze radzący sobie z zadaniem odwracania macierzy. Stąd potrzeba metody rozwiązywania układów równań liniowych nie wymagającej znajomości macierzy odwrotnej. Jedna z takich metod oparta jest na tzw. wzorach Cramera.

A

Ax = b

x =

A

−1

b

( , …, ) = (0, …, 0)

x

1

x

n

(0, …, 0)

⎧

⎩

⎨

⎪

x + y − z = 1

2x + y − 2z = 0

x − y + 2z = 2

A =

⎛

oraz b =

⎝

⎜

1

2

1

1 −1

−1

−2

2 ⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

1

0

2 ⎞

⎠

⎟

det A = −3

=

;

A

−1 1 3

⎛

⎝

⎜

0

6

3

1 −3

−2

1

0

1 ⎞

⎠

⎟

=

.

⎛

⎝

⎜

x

y

z

⎞

⎠

⎟

13

⎛

⎝

⎜

0

6

3

1 −3

−2

1

0

1 ⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

1

0

2 ⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

2 3

2

5 3

⎞

⎠

⎟

x =

2 3

y = 2 z =

53

(4)

(3)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: Wzory Cramera

Wzory Cramera

Jeżeli macierz układu równań ( 1 ) jest kwadratowa i nieosobliwa, to jedyne rozwiązanie tego układu wyraża się wzorem:

w którym macierz oznacza macierz powstałą z macierzy przez zastąpienie jej -tej kolumny wektorem .

PRZYKŁAD

Przykład 2: Wzory Cramera

Dla układu równań rozważanego w przykładzie Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnej mamy

Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy:

Przedstawiona w przykładzie Wzory Cramera metoda rozwiązywania układu równań liniowych oparta na wzorach Cramera nie wykorzystuje macierzy odwrotnej układu. W przypadku układów równań liniowych o niewiadomych wymaga ona obliczenia

wyznaczników macierzy stopnia . Wybranie niewłaściwej metody obliczania tych wyznaczników (np. w oparciu o rozwinięcie Laplace'a) spowoduje, że ze względu na olbrzymią liczbę operacji niezbędnych do przeprowadzenia w celu uzyskania wyniku, i ta metoda okaże się być bezużyteczna.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Rozważmy układ równań liniowych postaci ( 1 ). Niech będzie macierzą o wymiarze powstałą z macierzy wymiaru układu ( 1 ) przez dołączenie do macierzy dodatkowej kolumny - wektora prawej strony , tj.

Tak utworzoną macierz nazywamy macierzą uzupełnioną układumacierzą uzupełnioną układu ( 1 ).

A

( , …, )

x

1

x

n

=

(i = 1, …, n) ,

x

i det A_{det A}i

A

i

A

i

b

=

,

=

,

=

A

1

⎛

⎝

⎜

1

0

2

1

1 −1

−1

−2

2 ⎞

⎠

⎟

A

2

⎛

⎝

⎜

1

2

1

0

2 −1

−2

2 ⎞

⎠

⎟

A

3

⎛

⎝

⎜

1

2

1

1 −1

1

0

2 ⎞

⎠

⎟

x =

= , y =

= 2, z =

= .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 2 1 1 −1 −1 −2 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −3 23 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 1 1 0 2 −1 −2 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 1 1 1 −1 1 0 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −3 53

n

n + 1

n

U

m × (n + 1)

A

m × n

A

b

U =

.

⎛

⎝

⎜

a

11

a

21

…

a

m1

a

12

a

22

…

a

m2

…

a

1n

a

2n

…

a

mn

∣

b

1

b

2

…

b

m

⎞

⎠

⎟

U

(5)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3: Kroneckera-Capelliego

Układ równań ( 1 ) posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy oraz są równe, tj. . Ponadto:

jeżeli ( - liczba niewiadomych), to rozwiązanie to jest jedyne;

jeżeli , to rozwiązań jest nieskończenie wiele i zależą one od parametrów.

Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego wynika, że dla każdego układu równań liniowych zachodzi jedna z trzech możliwości: nie posiada rozwiązań, układ taki nazywamy układem sprzecznymukładem sprzecznym;

posiada jedno rozwiązanie, układ taki nazywamy układem oznaczonymukładem oznaczonym ;

posiada nieskończenie wiele rozwiązań, układ taki nazywamy układem nieoznaczonymukładem nieoznaczonym.

PRZYKŁAD

Przykład 3: Układ sprzeczny

Rozważmy układ równań:

Liczba niewiadomych to ; macierz uzupełniona ma postać

Ponieważ wszystkie minory stopnia trzeciego macierzy są zerowe:

oraz

zatem Ponadto, ponieważ

to Oznacza to, na podstawie twierdzenia Kroneckera - Capelliego, że rozważany układ równań jest sprzeczny (gdyż ).

A

U

rz A = rz U

rz A = rz U = n n

rz A = rz U = r < n

n − r

.

⎧

⎩

⎨

⎪

x + y + z + w = 1

2x − y + 2z − w = −1

x − 2y + z − 2w = 2

n = 4

U = (A|b) =

⎛

⎝

⎜

1

2

1

1 −1

−2

1

2

1

1 −1

−2

∣

1 −1

2 ⎞

⎠

⎟

A

=

= 0

∣

1

2

1

1 −1

−2

1

2

1 ∣

∣

1

2

1

1 −1

−2

1 −1

−2

∣

1

2

1

2

1

1 −1

−2

∣

1 −1

−2

1

2

1

1 −1

−2

∣

= −3 ≠ 0,

∣

∣∣

1

2 −1

1 ∣

∣∣

rz A = 2.

= −12 ≠ 0,

∣

1

2

1

1 −1

−2

1 −1

2 ∣

∣

rz U = 3.

rz A ≠ rz U

(6)

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 4: Rozwiązywanie układu oznaczonego

Rozważmy układ czterech równań liniowych z trzema niewiadomymi

Liczba kolumn macierzy układu (równa liczbie niewiadomych) wynosi ; macierz uzupełniona ma postać

Jak łatwo sprawdzić , zatem , gdyż macierz nie zawiera żadnej nieosobliwej podmacierzy wymiaru . Ponieważ w macierzy istnieje nieosobliwa podmacierz wymiaru :

zatem . Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego wynika więc, że rozważany układ równań jest układem oznaczonym. Aby znaleźć jego rozwiązanie wystarczy rozwiązać równoważny wyjściowemu układ Cramera, powstały z wyjściowego układu przez odrzucenie czwartego równania (równanie to odpowiada temu wierszowi macierzy , który nie występuje w nieosobliwej podmacierzy ( 4 ) decydującej o równości rzędów macierzy oraz ):

Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy

.

⎧

⎩

⎨

⎪

x − y + z = 1

−2x − y − z = 1

2x − y = 2

−x − y − 2z = 2

n = 3

U =

.

⎛

⎝

⎜

1 −2

2 −1

−1

1 −1

0 −2

∣

1

2

2 ⎞

⎠

⎟

det U = 0

rz U ≤ 3

U

4 × 4

A

3 × 3

= 5,

∣

1 −2

2 −1

−1

1 −1

0 ∣

∣

rz A = rz U = 3

A

U

.

⎧

⎩

⎨

⎪

x − y + z = 1

−2x − y − z = 1

2x − y = 2

x =

= , y =

= − , z =

= − .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 2 −1 −1 −1 1 −1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 5 25 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −2 2 1 1 2 1 −1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 5 65 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −2 2 −1 −1 −1 1 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 5 35

(7)

PRZYKŁAD

Przykład 5: Rozwiązywanie układu nieoznaczonego

Rozważmy układ równań:

Liczba niewiadomych to , macierz uzupełniona ma postać

Druga i czwarta kolumna macierzy są identyczne, zatem . Z postaci macierzy wynika z kolei, że

(pierwsza i trzecia kolumna macierzy A są identyczne, więc ). Ponieważ jednak macierz zawiera nieosobliwą podmacierz wymiaru :

zatem . Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego wynika więc, że rozważany układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od parametru. Wyznaczymy te rozwiązania. Skoro

to, na podstawie definicji rzędu macierzy, macierz zawiera nieosobliwą podmacierz wymiaru ; odnajdujemy tę macierz w rozwiązywanym układzie równań. Równania, których współczynniki nie wchodzą w skład tej macierzy odrzucamy, z kolei niewiadome, których wybrana podmacierz nie obejmuje, przerzucamy na drugą stronę

równania i traktujemy jako parametry. Układ równań, jaki w ten sposób otrzymujemy, jest układem Cramera (sposób wyboru macierzy tego układu gwarantuje, że jej wyznacznik jest różny od zera) - do jego rozwiązania stosujemy wzory ( 3 ). W naszym przypadku, jako nieosobliwą podmacierz wymiaru zawartą w macierzy możemy wybrać macierz

Oznacza to, że układy równań

są równoważne. Traktując niewiadomą jako parametr, otrzymujemy do rozwiązania układ Cramera

Zastosowanie do tego ostatniego układu wzorów ( 3 ) prowadzi do rozwiązania:

które można również zapisać jako

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:18:59

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=e3715fa98485d3e507008a3d88321a61

Autor: Michał Góra

⎧

⎩

⎨

⎪

x + y + z = 1

2x − y + 2z = −1

x − 2y + z = −2

n = 3

U = (A|b) =

⎛

.

⎝

⎜

1

2

1

1 −1

−2

1

2

1 ∣

∣

1 −1

−2

⎞

⎠

⎟

U

rz A = rz U

A

rz A ≤ 2

det(A) = 0

A

2 × 2

= −3 ≠ 0,

∣

∣∣

1

2 −1

1 ∣

∣∣

rz A = rz U = 2

n − rz A = 3 − 2 = 1

rz A = 2

A

2 × 2

A

(

1 ) .

2 −1

1 oraz {

⎧

⎩

⎨

⎪

x + y + z = 1

2x − y + 2z = −1

x − 2y + z = −2

x + y + z = 1

2x − y + 2z = −1

z

{

x + y = 1 − z

_{2x − y = −1 − 2z}

.

x =

= −z, y =

= 1, z ∈ R,

∣ ∣ ∣_−1−2z1−z ₋₁1 ∣_∣∣ −3 ∣ ∣ ∣1₂ _−1−2z1−z ∣_∣∣ −3