Mathiness in the Theory of Economic Growth

Gospodarka

narodowa

Niewłaściwe wykorzystanie matematyki

w  teorii wzrostu gospodarczego

Politykanieprowadzidoszerokopodzielanegokonsensusu.Musionapo-zwalaćna podjęciedecyzji,niezależnieodtego,czykonsensusprzeważa,czy teżnie.W efekcieinstytucjepolitycznestwarzająswoimuczestnikomzachęty dowyolbrzymianiaróżniczdańpomiędzykonkurującymistronnictwami. Ekspresyjnei wieloznacznesłowasłużązaśpartyjnyminteresomlepiejniż analitycznei precyzyjnesformułowania. Naukajestprocesem,któryprowadzidoszerokopodzielanegokonsen- susu.Jestprawdopodobniejedynymspołecznymprocesemo takiejwłaści-wości.Konsensustworzysięwokółprawdziwychtwierdzeńteoretycznych i empirycznych.Ścisłepołączeniapomiędzywyrazamijęzykanaturalnego a symbolamiformalnegojęzykamatematykizachęcajądoużywaniaw nauce analitycznychi precyzyjnychsłów. Przezostatniedwiedekady,teoriawzrostugospodarczegoniedokonała naukowegopostępuzbliżającegojądokonsensusu.Podstawowymwyzwaniem pozostajeproblemmodelowaniaefektówskali,pojawiającychsięw wyniku nierywalizacyjnegocharakteruidei.Telefoniakomórkowastanowiuwspół-cześnieniefabrykiszpilek,copokazuje,żeefektyskalisą zbytistotne,aby mogłyzostaćpominięte.Abyuwzględnićte efekty,wieluteoretykówwzrostu gospodarczegowłączyłodoswoichprackonkurencjęmonopolistyczną,ale * _{UniwersytetNowojorski,SternSchoolofBusiness;e-mail:promer@stern.nyu.edu}

1 _{Oryginalnytytuł:Mathiness in the Theory of Economic Growth.Artykułukazałsięw “American}

EconomicReview:Papers&Proceedings”2015,vol. 105(5),s. 89–93.Podadresemhttp://dx.doi. org/10.1257/aer.p20151066znajdująsiędodatkowemateriałyorazoświadczenieo prawachau-torskich.Załącznikz materiałempomocniczymjestdostępnyna stronieinternetowejautora, paulromer.net,orazna stronieinternetowejtegoartykułu.WsparciepraczapewniłaFundacja Rockefellera.

wpływowagrupatradycjonalistówwciążutrzymujewsparciedlamodelowa-niapodmiotówgospodarujących,jakobiorcówcenw warunkachrosnących zewnętrznychkorzyściskali.Pytanie,którenależytu postawićbrzmiwięc: dlaczegometodynaukowezawiodłyi niedoprowadziłydorozwiązaniasporu pomiędzytymidwiemagrupami? Ekonomiścizazwyczajtrzymająsięnauki.RoberSolow[1956]zajmował sięnauką,kiedyrozwijałswojąmatematycznąteorięwzrostugospodarczego. Mogąjednakzostaćwciągnięciw rodzajpolitykio zabarwieniuakademickim (academic politics).JoanRobinson[1956]zajmowałasiętakimakademickim politykowaniem,kiedyrozpoczynałaswojąkampanięprzeciwkokapitałowi i łącznejfunkcjiprodukcji. Tak,jakkażdejinnejkategoriipolitycznej,polityceo zabarwieniuakade-mickimnajlepiejsłużąsłowaekspresyjnei wieloznaczne.Jeślijednaktoczona debatastajesięw oczywistysposóbupolityczniona,ekonomiścizaintereso-waninaukązwyczajnieniebędąna niązwracaliuwagi.Styl,którynazywam mathiness2_{,pozwalaakademickimpolitykomna strojeniesięw piórkanauki.} W sposóbzbliżonydoteoriimatematycznej,mathinesswykorzystujemieszankę słówi symboli,alezamiasttworzyćpomiędzynimiścisłezwiązki,pozostawia dośćmiejscana prześlizgiwaniesiępomiędzytezamiformułowanymiw języ-kachnaturalnymi formalnym,a takżepomiędzytwierdzeniamio charakterze teoretycznymi sądamiempirycznymi. MatematycznateoriawzrostuSolowa[1956]pozwoliłana umiejscowienie wyrazu„kapitał”w stworzonychprzezniegomatematycznychrównaniach, a takżew danychrachunkudochodunarodowegoorazbezpośrednioobser- wowalnychobiektach,takichjakmaszynyi budowle.Ścisłepołączeniepo-międzytymsłowema równaniaminadałomuprecyzyjnegoznaczeniaoraz ułatwiłoutrzymanierówniesilnegozwiązkupomiędzysądamiteoretycznymi i empirycznymi.MatematycznateoriapłacGary’egoBackera[1962]wyposa-żyłasłowa„kapitałludzki”w tensamstopieńprecyzjii ustaliłate samedwa bliskiepołączenia:pomiędzysłowamia matematykąorazpomiędzyteorią a empirią.Równieżw tymprzypadku,odpowiadającyjejmateriałempiryczny sięgałoddanychzagregowanych,poprzezoficjalnedanemikroekonomiczne, ażdobezpośredniejobserwacji. W przeciwieństwiedotychprzykładów,McGrattani Prescott[2010]przy- znajązaproponowanemuprzezsiebienowemuczynnikowiprodukcjimiano„lo-kalizacji”,leczmathiness,któreprezentują,niedostarczamikroekonomicznych 2 Terminmathiness,jakowprowadzonyprzezP.M. Romeraneologizm,nieposiadabezpośred- niegoodpowiednikaw językupolskim.Częstowskazujesię,żew językuangielskimpojęcieto zo-stałozbudowaneprzezanalogiędosłowatruthiness,oznaczającego„prawdę”nieposiadającą poparciaw dowodach,alespójnąz poglądemna światosoby,którająformułuje(por. J. Key, Economist should keep to the facts, not feelings,http://on.ft.com/1OWOMqV– 10.11.2015).Za- proponowanewyrażeniemawięcoddawaćnegatywnycharakterzjawiska„udawanego”,błęd-niepojętegoi niewłaściwielubfragmentarycznierealizowanegowykorzystaniamatematyki w ekonomii,„pseudomatematyzacji”teoriiekonomicznych.NawyraźnąprośbęP.M. Romera, określeniemathinesspozostawionow tekściew jegooryginalnymbrzmieniu– przyp.tłum.

podstawniezbędnychdonadaniatemumianuwłaściwejtreści.Autorzywy- bralibowiemsłowo,któreposiadałojużwcześniejdwaprecyzyjneznacze-nia,przypisanemuprzezmatematyczneteoriezróżnicowaniaproduktuoraz geografiiekonomicznej,przyczymżadnez tychznaczeńnieznajdujezasto-sowaniaw ichmodelui są onecałkowicieodmienneodzaproponowanych przeznichformalnychzależności. Mathinessw ichartykuleniedajerównieżwskazówekdotyczącychzależ-nościpomiędzytwierdzeniamiteoretycznymii empirycznym.„Lokalizacja”, jakowielkość,nieposiadażadnejjednostkipomiaru.Pojęcieto nieodnosisię doniczego,comogłobyzostaćzaobserwowane.W wynikuuderzającego(lecz pouczającego)prześlizgnięciasiępomiędzysądamiteoretycznymii empirycz- nymi,autorzy– bezżadnychwyjaśnień– dochodządowniosku,żepodażlo-kalizacjiw krajujestproporcjonalnadoliczbyjegomieszkańców.Prowadzi to dopytania,na którenieodpowiadająskładającesięna modelrównania. Jeżeliwspółczynnikobciążeniademograficznegoorazwielkośćpopulacji wzrastająw tymsamymczasie,utrzymującliczbęosóbw wiekuprodukcyj- nymi podażpracyna niezmienionychpoziomach,to jakimechanizmpowo-dujewzrostłącznejprodukcji? TekstMcGrattanai Prescotta[2010]stanowijedenz kilkuartykułówna-pisanychprzeztradycjonalistów,w którychwykorzystanomathinessna rzecz promocjimodeliwzrostugospodarczegoopartychna założeniachkonkuren-cjidoskonałej.W naturalnysposóbmożnadojśćdowniosku,żeużycieprzez tychautorów mathinesswyznaczaprzejściez obszarunaukidopolitykio za-barwieniuakademickim,wynikająceprzypuszczalniez tego,żew naukowej debaciestalionina straconejpozycji.Skorotak,to paraliżi polaryzacjateorii wzrostugospodarczegoniesą przejawemproblemówczystonaukowych.Są spodziewanymefektemdziałańo charakterzepolitycznym. Jeślimathinessbyłobywykorzystywaneniezbytczęsto,abyspowolnić procesudochodzeniadonowegokonsensusunaukowego,to spowodowałoby szkodyo ograniczonymzasięgui przejściowymcharakterze.Niestety,problem tzw. rynkububli(market for lemons)podpowiadanam,żewrazzezwiększa-niemsięilościprac,którejezawierają,mathinessmożewyrządzićtrwałe szkody,wynikającez kosztownegowysiłkupotrzebnegodoodróżnienianie-właściwierealizowanejmatematyzacjiodpoprawnychteoriiekonomicznych. Rynekmodelimatematycznychmożeprzetrwaćkilkagniotów(lemon articles)wypełnionychmathiness.Czytelnicyobniżąniecowartośćkażdego kolejnegoartykułuzawierającegosymbolematematyczne,alebędąnadal uznawać,żewartopoświęcaćczas,abyprzebrnąćprzezformalneargumenty, zweryfikowaćichpoprawność,ścisłośćpołączeńpomiędzysymbolamimate-matycznymia słowamiorazpłynącez nichwnioskidlapomiarui obserwacji zmiennych.Jeżelijednakczytelnicyzawiodąsięna mathinesszbytwielerazy i dojdądowniosku,żeta praktykamarnujeichczas,to przestanąbraćna po-ważnietekstyzawierającesymbolematematyczne.W odpowiedzina takie zachowanieodbiorców,autorzytekstówprzestanąwykonywaćtrudnąpracę niezbędnądlazapewnianiapodażyprawdziwejzmatematyzowanejteorii.

Jeśliniktniewkładawysiłkuw odróżnieniemathinessodpoprawnychmodeli matematycznych,to czemuniepójśćna skrótyi niezacząćczerpaćkorzyści z obniżeniastandarduprac,na którypozwala?Upadnierynekzmatematy-zowanychmodeliekonomicznych.W obiegupostanietylko mathiness.Prze-trwaonow tymotoczeniujakoformarozrywki,która– mimoniskiejwartości – pozostanietaniaw produkcji. Ekonomiścimająwspólnyinteresw wyprowadzeniuproblemumathiness na światłodzienne.Dokonamyszybszegopostępunaukowego,jeślibędziemy mogliw dalszymciągupolegaćna jasnościi precyzji,jakąmatematykawnosi dosłownictwa,którymsięposługujemy.Staniesiętak,gdyprowadzącanalizy danychi obserwacji,będziemywciążwykorzystywaći udoskonalaćabstrak-cyjne,leczwyrazistepojęciawyeksponowanew modelachmatematycznych – pojęciatakie,jakkapitałrzeczowy,kapitałludzkiczynierywalizacyjność.

I.  Efekty skali

Liczbatelefonówkomórkowychw 1970r.wynosiłazero.Dziśjestich ponadsześćmiliardów.Teoriawzrostugospodarczegopowinnapomócnam wytłumaczyćwłaśnietegorodzajuprzemiany.

Przyjmijmy,że qoznaczaindywidualnąkonsumpcjęusługtelefoniiko-mórkowej.Dlawartościparametrua∈[0,1],niechp=D(q)=q–a

będzieod-wrotnościąkrzywejindywidualnegopopytu,dlaktórejwszystkieinnedobra w gospodarcetraktujemyjakopunktodniesieniadowyznaczeniacentych usług( numeraire).NiechNoznaczaliczbęuczestnikówrynku.Zakładającist-nieniewynalazkutelefonukomórkowego,określmyodwrotnośćkrzywejich podażydlałącznejwielkościQ=qNjakowyrażeniep=S(q)=Qb_{dlab∈[0,∞].}

Jeżelicenai liczbatelefonówkomórkowychjestwyznaczaprzezporówna-nieD(q)=m×S(Nq),takabyczynnikm≥1określałnarzutcenowywzględem krańcowegokosztuprodukcji,to ogólnanadwyżkaSwynikającaz wynalazku telefoniikomórkowejprzyjmujepostać: S= C(a,b,m) × Na(1a+b+b)_, gdzie C(a,b,m)jestzawiłymwyrażeniemalgebraicznym.Nadwyżkata zmie-niasięproporcjonalniedowielkości Npodniesionejdopotęgiz przedziału pomiędzy aoraz1.Jeżelib=0,takabykrzywapodażyurządzeńkomórko-wychbyłapozioma,nadwyżkazmieniałabysięliniowow zależnościodN. Gdybyzałożyćdodatkowo,żea=1 2,to wyrażenieodpowiadającenadwyżce upraszczasiędo: S=2m−1 m2 N. Przyjęciepowyższychwartościparametrówsprawia,żepodateklub narzutmonopolistycznypowodującywzrostmz 1do2,doprowadziłbydo

pomnożenia So czynnikwynoszący0,75.WzrostwartościNz okolic102_

mieszkańcówwioskido1010_{ludziw zasięgupołączonegorynkuświatowego}

spowodowałbyzmianęSażo 108_razy.

Takznacząceefektyproszązazwyczajo nasząwzmożonąuwagę.

II. Podział w  teorii wzrostu gospodarczego

Tradycyjnysposóbuwzględnianiaefektówskaliw teoriiwzrostuzostał zaproponowanyprzezMarshalla[1890].Zgodniez tą konwencją,produkcję usługtelefonicznychw każdejz wielufirmwchodzącychw składjednejga-łęziprzemysłumożnazapisaćjakog( X )f (x),gdziex zawierazbiórczynników produkcjikontrolowanychprzezdaneprzedsiębiorstwo,a Xopisujekatalog czynnikówwytwórczychcałejgałęzi.Jednymz oczywistychproblemówzwią-zanychz tympodejściemjestbrakpodstawpozwalającychna wyznaczenie zakresukorzystnychefektówzewnętrznych,określonychwyrażeniemg( X ). Czyichzaistnieniewymagabezpośrednichinterakcjipomiędzyprzedsiębior- stwami?Produkcjiw tymsamymmieście,w tymsamymkraju,czyw jakiej-kolwiekinnejlokalizacji?

Jeżelidokonamypodziałux= (a,z) na nierywalizacyjneczynnikiproduk-cji aorazrywalizacyjneczynnikiprodukcji z,to przyjęcietzw. standardowego argumentureplikacyjnego3_{(standard replication argument)sprawia,żefmusi}

byćfunkcjąjednorodnąpierwszegostopniadlaargumentówobejmujących czynniki  z.TwierdzenieEulerao funkcjijednorodnejwskazujedalej,żewar- tośćprodukcjijestrównawynagrodzeniurywalizacyjnychczynnikówpro-dukcji z.W analizierównowagiogólnejwszystko,coprzypominanadwyżkę producentalubrodzaj„marshallowskejrenty”,jestzatemw rzeczywistości częściąwynagrodzeniapłaconegozarywalizacyjneczynnikiprodukcji. Dalsząkonsekwencjątegorozumowaniajestuznanie,żenieistniejąnie-rywalizacyjneczynnikiprodukcji a,któreprzedsiębiorstwomogłobywykorzy- stywać,wyłączającjednocześnieinnepodmiotyz jegoużytkowania.Produk-cjapojedynczegoprzedsiębiorstwamusiwięcprzyjąćpostaćAf (z),gdzie A jestjednocześnienierywalizacyjnei w pełniniewykluczalne,a tymsamym jestdobrempublicznym. Jasamzacząłemswojepracenadwzrostemgospodarczym,modelując podmiotyjakobiorcówcenw warunkachrosnącychzewnętrznychkorzyści skali.Zmieniłemjednakte ramyanalitycznena konkurencjęmonopolitystyczną, ponieważdopuszczaonamożliwośćuwzględnieniaprzynajmniejczęściowej wykluczalnościidei.Taczęściowawykluczalnośćoferujeznaczniebardziej precyzyjnysposóbmyśleniao efektachzewnętrznych.Nierywalizacyjność, którajestodniejlogicznieniezależna,stanowinieodłącznącechęideioraz źródłoefektówskali,czylicentralnyelementkażdejwiarygodnejpróbywy-jaśnienianiedawnychdoświadczeńz telefoniąkomórkową,a w kategoriach 3 _{Argumenttenzakładawystępowaniestałychprzychodówskaliprodukcji– przyp.tłum.}

bardziejogólnych,zmianzachodzącychw szerokimspektrumhistoriiludz-kości[Jones,Romer,2010]. W modelach,którepozwalająna wprowadzenieczęściowejwykluczalno-ścidóbrnierywalizacyjnych,ideeniemusząbyćtraktowanejakoczystedobra publiczne.W ichramach,przedsiębiorstwaposiadająbodźcedotworzenia nowychidei,takichjaktelefonkomórkowy[Romer,1990],lubdosprzyjania międzynarodowejdyfuzjiistniejącychjużkoncepcji[Romer,1994].Korzysta- jącz takichmodeli,badaczmożepostawićpytanie,dlaczegoniektórez war-tościowychnierywalizacyjnychideirozprzestrzeniająsięznaczniewolniejniż telefoniakomórkowa,a takżedociekać,w jakisposóbpolitykapublicznamoże wpływaćna stopieńupowszechnieniatychidei,zmieniającbodźce,w obliczu którychstojąprzedsiębiorstwa. Podczasgdywieluteoretykówwzrostugospodarczegoposzłow ślady badaczyhandlumiędzynarodowego,studiującmodelemakroekonomiczne z konkurencjąmonopolistyczną,tradycjonaliści,pracującyz wykorzystaniem modeliopartychna mikroekonomicznychpodstawach,zachowaliswojeprzy- wiązaniedoopisywaniapodmiotówgospodarującychjakobiorcówceni trzy-malisięograniczeniazerowejwykluczalnościidei,niezbędnegodlauzyskania marshallowskichrosnącychzewnętrznychkorzyściskali.Prawdopodobnie z powodunierozwiązanejkwestiizasięguefektówzewnętrznych,uwagęzwró-conow stronęmodeli,w którychprzepływideiwymagaosobistejinterakcji podmiotów.Ponieważcharakterbodźcówujmowanychw tychmodelachnie zachęcaanidokreacji,anidorozprzestrzenianiaidei,podmiotywymieniają jew takisamsposób,jakmolekułygazuwymieniająenergię:niedobrowolnie, poprzezprzypadkowespotkania.Biorącpoduwagęostreograniczenianakła- daneprzezformalneramytychmodeli,niejestzaskoczeniem,żetradycjona-listomspodobałysiędodatkowestopnieswobody,wynikającez pozwolenia na wyślizgnięciesięsłówz tejmatematycznejstruktury.

III. Przykłady mathiness

McGrattani Prescott[2010]nakreślilidośćswobodnyzwiązekpomiędzy nieposiadającymznaczeniasłowema uzyskanymiprzezsiebiewynikami matematycznymi.Mathinessw artykuleInnowacja doskonale konkurencyjna (Perfectly Competitive Innovation)[Boldrin,Levine,2008]przyjmujezato wła-ściwościopisanepojęciamiużytymiw tytuletejpracy.Pojęciate,posiadające przecieżpowszechnieuznany,ścisłyzwiązekz aktualnymiwnioskamiz modeli matematycznych,przeciwstawianesą zupełnieodmiennymwynikomobliczeń dostarczonychprzezautorów.W początkowymokresieanalizyprowadzonej zapomocąichmodelu,innowatorjestmonopolistą,wyłącznymrynkowym dostawcąniedawnoopracowanegoproduktu.Autorzyzakładająjednak,że monopolistatenzachowujesiętak,jakbybyłbiorcącen,czymzmuszajągo doprzyjęciazawytwarzaneprzezniegodobrozewnętrznieokreślonejceny.

Opróczwykorzystywaniapojęćnieprzystającychdoprzedstawionego modelumatematycznego,Boldrini Levine[2008]stawiająrównieżsłowne twierdzeniapozbawionezwiązkuz jakimkolwiekrodzajemanalizyformal- nej.Uznająna przykład,żetokrozumowaniabazującyna twierdzeniuEu-leranieznajdujezastosowaniaw ichmodelu,ponieważcenabyłabyrówna krańcowemukosztowiprodukcjitylkow przypadkubrakuograniczeńmożli- wościprodukcyjnych.RobertLucasposługujesiętą samąkategoriąswobod-nych,słownychtwierdzeń,abyodrzucićwszelkąrolęksiążekczyschematów produkcyjnychw modelowaniuidei.„Częśćwiedzymożezostać»zawarta« w książkach,wzorachprzemysłowych,maszynachi innychrodzajachkapi-tałurzeczowego,a mywiemy,w jakisposóbwprowadzićkapitałrzeczowy domodeluwzrostu.Wiemyjednakrównież,żezabiegtenniezapewnia– sam z siebie– motorupodtrzymanegowzrostugospodarczego”[Lucas,2009, s. 6].Dobrzeznanemodelematematycznedowodząfałszywościobupowyż-szychstwierdzeń.Każdydwusektorowymodelwzrostupozwoliwykazać,że przeprowadzonaw styluMarshallaanalizaczęściowejrównowagirynkowej wyprowadziłaBoldrinai Levine’a na manowce.Każdyendogenicznymodel wzrostu,obejmującypowiększającąsięróżnorodnośćdóbrinwestycyjnych lubdrabinędóbrinwestycyjnycho corazwyższejjakości,posłużyzaśjako kontrprzykładdlawniosku,któryLucasuznajezapowszechnieznany. W artykuleLucasai Molla[2014] mathinessobejmujezarównosłowaode-rwaneodrezultatówformalnejanalizy,jaki nieprawidłowowyspecyfikowany modelmatematyczny.Podstawowymodelzawartyw ichartykuleopierasię na założeniuP,któreprzypisujerozkładowipoczątkowegozasobuwiedzy pomiędzypracownikównieograniczonyzakresorazgrubyogonrozkładuPa-reto.Wychodzącz tejprzesłanki,Lucasi Mollpokazują,żedyfuzjawiedzy, będącarezultatemwystępującychz losowączęstotliwościąspotkańpomiędzy pracownikami,generujestopęwzrostugospodarczegog[P](t),którazbiega doγ > 0przytdążącymdonieskończoności.

ZałożeniePjesttrudnedouzasadnienia,ponieważwymagaprzyjęcia,że całośćtechnologiiwytwórczej,jakabędziedostępnakiedykolwiekw przyszłości, jestjużwykorzystywanaw czasiezero.Autorzyproponująwięc„alternatywną interpretację,którąuważamyzaobserwacyjnierównoważną(observationally equivalent):zasóbwiedzyw czasie0jestograniczony,natomiastnowejwiedzy przybywaz dowolnieniskączęstotliwością”[Lucas,Moll,2014,s. 11].W tym alternatywnymujęciu,rozważamyzbiórsystemówgospodarczych,z których wszystkiezaczynająz założeniem  B(odograniczonej(bounded)wiedzypo-czątkowej).Założenieto samoistnieprowadzidowniosku,żestopawzrostu gospodarczegoosiągniezerow momencie,w którymwszyscypoznającałość dostępnejwiedzy.Tymczasemnowestrumieniewiedzy– zmiennalosowa podlegającarozkładowio ogoniePareto– wtłaczanesą z intensywnością odpowiadającąstopieβ,takżegospodarka Bulegaostatecznieprzekształ-ceniuw gospodarkęP.Wrazz obniżaniemstopykreacjinowejwiedzyβdo dowolnieniskichwartości,czas,którymusiupłynąćpomiędzyprzejściem

z  Bdo P,wydłużasięrównieżdowybranegookresu(więcejszczegółóww za-łącznikuonline).

Dladanejwartościβ > 0,niechβ : B → P oznaczakonkretnągospodarkę zewspomnianegowcześniejzbioru.Każdaobserwacjastopywzrostugospo-darczegomusimiećmiejscew skończonymmomencie  T.Jeżeli Tjestdosta-tecznieduże,wartośćg[P](T)zbliżysiędoγ,natomiastg[β : B → P](T)będzie dowolniebliskozeraw zależnościodwybranejstopytworzenianowejwie-dzyβ.Oznaczato,żedowolnyzbiórobserwacjistópwzrostugospodarczego ujawni,iżdlaodpowiednioniskichwartościβ,gospodarka Pjestdostrzegalnie odmiennaodkażdejgospodarkiβ : B → P.W tradycyjnymrozumieniutego wyrażenia,niesą oneobserwacyjnierównoważne. W tymprzypadku,mathinessobejmujewięcejniżtylkoniekonwencjonalną interpretacjęwyrażenia„obserwacyjnierównoważny”.Odpowiadającaza to zjawiskoczęśćanalizyformalnejpolegana przyjęciuokreślonejkolejności obliczaniapodwójnejgranicyfunkcjilim β→∞(limT→∞g[β : B → P](T)),któraprowadzi dootrzymaniaunikatowegowynikuγ,będącegojednocześniegranicznąstopą wzrostuw gospodarce P.Próbaobliczeniatejgranicyw odwrotnymporządku, lim T→∞(limβ→∞g[β : B → P](T)),dajemimowszystkoinnąodpowiedź,0.Lucasi Moll [2014]przeprowadzająwyłączniepierwszyrodzajobliczeńi uzasadniająza jegopomocąswojedomniemanieo obserwacyjnejrównoważnościgospoda-rek  Bi P.Liniarozumowaniabiorącamatematykęna poważnie,doprowa- dziłabyichjednakdospostrzeżenia,żeta podwójnagranicanieistniejei za-leciłaostrożnośćw przydawaniuinterpretacjiwartościgranicyobliczonej w pierwszejlubw drugiejkolejności.

IV. Nowa równowaga na  rynku ekonomii matematycznej

Jakodnotowanow materiałachzałączonychdoartykułu,dowódzapre-zentowanyw pracyLucasa[2009]zawierapomyłkę.Przeprowadzenietego dowoduwymagabowiem,abyilorazα γ byłmniejszyod1.Tymczasemna tej samejstronieartykułupojawiasięwyrażenieokreślająceγ,γ = α γ γ + δ,a zatem

wszystkiez parametrówα,γi δsą dodatniei wyrazα

γ musibyćwiększyod jedności.Każdy,ktoposługujesięmatematykąwie,żewykonanietakiego sprawdzianujestwręczprzygnębiającołatwe.Nieoznaczato odrazuwyko-rzystaniaprzezautoramathiness.Fakt,żeniepodjętosprawdzeniatejformuły na etapieroboczejwersjitekstulubw trakcieprocesuwydawniczego,mówi namjednakcałkiemsporona tematnowegostanurównowagiw ekonomii. Anikoledzy,którzyczytaliwersjęrobocząartykułu,anirecenzenci,aniwy- dawcyczasopismanieprzywiązująuwagidomatematycznejstronypowsta-jącychopracowań.

Poprzeczytaniuroboczejwersjiichartykułu,powiedziałemLucasowi i Mollowio zauważonejprzezemnienieciągłościfunkcjiw granicyi proble- mie,jakistwarzato dlaichtwierdzeniao obserwacyjnejrównoważności.Po-zostawilioniczęśćwywoduobejmującąobliczeniagranicyw ichartykule,nie zwracającuwagina wskazanąnieciągłość,a „JournalofPoliticalEconomy” opublikowałtę wersjępracy.Możeto stanowićodzwierciedleniepodzielanego przezautorówi wydawcówosądu,że– przynajmniejw obszarzeteoriiwzrostu gospodarczego– znajdujemysięjużw nowymstanierównowagi,w którym czytelnicyoczekująmathinessi akceptujątę sytuację. Ostatniprzykładpochodziz pracyPiketty’egoi Zucmana[2014],którzy powołująsięna następującywniosekz modeluwzrostu:w warunkachstałej stopyoszczędności,kiedystopawzrostugospodarczegospadao połowę,to re-lacjamajątku(wealth)dołącznegodochoduulegapodwojeniu.Odnotowują oni,żeformuła,którąsięposługują– W / Y = s / g– bazujena założeniu,iż zarównodochódnarodowy,jaki stopaoszczędności ssą wyrażonew wiel-kościachnetto,z uwzględnieniemamortyzacji.Stwierdzają,żejeślianaliza jestprowadzonaz wykorzystaniemkategoriistopyoszczędnościbruttoi do-chodunarodowegobrutto,to wzórmusizostaćzmodyfikowanydopostaci W / Y= s / (g +δ ),obejmującejstopęamortyzacjiδ. Więcejna temattychobliczeńdowiedziałemsięz tekstuKrusellai Smitha [2014].Jeżelistopawzrostugospodarczegospada,a stopaoszczędnościnetto pozostajestała,to stopaoszczędnościbruttomusiwzrosnąć.Przykładowo, dlaustalonejstopyoszczędnościnettowynoszącej10%orazstopyamortyza-cjirównej3%,spadekstopywzrostugospodarczegoz 3%do1,5%wywołuje wzroststopyoszczędnościbruttoz 18%do25%.Oznaczato,żewyrażenie s / (g+δ )zostajepomnożoneprzezczynnikrówny1,33w bezpośrednimwyniku spadku gorazprzezczynnikrówny1,38związanyz indukowanązmianą s. Trzeciczynnik,wynoszący1,09,jestskutkiemwzrostuilorazułącznegodo-chodubruttododochodunetto,wywołanegospadkiem g.Tetrzyczynniki, którychłącznyiloczynwynosi2,pozwalająna rozłożeniezmianyW / Y obli-czonejw kategoriachnettona równoważneimzmianyw modelu,w którym poszczególnewielkościmierzonesą w ujęciubrutto. Pikettyi Zucman[2014]przedstawiająswojedanei analizęempiryczną z godnąpodziwujasnościąi precyzją.Przyjmującniższystopieńszczegó-łowościteoretycznejstronyichpracy,byćmożerównieżoniodpowiedzieli na oczekiwaniaodbiorcówukształtowanew nowymstanierównowagi:analiza empirycznajestnauką,teoria– rozrywką.Prezentacjamodelumożezostać porównanadosztuczkikarcianej.Każdywie,żebędzieonazawierałapewną dozęmanipulacji.Trudnomówićprzytymo zamiarzeoszukaniaodbiorców, boniktniebierzetegoprzedstawieniana poważnie.Niewykluczone,żenasze standardybędąwkrótceprzypominałyte,cechującezawodowychiluzjonistów i ujawnianiesposobu,w jakidziałaczyjaśsztuczkabędzieuznawanezanie-grzeczne,a możenawetniemoralne.

W czasach,kiedyuczyłemsięekonomiimatematycznej,dominowałinny stanrównowagi.Niewewszystkichprzypadkach,alew stopniuznacznie większym,niżmato miejscedzisiaj,kiedyekonomiści-teoretycywykorzysty-walimatematykędobadaniaabstrakcyjnychkoncepcji,punktemhonorubyło podejściedotegozadaniaz właściwąjasnością,precyzjąi rygorem.Również w tamtymczasiegrupaekonomistówtakich,jakRobinson,uciekałasiędo ma-thinessjakoostatniejdeskiratunkuw obliczuprzegrywanejbitwy,alepróby te niosłyzasobąryzyko.Cierpiałana tymichreputacja. Jeżeliosiągnęliśmyjużstanrównowagicharakterystycznydlawspomnia-negorynkububli,na którymoferujesięteraztylkomathiness,to odbijesię to negatywniena przyszłychpokoleniachekonomistów.Przecieżw jakisposób Pikettyi Zucmanuporządkowalibyswojespojrzeniena historię,niemając dostępudoabstrakcyjnegopojęcia,któreznamyjakokapitał?Gdziebyliby-śmydzisiaj,gdybymatematykaRobertaSolowazostałazdominowanaprzez mathinessJoanRobinson?

Tłumaczenie:Jakub Janus

Bibliografia

Becker G.S.[1962],Investment in Human Capital: A Theoretical Analysis,“JournalofPolitical Economy”,vol. 70(5),s. 9–49.

Boldrin M.,Levine D.K.[2008],Perfectly Competitive Innovation,“JournalofMonetaryEcono-mics”,vol. 55(3),s. 435–453.

Jones C.I.,Romer P.M.[2010],The New Kaldor Facts: Ideas, Institutions, Population, and Human Capital,“AmericanEconomicJournal:Macroeconomics”,vol. 2(1),s. 224–245.

Krusell P.,Smith A.A.[2014],Is Piketty’s Second Law of Capitalism Fundamental,http://aida. wss.yale.edu/smith/piketty1.pdf(31.03.2015).

Lucas Jr.R.E.[2009],Ideas and Growth,“Economica”,vol. 76(301),s. 1–19.

Lucas Jr.R.E.,Moll B.[2014],Knowledge Growth and the Allocation of Time,“JournalofPoliti-calEconomy”,vol. 122(1),s. 1–51.

Marshall A.[1890],Principles of Economics,MacmillanandCo,London.

McGrattanE.R.,Prescott E.C.[2010],Technology Capital and the US Current Account,“Ameri-canEconomicReview”,vol. 100(4),s. 1493–1522.

Piketty T.,Zucman G.[2014],Capital is Back: Wealth-Income Ratios in Rich Countries 1700–2010, “QuarterlyJournalofEconomics”,vol. 129(3),s. 1255–1310.

Robinson J.[1956],Accumulation of Capital,Richard D. Irwin,Homewood,IL.

Romer P.M.[1990],Endogenous Technological Change,“JournalofPoliticalEconomy”,vol. 98(5), s. S71– S102.

Romer P.M.[1994],New Goods, Old Theory, and the Welfare Costs of Trade Restrictions,“Journal ofDevelopmentEconomics”,vol. 43,s. 5–38.

Solow R.M.[1956],A Contribution to the Theory of Economic Growth,“QuarterlyJournalof Economics”,vol. 70(1),s. 65–94.