A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S
FO LIA O E C O N O M IC A 201, 2006
Katarzyna Uramek*
T E O R E T Y C Z N E M O D E L E W Z R O S T U G O S P O D A R C Z E G O
1. W P R O W A D Z E N IE 1
Z ainteresow anie zagadnieniem w zrostu g ospodarczego pojaw iło się ju ż w p ra cac h klasycznej szkoły angielskiej, u A d a m a S m itha, D a v id a R i c a rd o czy T h o m a s a M a lth u sa . T eorety cznym w zbogaceniem klasycznej m yśli ekonom icznej stała się analiza m arg in a ln a z a p o czą tk o w an a przez W illiam a S. Jevonsa, C a rla M engera i L eona W alrasa. Je d n a k największe z a in te reso w a n ie w zrostem g o spodarczym p rz y p a d a n a w iek X X , kiedy to zaczęły p o w staw a ć form alne, m atem aty cz n e m o d ele w zro stu g o sp o darczego. M eto d o lo g iczn e podejście ek o n o m istó w d o tej p ro b lem a ty k i nie było jednolite. W edług S now dona et al} współczesny b ra k zgodności w yw odzi się w dużym sto p n iu z „ep izo d u key n eso w sk ieg o ” . O zn acza to , że p o c z ą tk ó w zró żn ico w a n ia poglądów ek o n o m istó w należy szukać ju ż od czasów J o h n a M a y n a rd a K eynesa. W ów czas to zaczęły tw orzyć się dw ie k on k u ren cy jn e teorie: z jednej strony teo ria klasyków o istnieniu m ech a n izm ó w d o stosow aw czych ry n k u d o u trz y m a n ia rów n o w ag i przy pełnym za tru d n ien iu , a z drugiej Ogólna teoria K ey n esa kw estionująca ten pogląd i w yjaśniająca istnienie przym usow ego bezro bo cia w latach 30. ubiegłego w ieku. O d tam tej pory zaczęło kształto w ać się wiele k o n cepcji dotyczących teorii w zrostu gospodarczego. W edług S olow a3 wyłoniły się trzy n u rty badaw cze: pierwszy k o ncentro w ał się w okół m odeli neo- keynesistow skich, dru g i dotyczył neoklasycznych m odeli w zrostu go sp o
* Mgr, U niw ersytet W rocławski.
1 A u tork a pragnie podziękow ać dr. hab. Tom aszowi Tokarskiem u z Uniwersytetu Jagiel lońskiego za liczne i cenne uwagi w trakcie pow staw ania tego opracowania.
2 B. Sn ow d on, H . R. Vane, P. Wynarczyk, W spółczesne nurty teorii m akroekonom ii, PW N, W arszawa 1998.
3 R. M . S olow , Perspectives on Growth Theory, „Journal o f Econom ic Perspectives” 1994, vol. 8, N o 1, s. 4 5 -5 4 .
d arczego, a trzeci teo rii w zrostu endogenicznego. R óżn ice, szczególnie pom iędzy pierw szym a drugim nurtem , dotyczyły kwestii m etodologicznych. T w órcy m odeli neokeynesistow skich „kon cen tro w ali się n a bezpośrednich, prak ty czn y ch aspek tach po lity k i”4, podczas gdy neoklasycy „podkreślali znaczenie k o n stru o w a n ia m odeli przy zastoso w aniu now ych narzędzi an ali tycznych” 5.
Pierwsze fo rm alne m odele, k tó re zastosow ały koncepcje K eyn esa do teorii w zrostu gospodarczego, to m odele R o y a F. H a rro d a 6, E vseya D . D o m a ra 7 i N ico lasa K a ld o r a 8. P rzyk ładem m o d elu k ey n esisto w sk ieg o je st m odel H a rro d a -D o m a ra , będący kom pilacją m odeli H a rro d a i D o m a ra . P od kreśla się w nim rolę akum ulacji k ap itału w u trzym an iu trw ałego w zrostu gos podarczego. G łó w n ą słabością m odelu H a rro d a -D o m a ra jest jego n iedo sto sow anie d o rzeczywistych procesów w zrostu z p o w o d u założenia stałej w arto ści w sp ó łczy n n ik a k a p itało ch ło n n o ści o ra z stałej relacji pom iędzy czynnikam i produkcji.
K o lejn a isto tn a klasa m odeli w teorii w zrostu go spodarczego wywodzi się ze szkoły neoklasycznej. W teorii neoklasycznej za k ła d a się, że g o sp o d ar k a jest k o n k u re n cy jn a, z d oskon ale elastycznym i cenam i i płacam i, dzięki czem u zap ew n io n e je st oczyszczanie się ry n k ó w . M o d ele neoklasyczne ch a rak tery zu ją się d w o m a istotnym i założeniam i: pierw sze o dnosi się do koncepcji ogólnej teorii rów now agi W alrasa, drugie zaś dotyczy użycia przez n eok lasyków rach u n k u m arginalnego. W latach 50. i 60. ubiegłego w ieku zasto so w an o założenia neoklasyczne do u jm o w an ia procesów gos podarczych w sposób dynam iczny o raz stw orzon o p odstaw y m odelow ej analizy długookresow ego procesu w zrostu gospodarczego. T w órcam i neo- klasycznych m odeli byli m .in. R o b ert M . Solow 9 i T re v o r W . S w an10. P rze d m io tem b a d a ń n eo k lasy k ó w stało się w yznaczenie d eterm in a n tó w dłu gookresow ego w zrostu gospodarczego. K o n ty n u a c ją tych rozw ażań było określanie przyczyn dużych rozpiętości pom iędzy d o ch o d am i różnych k ra jó w o raz an aliza istnienia konwergencji.
4 B. Snow don, H . R. Vane, R ozm ow y z wybitnym i ekonom istam i, W yd. Bellona, Warszawa 2003, s. 99.
5 Tam że, s. 99.
6 R. Harrod, An Essay in Dynamie Theory, „Economic Journal” 1939, t. 49 (March), s. 14-33. 7 E. D . D om ar, C apital Expansion, R ate o f Growth an d Em ploym ent, „Econom etrica” 1946, t. 14 (April), s. 137-147.
* N . K aldor, A lternative Theories o f D istribution, „R eview o f Econom ic Studies” 1956, February, vol. 23, s. 83-100.
9 R. M . S olow , A Contribution to the Theory o f Economic Growth, „Quarterly Journal o f E conom ics” 1956, t. 70 (February), s. 65-94.
10 T. W. Swan, Economic Growth and C apital Accumulation, „E conom ic R ecord” 1956, t. 32 (N ovem ber), s. 334-361.
M odele neoklasyczne cechują się założeniam i m alejącej produkcyjności krańcow ej czynników p rodukcji oraz stałych efektów skali. Założenie stałych efektów skali m oże oznaczać, że „g o sp o d ark a jest n a tyle d uża, iz wyczerpała korzyści specjalizacji” 11. M oże ono rów nież sugerow ać, że inne czynniki - o p ró cz k ap itału , siły roboczej i wiedzy - nie są isto tn e w gospodarce, a zatem ich zm iana nie wpłynie znacząco na wielkość p ro d u k tu . N a podstaw ie m alejącej pro dukcyjności krańcow ej czynników p ro d u k cji i stałych efektów skali, neoklasycy p okazali, że - niezależnie od w aru n k ó w p oczątkow ych - g o sp o d a rk a dąży d o osiągnięcia ścieżki zrów now ażonego w zrostu (steady
state). M odel Solow a stał się rów nież p o d staw ą do sfo rm u ło w an ia hipotezy
konw ergencji. K w estia konw ergencji rozpoczęła szereg em pirycznych polem ik n a ten tem at (np. B aum ol12, D e L o n g 13, Y o u n g 14). B ad an ia tak ie podjęli rów nież M an k iw , R om er i W eil15, którzy stw ierdzili, że (zgodnie z m odelem Solow a) w zrost populacji i oszczędności w pływ ają n a d o ch ó d poszczególnych krajów . Z ich b a d a ń w ynika, że p o n a d połow a bad an y ch krajó w m oże w yjaśnić w ielkość sw ojego d o ch o d u n a podstaw ie tych dw óch zm iennych. Je d n a k d la nich tak ie wyjaśnienie nie było satysfakcjonujące. K e n d ric k 16 stw ierdził, że niew łaściw e wnioski Solow a m o g ą w ynikać z niedoceniania przezeń znaczenia k ap itału ludzkiego. Z gadzający się z tym stanow iskiem M ankiw , R o m er i Weil rozszerzyli m odel Solow a, d ołączając do czynników p rodukcji zasób k ap itału ludzkiego i określili jego k ształto w an ie się w czasie. P okazali oni, że - p o d o b n ie ja k w m odelu Solow a - i w rozszerzonym m o d elu g o sp o d a rk a dąży d o stan u rów now agi. P ołożenie ścieżki rów now agi zależy nie tylko od akum ulacji k apitału rzeczow ego, ale i ludzkiego. Po rozszerzeniu m od elu Solow a okazało się, że znaczną część zróżnicow ania poziom u d o c h o d u m iędzy k rajam i m o żn a w ytłum aczyć bez zanegow ania hipotezy konw ergencji w ynikającej z tegoż m odelu.
M odel neoklasyczny, pom im o ogrom nego znaczenia w teorii w zrostu gospodarczego, okazał się nie wolny od niedoskonałości. B adan ia em piryczne w ykazały, że różnice w dochodzie per capita są większe niż przew idyw ał Solow. W edług D. R o m era
11 D . R om er, M akroekonom ia dla zaawansowanych, PW N , W arszawa 2000, s. 26-27. 12 W. Baum ol, P roductivity Growth Convergence and Welfare, „American Econom ic Review” 1986, t. 76 (D ecem ber), s. 1072-1085.
13 J. B. D e L ong, P roductivity Growth, Convergence and Welfare: Comment, „American E conom ic R eview ” 1988, t. 78 (Decem ber), s. 1138-1154.
14 A . Y oung, The Tyranny o f Numbers: Confronting the S ta tistica l R eality o f the East Asian Growth Experience, N B E R 1994, working paper N o 4680 (M arch).
15 N . M ankiw , D . R om er, D . N . Weil, A Contribution to the Em pirics o f Economic Growth, „Quarterly Journal o f E conom ics” 1992, t. 107 (M ay), s. 407-437.
16 J. Kendrick, The Formation and S tocks o f T otal Capital, C olum bia University Press, N ew Y ork 1976.
zasadniczy wynik tych modeli [neoklasycznych - przyp. K. U.] jest negatywny: jeżeli dochody z kapitału odzwierciedlają jego wkład d o produktu i jeżeli jego udział w ogólnym dochodzie jest umiarkowany, to akumulacja kapitału nie jest w stanie w ytłum aczyć w dużej mierze ani d łu gook resow ego w zrostu, ani m iędzynarodow ych rozpiętości w d och od zie, jodynym zaś wyznacznikiem dochod u w tych modelach poza kapitałem jest tajemnicza zmienna, „wydajność pracy” (A ), której znaczenie nie jest ściśle sprecyzowane, a której kształtowanie się jest uważane za egzogeniczne17.
Z uwagi n a niedoskonałości m odelu Solow a zaczęto go m odyfikow ać. Takiej p ró b y podjęli się D av id C ass18 o raz T jalling K o o p m a n s 19. O pierając się n a m o delu F ra n k a R am seya20 dołączyli oni d o m odelu Solow a założenie 0 endogenicznych oszczędnościach. O kazało się, że ta k a m ody fik acja nie w płynęła znacząco n a wynik. K onsekw encją b ra k u em pirycznych zgodności z m od elam i neoklasycznym i było odejście od m od elo w an ia długookresow ego w zrostu g ospodarczego w latach 70. X X w.
D opiero w połow ie lat 80. wieku X X rozpoczął się nowy etap w badaniach nad długookresow ą teorią wzrostu gospodarczego, k tó ra zerw ała z neoklasycz nym i założeniam i dotyczącym i egzogenicznego c h a ra k te ru zm iennych na korzyść endogenizow ania niektórych czynników produkcji. G łów na idea modeli endogenicznych polegała n a tym , że długookresow y w zrost d o ch o d u per
capita zależy od inwestyq'i podm iotów gospodarczych, a nie od niewyjaśnionej
stopy p o stęp u technicznego. P om im o że m odele endogeniczne stanow ią dość zróżnicow aną grupę, to m ożna podzielić je na dwie kategorie ze względu n a źró d ła p o stęp u technicznego. W pierwszej zak ład a się, że źródłem w zro stu gospodarczego jest ak u m u lacja wiedzy. C h oć jest to zgodne z m odelem Solow a, to w przeciw ieństw ie d o niego w iedza m a tu c h a ra k te r endo- geniczny. P rzy kładam i m odeli reprezentujących ten pogląd są m o dele P aula R o m e ra 21, G ene M . G ro ssm an a i E lh an a n a H e lp m a n a 22, P hilippe A ghiona 1 P etera H o w itta 23. D rugi rodzaj m odeli dotyczy akum ulacji k ap itału ludz kiego. Są to m odele R o b e rta E. L ucasa24, C o sta sa A zariad isa i A llana
17 D . R om er, M akroekonom ia..., s. 117.
18 D . Cass, Optimum Growth in an Aggregative M odel o f C apital Accumulation, „R eview o f E conom ics Studies” 1965, t. 32 (July), s. 233-240.
19 Т . C. K oop m an s, On the Concept o f O ptim a! Econom ic G rowth, N o rlh -H o lla n d , Am sterdam 1965.
20 F. Ramsey, A M athem atical Theory o f Saving, „Economic Journal” 1928, t. 38 (December), s. 543-559.
21 P. R om er, Increasing Returns and Long Run Growth, „Journal o f Political Econom y” 1986, t. 94 (October), s. 1002-1037; tenże, Endogenous Technological Change, „Journal o f Political E conom y” 1990, t. 98 (October), s. 71-102.
22 G . M . G rossm an, E. Helpm an, Innovation and Growth in the G lobal Economy, M IT Press, Cambridge 1991.
23 P. A ghion, P. H ow itt, A M odel o f Growth Through Creative D estruction, „Econom etrica” 1992, t. 60 (M arch), s. 323-351.
24 R. E. Lucas, On the M echanics o f Economic D evelopment, „Journal o f M onetary E conom ics” 1988, t. 22 (July), s. 3-42.
D ra zen a25, G ary eg o S. B eckera, K evin a M . M urp h y eg o i R o b e rta T a m u ra 26 o ra z Sergio R eb elo 27.
Celem tego opracow ania jest przedstawienie dwóch klas modeli: neoklasycz nej i endogenicznej. W punkcie 2. zo stan ą zaprezentow ane dw a neoklasy czne m odele w zrostu gospodarczego: m odel R o b e rta M . S olow a28 i m odel N. M ankiw a - D . R o m era - D . N . W eila29 oraz im plikacje z nich wynikające, w 3. sch arak tery zo w an o m odele nowej teorii w zrostu n a p rzy k ład ach m odeli R o b e rta E. L u ca sa30 i P au la R o m era31, w 4. zaś p o d su m o w an o rozw ażania z p u n k tó w 2. i 3.
2. N E O K L A S Y C Z N E M O D E L E W Z R O ST U G O S PO D A R C Z E G O
W tej części o p raco w an ia zo stan ą zaprezentow ane d w a neoklasyczne m odele długookresow ego w zrostu gospodarczego. Pierwszy, to m odel Solow a (por. też B arro, Sala-i-M artin32, M ankiw , R om er, W eil33, R o m er34, T ok arsk i35), k tó ry - ja k zauw ażył D . R om er
jest punktem wyjścia niemal każdej analizy wzrostu. N aw et te m odele, które w sposób zasadniczy odbiegają od m odelu S olow a, często najłatwiej zrozum ieć przez porów nanie z tym m odelem . Zrozum ienie tego m odelu ma więc istotne znaczsnie dla zrozum ienia teorii w zrostu34.
N a to m ia st m odel M ankiw a-R om era-W eila (dalej: m od el M R W ) jest jego rozszerzeniem o akum ulację k ap itału ludzkiego.
25 C. Azariadis, A . Drazen, Threshold E xternaliies in Economic Developm ent, „Quarterly Journal o f E conom ics” 1990, t. 105 (M ay), s. 501-526.
26 G . S. Becker, K . M . M urphy, R. Tamura, Human Capital, F ertility and Economic Growth, „Journal o f Political Econom y” 1990, t. 98 (O ctober), s. 12-37.
27 S. Rebelo, Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth, „Journal o f Political Economy” 1991, t. 99 (June), s. 500-512.
28 R. M . Solow , A Contribution to the Theory...
29 N . M ankiw , D . R om er, D . N . W eil, A Contribution to the Em pirics... 30 R. E. Lucas, On the Mechanics...
31 P. R om er, Increasing Returns...
32 R. J. Barro, X . Sala-i-M artin, Economic Growth, M e G raw -Ilill Inc., N ew Y ork 1995.
33 N . M ankiw , D . R om er, D . N . Weil, A Contribution to the Em pirics...
34 D . R om er, M akroekonom ia...
35 T. Tokarski, P ostęp techniczny a wzrost gospodarczy tv modelach Solowa i Lucasa, „Ekonom ista” 1998, nr 2 -3 , s. 271-291; tenże, Determinanty wzrostu gospodarczego w warunkach stałych efektów skali, Katedra Ekonom ii Uniwersytetu Ł ódzkiego, Ł ódź 2001.
M odel S olow a o p arty jest na agregatow ej funkcji p rod uk cji postaci:
gdzie:
K ( t ) - zasób k ap itału rzeczowego, L ( t ) - zasób pracy,
A ( t ) - zasób wiedzy.
Z asó b wiedzy rozum ian y jest ja k o ten czynnik p ro d u k cji, k tó ry nie jest zw iązany ani z akum ulacją k apitału , ani z zasobem pracy. W yrażenie postaci
A ( t ) L ( t ) oznacza efektyw ną pracę, k tó re obejm uje za ró w n o pracujących,
ja k i ich p ro d u k ty w n o ść zależną od technologii.
N eoklasyczn a fu nkcja produkcji charaktery zuje się stałym i efektam i skali w odniesieniu do k ap itału i efektywnej pracy oraz m alejącym i p ro d u k ty w - nościam i krańcow ym i k ap itału i efektywnej pracy. D o d a tk o w o funkcja p rodukcji spełnia tzw. w aru n k i In ad y względem k ap itału i efektyw nej pracy. O znacza to, że krańcow y p ro d u k t n ak ład u zbliża się do nieskończoności (zera), gdy jeg o w ielkość zbliża się do zera (nieskończoności).
Szczególnym przypadkiem funkcji p rodu kcji (1) je st fu n kcja C o b b a- -D ou glasa. Jej częste w ykorzystanie w ynika stąd , że jest o n a łatw a do stosow ania, a co ważniejsze, o kazała się dobrym przybliżeniem rzeczywistych funkcji pro d u k cji37. Z asób wiedzy m a ch arak ter neutralny w sensie H a rro d a 3", co oznacza, że A ( t ) w chodzi do funkcji p rod uk cji C o b b a-D o u g la sa m ulti- plikatyw nie z zasobem pracujących, czyli:
W spółczynniki a, 1 — a są elastycznościam i p ro d u k tu względem odpow ied nio zasobu kapitału rzeczowego i zasobu efektywnej pracy. Jeśli każdy z czyn ników produkcji opłacany jest według jego p ro d u k tu krańcow ego, to a i 1 — a są udziałami K ( t ) i A ( t ) L ( t ) w Y(t). D o funkcji produkcji (2) stosuje się zapis w tzw. postaci intensywnej, gdyż na jego podstaw ie m o żna zanalizow ać zmiany w g o spodarce w sto su n k u do nakładów efektyw nej pracy. Niech:
37 Tam że, s. 28.
38 Jeśli funkcja produkcji jest postaci Y = AF ( K , L), to zasób wiedzy jest neutralny w sensie H icksa, natom iast przy funkcji Y = F (AL, K ) jest neutralny w sensie Solow a (por. R. Allen, Teoria makroekonom iczna. Ujęcie m atem atyczne, PW N , W arszawa 1975).
Y{t) = F ( K ( t ) , A ( t ) , L ( t )) O)
У(0 = а д Ч ( Л ( 0 Ц 0 ) ' " а a,(l-Ci)e(0, 1)
(2
)Y ( t )
W ów czas intensyw na po stać funkcji pro d u k cji jest następująca:
y( t) = k ( t y (4)
W m odelu Solow a zakłada się, że zarów no liczba pracujących, ja k i wiedza zm ieniają się w edług stałych, egzogenicznych stóp w zro stu , co im plikuje, że:
L (i) = n L (t) n > 0 (5)
o raz
Á ( t ) = g A ( t ) g > 0 (6)
Z atem zasoby pracy i wiedzy zm ieniają się w ykładniczo L (t) = L0e"' i A ( t ) = A Qegt z w aru n k am i początkow ym i L0 = L (0 ), A 0 = /1(0), gdzie L0,
Aq w yznaczają początkow e zasoby liczby pracujących i wiedzy. P o n ad to przyjm uje się, że p ro d u k t Y(t ) składa się tylko z w yd atk ów konsum pcyjnych
C (ť) i inw estycyjnych I(t). Część p ro d u k tu , k tó ra zostaje przeznaczon a na
inwestycje, to:
I ( t ) = s Y ( t ) 5 6 ( 0 , 1 ) (7)
gdzie s je st w ielkością stałą i egzogeniczną. D o d a tk o w o za k ła d a się, że inwestycje są rów ne oszczędnościom , czyli / ( i ) = S(t). Z atem s w rów naniu (7) jest sto p ą oszczędności/inw estycji ro z u m ia n ą ja k o udział oszczędności S (t)/inw estycji / (i) w produkcie Y(t). K ształtow an ie się k ap itału w czasie n a je d n o stk ę efektyw nej pracy przedstaw ia rów nan ie różniczkow e p o staci39:
k( t) = s f [ k ( t ) ] - ( n + g + S ) k ( t ) (8) R ó w n an ie (8) określa zależności pom iędzy przyrostem zasobu kap itału
k(t) a sto p ą oszczędności s, p roduktem f ( k ) i k ap itałem k( t) - wszystkie
n a jed n o stk ę efektyw nej pracy - oraz stopam i deprecjacji k ap itału ô, w zrostu zasobu p racy n i w zrostu zasobu wiedzy g. Jest to najw ażniejsze rów nanie ró żniczkow e w m o d elu Solow a. Z tego p o w o d u n azyw an e je st często podstaw ow ym alb o fundam entalnym rów naniem tego m odelu.
M o żn a uzasadnić, że g o sp o d ark a m odelu Solow a, niezależnie od sytuacji początkow ej, zm ierza do osiągnięcia długookresow ej równowagi'10. Niech pu nkt rów now agi będzie oznaczony przez ( k \ y'), gdzie y — f ( k ' ) .
39 Por. D. Romer, M akroekonom ia..., s. 29-31.
W yznaczenie p u n k tu rów now agi ( k \ у *) dla funkcji p rodukcji C o bb a- -D o u g lasa postaci (2) polega n a rozw iązaniu następu jąceg o układu rów nań:
Z ró w n a ń (10) w ynika, że dla gospo dark i będącej w stanie w zrostu zrów no w ażoneg o zarów no k ap itał rzeczowy /с* ja k i p ro d u k t у n a jed n o stk ę efektyw nej pracy są funkcjam i rosnącym i stopy oszczędności s, a m alejącym i stóp w zrostu wiedzy g, liczby pracow ników n i sto py deprecjacji k ap itału <5.
S topy w zrostu k ap itału i p ro d u k tu dla g o sp o d ark i znajdującej się na ścieżce zrów n ow ażonego w zrostu wynoszą:
Z ró w n a n ia (11) w ynika, że stopy w zrostu p ro d u k tu i k a p ita łu są rów ne sum ie stó p w zrostu wiedzy i liczby pracujących. R ó w n an ie (11) oznacza rów nież, że zm ian a stopy oszczędności nie w pływ a n a d łu go ok resow ą stopę w zrostu p ro d u k tu . Z m ian a ta wywiera je d n a k wpływ n a w ielkość owego p ro d u k tu . Zw iększenie się (zmniejszenie) stopy oszczędności pow oduje, że zwiększa się (zm niejsza) wielkość faktycznych inwestycji, przez co g o sp od arka osiąga wyższą (niższą) ścieżkę zrów now ażonego w zrostu. W konsekw encji następu je zw iększenie się (zmniejszenie) poziom u p ro d u k tu n a jed n o stk ę efektyw nej pracy.
P o w ró t do m o d elu Solow a nastąp ił w ro k u 1992 w publikacji M ankiw a, R o m era i W eila41. Ze względu n a em piryczne ograniczenia m o delu Solow a autorzy rozszerzyli go, wprow adzając do funkcji produkcji d od atk o w ą zm ienną - k ap itał ludzki H ( t ) i określili jej k ształtow an ie się w czasie. Z tego pow odu ów m odel nosi nazw ę rozszerzonego o akum ulację kap itału ludzkiego m odelu Solow a. F u n k cja produkcji za dana jest w postaci rozszerzonej funkcji C o b b a-D o u g la sa, gdzie zasób wiedzy m a ch a ra k te r n eu tra ln y w sensie H a rro d a :
(10) (9)
Y ( t ) = H ( t y K m A ( t ) L ( t ) ] ' - * - l > a, ß, (a + Д )е (0 , 1) (12) W szystkie p ozostałe zm ienne są zdefiniow ane ta k sam o, ja k w p rzyp adk u funkcji p rod ukcji w m odelu Solow a. Z rów n ania (12) w ynika stałość efektów skali względem k ap itału rzeczowego, k ap itału ludzkiego i liczby pracujących (d okładnie jed n o stek efektyw nej pracy A ( t ) L(t)).
Identyczne, ja k w m odelu Solow a, są założenia d otyczące k ształtow ania się w czasie zasobów liczby pracujących i wiedzy (por. ró w n a n ia 5-6). Z asó b efektyw nej p racy A ( t ) L ( t ) rośnie w edług stopy n + g.
W k a p ita ł ludzki inw estuje się ta k sam o ja k w k a p ita ł rzeczowy. P o d lega on rów nież deprecjacji (tak ja k w p rz y p ad k u k ap itału rzeczowego). P ro d u k t sk ła d a się z w y d a tk ó w k o n su m p c y jn y c h C ( t ) o ra z in w esty cyjnych /( i) . N a to m iast inwestycje dzielą się n a inwestycje w kap itał rzeczowy
skY ( t ) d la ske ( 0, 1) o raz w k ap itał ludzki shY(t ) d la she ( 0, 1), przy czym (sk + л’л) e (0, 1). P o n a d to inwestycje rów ne są oszczędnościom . Jeśli przez s oznaczym y egzogeniczną i stałą stopę inwestycji, to:
I ( t ) = S Y( t ) = (sk + sh) Y ( t ) = I k(t) + I h(t) 5 6 (0 , 1) (13) O znacza to, że całkow ite inwestycje są sum ą inwestycji w kapitał rzeczowy
I k(t) i ludzki I h(t).
F u n k cję p ro d u k cji (12) m o żn a zapisać w postaci intensyw nej:
Przyrosty zasobów kapitałów rzeczowego i ludzkiego d la funkcji produkcji w postaci intensyw nej opisują następujące ró w n a n ia różniczkow e:
W oryginalnym m odelu M R W za k ła d a się je d n a k o w ą sto p ę deprecjacji
ô kapitałów rzeczowego i ludzkiego. W ydaje się jed n ak , że bardziej adekw atne
jest ich rozró żn ien ie n a stopę deprecjacji k ap itału rzeczow ego ók o ra z stopę deprecjacji k ap itału ludzkiego Sh. Stopy deprecjacji k a p ita łu są w ielkościam i egzogenicznym i. U kład ró w n ań różniczkow ych (16) w yznacza u k ład rów nań
У (0 = k ( t y h ( t ) ß (14)
gdzie:
(15)
k ( t) = s j i i t y h ( t y ~ ( n + g + ôk) к
ruchu m odelu M R W . W ynika z niego, że przyrost zasobu kapitału rzeczowego zależy od inwestycji w ten k ap itał rzeczowy shy(t), pom niejszonych o iloczyn k a p ita łu rzeczow ego k( t) z sum ą stó p w zrostu liczby pracujących n, w zrostu wiedzy g i stopy deprecjacji k ap itału rzeczow ego Sk (w szystkie wielkości w y rażo n e są n a je d n o s tk ę efektyw nej p racy ). A n a lo g ic z n ą zależnością ch arak tery zu je się p rz y ro st zasobu kapitału ludzkiego.
M o ż n a uzasadnić, że g o sp o d ark a m od elu M R W , niezależnie od sytuacji wyjściowej, zm ierza d o długookresow ej rów now agi ( k \ /j*)42.
Znalezienie położenia p u n k tu ( k \ h ) polega n a rozw iązaniu następującego u kładu rów nań:
L t í ' k *« = (п + 0 + ^ ) ^ )shh,ßk ' a = (n + g + öh) h*
(17) R ozw iązanie układu ró w n ań (17) jest następujące:
I / С V к ’ Sk \ i - t - ß f s h n + g +
S j
\ n + g + ôh} _ 1-a Sк \I — a — /? (18)Z tego, że (k, h) zm ierza do ( k \ h*) w czasie t e ( 0 , o o) w ynika, że:
h ' n + g + S j \ n + g + Sh i - i lin, fc(t) — k* — ( Ь - j (19) V n + g + S j \ n + g + Sh l 1 - a lim h ( t ) = h - = ( — h — (20) \ n + g + SkJ \ n + g + ShJ
D o d a tk o w o m o ż n a wyliczyć strum ień p ro d u k tu n a jed n o stk ę efektywnej p racy w w a ru n k ach długookresow ej rów now agi:
lim y(t) = / = ( ---Ł _ y — ' (2D
\ n + g + S J \ n + g + 6 J
Z ró w n a ń (19), (20) i (21) w ynika, że d la g o sp o d ark i m odelu M R W , znajd u jącej się w rów n o w ad ze, zasoby k a p ita łu lud zkieg o, rzeczow ego i p ro d u k t n a jed n o stk ę efektywnej pracy są funkcjam i rosnącym i stóp
inwestycji w k a p ita ł ludzki i rzeczowy, a m alejącym i stó p deprecjacji tych kap itałó w , stopy w zrostu liczby pracujących i wiedzy. R ezu ltaty w zrostu inwestycji w k a p ita ł ludzki (lub rzeczowy) są p o d o b n e ja k w m od elu Solowa. Zm niejszenie (zwiększenie) stopy inwestycji w k ap itał rzeczowy i(lub) ludzki spow oduje, że g o sp o d ark a osiągnie niższą (wyższą) ścieżkę zrów now ażonego w zrostu. P o n a d to zwiększenie (zmniejszenie) inwestycji w k ap itał rzeczowy prow adzi zarów no do zwiększenia (zmniejszenia) zasobu k ap itału rzeczowego, ja k i ludzkiego (o b a na jed n o stk ę efektywnej pracy). A nalogiczny proces
zachodzi w p rz y p ad k u zm ian inwestycji w k a p ita ł ludzki.
3. N O W A T E O R IA W Z R O S T U
Z a istn ia ło k ilk a przyczyn, d la k tó ry ch p o jaw iła się k ry ty k a m odeli neoklasycznych. N ajw ażniejsze z nich to b rak w yjaśnienia różnic pom iędzy d ochodam i per capita oraz fakt, że najistotniejsza zm ienna m odelu neoklasycz nego, czyli sto p a zasobu wiedzy, nie jest w yjaśniana przez ów m odel. N ied o sk o n ało ść m odelu Solow a była przyczyną tego, że w latach 80. X X w. zaczęła p ow staw ać altern aty w n a g ru p a m odeli d ługookresow ego w zrostu gospodarczego. N a zw an a została now ą teo rią w zrostu, k tó ra z jednej strony op iera się na dośw iadczeniach szkoły neoklasycznej, a z drugiej zakłada racjo n aln o ść pod m io tó w gospodarczych (typow ą cechę d la m odeli nowej ekonom ii klasycznej i szkoły realnego cyklu koniu n k tu raln eg o ). Is to tą m odeli nowej teorii w zrostu jest endogenizacja tych czynników prod uk cji, k tó re w sposób znaczący m ają wpływ n a w zrost gospodarczy. Są to głównie zasób wiedzy i sto p a oszczędności. M odelow anie stop y oszczędności odbyw a się n a poziom ie m ikroekonom icznym , gdyż polega ono n a m aksym alizow aniu zdyskontow anej funkcji użyteczności konsum pcji g osp o d arstw dom ow ych w nieskończonym przedziale czasowym . Pierwsze m odele stosujące tę zasadę pojaw iły się na gruncie szkoły neoklasycznej. Są to m odele F. R am seya43, D . Cassa44 oraz Т. C. K oopm ansa45, których implikacje związane z określeniem stopy w zrostu ze względu n a egzogeniczny ch a ra k te r stopy w zrostu zasobu wiedzy nie odbiegają od w niosków z m odelu Solowa. W m odelach neoklasycz nych żadne działania w ew nątrz opisywanej gospodarki nie m o g ą spow odow ać przyspieszenia rozw oju wiedzy, a zatem rów nież przyspieszenia w zrostu gospodarczego. W przeciw ieństw ie d o nich m odele endogeniczne p o dk reślają szczególną rolę wiedzy, w ykształcenia i kw alifikacji pracujących. O znacza to, że podniesienie stopy w zrostu gospodarczego p er capita w m odelach
43 F. R am sey, A M athem atical Theory.. 44 D . Cass, Optimum Growth...
nowej teorii w zrostu polega n a zm ianach jak ościo w y ch w tych zm iennych. K . J. A rro w 46, ja k o jeden z pierw szych ek onom istów zajm ujących się teorią wzrostu gospodarczego, wprow adził do swojego m odelu koncepcję „nabyw ania wiedzy przez p ra k ty k ę ” (learning by doing), po legającą n a u spraw nianiu procesów w ytw órczych przez pracow ników . Je d n a k d o p iero od k o ń ca lat 80. ubiegłego w ieku n astąpił b ardzo dynam iczny rozwój nowej teorii wzrostu.
C h o ć je st to b ard zo zróżnicow ana g ru p a m odeli, to isto tn e o kazało się m odelow anie dw óch podstaw ow ych źródeł w zrostu gospodarczego: akum ulacji wiedzy i k ap itału ludzkiego. K lasa m odeli zw iązana z ak u m u lac ją wiedzy jest zg o d n a z m odelem Solow a w tym sensie, że ak u m u lac ja k ap itału nie je st isto tn ą d e te rm in a n tą w zrostu gospodarczego per capita. W p rzy p ad k u klasy m odeli akcentującej znaczenie akum ulacji k ap itału dla w zrostu gos podarczego z a k ła d a się, że k ap itał rozum iany jest znacznie szerzej niż w m odelach neoklasycznych. D efinicja k ap itału obejm uje nie tylko k ap itał rzeczowy, ale rów nież ludzki. T a k ą definicję k ap itału zastosow ali w swoim m o delu M ankiw , R o m er i Weil. T eoretycznym i pionieram i b ad a ń , które próbow ały wyjaśnić wzrost gospodarczy jak o proces racjonalny i endogeniczny, byli Paul R o m er47, zajm ujący się m odelow aniem wiedzy naukow o-technicznej, o raz R o b e rt E. L ucas48, według któ reg o ak um u lacja k ap itału ludzkiego m a po dstaw ow e znaczenie d la w zrostu gospodarczego. J a k o pierw szy zostanie przedstaw iony m odel L ucasa, analizujący wpływ k a p ita łu ludzkiego na k ształtow an ie się procesu produkcyjnego i położenie ścieżek w zrostu gos podarczego.
Isto tn e znaczenie w tym m odelu m a w prow adzenie k ap itału ludzkiego d o funkcji pro d u k cji. W edług L ucasa pojęcie k ap itału ludzkiego zw iązane jest z ogólnym poziom em um iejętności pracow nika. O znacza to, że pracow nik z k ap itałem ludzkim h (t ) jest rów ny pod względem w ydajności dw óm pracow nikom o kapitale ~ h ( t ) każdy. Pracow nicy przeznaczają część swojego czasu u ( t ) n a produkcję. P ozo stałą część czasu, czyli 1 - u ( t ) , w ykorzystują n a akum ulację k ap itału ludzkiego. Jeśli wszyscy pracow nicy ch arak tery zu ją się jed n ak o w y m poziom em k ap itału ludzkiego h (t) i przezn aczają jed n ak o w ą część czasu u (i) na produkcję, to efektywny zasób pracy wynosi u ( t ) h ( t ) L ( t ) , gdzie L ( t ) oznacza liczbę pracujących. F u n k cja pro d u k cji jest postaci:
У (i) = A K (ť)" (u (t) h ( t ) L ( t ) У ~a h£ a, (1 — a) e (0 , 1) ß e [ 0 , 1) (22)
46 K . J. Arrow , The Economic Implications o f Learning b y Doing, „R eview o f Econom ic Studies” 1962, t. 29 (June), s. 155-173.
47 P. R om er, Increasing Returns... 48 E. Lucas, On the Mechanics...
gdzie K ( t ) oznacza zasób k ap itału rzeczowego. W m odelu L ucasa zakład a się, że A jest w ielkością stałą. P aram etry ß, a, 1 — a są elastycznościam i p ro d u k tu względem o dpow iednio ha, K ( t ) , u ( t ) h( t ) L ( t ) . Przeciętny zasób k ap itału ludzkiego ha jest równy:
] h L ( h ) d h
К = \ --- (23)
|L ( / i ) dh 0
W yraża on tzw. efekty zewnętrzne (external effects). W ystępow anie efektów zew nętrznych polega n a tym , że jedno stkow y w zrost p o ziom u k apitału ludzkiego w pływ a nie tylko n a tę jedn ostkę, ale n a innych pracow ników . P ara m e tr ß w m odelu Lucasa m ierzy siłę oddziaływ ania zew nętrznych efektów procesu akum ulacji kapitału ludzkiego. Z założenia o jednakow ych podm iotach gospodarczy ch w ynika, że ha(t) = h(t).
Z asó b pracy rośnie egzogenicznie w edług stałej stop y w zrostu n. Zatem :
m = n n > 0 (24)
L ( f )
P ro d u k t dzieli się całkow icie n a konsum pcję i inwestycje, czyli:
Y ( t ) = C (t) + 1 (f) (25)
W m odelu L ucasa, podobnie ja k w przy p ad k u funkcji p rodukcji z m odeli Solow a i M R W , funkcja produkcji będzie analizow ana w postaci intensywnej. Przyjm uje o n a postać
y ( t ) = A k i t y u ' - ' h i t ) ' - * * » (26) przy n astępujących oznaczeniach:
' » - Ц (27)
W y n ik a stąd , że y ( t ) , k ( t ) i c (t) są w ielkościam i pro du kcji, kap itału rzeczowego i konsum pcji przypadającym i n a jednego pracującego (w m odelach Solow a i M R W ww. wielkości przeliczane były n a jednostkę efektywnej pracy).
Przy założen iu , że w szystkie g o sp o d a rstw a d o m o w e są jed n ak o w e, a k o n su m p cja o db yw a się w nieskończonym , ciągłym przedziale czasow ym ,
g o sp o d a rk a dąży d o m aksym alizacji sum y zd yskontow anej użyteczności kon sum pcji per capita w szystkich gospodarstw dom ow ych, danej wzorem :
® c ( t Y ~ a — 1
J --- dt p > 0 , <re(0, 1) (28)
t-o l c
gdzie c (t) > 0 w yraża konsum pcję gosp o d arstw a do m ow ego w czasie t.
c ' - a - 1
F u n k c ja użyteczności u ( c ) = — ---, u ( c ) = [ 0 , 1] z n a n a jest pod nazw ą 1 — a
„użyteczności o stałej względnej niechęci do ry zy k a” (constant rate o f risk
aversion) ze względu n a współczynnik o określany m ianem względnej niechęci
d o ryzyka. Im m niejsze o, tym wolniej ob niża się użyteczność krań cow a przy wzroście konsum pcji, a przez to gospodarstw o staje się bardziej skłonne d o zm iany konsum pcji w czasie. W spółczynnik p ozn acza stopę dy skontow ą. Im wyższa sto p a dysk o n to w a, tym bardziej go sp o d arstw a dom ow e preferują bieżącą k o nsum pcję nad przyszłą49.
Przyrost zasobu kapitału rzeczowego opisany jest rów naniem różniczkowym takiej sam ej postaci, ja k w m odelu Solowa:
k ( t ) = y ( t ) - c ( t ) - ( n + S ) k ( t ) < 5 6 (0 ,1 ) (29) gdzie ô o znacza sto p ę deprecjacji k apitału rzeczowego.
Z god nie z w cześniejszą uw agą, część czasu 1 — u (i) zostaje przeznaczona n a ak u m u la q ę kapitału ludzkiego. O znacza to , że wyrażenie 1 — u (i) pow inno być zw iązane ze sto p ą w zrostu k ap itału ludzkiego Lucas prop on uje zastosow anie funkcji akum ulacji k ap itału ludzkiego U z aw y -R o sena postaci:
h (t ) = if/(\ — u) h(ť) у/ > 0, u e [ 0 , 1] (30) gdzie у/ w yraża m ak sy m aln ą m ożliw ą d o uzysk an ia sto p ę w zrostu kap itału ludzkiego. Jeśli u = 1, to pracownicy przeznaczają cały swój czas na produkcję. E fektem jest b ra k zm ian w zasobie k ap itału ludzkiego, czyli h ( t ) = 0.
R o zw ażan ia L u casa dotyczą poszukiw ania optym alnej ścieżki w zrostu, w której m aksym alizuje się sum ę zdyskontow anej użyteczności konsum pcji ze w zględu n a c(i) i u(t ). P olega o no n a wyznaczeniu tak ich w artości К (i),
h (i), C ( t ) , u(t ), k tó re spełnią (28) w odniesieniu d o ograniczeń zadanych
przez funkcję pro d u k cji (26) oraz zm ian zasobów k ap itału ludzkiego (30) i k a p ita łu rzeczow ego (29), tzn. spełnione są następu jące ograniczenia:
h ( t ) = i y ( l - u ( t ) ) h ( t )
к (i) = A k (t)au ( t ) l ~ah ( i) 1 - * - t - c - ( n + ö ) k (t) k0 = fc(0)
hQ = h(0)
(31)
gdzie ka, h0 > Q wyznaczają wyjściowe zasoby odpow iednio kapitału rzeczowego i ludzkiego p e r capita.
Z a k ła d a się, że w m odelu L ucasa zm ienne, takie ja k konsum pcja, kapitały ludzki i rzeczowy, p ro d u k t (wszystkie p e r capita) podlegają procesow i wzrostu rów nom iernego. O znacza to, że ro sn ą one w edług stałych stó p rów nych
Problem wyznaczenia optym alnej ścieżki w zrostu w m odelu Lucasa m ożna rozw iązać za p o m o cą zasady m aksim um L. S. P o n tria g in a 50.
W ów czas m o żn a pokazać, że optym alna sto p a w zrostu k ap itału ludzkiego p e r capita wynosi:
N a to m ia st o p tym alne stopy w zrostu k ap itału rzeczow ego, produkcji i konsum pcji (wszystkie p e r capita) g'c d an e są w zorem :
O ptym alny czas przeznaczony n a p rodukcję u = u i akum u lację k ap itału ludzkiego 1 — u = 1 — u wynosi:
W m o d elu L u casa stopy w zrostu k apitałów rzeczow ego i ludzkiego, p ro d u k tu , konsum pcji zależą zarów no od funkcji preferencji gospo darstw dom ow ych, od ch arak tery sty k i funkcji produkcji, ja k i od w spółczynnika
30 Por. E. Panek, Ekonomia m atem atyczna, Wyd. A kadem ii Ekonom icznej, Poznań 2000, s. 389-705. С к у . h( t ) 9c ~ c ~ к ~ у 1 9h = h( t ) (32) (33) (34) (35)
efektyw ności inwestycji w k ap itał ludzki. Z ró w n an ia (33) w ynika, że stopy w zrostu k a p ita łu rzeczowego, p ro d u k tu i konsum pcji są zw iązane ze w spół czynnikam i p i ст. O znacza to, że na w zrost p ro d u k tu istotn ie wpływają preferencje konsum pcyjne gospodarstw dom ow ych. S to p a w zrostu p ro d u k tu jest fu nkcją ro sn ą cą ze sto p ą dyskontow ą, a m alejącą ze w spółczynnikiem aw ersji d o ry zyka. Z atem im niższa będzie o d w ro tn o ść w sp ółczy nn ika aw ersji d o ry zy k a, a w yższa sto p a d y sk o n ta , tym g o sp o d a rstw a będą bardziej preferow ać konsum pcję bieżącą nad przyszłą, co oznacza niższą sto p ę w zro stu gosp o d arczeg o . P o n a d to s to p a w z ro stu g o sp o d a rk i jest fu n k c ją ro sn ą c ą ze w spółczynnikiem y , k tó ry je st zw iązan y ze sto p ą w zrostu k a p ita łu ludzkiego.
D rugim analizow anym m odelem jest m odel P au la R o m e ra 51, w którym rozw aża się generow anie wiedzy naukow o-technicznej. W m o d elu P. R om era isto tn a jest ch a rak tery sty k a dw óch czynników funkcji p rod uk cji: wiedzy i k apitału ludzkiego. W edług niego ważne jest rozróżnienie dw óch właściwości tych czynników pro d u k cji: ryw alizacji (rivarly) o ra z w yłączalności (e x
cludability). P ierw sza cecha oznacza, że stosow anie czyn n ik a pro d u k cji przez
je d n ą osobę lub przedsiębiorstw o w yklucza stosow anie go przez innych użytkow ników . D ru g a cecha dotyczy m ożliw ości niedopuszczenia d o korzys ta n ia z dan eg o czynnika przez inne podm ioty. Pojęcie to należy odnieść np. d o system u praw nego, który m oże w prow adzić ograniczenia ko rzy stan ia z danego czynnika przez innych. D obrem , m ającym cechy niekonkurencyjności i istnienia w yłączalności jest wiedza. N a to m ia st czynniki takie, ja k p raca i k ap itał rzeczow y podlegają rywalizacji.
Z powyższych rozw ażań wynikają dwie istotne implikacje d la teorii wzrostu gospodarczego. D o b ra , k tó re są niekonkuren cyjne względem siebie, m ogą podlegać procesow i akum ulacji bez ograniczeń. D o d a tk o w o , b ra k k o n k u re n cyjności uniem ożliw ia o p atentow anie danego d o b ra , a zatem pow staw aniu now ego d o b ra tow arzyszą tzw. efekty zew nętrzne. W sto su n k u d o wiedzy P. R o m er ko m en tu je w ystępow anie efektów zew nętrznych następująco:
[now a wiedza, przyp. K.. U.] wywołuje pozytywne efekty zewnętrzne w zakresie m ożliwości produkcyjnych innych firm, w związku z tym, że wiedza nie m oże być całkow icie opatentow ana czy utrzymywana w tajemnicy52.
W ystępow anie ryw alizacji pośród d ó b r im plikuje istnienie m echanizm u rynkow ego, k tó ry - zgodnie z teo rią podziału C la rk a - ustala, że ceny tak ich d ó b r są rów ne cenom p ro d u k tó w krańcow ych. Z tego pow odu w m odelu R o m era za k ła d a się, że cena za w ytw orzenie now ego p ro jek tu przez k a p ita ł ludzki jest ró w n a jego m arg in aln em u p ro d u k to w i.
51 P. R om er, Endogenous Technological... 52 P. R om er, Increasing Returns...
W m odelu R om era występują cztery nakłady czynników produkcji: kapitału rzeczow ego, liczby pracujących, k ap itału ludzkiego i technologii. K a p itał rzeczowy K (i) reprezentow any jest przez środki trw ałe w końcow ym etapie produkcji dó b r. K a p ita ł ludzki sk łada się z części k a p ita łu ludzkiego H Y(t) przeznaczonego d o produkcji d ó b r kapitałow ych i z pozostałej części kapitału ludzkiego I I A(t) w ykorzystyw anej w b ad an iach n auk ow o-technicznych. Stąd:
H ( t ) = H A (t) + H Y(t) (36)
W m odelu P. R o m era nie określa się kształto w an ia k ap itału ludzkiego w czasie, zakład ając, że jego zasób jest stały w czasie. P oziom technologii w yznaczany jest p o przez w prow adzanie now ych p ro jek tów , k tó re następnie są w ykorzystyw ane d o produkcji d ó b r kapitałow ych. N a poziom wiedzy sk ład a się zarów no zasób k ap itału ludzkiego H (i), ja k i technologia A ( t ) .
W m odelu tym R o m er rozw aża trzy sektory:
Pierwszy, to sektor b ad ań naukow o-technicznych, w k tórym w ykorzystuje się część k ap itału ludzkiego H A(t) i istniejącą technologię A (i). Celem tego sek to ra jest kreow anie nowej wiedzy. M iarą k ap itału ludzkiego jest poziom w ykształcenia i dośw iadczenia zaw odow ego. P rzyrost technologii dan y jest wzorem :
k ( t ) = r,HA( t ) A ( t ) (37)
gdzie ц > 0 je st w spółczynnikiem efektyw ności n ak ład ó w k ap itału ludzkiego w tym sektorze. D rugi sektor, to sek to r d ó b r p ośrednich, k tó ry używa w zorów z sek to ra b ad a ń do w ytw arzania d ó b r k ap itałow ych . W tym celu w ykorzystuje zasób k ap itału rzeczowego.
P rzy ro st k ap itału rzeczowego K ( t ) jest różn icą pom iędzy p rod uk tem
Y ( t ) i k o n su m p cją C( t ). D la uproszczenia za k ła d a się b ra k deprecjacji
k a p ita łu rzeczow ego, czyli:
K ( t ) = Y ( t ) — C (t) (38)
L iczba d ó b r kapitałow ych w zrasta w raz z tw orzeniem now ych projektów w sektorze b a d a ń naukow o-technicznych. Ł ączny zasób k a p ita łu rzeczowego jest sum ą różnych d ó b r kapitałow ych x ( i) dla i e ( 0 , A ( t ) ) :
A ( I)
K ( t ) = J x ( i ) d t (39)
t - 0
O znaczając przez x — x (i) dla i e ( 0, A ( t ) ) przeciętne d o b ro kapitałow e, łączny zasób k a p ita łu rzeczow ego m o żn a zapisać następująco:
-4(0 -4(0
K ( t ) = § x ( i ) d t = x = J" dt = A x (40)
(=0 (=0
T rzeci sektor zajm uje się p ro d u k c ją d ó b r finalnych z w ykorzystaniem z aso b u pracy L(t), części k ap itału ludzkiego H Y(t) o ra z k ap itału rzeczowego
K ( t ) . F u n k cję p rodukcji w tym sektorze m o żn a zapisać następująco: -4(0
7 ( 0 = H Y(t)ßL ( t y J a, ß, 1 - a - / ? e ( 0 , 1) (41) t - 0
W spółczynniki ß, a, 1 — a — ß są elastycznościam i pro d u k cji względem
-4(0
o dp ow ied nio H Y(t), L ( t ) , | x ( i ) l ~ a~ßdt. Z a k ła d a się też, że zasó b pracy I-O
jest stały w czasie. Po podstaw ieniu ró w n a n ia (40) d o ró w n a n ia (41) funkcja p ro d u k cji przyjm uje postać:
Y ( t ) = H Y(t)ßL ( t y A a+ß K ' - ' - ß (42) D o d a tk o w o , w sektorze p rodukcji każdy z p ro d u c en tó w ta k w ybiera d o b ra k ap itało w e x (i) aby, przy danej cenie za p ro d u k t, m aksym alizow ać zyski.
W m odelu R o m era, tak ja k w m odelu L ucasa, za k ła d a się, że wszystkie gospodarstw a dom ow e dążą do m aksym alizacji sum y zdyskontow anej użytecz ności konsum pcji zadanej wzorem:
J e ~ pt — dt p > 0 , ff6 (0 , 1) (43)
i-o 1 a
P roblem w yznaczenia optym alnej ścieżki w zrostu w m o delu P. R om era polega n a m aksym alizacji ró w n an ia (43) przy ograniczeniach opisanych rów naniam i:
K = A a+ßH $ L ‘K ' - ' , - ß - C
.A = t]HaA-4 (44)
\ K 0 = K ( 0) A 0 = A ( 0)
gdzie K 0, FI0> 0 w yznaczają wyjściowe zasoby o dpo w ied nio k ap itału rze czow ego i ludzkiego.
W y zn aczen ie tu o p ty m aln ej ścieżki w g o sp o d a rc e o p ie ra się n a z a sto so w a n iu z a sa d y m a k sim u m P o n tr ia g in a d o m a k sy m a liz a c ji całki (43) przy ograniczeniach zadanych układem ró w n a ń (44). P o n a d to
za-k ła d a się, że g o s p o d a rza-k a c h a ra za-k te ry z u je się stały m i sto p a m i w z ro stu
č ( t )
Ý
(t)k (t)
Á (t)
9
Č ( £ )
У ( г )
K(t ) A(t ) 11 Л )-W ów czas m o ż n a p o k az ać, że o p ty m a ln a sto p a w z ro stu g o sp o d ark i w m o d elu P. R o m era wynosi:
.
flH(a + ß ) - p ß 9 = а + ст/? (45) oraz:rjH^ + ßy-ßp
t]( а + oß)Z om aw ianego m odelu w ynika, że sto p a w zrostu g o sp o d ark i jest funkcją ro sn ą cą zasob u k ap itału ludzkiego i w spółczynnika efektyw ności n akładów k ap itału ludzkiego d o sek to ra badań. Zależy o n a rów nież od preferencji k onsum pcji g o sp o d arstw dom ow ych. D ług o o k reso w a sto p a w zrostu gos p odarczego jest tym wyższa, im niższa jest sto p a a. O znacza to , że jeśli g o sp o d arstw a dom ow e będą preferow ały konsu m pcję przyszłą n ad bieżącą, to sto p a w zrostu gospodarki będzie wyższa.
4. P O D S U M O W A N IE I W N IOSKI
• W przedstaw ionym o pracow aniu przeanalizow an e zostały dw ie klasy m odeli w zrostu gospodarczego: m odele neoklasyczne (n a p rzykładach m odeli Solow a i M ankiw a-R om era-W eila) o raz m odele endogeniczne (reprezentatyw nym i m odelam i są m odele L ucasa i R om era).
• P ow stanie m odeli neoklasycznych, a następnie endogenicznych, stanow i isto tn y w kład d o teorii ekonom ii, w której z k ró tk o o k re so w y ch analiz fluktuacji gospod arczych przenosi się p u n k t ciężkości n a długo ok reso w ą teorię w zrostu gospodarczego.
• M od ele neoklasyczne, dzięki założeniom stałych efektów skali i ich m alejącej krańcow ej produktyw ności, pokazały, że g o sp o d a rk a zm ierza do rów nom iern ego w zrostu, tzn. d o sytuacji, w której w ystępują stałe stopy w zrostu czynników p rodukcji, niezależnie od w aru n k ó w po czątkow ych tej g o spodarki.
• W m od elu Solow a w zrost k ap itału i p ro d u k tu w przeliczeniu na pracujących są zdeterm inow ane egzogeniczną sto p ą p ostęp u technicznego.
• W m odelu M R W gospodarka również dąży do ścieżki zrów now ażonego w zrostu, osiągając stopę w zrostu zależną od egzogcnicznej stopy w zrostu wiedzy.
• W m odelu M R W inwestycje w kapitał ludzki i rzeczowy m og ą przesunąć ścieżkę zró w now ażonego w zrostu gospodarki.
• M odele endogeniczne odchodzą od założenia egzogenicznego charak teru niektórych czynników produkcji oraz zakładają racjonalizow anie gospodarstw dom ow ych poprzez m aksym alizację sum y zdyskontow anej funkcji użyteczności k onsum pcji tych gospodarstw .
• M o dele endogeniczne ro zróżniają dw a głów ne źró d ła w zrostu gos p od arczego - akum ulację k ap itału ludzkiego i ak um u lację wiedzy.
• E ndogeniczny c h a ra k te r niektórych zm iennych p ow oduje odejście od założenia stałych korzyści skali funkcji produkcji ze względu n a w ystępow anie tzw. efektów zew nętrznych.
• M o d ele en d o geniczne w ykazały, że dzięki m o d e lo w a n iu istotn ych czynników p ro d u k cji m ożliwy jest trw ały w zrost gospodarczy. S to p a w zrostu zależy nie tylko od stó p w zrostu czynników p ro du kcji, ale przede wszystkim od preferencji g ospodarstw dom ow ych. Z atem długookresow y w zrost gos p odarczy w yznaczają zach ow ania p odm iotó w gospo darczy ch n a szczeblu m ik ro ekonom icznym .
K a ta r z y n a U r a m e k
TH EO R ETIC A L G RO W TH M O D E L S (Summary)
T his paper is given to the issue o f growth theory in selected models: neoclassical growth m odels and m odels o f new growth theory. T he concerning neoclassical growth m odels are: S olow m odel and augmented Solow model (called M ankiw-R om er-W eil m odel).
Representative m odels o f new growth theory are Lucas and Rom er m odels. The author gives a detailed description o f these m odels and denotes differences between them. A ccording to a neoclassical view point growth is defined as being exogenous. Theorefore neoclassical growth m odels are able to describe how an econom y grows, but not why. The purpose o f the new growth theory is to fill this gap in the neoclassical approach to growth by taking a step further in understanding developm ental growth. It m eans that the long-run growth rate o f output per worker is determined by variables within the model.
