W10. Energia kinetyczna układu brył Plik

Metody energetyczne opisu zjawiska

ruchu.

A) Energia kinetyczna.

a) Energia kinetyczna punktu materialnego.

z y x Rys. 4.1 0 m v x y z x Rys. 4.1 Wielkość określoną w następujący

sposób:

E



1

mv

2

2 _(4.1)

nazywamy energią kinetyczną

układu zwaną inaczej energią ruchu. We wzorze tym wyróżniamy:

m - masa punktu materialnego,

Jeżeli opisujemy ruch punktu w układzie odniesienia xyz, to prędkość wyrazimy następująco:

     

2 2 2

2

_x

_y

_z

v













energia kinetyczna wyrazi się wówczas:

     



2 2 2



2

1

z

y

x

m

E













(4.2)

Energia kinetyczna jest wielkością skalarną, zawsze dodatnią. Jednostką energii kinetycznej jest:



N

m



s

m

kg

E

_















2 2

Zróżniczkujmy równanie (4.2) po czasie:



x

x

y

y

z

z



m

dt

dE































(4.3)

(4.3) równanie określające jak w czasie zmienia się energia kinetyczna punktu materialnego,

jeżeli

E



0

energia kinetyczna rośnie, jeżeli

E



0

energia kinetyczna maleje, jeżeli

E



0

energia kinetyczna jest stała.

b) Energia kinetyczna bryły. - ruch postępowy bryły,

x

z

y

0

m

_i

 

S m

ciało o masie m

v

_S

v

_i x Ciało o masie m Rys. 4.2 Energia kinetyczna bryły jest równa

algebraicznej sumie energii punktów należących do bryły, co zapiszemy:

E

E

_i

m v

i n i i i n





 

 





1 2 1

1

2

W przypadku ruchu postępowego prędkość każdego punktu bryły jest równa prędkości środka masy, czyli:

v

_i



v

_S

Energia kinetyczna bryły w ruchu postępowym wynosi więc:

E

v

_S

m

_i

m v

i n S













1

2

1

2

2 1 2

czyli:

E

( )P



1

m v



_S

2

2 _(4.4)

- ruch obrotowy bryły,

0

x

y

z

z

_i

x

_i

y

_i

h

_i



m

_i x Rys.4.3 Energia kinetyczna bryły w ruchu

obrotowym wynosi:

E

E

_i

m v

i n i i i n





 

 





1 2 1

1

2

prędkość liniowa punktu należącego do bryły wynosi:

   

2 2 i i i i

h

x

y

v















co po podstawieniu daje:





2 1 2 2 2

2

1

2

1

_

_

_

_

_

_

_





 z n i i i i

x

y

I

m

E

Energia kinetyczna ruchu obrotowego wynosi więc: 2 ) (

2

1

_

_



_z O

_I

E

(4.5)

- ruch płaski bryły,

0

 

S m

x

y

C

v

_S



m

Rys. 4.4. Energia kinetyczna w ruchu płaskim

jest równa sumie energii ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego względem środka masy bryły:

E

( )pl



E

( )P



E

( )O

E

( )pl



1

m v

 

_S

I

_S



2

1

2

2



2 _(4.6)

Wzór (4.6) nazywamy twierdzeniem Koeniga. Jeżeli znamy środek chwilowego obrotu bryły to jej energię możemy wyrazić jako energię ruchu obrotowego wokół chwilowego środka obrotu, czyli:

E

( )pl



E

( . )C O



1

I

_C



2

2



(4.7)

I

_C



moment bezwładności bryły względem chwilowego środka obrotu,

c) Energia kinetyczna układu brył.

Energię kinetyczną układu brył (np. układ mechaniczny) określamy jako suma algebraiczna energii kinetycznej poszczególnych brył.

E

E

_i i n







1 (4.11) Przykład

B) Praca wykonana przez układ sił.

a) Praca elementarna i całkowita wykonana przez siłę i układ sił.

Do punktu materialnego poruszającego się po torze

(rys.4.8), przyłożono siłę o linii działania nachylonej pod

kątem do osi .

P





Pracę siły wykonaną na

elementarnym przesunięciu

definiujemy jako iloczyn skalarny

wektora siły i elementarnego

przesunięcia :

P

P

dr

 





L



P



d

r



P



dr



cos

(4.12)

dr

- tzw. wektor elementarnego przesunięcia.

v

dr

P



tor

t

₀



0

t

S

tor Rys 4.8

Jeżeli położenie punktu materialnego opisane jest w układzie odniesienia xyz to wektor elementarnego przesunięcia wyrazić można:

k

dz

j

dy

i

dx

r

d













wektor siły rozkładamy na składowe równoległe do osi układu

odniesienia xyz:

P

P



P i P j P k

_x

    

_{y z}

Wstawiając powyższe zależności do (4.12) otrzymamy:



L



P dx P dy P dz

_x





_y



 

_z (4.13) (4.13) jest to tzw. elementarna praca wykonana przez siłę

_P

.

Jest to wielkość skalarna, może być dodatnia, ujemna lub wynosić zero. Nie zależy w sposób jawny od czasu.

Prędkość jest to pochodna wektora promienia wodzącego względem czasu:

v

dr

dt



wektor elementarnego przesunięcia możemy wyrazić również w postaci:

dr

 

v dt

Prędkość punktu materialnego w układzie odniesienia wyrazimy w postaci:

k

z

j

y

i

x

v



















Wzór (4.12) możemy wyrazić jeszcze w postaci:



P

x

P

y

P

z



dt

dt

v

P

L









_x







_y







_z









(4.14)

Interesuje nas praca całkowita wykonana przez siłę po określonym torze S.

P

v

dr

P



tor

t

₀



0

t

S

tor Rys 4.9





L

L

P dx P dy P dz

_{x y z}

P dx

P dy

P dz

S x S y S z S x y z

















 



















0 0 0 (4.15)

(4.15) jest to praca całkowita wykonana przez siłę

_P

. Pracę całkowitą można również zapisać jako:

























s t z y x

x

P

y

P

z

dt

P

L

L

0









(4.16)

Uwaga!!!

Jeżeli w układzie występuje układ sił działających na punkt, czyli:

P

P

_i i n







1

to wówczas praca elementarna wykonana przez układ sił jest algebraiczną sumą prac elementarnych wykonanych przez poszczególne siły







n i i

L

L

1





(4.17)

analogicznie praca całkowita wykonana przez układ sił jest sumą algebraiczną prac całkowitych wykonanych przez poszczególne siły.

L

L

_i i n







1 (4.18)