Wykad 11

(1)

MECHANIKA 2

Wykład Nr 11

Praca, moc, energia

(2)

PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ

Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn tej siły przez długość przesunięcia

(1)

m

s

m

kg

Nm

J

=

⋅

₂ Jednostka Rys. 1

(3)

WNIOSEK: Pracę wykonuje tylko składowa siły stycznej do toru F_t. Praca składowej normalnej do toru F_n jest równa zeru.

(2)

PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ

WNIOSEK:

Praca jest skalarem, może przyjmować

wartości dodatnie, ujemne i równe zeru.

(4)

PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ

Pracą elementarną siły zmiennej na przesunięciu nazywamy iloczyn skalarny siły

_F

ρ

przez to przesunięcie elementarne.

s

ρ

d

Ponieważ to (3) (4) (5) Definicja pracy elementarnej:

Podstawiając do wzoru (3): oraz otrzymamy po wymnożeniu i podstawieniu do (5) :

Z k Y j X i Fρ= ρ + ρ + ρ dsρ= iρdx + ρjdy + kρdz (6)

(5)

Pracę całkowitą od położenia 1 do położenia 2 na torze otrzymamy,

całkując wyrażenie przedstawiające pracę elementarną.

PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ

Praca siły na pewnym przesunięciu jest równa sumie

prac sił składowych na odpowiednich przemieszczeniach

składowych.

(6)

Gdy siła działa na punkt poruszający się po torze kołowym (np. siła naciągu pasa przekładni pasowej), otrzymamy

F

ρ

Rys. 2

(8)

PRACA MECHANICZNA PO OKR

Ę

GU

Wyrażenie F_tr określa moment siły

względem środka O (np. środka tarczy). Nazywamy go momentem obrotowym

F

ρ

(7)

Wzór na pracę elementarną przybiera postać:

(10)

PRACA MECHANICZNA PO OKR

Ę

GU

Pracę całkowitą na drodze kątowej od

ϕ

1 do

ϕ

₂ określa całka

(8)

jeśli

∫

=

koń pocz x x s

Fdx

W

( )

2 2 2

2

1

2

1

2

1

koń pocz x x x x x x s

kx

xdx

k

dx

kx

W

x

k

F

koń pocz koń pocz koń pocz

−

=

−

=

−

=

−

=

⋅

−

=

∫

0 =

pocz

x

2

1 kx

W

_s

=

−

(9)

PRACA WYKONANA PRZEZ SI

ŁĘ

ZEWN

Ę

TRZN

Ą

JE

JEŚŚLI KLOCEK PRZYMOCOWANY DO SPRLI KLOCEK PRZYMOCOWANY DO SPRĘŻĘŻYNY JEST W YNY JEST W SPOCZYNKU NA POCZ

SPOCZYNKU NA POCZĄĄTKU I NA KOTKU I NA KOŃŃCU PRZEMIESZCZENIA, CU PRZEMIESZCZENIA, TO PRACA WYKONANA NAD KLOCKIEM PODCZAS JEGO

TO PRACA WYKONANA NAD KLOCKIEM PODCZAS JEGO

RUCHU PRZEZ SI

RUCHU PRZEZ SIŁĘŁĘ ZEWNZEWNĘĘTRZNTRZNĄĄ JEST PRZECIWNA DO JEST PRZECIWNA DO PRACY, WYKONANEJ NAD NIM PRZEZ SI

PRACY, WYKONANEJ NAD NIM PRZEZ SIŁĘŁĘ SPRSPRĘŻĘŻYSTOYSTOŚŚCI.CI.

s zewn

W

=

−

2

1 kx

W

_zewn

=

_W

=

∆

_E

2

1 kx

E

_s

=

(10)

PRACA MECHANICZNA siły spr

ęż

ysto

ś

ci

Siła sprężystości jest wielkością zmienną proporcjonalną do wydłużenia sprężyny. Przyjmując oś sprężyny za oś x napiszemy

F

ρ

gdzie c – stała sprężyny.

(12)

Praca elementarna siły sprężystości jest równa

Składowe siły sprężystości

(11)

Po podstawieniu

(14a)

PRACA MECHANICZNA siły spr

ęż

ysto

ś

ci

Praca całkowita siły sprężystości na drodze całkowitego wydłużenia sprężyny będzie równa

Uwzględniając, że

cL

=

F

otrzymamy ostatecznie

(14b)

(12)

PRACA MECHANICZNA siły ci

ęż

ko

ś

ci

x y z z₁ G=mg z₂

(13)

Praca elementarna

Składowe siły ciężkości

Praca całkowita

Zatem praca elementarna

Gdy z

₁

>z

₂

to A > 0, gdy z

₁

< z

₂

to A < 0.

PRACA MECHANICZNA siły ci

ęż

ko

ś

ci

(14)

MOC CHWILOWA

Pracę odniesioną do jednostki czasu nazywamy mocą.

(17)

wyrażenie na moc chwilową przedstawimy w następującej postaci:

lub (18)

(15)

MOC W RUCHU OBROTOWYM

W ruchu obrotowym

Ponieważ

W związku z tym

(16)

Po podstawieniu do (20) wyrazimy moc w postaci:

MOC I SPRAWNO

ŚĆ

Gdy prędkość w ruchu obrotowym zadana jest za pomocą prędkości obrotowej n, obr/min – wówczas prędkość kątową ω obliczamy z ze wzoru:

(21)

Jednostką podstawową mocy mocy jest W = J/s = Nm/s Jednostki techniczne to: kW i MW

(17)

SPRAWNO

ŚĆ

Sprawnością mechaniczną

maszyny lub silnika nazywamy stosunek pracy (lub mocy) użytecznej do pracy (lub mocy) włożonej.

(18)

ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ

Po wyrażeniu siły F

_t

w postaci:

ds/dt = v

Prawa strona tego równania jest różniczką zupełną funkcji

zwanej

energią kinetyczną

poruszającego się punktu materialnego.

2 /

2

mv

E

=

(19)

ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ

Zatem

Po całkowaniu otrzymujemy

(24)

Energia kinetyczna poruszającego się punktu materialnego rośnie lub maleje o wielkość pracy wykonanej przez siły działające na ten punkt materialny.

(20)

POLE SIŁ

Określić pole sił, to znaczy podać wektor-funkcję położenia

(25)

(21)

Pole magnetyczne Ziemi

Pole magnetyczne magnesu trwałego

(22)

Pola sił i ruchy

(23)

Linię charakteryzującą się tym, że w każdym jej punkcie wektor pola jest styczny do niej, nazywamy linią pola sił.

(26)

Jeżeli linie pola sił są prostymi równoległymi,

pole nazywamy jednorodnym.

LINIE POLA SIŁ

(24)

b)

wektor siły pola

,

.

PRACA W POLU SIŁ

Pracę całkowitą wykonaną przez siły pola określa całka

(

x

,

y

,

z

)

F

ρ

=

ρ

Aby obliczyć pracę całkowitą, należy ustalić:

a)

współrzędne punktu początkowego i końcowego (1 i 2),

c)

równanie toru, wzdłuż którego pole wykonuje pracę.

(27)

(25)

c) po osiach wsp. , . b) po okręgu ,

Obliczyć pracę siły od położenia I (0, 1) do II (1, 0)

_F

ρ

=

_y

2

ρ

_i

−

_x

2

ρ

_j

gdy praca jest wykonywana:

a) po linii prostej _y = ₁− _x , 1 2 2 + = y x 0 = x y = 0 Rys. 3 Jednostki: [F] – N, [x, y] – m

PRZYKŁAD 1

(26)

Dla przykładu a) X = y2_{, Y = -x}2_{, równanie (27) przybiera postać:}

dx dy = −

Po scałkowaniu w granicach x(0,1) otrzymamy:

Ponieważ

Lub

y

=

1 −

x

(27)

Dla przykładu b) praca po okręgu x

2

+ y

2

= 1, X = y

2

, Y= -x

2

Po scałkowaniu:

(28)

Dla przykładu c) praca po osiach współrzędnych:

Takie pola sił, w których praca zależy od kształtu toru,

nazywamy polami niepotencjalnymi lub wirowymi.

Równanie osi x ma postać y = 0

Równanie osi y ma postać x = 0

Zatem

(29)

Niech w poprzednim przykładzie siła pola będzie określona równaniem

gdzie a i b – stałe,

Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie określona wzorem

- nazywamy funkcją pola sił.

Φ

Składowe siły

(30)

FUNKCJA POLA SIŁ

Funkcją pola sił nazywamy funkcję położenia ,

której różniczka zupełna jest równa pracy elementarnej sił pola.

(

x

,

y

,

z

)

Φ

W polu potencjalnym praca nie zależy od kształtu toru, a jedynie od położenia początkowego i końcowego siły pola - równa jest wartości funkcji pola w położeniu końcowym i początkowym.

gdyż

W omawianym przykładzie funkcja ta miała postać :

(31)

Aby ta różniczka zupełna była równa pracy elementarnej

muszą być spełnione zależności

FUNKCJA POLA SIŁ

Wektor pola sił możemy zapisać w postaci:

(32)

Miejsce geometryczne punktów, dla których

nazywamy

powierzchnią ekwipotencjalną.

POTENCJAŁ POLA SIŁ

Potencjałem pola sił

nazywamy skalarną

funkcję położenia

, której pochodne cząstkowe

względem odpowiednich kierunków są równe składowym

siły pola w tych kierunkach ze znakiem ujemnym.

Gradient tej funkcji jest równy sile pola ze znakiem (-).

(

x

y

z

)

U

,

(

x

y

z

)

const

(33)

PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ

Praca elementarna

W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem

ujemnym.

Praca całkowita

W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.

(34)

Potencjał ma postać

PRACA W POLU SIŁ CI

ĘŻ

KO

Ś

CI

Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie równa

Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi

(35)

Z zasady pracy i energii kinetycznej oraz pracy i energii potencjalnej wynika że:

Pracę

nazywamy energią potencjalną.

Jest

to

praca,

jaką

wykona

pole

sił

ciężkości

przy

przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi.

mgh

U

=

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

dU

A

=

−

δ

A

=

dE

dU

dE

=

−

czyli

(36)

Całkując to równanie otrzymujemy

W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i

potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą.

W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru

(37)

PRZYKŁAD 3

Ciało o masie m, zawieszone na linie przerzuconej przez

krążek, zaczyna poruszać się w górę równi pochyłej o kącie

nachylenia α (rysunek poniżej). Obliczyć pracę sił i

momen-tu po przebyciu przez to ciało drogi s, jeśli dane są

współczynnik tarcia

µ

ciała o równię, promień krążka r i

moment M działający na krążek (pominąć tarcie cięgna o

krążek).

Dane:

m, s,

α

, M,

(38)

Rozwi

ą

zanie

Całkowita praca jest równa sumie prac:

momentu o wartości M;

wypadkowej sił: ciężkości G oraz nacisku N;

siły tarcia T.

Praca momentu M:

_A

_M

ϕ

M

=

gdzie φ – kąt, o jaki obrócił się krążek w czasie, gdy ciało

przebyło drogę s

Mamy:

r

s

=

ϕ

Zatem:

=

M

A

(39)

Praca sił G oraz N:

bo

F

_GN

=

G

ρ

N

ρ

GN

F

ρ

α

Praca siły tarcia T:

Siła tarcia:

(40)

(41)

PRZYKŁAD 4

Znaleźć, jaką moc uzyskuje silnik samochodu o masie 1 Mg

po 10 sekundach, jeśli samochód rusza ze stałym

przys-pieszeniem a = 1 m/s

2

:

(1)

po drodze poziomej;

(2)

pod górę o nachyleniu α=30°;

(3)

z góry o takim samym nachyleniu.

Współczynnik tarcia kół samochodu o drogę wynosi 0.07.

Rozwi

ą

zanie

10s

t

₀

=

(42)

(1)

Rozwi

ą

zanie

G

ρ

N

ρ

T

ρ

F

silnika

ρ

(43)

(1)

Rozwi

ą

zanie

(44)

Rozwi

ą

zanie

G

ρ

N

ρ

T

ρ

silnika

F

ρ

(2)

(45)

Rozwi

ą

zanie

G

ρ

N

ρ

T

ρ

silnika

F

ρ

(3)

– moc hamowania

(46)

PRZYKŁAD 5

Wózek o masie m poruszał się po torze płaskim bez tarcia

z prędkością v

₀

. Po przyłożeniu stałej siły hamującej

zatrzymał się, przebywając odcinek s. Obliczyć wartość

siły hamującej oraz czas hamowania.

(47)

Rozwi

ą

zanie

Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej:

gdzie W

_1–2

– praca siły hamowania,

F – siła hamująca.

(48)

Zasada pędu:

(49)

PRZYKŁAD 6

Z wierzchołka równi o kącie nachylenia α i wysokości h

puszczono

ciało

(bez

prędkości

początkowej).

Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi

µ

. Obliczyć

czas ruchu i prędkość końcową na dole równi.

(50)

Rozwi

ą

zanie

Zasada równoważności pracy i energii:

=

−

1

0

(51)

Podstawiając:

(52)

Siła wypadkowa F

_w

jest równa:

(53)

PRZYKŁAD 7

Klocek został ustawiony na wierzchołku równi o kącie

nachylenia α. Gdyby klocek zsunął się w dół bez tarcia,

uzyskałby na dole równi prędkość v

₁

. Z kolei dla ruchu

z tarciem prędkość wynosi ½v

₁

. Oblicz współczynnik

tarcia

µ

klocka o równię.

(54)

Bez tarcia:

(55)

Bez tarcia:

(56)