Plik 10

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka2.html

https://eportal.pwr.edu.pl/course/view.php?id=25241

Miejsce konsultacji: pokój 27 bud. A-1; Terminy podam na stronie internetowej! Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak, prof. uczelni

Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA II

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

 Mechanika newtonowska (nazywana też mechaniką klasyczną) dobrze opisywała rzeczywistość dla prędkości niewielkich w porównaniu z prędkością światła.

 W przypadku ruchu z prędkościami porównywalnymi z prędkością światła, poprawną jest natomiast mechanika relatywistyczna, zwana (?) też szczególną teorią względności.

 Mechanika newtonowska okazała się przybliżeniem mechaniki relatywistycznej - tym lepszym, im mniejsze są prędkości ciał, których ruch jest rozpatrywany.

TEORIA WZGLĘDNOŚCI

 Teoria względności zajmuje się pomiarami zdarzeń: ustalenia gdzie i kiedy one zachodzą; ponadto zajmuje się transformacjami wyników pomiarów tych wielkości między poruszającymi się względem siebie układami odniesienia.

 Szczególna teoria względności dotyczy tylko inercjalnych układów odniesienia.

 Głównymi postulatami teorii względności (stworzonej przez Einsteina) są obserwowalne fakty:

1) Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same.

2) Prędkość światła jest taka sama dla dowolnego obserwatora, również poruszającego się względem źródła, emitującego to światło.

W próżni:

s

m

c



2

,

998



10

/

TEORIA ETERU

 Teorie XIX-wieczne zakładały, że światło rozchodzi się w jakimś hipotetycznym ośrodku, zwanym eterem. W tym przypadku tylko w układzie, który by spoczywał względem eteru, byłaby spełniona równość:

c

v



Dla obserwatora, poruszającego się względem eteru z prędkością , zmierzona prędkość światła byłaby sumą tych prędkości: .

Eter miał być ośrodkiem fizycznym, ale bez masy!

c

v





_

 Ziemia porusza się w swoim obiegu wokół Słońca z prędkością liniową około 30 km/s – a więc muszą być w ciągu roku momenty, gdy poruszałaby się ona względem eteru o tę prędkość w jedną lub drugą stronę -> powinno się zmierzyć prędkość światła różną o 60km/s!

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA

 Próba zmierzenia zmian w prędkości światła, gdy Ziemia porusza się względem eteru:

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA

 Gdy eter porusza się równolegle do kierunku obserwacji (kierunku biegu światła):

 Czas przebiegu impulsu świetlnego “tam i z powrotem” między źródłem światła i zwierciadłem: 1 2 2

1

2

_























c

v

c

D

v

c

D

v

c

D

t

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA

 Gdy eter porusza się prostopadle do kierunku obserwacji (kierunku biegu światła):

 Czas przebiegu impulsu:

2 1 2 2

1

2

'

















c

v

c

D

t

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA

 Różnica czasu dla przebiegu „prostopadłego” i „równoległego”:

Dla: i 3 2

'

c

Dv

t

t





m

D



1

s

t

t



'



3

,

3



10

1

40



 Michelson i Morley: Brak zmian w obrazie interferencyjnym! Wniosek:

Prędkość Ziemi (względem eteru) nie dodała się do prędkości światła!

s

km

v



30

/

DOŚWIADCZENIE MICHELSONA I MORLEYA

 Próby wyjaśnienia wyników doświadczenia Michelsona i Morleya:

- eter przypadkowo porusza się względem układu słonecznego z prędkością równą prędkości Ziemi podczas obiegu Słońca -> doświadczenie powtórzono pół roku później, z podobnym rezultatem;

- Ziemia „pociąga” za sobą lokalny obszar eteru -> gwiazdy musiałyby zmieniać swoje położenia w ciągu roku -> przeczą temu obserwacje astronomiczne;

- zmiana praw elektryczności taka, aby światło było zawsze emitowane z prędkością c względem źródła fal EM -> przeczą temu obserwacje astronomiczne gwiazd podwójnych.

 Wniosek: prędkość światła jest taka sama względem źródła i zwierciadeł interferometru -> jest stała.

TRANSFORMACJE LORENTZA

 Wyobraźmy sobie dwa układy współrzędnych, poruszające się względem siebie z prędkością

v

W mechanice klasycznej byłoby:

są to tak zwane transformacje Galileusza

vt

x

x

'





y

'



y

z

'



z

t

'



t

 Szukamy takiej transformacji współrzędnych, żeby w obu układach współrzędnych wiązka światła miała prędkość c, czyli:

DYLATACJA CZASU

DYLATACJA CZASU

 Dla obserwatora nieruchomego A droga, którą impuls świetlny przebywa w zegarze B, jest dłuższa:

     



c

vT

cT





_T





1

1

c

v







 Dla nieruchomego obserwatora A czas ten jest dłuższy niż czas między „tyknięciami” zegara spoczywającego , nazywanego czasem własnym układu – czasem między zdarzeniami, które obserwator widzi w tym samym punkcie przestrzeni.

DYLATACJA CZASU

 Ta zmiana czasu o czynnik nazywana jest dylatacją czasu. Jest to cecha samego czasu, a nie specjalnej konstrukcji „zegara świetlnego”. Tak więc również wszystkie procesy fizyczne (i chemiczne; i biologiczne!) muszą być spowalniane w ruchu.



 Przykład:

Czas połowicznego rozpadu próbki promieniotwórczej musi podlegać spowolnieniu. (piony o

t



1

,

8



10

s

 Zegar Mössbauera (1960):

Fotony z rozpadu promieniotwórczego izotopu żelaza w krysztale żelaza – dokładności mierzenia czasu rzędu . Przesunięcie czasu ujawnia się jako wzrost liczby tempa zliczania fotonów.

s

16

TRANSFORMACJE LORENTZA

 Otrzymamy ostatecznie transformacje, które spełniają nasze postulaty, w postaci:



x

vt



x

'

















 



x

c

v

t

t

'



₂

1

1

c

v







Hendrik Antoon Lorentz (ur. 18 lipca 1853 w Arnhem, zm. 4 lutego 1928 w Haarlemie) – fizyk holenderski

TRANSFORMACJE LORENTZA

 Podobnie wyglądają transformacje przeciwne:

2 2

1

1

c

v









x

' vt

'



x

















 



'

₂

x

'

c

v

t

t



 W teorii względności czas bywa nazywany czwartym wymiarem – widać, że wielkości x i ct mogą zostać ze sobą „przemieszane”, zależnie od prędkości obserwatora. Matematycznie wielkości te zachowują się w ten sam sposób!

DYLATACJA DŁUGOŚCI

 Wyobraźmy sobie teraz pręt o długości L’, spoczywający w układzie „primowanym”, poruszającym się względem układu XY z prędkością v. Długość tego pręta w układzie XY jest zaś równa L.

1 1 1

'

x

vt

x









'

x

vt

x

















'

x

'

x

x

v

t

t

x















 Pomiar powinien być dokonany w tym samym czasie (

t



t



x

x



L

x

x

L

'



'



'











'

1

'

1

L

c

v

L

L











JEDNOCZESNOŚĆ

 W opisanym eksperymencie skróceniu uległ pręt poruszający się (podobnie dla dylatacji czasu: zmienił się czas trwania zjawiska) – ale przecież ruch ze stałą prędkością nie wyróżnia w żaden sposób żadnego układu jako „bezwzględnego”, a w obu obserwatorzy zauważą skrócenie pręta!

 Przyczyną fizyczną tego, że pręt wydaje się krótszy dla obu obserwatorów jest fakt, że zdarzenia jednoczesne dla jednego obserwatora nie są jednoczesne dla drugiego (w opisanym przykładzie założyliśmy, że położenie obu końców zostało zmierzone równocześnie!).  Jeżeli więc dwa zdarzenia zachodzą w obrębie czasu krótszym niż potrzebuje światło, aby przebiec między nimi, kolejność zajścia obu wydarzeń jest nieokreślona – zależy od prędkości obserwatora! Można sprawić, przez wybór odpowiednio poruszającego się obserwatora, że zdarzenia rzekomo późniejsze będą poprzedzały te „przeszłe”!

DYLATACJA DŁUGOŚCI

'

B

B



B

A

'



A

B

'



B

B

'



A

A

'



B

A

'



A

B

'



'

A

A



'

B

A



'

A

B



INTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY

 Zdefiniujmy interwał czasoprzestrzenny jako:

gdzie:

jest klasyczną odległością między dwoma punktami.

 Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza: 12

S





 



c

t

l

S













 

 



x

y

z

l















'

12

12

S

S







(w mechanice klasycznej: zarówno czas między zdarzeniami jak i odległość przestrzenna są zachowane niezależnie!).

INTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY

 Interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat jest większy od zera:

 Interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat jest mniejszy od zera:



 



0

2 2

12













S

c

t

l

Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to zawsze jedno z nich poprzedza drugie (zachowana jest kolejność ich zachodzenia w czasie), niezależnie od wyboru układu współrzędnych. Dla takiego interwału nie istnieje układ inercjalny, w którym zdarzenia mogłyby zajść w tym samym czasie, ale istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejscu.

   

0













S

c

t

l

nazywamy interwałem typu przestrzennego.

Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to nie istnieje taki układ inercjalny, w którym zdarzenia mogłyby zajść w tym samym miejscu, ale istnieje układ, w którym zdarzenia te zajdą w tym samym czasie.

CZASOPRZESTRZEŃ

 Współrzędne przestrzenne i współrzędna czasowa wszystkich możliwych zdarzeń rozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie odniesienia tworzą czterowymiarową przestrzeń zdarzeń o współrzędnych . . Inaczej nazywamy ją czasoprzestrzenią lub przestrzenią Minkowskiego.



x

,

y

,

z





ct

,

x

,

y

,

z



Hermann Minkowski (ur. 22 czerwca 1864 w Aleksocie (Kowno), zm. 12 stycznia 1909 w Getyndze) – niemiecki matematyk i fizyk pochodzenia polsko-żydowskiego, profesor uniwersytetów w Bonn (od 1893), Królewcu (od 1894), Zurychu (od 1896) i Getyndze (od 1902).

CZASOPRZESTRZEŃ

 Czasoprzestrzeń tę traktuje się jako czterowymiarową przestrzeń „pseudoeuklidesową” – odległość między punktami w tej przestrzeni może być zarówno liczbą rzeczywistą jak, i urojoną!

t x x=ct x=-ct absolutna przyszłość absolutna przeszłość absolutne oddalenie

PARADOKS BLIŹNIĄT

 Zgodnie z obliczoną dylatacją czasu dla obiektów poruszających się z prędkością przyświetlną, zegary i wszystkie procesy fizyczne (życie!) na statku kosmicznym, poruszającym się z prędkością v , spowolnione są 2 razy.

1





c

v





 Można by wyjaśnić ten fakt tym, że obserwator lecący rakietą „widzi” skróconą odległość do przebycia, więc zajmuje mu to mniej czasu, niż wychodziłoby to z obliczeń obserwatora „stacjonarnego”.

 Paradoksalnie jednak obserwator w rakiecie mógłby powiedzieć, ze to Ziemia oddala się od niego z dużą prędkością, więc on zaobserwuje zegary ziemskie chodzące wolniej!

PARADOKS BLIŹNIĄT

 Wyjaśnienie paradoksu leży w fakcie, że zagadnienie nie ma „pełnej symetrii”: poruszający się rakietą kosmonauta zmienia układ odniesienia podczas powrotu na Ziemię!

 Obserwacje weryfikujące „paradoks bliźniąt”: „ogrzany” zegar Mössbauera;

zegar podróżujący na pokładzie samolotu dookoła świata.

 Błędne w powyższym rozumowaniu jest założenie, że układy obu braci są równoważne. Tutaj tylko z jednym z nich można związać układ inercjalny. Gdyby obaj bracia mieli zawsze poruszać się względem siebie ze stałą prędkością, to nigdy, poza momentem wyruszania kosmonauty w podróż, nie spotkaliby się. (Wikipedia!)

PRĘDKOŚĆ RELATYWISTYCZNA

 Dodawanie prędkości według Einsteina:

Transformacje Lorentza:

_x

_'

_

_



_x

_

_vt



_









 



x

c

v

t

t

'



Różniczkując wyrażenia na te współrzędne czasoprzestrzeni:



dx

vdt



dx

'

















 



dx

c

v

dt

dt

'



i dzieląc je przez siebie, otrzymamy:

 

 

'

1

'

'

_u

u

c

v

v

u

dx

c

v

dt

vdt

dx

dt

dx















dt

dx

u



Jest to wzór Einsteina na dodawanie prędkości.  Dla

_u



_c

_u

_'



_c

v

2 2 1 1 c v   

PĘD RELATYWISTYCZNY

 Klasyczna definicja pędu:

_p





_m

_u



Taka definicja pędu, w połączeniu z transformacją Einsteina dla prędkości, nie zapewni nam jednak spełnienia zasady zachowania pędu! (u jest prędkością cząstki).

 Nowa definicja pędu (która zapewni prawdziwość zasady zachowania pędu przy transformacji do dowolnego układu współrzędnych) podana przez Einsteina:

 

u

u

m

p









 

1

1

c

u

u







(uwaga! Podobieństwo oznaczeń, ale TO (u) zależy od prędkości cząstki u, a nie od

prędkości v poruszania się układu współrzędnych!).

2 2 1 1 c v   

PĘD RELATYWISTYCZNY

 Dla tak zdefiniowanego pędu, możemy podać również zasady transformacji przy zmianie układu współrzędnych:

 Wielkości p_x i E/c transformują się podobnie jak para: x i t!

c

E

p

p

'









p

c

E

c

E

'

_

_

_

_

_E



_m



 

_u

_c

 

'

'

m

u

c

E





 Wielkość p_x oznacza składową pędu w kierunku prędkości „transformującej” z jednego układu współrzędnych do drugiego. Einstein utożsamił wielkość E z energią cząstki zakładając, że wielkości pędu i energii powinny się zachowywać względem siebie jak położenie i czas.



x

vt



x

'

















 



x

c

v

t

t

'



c

v





ENERGIA RELATYWISTYCZNA

 Podana definicja pędu w przypadku prędkości dużo mniejszych od prędkości światła przechodzi w definicję klasyczną:



v



c







p



m



 

u

u



mu



 Energia zdefiniowana przez Einsteina też powinna ulec takiej transformacji, a więc:





 

_





































1

c

c

u

m

c

u

m

E

c

v



 Dla małych prędkości możemy jeszcze skorzystać z rozwinięcia w szereg wyrażenia na energię. Otrzymamy wtedy:

2

2

1

mu

mc

c

c

u

m

E





















ENERGIA RELATYWISTYCZNA

 Przypomnijmy wzór na rozwinięcie „nowej” definicji energii:

2

2 2

mu

mc

E





 Drugi człon jest klasyczną energią kinetyczną – energią cząstki swobodnej o prędkości u. Pierwszy człon jest natomiast pewną stałą, którą według praw mechaniki klasycznej można dodać jako dowolną wartość do całkowitej energii ciała (por. pojęcie energii potencjalnej!).

 Według Einsteina ten pierwszy człon: 2 0

mc

E



ma sens energii spoczynkowej ciała – wielkości, której istnieniu zawdzięczamy m.in. bombę atomową...

MASA RELATYWISTYCZNA

 Można sformułować definicję pędu relatywistycznego cząstki na sposób „klasyczny” jako:

 

u

u

m

p







jeśli wprowadzimy pojęcie masy relatywistycznej:

 

1

m

m u

u c





 Masa relatywistyczna to inaczej energia relatywistyczna podzielona przez stałą c2 _{– masa relatywistyczna układu odosobnionego jest}

zachowana, podczas gdy masa spoczynkowa, zawarta w indywidualnych cząstkach, może się zmieniać (zasada zachowania energii).

RÓWNOWAŻNOŚĆ MASY I ENERGII

 Według przewidywań Einsteina, spoczywająca masa m₀ zawiera olbrzymią ilość energii:

2

0 0

E



m c

Nawet zmniejszenie masy spoczynkowej cząstki (np. w wyniku rozpadu promieniotwórczego – tzw. defekt masy) o niewielką ilość m spowodowałoby

wyzwolenie potężnej energii. Przykład:

Energia 1g węgla:

a) spalonego klasycznie w elektrociepłowni:



kg





cal



J

cal



J

E



10

7000

4

,

18



2

,

9



10



kg



m

s



J

RELATYWISTYCZNA ENERGIA KINETYCZNA

 Definicja energii kinetycznej: część energii całkowitej cząstki, wynikająca z ruchu cząstki (a więc związana z jego prędkością) – definicja prawdziwa zarówno w mechanice klasycznej, jak i relatywistycznej.

 W mechanice relatywistycznej możemy więc obliczyć energię kinetyczną jako różnicę między energią całkowitą a energią spoczynkową:

1 2 2 2 2 0 0

1

1

u

E

E

m c

m c

c



_

_











_



_

















 Dla małych prędkości wykorzystujemy rozwinięcie dwumianu:









n







1

1

lim

co daje nam ostatecznie znane wyrażenie: 2 0

1

2

k

ZWIĄZKI MIĘDZY ENERGIĄ I PĘDEM

 Korzystając z wprowadzonych definicji relatywistycznego pędu i energii (dla przypomnienia): 1 2 2 0

1

u

p

m

u

c







_



_





1

u

E

m

c

c







_



_





możemy znaleźć związki między pędem i energią w ujęciu relatywistycznym: a) dzieląc stronami: 2

c

E

u

p







b) rugując z obu równań prędkość cząstki u: 2 2 2 2 4

0

E



p c



m c

 Taka postać równań na pęd i energię implikuje jeszcze jeden ważny fakt, podstawowy dla mechaniki relatywistycznej: żadna cząstka materialna (m>0) nie może osiągnąć prędkości światła, gdyż wtedy jej pęd i energia wzrosłyby do nieskończoności.

CZĄSTKI O ZEROWEJ MASIE SPOCZYNKOWEJ

 Istnieją również cząstki, które nie mają masy spoczynkowej! Należą do nich np. fotony – kwanty promieniowania elektromagnetycznego. Teoria korpuskularna światła każe je traktować jak cząstki ze względu na to, że mają one pęd i energię, choć nie mają masy – właśnie masy spoczynkowej!  Korzystając ze związku:

i podstawiając m₀=0 otrzymamy:

c

E

p



czyli związek między pędem i energią takiej „bezmasowej” cząstki, analogiczny do postulowanego przez de Broglie’a!.

 Korzystając z kolei ze związku: 2

c

E

u

p







stwierdzimy, że prędkość cząstki o masie spoczynkowej równej 0 musi wynosić c!

2 2 2 2 4

0

SIŁA RELATYWISTYCZNA

 Wygodnie jest również w mechanice relatywistycznej zdefiniować siłę tak, żeby III zasada dynamiki Newtona była słuszna dla dwóch oddziaływujących cząstek. Z kolei ze względu na zasadę zachowania pędu, „pozostawimy” definicję siły jako:

dt

p

d

F







Przy takiej definicji jednak wartość i kierunek siły będą zależeć od prędkości poruszającego się obserwatora!

 Efekty, potwierdzające takie podejście, zostały zaobserwowane – w elektrodynamice pokazano, że np. stacjonarne pole elektryczne E jest „widziane” przez poruszającego się obserwatora jako pole magnetyczne o indukcji B równej:

E

c

v

B











Fizycznie pola E i B dla poruszających się obserwatorów przechodzą wzajemnie jedno w drugie, a więc powinno się o nich myśleć jako o jednym polu elektromagnetycznym – w elektrodynamice współczesnej zwykło się nawet traktować pole magnetyczne jako „relatywistyczną manifestację” pola elektrycznego!

OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

 Podany dotąd „przepis” na mechanikę relatywistyczną nazywamy szczególną teorią względności. Została ona całkowicie opracowana przez Einsteina w 1905 r.

 Ogólna teoria względności była opracowana później, poczynając od 1911 r., przez Einsteina. Jest ona nowoczesną, relatywistyczną teorią grawitacji.

 Podstawą tej teorii jest zasada równoważności (masa grawitacyjna jest równoważna masie bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadczalnie odróżnić jednej od drugiej).

 Jednym z wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obecność masy „odkształca” otaczającą ją przestrzeń i wobec tego poruszające się w takiej przestrzeni ciała mają tory zakrzywiające się ku masie, która to odkształcenie spowodowała, co powoduje powstanie przyspieszeń („normalne” w ruchu krzywoliniowym) i jest obserwowane jako działanie sił grawitacyjnych!

 Inną konsekwencją tej teorii są np.:

powiększenie się długości fali światła emitowanego przez źródło, mające masę – grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni;

TESTY

2. Czas życia nietrwałej cząstki elementarnej:

A. jest najkrótszy z punktu widzenia obserwatora znajdującego się w układzie względem którego cząstka się nie porusza

B. jest najdłuższy w układzie inercjalnym względem którego cząstka się nie porusza

C. jest jednakowy we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

D. jest najkrótszy z punktu widzenia obserwatora znajdującego się w układzie nieruchomym, względem którego cząstka porusza się ze stałą prędkością 0 < v < c

1. Jeden z postulatów STW mówi, że

A. prędkość światła jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

B. prędkość światła jest taka sama we wszystkich nieinercjalnych układach odniesienia

C. prędkość światła zależy od prędkości obserwatora, który ją mierzy D. prędkość światła zależy od prędkości źródła światła

TESTY

3. W tym samym miejscu korony słonecznej w odstępie 12s nastąpiły dwa wybuchy. Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca zarejestrowała te dwa zdarzenia w odstępie 13s. Rakieta porusza się z szybkością:

A. v=(5/13)c B. v=(3/5)c C. v=(13/5)c D. v=(3/13)c

4. Długość ciała mierzona w układzie w którym ono spoczywa: A. nie zależy od tego, czy układ się porusza

B. zależy od tego, czy układ się porusza C. jest największa gdy prędkość układu D. dąży do zera, gdy prędkość dąży c

TESTY

5. Mion (mezon μ) utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odległość 5km z prędkością v=0.95c. Grubość atmosfery przebyta przez mion, zmierzona w jego własnym układzie odniesienia, wynosi: A. 705 m B. 5 km C. 150 m D. 70,5 m

6. Zjonizowany atom wyleciawszy z akceleratora z prędkością v=0.8c wyemitował foton w kierunku swojego ruchu. Prędkość fotonu względem akceleratora wynosi:

TESTY

7. II zasada dynamiki Newtona, którą można zastosować, gdy cząstka o masie spoczynkowej i masie relatywistycznej m ma prędkość bliską prędkości światła, ma postać:

A. B. C. D.

8. Wykres zależności masy relatywistycznej od prędkości poruszającego się ciała przedstawia poprawnie:

A. krzywa a B. krzywa b C. krzywa c D. krzywa d

TESTY

9. Przy pewnej prędkości v masa ciała jest równa trzykrotnej wartości jego masy spoczynkowej. Praca jaką wykonano rozpędzając, do tej prędkości, to ciało wynosi:

A. B. C. D.

10. Energia kinetyczna cząstki poruszającej się z prędkością v=0,6c stanowi następującą część energii całkowitej: