Twierdzenie o średniej
całkowej funkcji
Autorzy:
Witold Majdak
Twierdzenie o średniej całkowej funkcji
Twierdzenie o średniej całkowej funkcji
Autor: Witold Majdak
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: o średniej całkowej funkcji
o średniej całkowej funkcji
Jeżeli jest funkcją ciągłą, to istnieje element o tej własności, że
Liczbę nazywamy wówczas średnią całkową funkcjiśrednią całkową funkcji w przedziale .
Rysunek 1: Interpretacja geometryczna średniej całkowej funkcji
DOWÓD DOWÓD
Na wstępie zauważmy, że dzięki ciągłości funkcji na mocy twierdzenia Weierstrassa wartości
są skończone. Wtedy dla dowolnego mamy . Całkując te nierówności w granicach od do , otrzymujemy
a zatem po przekształceniach
Ponieważ funkcja ciągła w przedziale posiada własność Darboux, to dla każdej wartości istnieje taki argument , że . W szczególności dla zdefiniowanego powyżej elementu można znaleźć taki argument , że , co oznacza, że
CND. CND.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
f : [a, b] → R
c ∈ [a, b]
f(c) =
1f(x)dx.
b−a∫
a bf(c)
f
[a, b]
f
m =
min
f(x) oraz M =
f(x)
x∈[a,b] x∈[a,b]
max
x ∈ [a, b]
m ≤ f(x) ≤ M
a
b
m(b − a) = mdx ≤ f(x)dx ≤ Mdx = M(b − a),
∫
a b∫
a b∫
a bm ≤
1f(x)dx
≤ M.
b−a∫
a b
y0
[a, b]
y ∈ [m, M]
x ∈ [a, b]
y = f(x)
y
0c ∈ [a, b]
= f(c)
y
0f(c) =
1f(x)dx.
b−a∫
a bwarunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:39:58
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=1eaa7f62c6fe7034ee4f857ba6566d6f
