Prof. dr hah. Oleg Tikhoncnko. W arszawa, dnia 15 w rześnia 2016 r. Profesor zwyczajny.
W ydział M atem atyczno-Przyrodniczy. Szkoła N auk Ścisłych.
U niw ersytet Kardynała Stefana W yszyńskiego w W arszaw ie
Rozpraw a dotyczy zagadnień zw iązanych z m odelow aniem jed n o d n io w y ch systemów kolejkow ych z ograniczoną kolejką oraz dw om a różnymi typam i w ybudzania serwera. Pierw szy typ (z A -dyscypliną w ybudzania serw era) polega na tym. że serw er rozpoczyna obsługę pakietów w chw ili, kiedy ich liczba w system ie osiąga daną z góry' liczbę A'i trw a w ciągu czasu dalszej zajętości serw era, tj. do tej najbliższej chwili, kiedy system okaże się być w stanie w ol nym od pakietów. Drugi typ (z probabilistycznym w ybudzaniem serw era) polega na tym. że serw er rozpoczyna pracę w m om encie przybycia pakietu do pustego system u oraz obsługa ta kiego pakietu je st poprzedzona losowym czasem rozruchu serw era, dalsze przybyw ające pod czas zajętości serw era pakiety są obsługiw ane w trybie zwykły m, obsługa trwa do chwili, kiedy system nie okaże się ponow nie pusty. W szystkie wyniki analityczne rozpraw y otrzym ano przy założeniu, że strum ień w ejściow y pakietów je st strum ieniem Poissona lub złożonym strumie niem Poissona. tj. strum ieniem Poissona grup pakietów. A utor rozpraw y opracow ał także mo del sym ulacyjny dla analizy podobnych systemów , w których strum ień w ejściow y jest dow ol nym strum ieniem rekurencyjnym .
Cele szczegółow e pracy i jej teza są sform ułow ane we W stępie (s. 17, 18). Wyniki teore tyczne są otrzym ane za pom ocą aparatu m atem atycznego rachunku praw dopodobieństw a, teorii łańcuchów M arkow a, funkcji tw orzących, transform at Laplace‘a i L aplace’a-S tieltjcsa. teorii potencjału błądzenia losow ego itd. M ianow icie w term inach w skazanych transform at oraz funkcji tw orzących przedstaw iono wy niki teoretyczne rozpraw y. Za pom ocą algorytmów nu m erycznych odw racania transform at A utor uzyskuje wartości liczbow e badanych charaktery styk w licznych przykładach podanych w rozpraw ie w postaci tablic i wy kresów .
O trzym ane w rozpraw ie wy niki m ogą być stosowane do analizy procesów zachodzących w sieciach komputerowy ch.
/ za!
R EC EN ZJA
rozprawy doktorskiej: mgr inż. Dariusz Kurzyk
M odele kolejkowe z. opóźnionym wybudzaniem serwera
wykonanej pod kierunkiem: dr hab. inż. Wojciech Kempa
II. Opis struktury rozprawy
Rozpraw a składa się ze spisu oznaczeń, rysunków i tablic, w stępu, czterech rozdziałów, podsum ow ania, bibliografii, załączników i indeksu.
Pierwszy rozdział zaw iera krótki opis historii teorii kolejek. Podano w nim rów nież pod stawowe elem enty składające się na system kolejkow y, notację przyjętą w teorii kolejek, cha rakterystyki w ydajności system ów , ty py metod analizy (analityczne i sy m ulacyjne) itd.
W drugim rozdziale podano teorię system u kolejkow ego ze skończoną kolejką typu MIGI 1. K. N a przykładzie w skazanego system u A utor pokazuje m ożliw ości w ybranego aparatu matematy cznego w sensie analizy jeg o charakterystyk w stanach nieustalonych.
Pokazano, że aparat oparty na transform atach całkowych, funkcji tw orzących oraz teorii potencjału błądzenia losow ego pozw ala na otrzym anie rozkładów liczby obecnych w systemie pakietów' oraz opóźnienia kolejkow ania (w irtualnego czasu oczekiw ania pakietów ; w pracy za łożono. że czas oczekiw ania straconego pakietu je st równy 0). M im o tego. że wyniki teore tyczne przedstaw iono w postaci w skazanych przekształceń (np. rozkład opóźnienia kolejkow a nia przedstaw iono w postaci podw ójnej transform aty Laplace’a), okazuje się. że, za pomocą metod num erycznych ich odw racania, m ożliw e są obliczenia rozkładu praw dopodobieństw a liczby pakietów w system ie i charakterystyk opóźnienia kolejkow ania (praw dopodobieństw tego. że opóźnienie kolejkow ania je st w iększe od danej z góry w ielkości).
Podano przykłady potw ierdzające w skazane m ożliwości w postaci w ykresów i tablicy (dla rozkładu liczby pakietów' w system ie w stanie ustalonym).
N ajbardziej znaczące w yniki rozpraw y przedstaw iono w rozdziałach trzecim i czwartym. W trzecim rozdziale zbadano jednoliniow y sy stem kolejkowy z Y-dyscypliną wybudza- nia serwera. Na początku rozdziału w term inach transform at L ap lace'a-S tieltjesa otrzymano rozkład czasu trw ania okresów ładow ania bufora, tj. czasu, w którego ciągu liczba pakietów w systemie w zrasta od 0 do N przy niepracującym serw erze (jest oczyw iste, że dla strum ienia najprostszego ten rozkład je st rozkładem Erlanga rzędu N).
N astępnie otrzym ano transform atę L aplace'a-S tieltjesa rozkładu okresu zajętości sys temu, który7 rozpoczyna się kiedy w system ie MIGIMK zakum uluje się N < K pakietów. Dla pewnych rozkładów czasu obsługi otrzym any w ynik pozwala na obliczanie dystrybuanty okresu zajętości. W pracy podano w ykresy takich dystrybuant dla różnych w artości N w przy padku. gdy czas obsługi ma rozkład E rlanga drugiego rzędu.
W dalszym ciągu w pracy otrzym ano transform aty L apłace'a w zględem czasu / praw do podobieństw obecności w system ie danej z góry liczby pakietów- w określonej chwili czasu (twierdzenie 3.1.1). Za pom ocą algorytm ów odw racania num erycznego obliczono zależne od czasu i w arunków początkow ych charakterystyki liczby pakietów. Dla różnych przypadków szczególnych otrzym ane w pracy wyniki przedstaw iono w postaci licznych w ykresów. Przed stawiono rów nież w ykresy trójw ym iarow e rozkładów liczby obecnych pakietów w zależności od czasu
P |
X ( t ) - m) .Kolejny wynik teoretyczny dotyczący transform aty L aplace'a w zględem czasu I praw do podobieństw a P { V ( t ) > x \ X ( 0 ) = n}. gdzie V(t ) jest w irtualnym czasem oczekiw ania, a w iel kość A'(0) określa w arunki początkow e, przedstaw iono w tw ierdzeniu 3.1.2. Dla różnych przypadków szczególnych podano w ykresy pokazujące zależność od czasu w skazanego praw dopodobieństw a dla danych w ielkości x.
N astępnie w tym rozdziale A utor bada proces liczący obsłużone pakiety, tj. rozkład liczby H( t ) obsłużonych pakietów do danej chwili czasu t (w przypadku prostego procesu Poissona). O dpow iedni w ynik teoretyczny przedstaw iono w tw ierdzeniu 3.1.3, w którym uzyskano wzór na funkcję tw orzącą transform aty L ap lace'a praw dopodobieństw a P { //( /) = m I.Y(O) = n}. A utor w prow adza tu stosunek średniej liczby obsłużony ch do chwili t pakietów E H( t ) i śred niej liczby przybyw ających do tej chwili pakietów '/j. co pozw ala na oszacow anie wielkości w spółczynnika utraty pakietów LR[t ) = 1 - . O dpowiednie w yniki liczbow e
przedsta-K t
w iono w pracy w postaci w ykresów.
Warto zauw ażyć, że charakterysty ki dotyczące liczby pakietów w system ie i procesu li czącego obsłużone pakiety otrzy mano dla przypadków prostego i złożonego procesów Poissona (tw ierdzenia 3.2.1, 3.2.2 i odpow iednie w ykresy).
W czwartym rozdziale przeanalizow ano system kolejkow y z probabilisty cznym mecha nizm em w ybudzania serwera.
W tw ierdzeniu 4.1.1 otrzym ano w zór na transform atę L ap lace'a zależnego od czasu praw dopodobieństw a obecności w system ie danej liczby pakietów przy ustalonym warunku początkow ym . Na licznych w ykresach podano zależności od czasu charakterystyk liczby pa kietów w system ie analogicznie do tego, ja k było to zrobione w trzecim rozdziale.
W ynik teoretyczny dla opóźnienia kolejkow ania (w irtualnego czasu oczekiw ania) po dano w tw ierdzeniu 4.1.2 w postaci transform aty Laplace’a funkcji P{V(t ) > x j .Y(0) = n). W yniki liczbow e analogiczne do przestaw ionych w rozdziale 3 podano w postaci wykresów i tablicy przy założeniu, że czas rozruchu serw era ma rozkład w ykładniczy.
W tw ierdzeniu 4.1.3 podano w zór na funkcję tw orzącą transform aty L aplace'a praw do podobieństw a P{ H( t ) = m ; ,V(0) = «}. Wyniki liczbow e analogiczne do przedstawionych w trzecim rozdziale podano w postaci wykresów przy założeniu, że czas rozruchu serwera ma rozkład w ykładniczy . W szystkie w yniki uzy skano dla prostych procesów Poissona. Dla złożo nych zbadano charakterystyki liczby obecnych w system ie pakietów.
W podsum ow aniu podano krótki opis otrzym anych w rozpraw ie w yników oraz ocenę ich w artości teoretycznych i praktycznych.
Bibliografia pracy zaw iera 1 80 tytułów. Załącznik rozpraw y zaw iera dwa dodatki.
W dodatku A podano narzędzia m atem atyczne, z których A utor korzysta w rozdziałach 2, 3, 4. Podano tu w skrócie elementy teorii praw dopodobieństw a (przestrzeń probabilistyczna, praw dopodobieństw o łączne i w arunkow e, tw ierdzenie o praw dopodobieństw ie całkowitym, elem enty teorii zm iennych losow ych, w ybrane rozkłady praw dopodobieństw a), elem enty teorii procesów stochastycznych (proces liczący, proces Poissona. złożony proces Poissona. proces M arkow a), elem enty teorii całki R iem anna-Stieltjesa. transform at L aplace'a-S tieltjesa, num e rycznego odw racania transform at L aplace'a. funkcji tw orzących i ich odw racania numerycz nego, potencjału błądzenia losowego.
W dodatku B podano kod źródłow y program u sym ulacyjnego, za którego pomocą m oż liwe je st przeprow adzenie sym ulacji ogólniejszego niż MI GI MK system u, tj. systemu kolejko wego G / G / l / K z odpow iednim i dyscyplinam i w ybudzania serwera.
III. O cen a ogólna ro z p r a w y
Przedstaw iona do recenzji Rozpraw a D oktorska je st kom pletną pracą naukow ą. Badania przeprow adzone w rozdziałach 3. 4 potw ierdzają, iż cel Rozpraw y został zrealizow any. Przed staw ione i opracow ane przez Autora metody m atem atyczne analizy jed n o d n io w y ch system ów kolejkow ych ze skończoną kolejką i wy budzaniem serw era oraz otrzym ane w postaci zwartej relacje dla ich charakterystyk w stanach nieustalonym i ustalonym są znaczącym osiągnięciem teoretycznym , w zbogacającym teorię kolejek.
Otrzym ane w R ozpraw ie rezultaty są rów nież interesujące z punktu w idzenia praktycz nego, poniew aż pozw alaj a na obliczenia num eryczne otrzym anych charakterystyk. Rezultaty Rozprawy m ogą być w ykorzystane do oceny wy dajności oraz zapew nienia jakości różnego ro dzaju usług telekom unikacyjnych.
W iększą część otrzym anych przez Autora wyników przedstaw iono w opublikowanym artykule [148] oraz w złożonych do druku artykułach [145, 146. 159, 160-163], Uważam , że dorobek naukowy A utora je st wystarczający.
Podana w R ozpraw ie bibliografia w ystarczająco charakteryzuje w spółczesny stan odpo w iedniego kierunku teorii kolejek, na którego tle A utor prow adzi sw oje badania.
Stwierdzam, że wartość naukowa przedstawionych w pracy wyników jest wysoka oraz, że praca nie w ym aga uzupełnień, które byłyby istotne merytorycznie dla jej treści.
Strona edytorska pracy nie budzi zastrzeżeń. Szata graficzna pracy je st przejrzysta. Tekst napisano językiem klarow nym i profesjonalnym . M ateriał graficzny (rysunki i tablicy) je st ści śle powiązany z m ateriałem m erytorycznym .
W tym m iejscu chcę zaznaczyć pew ne uwagi krytyczne dotyczące pracy.
1. Pewne nieścisłości m atem atyczne są obecne w rozdziale 1. Na s. 29 A utor określa intensyw ność obsługi jak o liczbę zgłoszeń obsługiw anych w jednostce czasu. Ściśle m ów iąc, intensyw nością obsługi serw era je st średnia liczba zgłoszeń obsługiw anych w jednostce czasu przy warunku, że w skazany serw er cały czas je st zajęty. Podany niżej w zór na obciążenie serw era je st praw dziwy, jeżeli c jest liczbą nie dowolnych, lecz dow olnych identycznych serwerów.
2. Na s. 30 przy opisie procesów narodzin i śm ierci A utor pisze, że takie procesy (mając na m yśli liczbę zgłoszeń obecnych w system ie) opisują m odele kolejkow e typu MIMICIK z dyscypliną FIFO. N atom iast dla dow olnych dyscyplin konserw atyw nych rozkład liczby zgłoszeń w system ie M/ M/ C/ K będzie taki sam.
3. Na s. 38 zam iast „czas obsługi je st zm ienną losową o dystrybuancie F \ A utor pisze: „obsługa zgłoszeń następuje w edług zm iennej losowej o rozkładzie praw dopodobień stw a określonym dystrybuantą F \ Na tej samej stronie we w zorze (2.1.4), a także we
IV. Uwagi szczegółow e
w zorach (2.1.7). (2.1.8) na s. 39, nie określono funkcji f ( s ) . Dla w zorów (2.1.3) - (2.1.8) należałoby dodać, że k = 0.1 ...
4. W tablicy 2.1.1 na s. 41 zam iast P |.\'(o c) = m 12f(0) = 0} lepiej byłoby napisać PDV(cc) = m }. poniew aż stacjonarny rozkład liczby zgłoszeń w system ie nie zależy od w arunków początkow ych.
5. N a s. 150 w dodatku A l. A utor pisze, że K ołm ogorow w roku 1933 sformułował 5 aksjom atów teorii praw dopodobieństw a. Specjalne spraw dzanie tej pracy Kołmogo- rowa pokazało jednak, że napraw dę takich aksjom atów je st 3. K ołm ogorow podaje ich 4, przyjm ując jak o jed en z nich określenie ciała zdarzeń (K ołm ogorow w tej pracy określa praw dopodobieństw o nie na a -ciele, lecz na ciele), które napraw dę aksjom a tem nie jest. W ogóle aksjom atów m oże być 3. jeżeli jednym z nich je st przeliczalna addytyw ność praw dopodobieństw a, lub 4. jeżeli zakłada się addytyw ność skończoną. 6. Przy określeniu funkcji zm iennej losowej na s. 151 funkcja g nie je st funkcją dowolną,
lecz dow olną funkcją mierzalną.
7. M oim zdaniem , nie warto było podawać w Rozprawie aż tylu dodatków. W ystarczy łoby podać w iadom ości o num erycznym odw racaniu transform at i funkcji tworzących oraz teorii potencjału błądzenia losowego. Starania A utora i jeg o chęć ścisłości cza sem prow adzą do przeciw nego wyniku. Na s. 150-151 Autor podaje w zór na praw dopodobieństw o w arunkow e P ( B \ A ) przy założeniu, że P( A) > 0 (w zór (A. 1.2)). N a s. 153 we w zorze (A. 1.14) je st obecne praw dopodobieństw o warunkowe
P { X < x \ Y = y}, gdzie T jest zm ienną losową, która niekiedy m oże być zm ienną lo sow ą absolutnie ciągłą. W ów czas m am y P|K = y} = 0. a więc praw dopodobieństw o w arunkow e w zględem zdarzenia Y - y w tym przypadku nie m oże być zdefiniowane w zorem (A. 1.2). Czyli, skoro w pracy podano pojęcie praw dopodobieństw a warun kow ego, które jest w ykorzystane we wzorze dyskretnym " na praw dopodobieństw o całkow ite, to należałoby podać takie pojęcie i dla w zoru ..ciągłego" na praw dopodo bieństw o całkowite.
8. W opisach w ybranych rozkładów praw dopodobieństw a na s. 154—157 A utor czasem nie określa zakresów w artości ich param etrów.
9. N a s. 152 A utor określa dystrybuantę zmiennej losowej za pom ocą nierów ności ostrej (w zór (A. 1.7) na s. 152). N atom iast, we wzorze na splot dystrybuant F n* (/). który oczyw iście także je st dystrybuantą (w zór (A .5.1)), użyto nierów ności nieostrej. W szędzie w pracy należy trzym ać się identycznych definicji takich samych pojęć m a tem atycznych.
10. Trochę niedbale w pracy podano teorię potencjału błądzenia losowego (s. 168). We w zorze (A .9.2) sum ow anie należy prow adzić w zględem k od 0. a nic od 1. jak podano w R ozpraw ie. W tw ierdzeniu A .9.1 funkcje vprA określono dla k > 1. lecz dalej we
w zorze (A .9.4) dla n - 0 w prawej części je st obecne vj/0 . W e w zorze (A .9.7) zam iast u pow inno być a 0 .
11. M oim zdaniem . listę źródeł w bibliografii lepiej byłoby ułożyć w kolejności alfabe tycznej. N ależało rów nież podać oddzielna listę publikacji A utora ze wskazaniem czasopism , do których w ysłano złożone do druku artykuły.
Pragnę zauw ażyć, że nie mam żadnych uw ag co do materiału podanego w rozdziałach 3, 4 rozprawy zaw ierającego oryginalne rezultaty otrzym ane przez Autora, co prowadzi do nastę pującego wniosku:
Powyższe uwagi czasem mają charakter dyskusyjny i pozostają bez znaczącego wpływu na moją pozytywną merytoryczną ocenę Rozprawy. Podobnie, przytoczone uwagi nie podważają ważnych naukowych wyników pracy. W mojej opinii praca odpowiada wymaganiom stawianym rozprawom doktorskim.
Wyniki rozw ażań przedstaw ione w pracy upow ażniają do stw ierdzenia, że zarów no cel główny pracy, jak i w szystkie cele pośrednie (szczegółow e), zostały osiągnięte. Przedstawiony materiał św iadczy o w niesieniu do badanego obszaru (teoria kolejek i jej zastosow ania przy badaniach ruchu sieciow ego w system ach telekom unikacyjnych) wielu elem entów nowości i o ich pozytyw nym zw eryfikow aniu. A utor dow iódł, iż swobodnie porusza się po zagadnieniach zw iązanych z teorią kolejek i jej zastosow aniam i, krytycznie podchodzi do metod i w yników zaw artych w literaturze naukowej oraz tw órczo je uzupełnia i rozw ija.
N a podstaw ie przytoczonych faktów stwierdzam, że opiniowana Rozprawa Doktorska
„Modele kolejkow e z opóźnionym wybuchaniem serw era” spełnia wym agania Ustawy o ty tule naukowym i stopniach naukowych i wnioskuję o dopuszczenie p. mgr. inż. Dariusza Kurzyka do dalszych etapów przewodu doktorskiego.
V. P O D SU M O W A N IE
Oleg Tikhonenko
„O'
