Wpływ typu rozkładu wielkości szkód na wartość składki netto w ubezpieczeniach komunikacyjnych OC

(1)

Anna Szymańska*

WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH

KOMUNIKACYJNYCH OC

1. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI SKŁADKI

Ze względu na znaczący udział ubezpieczeń komunikacyjnych OC w port-felu ubezpieczeń majątkowych, ubezpieczenia te bezpośrednio wpływają na wynik finansowy w tym dziale. Odpowiednio skalkulowana składka powinna zapewniać z jednej strony równowagę finansową ubezpieczyciela, z drugiej strony pełnić rolę marketingową zachęcając klientów do kontynuowania lub wykupienia polisy ubezpieczenia komunikacyjnego OC.

Podstawą obliczenia składki w ubezpieczeniach komunikacyjnych OC jest oszacowanie na podstawie przewidywanej liczby i wielkości szkód składki net-to, czyli składki przeznaczonej tylko na pokrycie roszczeń.

Niech Π(X) oznacza wysokość składki netto za ochronę przed stratą o wiel-kości X oraz X będzie zmienną losową o dystrybuancie FX.

Wybrane zasady wyznaczania składki:1

1) Zasada czystej składki (równowaŜności składki netto)

Π(X) = EX (1)

2) Zasada wartości oczekiwanej

Π(X)=(1+

α

)EX (2)

gdzie α ≥0 nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa. 3) Zasada wariancji

Π(X)=EX +

α

VarX,

α

≥0 (3) 4) Zasada odchylenia standardowego

Π(X)= EX +

α

VarX,

α

≥0 (4)

*

Dr, Katedra Metod Statystycznych UŁ.

1

R. K a a s, M. G o o v a e r t s, J. D h a e n e, M. D e n u i t, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer, Boston 2001.

(2)

5) Zasada odchylenia absolutnego

Π(X)=EX +

α

EX −MeS ,

α

≥0 (5) 6) Zasada percentylu (kwantyla rzędu ε)

Π

(

X

)

=

min

{

x

:

F

( )

x

≥

1 −

ε

}

=

F

_X−1

(

1 −

ε

)

(6) 7) Zasada maksymalnej straty

Π(X)= pEX +(1− p)max(X), p≥0 i max(X)<∞ (7) 8) Zasada zerowej uŜyteczności obejmuje grupę metod wyznaczania składki uwzględniającą preferencje ubezpieczyciela, posiadającego majątek w, wyraŜo-ne przy pomocy funkcji uŜyteczności u(w)=Eu

(

w+Π(X)−X

)

, w∈(-∞,+∞). Dla w = 0 mamy u(0)= Eu

(

Π(X)−X

)

i metoda wyznaczania składki nazy-wana jest zasadą zerowej uŜyteczności. Zasada zerowej uŜyteczności z wykład-niczą funkcją uŜyteczności ( )= 1

(

1− −

)

,

α

>0

α

w e w

u nazywana jest zasadą

wykładniczą2. Zasada wykładnicza Π X =

( )

EeαX

α

> EeαX <∞

α

log , 0, 1 ) ( (8)

9) Zasada wiarygodności – składkę netto wyznacza się jako średnią waŜoną składki kolektywnej µ i indywidualnej składki

x

i oszacowanej na podstawie

historii roszczeń w przeszłości, czyli jako

Π

(

X

i

)

=

Z

i

x

i

+

(

1 −

Z

i

)

µ

(9)

gdzie Z_i ∈(0,1). Tak zdefiniowaną składkę nazywa się składką zaufania dla

i-tego kontraktu, natomiast Ziwspółczynnikiem zaufania

3 .

2. PRZYKŁADY EMPIRYCZNE

Niech zmienna losowa X będzie zmienną losową opisującą wielkość szkód w portfelu. W ubezpieczeniach komunikacyjnych najczęściej zmienna losowa wielkości szkód jest modelowana rozkładem Pareto, logarytmiczno-normalnym lub gamma4. Funkcje gęstości rozkładu Pareto, logarytmiczno-normalnego oraz gamma mają odpowiednio postać:

2

C. D. D a y k i n, T. P e n t i k ä i n e n, M. P e s o n e n, Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall, London 1994.

3

H. J a s i u l e w i c z, Teoria zaufania. Modele aktuarialne, Wydawnictwo AE we Wrocła-wiu, Wrocław 2005.

(3)

(

)

,

0 ,

0 )

(

₁

>

+

=

₊

α

β

αβ

α α

x

f

(10)

(

)

, 0, , 0 2 ln exp 2 1 ) ( ₂ 2 > ∈ >         ₋ − =

µ

σ

µ

π

σ

x R x x x f (11) exp

(

)

, 0, 0, 0 ) ( ) ( 1 > > > − Γ = −

λ

α

λ

α

λ

α α x x x x f . (12)

W przeprowadzonym eksperymencie rozwaŜano szacowanie składek netto dla portfela o łącznej wielkości szkód typu Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma. Oceniono jak zmienia się wysokość składki netto w zaleŜności od typu rozkładu, parametrów rozkładu oraz metody szacowania składki. Wartość ocze-kiwana i wariancja w badanych populacjach są zbliŜone do średniej i wariancji wielkości szkód w ubezpieczeniach komunikacyjnych OC publikowanych przez PIU.

Wygenerowano trzy warianty pseudopopulacji o rozkładzie Pareto, trzy rianty pseudopopulacji o rozkładzie logarytmiczno-normalnym oraz trzy wa-rianty pseudopopulacji o rozkładzie gamma o róŜnych parametrach, kaŜda o liczebności 10 000. W kolejnych wariantach (B, C, D) dla danego typu rozkła-du wartości oczekiwane są prawie równe, a wariancje rosną. Rośnie równieŜ asymetria rozkładów. W dalszej części pracy pseudopopulacje będą nazywane populacjami.

Warianty dla rozkładu Pareto: PB: 10000 ; 7490 , 3 ; 8188 , 5 ; 0038 , 5 ; 76 , 2 ; 23 , 2 = = = ₀_,₅= = =

β

EX DX x N

α

PC: 10000 ; 7071 , 3 ; 2284 , 6 ; 0067 , 5 ; 71 , 2 ; 18 , 2 = = = 0,5= = =

β

EX DX x N

α

PD: 10000 ; 6600 , 3 ; 5760 , 6 ; 9936 , 4 ; 66 , 2 ; 14 , 2 = = = ₀_,₅= = =

β

EX DX x N

α

Warianty dla rozkładu logarytmiczno-normalnego: LnB: 10000 ; 2343 , 3 ; 9380 , 5 ; 0076 , 5 ; 92 , 0 ; 18 , 1 = = = ₀_,₅= = =

σ

EX DX x N

µ

LnC: 10000 ; 1064 , 3 ; 5047 , 6 ; 0489 , 5 ; 97 , 0 ; 14 , 1 = = = ₀_,₅= = =

σ

EX DX x N

µ

LnD: 10000 ; 0443 , 3 ; 9039 , 6 ; 1005 , 5 ; 1 ; 12 , 1 = = = 0,5= = =

σ

EX DX x N

µ

(4)

Warianty dla rozkładu gamma: GB: 10000 ; 9481 , 2 ; 8545 , 5 ; 9670 , 4 ; 15 , 0 ; 74 , 0 = = = ₀_,₅= = =

λ

EX DX x N

α

GC: 10000 ; 7191 , 2 ; 2537 , 6 ; 0034 , 5 ; 13 , 0 ; 65 , 0 = = = ₀_,₅= = =

λ

EX DX x N

α

GD: 10000 ; 5976 , 2 ; 6725 , 6 ; 0664 , 5 ; 12 , 0 ; 58 , 0 = = = 0,5= = =

λ

EX DX x N

α

gdzie:

α, β – parametry rozkładu Pareto,

µ,σ – parametry rozkładu logarytmiczno-normalnego,

α, λ – parametry rozkładu gamma,

EX – wartość oczekiwana w populacji,

DX – odchylenie standardowe w populacji,

x0,5 – kwantyl rzędu 0,5 w populacji.

Dla kaŜdego wariantu populacji wyznaczono składki netto za pomocą wy-branych metod wyznaczania składek (wyniki prezentuje tab. 1).

T a b e l a 1 Wartości składki netto (j.p.) szacowanej róŜnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód

o róŜnych parametrach

Wariant populacji

Metoda wyznaczania składki netto czystej składki wartości oczekiwanej α = 1 wariancji α = 1 odchylenia standardowego α = 1 kwantyla rzędu 0,5 PB 5,0038 10,0076 38,8622 10,8226 3,749 PC 5,0067 10,0134 43,7997 11,2351 3,7071 PD 4,9936 9,9872 48,2374 11,5696 3,66 LnB 5,0076 10,0152 40,2674 10,9456 3,2343 LnC 5,0489 10,0978 47,3600 11,5536 3,1064 LnD 5,1005 10,2010 52,7643 12,0044 3,0443 GB 4,9670 9,9340 39,2422 10,8215 2,9481 GC 5,0034 10,0068 44,1122 11,2571 2,7191 GD 5,0664 10,1328 49,5887 11,7389 2,5976 Ź r ó d ł o: obliczenia własne.

(5)

Zasada cz yste j składki 4,94 4,95 4,96 4,97 4,98 4,99 5 5,01 5,02 PB LnB GB rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

Zasada wartości ocz e kiwane j

9,88 9,9 9,92 9,94 9,96 9,98 10 10,02 10,04 PB LnB GB rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .) Zasada wariancji 38,0000 38,5000 39,0000 39,5000 40,0000 40,5000 PB LnB GB rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

Zasada odchyle nia standardowe go

10,75 10,8 10,85 10,9 10,95 11 PB LnB GB rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

Zasada pe rce ntylu

0 1 2 3 4 PB LnB GB rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

Rys. 1. Wartości składki netto szacowanej róŜnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma dla wariantów B

(6)

Zasada cz yste j składki 4,98 5 5,02 5,04 5,06 PC LnC GC rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

9,95 10 10,05 10,1 10,15 PC LnC GC rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .) Zasada wariancji 42,0000 43,0000 44,0000 45,0000 46,0000 47,0000 48,0000 PC LnC GC rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

11 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 P C LnC GC rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 PC LnC GC rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

Rys. 2. Wartości składki netto szacowanej róŜnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma dla wariantów C

(7)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 z a sa d a c z y st e j sk ła d k i z a sa d a w a rt o śc i o c z e k iw a n e j z a sa d a w a ri a n c ji z a sa d a o d c h y le n ia st a n d a rd o w e g o z a sa d a p e rc e n ty lu

zasada wyznaczania składki netto

sk ła d k a n e tt o ( j. p .) PB LnB GB

Rys. 3. Wartości składki netto szacowanej róŜnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód o róŜnych parametrach dla wariantów B

Ź r ó d ł o: jak do rys. 1. 0 10 20 30 40 50 z a sa d a c z y st e j sk ła d k i z a sa d a w a rt o śc i o c z e k iw a n e j z a sa d a w a ri a n c ji z a sa d a o d c h y le n ia st a n d a rd o w e g o z a sa d a p e rc e n ty lu

sk ła d k a n e tt o ( j. p .) PC LnC GC

Rys. 4. Wartości składki netto szacowanej róŜnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód o róŜnych parametrach dla wariantów C

(8)

Zasada cz yste j składki 4,9 4,95 5 5,05 5,1 5,15 PD LnD GD rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

9,85 9,9 9,95 10 10,05 10,1 10,15 10,2 10,25 PD LnD GD rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .) Zasada wariancji 45,0000 46,0000 47,0000 48,0000 49,0000 50,0000 51,0000 52,0000 53,0000 54,0000 PD LnD GD rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12 12,1 P D LnD GD rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 PD LnD GD rozkład wielkości szkód sk ła d k a n e tt o ( j. p .)

Rys. 5. Wartości składki netto szacowanej róŜnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma dla wariantów D

(9)

0 10 20 30 40 50 60 z a sa d a c z y st e j sk ła d k i z a sa d a w a rt o śc i o c z e k iw a n e j z a sa d a w a ri a n c ji z a sa d a o d c h y le n ia st a n d a rd o w e g o z a sa d a p e rc e n ty lu

sk ła d k a n e tt o ( j. p .) PD LnD GD

Rys. 6. Wartości składki netto szacowanej róŜnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód o róŜnych parametrach dla wariantów D

Ź r ó d ł o: jak do rys. 1.

Wysokość składki netto jest bardzo wyraźnie uzaleŜniona od metody jej wyznaczania. Zasada wykorzystująca medianę daje najniŜsze wartości składki netto, zasada wariancji najwyŜsze. Z tego powodu towarzystwa ubezpieczenio-we najchętniej stosują zasadę wariancji. Oczywiste jest, Ŝe parametry populacji wpływają na wysokości składek – nawet niewielkie zmiany ich wartości powo-dują zmiany w wartościach składek. Największy wpływ parametrów rozkładu wielkości szkód na wysokość szacowanych składek moŜna zauwaŜyć w przy-padku metody wariancji. Najwyraźniejsze róŜnice w wysokościach składek dla róŜnych rozkładów z tego samego wariantu są w przypadku zasady wariancji i kwantyla rzędu 0,5. Ze względu na asymetrię badanych rozkładów występują równieŜ duŜe róŜnice w składkach wyznaczanych metodą wartości oczekiwanej i percentylu dla tego samego rozkładu wielkości szkód.

BIBLIOGRAFIA

1) D a y k i n C. D., P e n t i k ä i n e n T., P e s o n e n M., Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall, London 1994.

2) J a s i u l e w i c z H., Teoria zaufania. Modele aktuarialne, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 2005.

(10)

3) K a a s R., G o o v a e r t s M., D h a e n e J., D e n u i t M., Modern Actuarial Risk Theory, Kluw-er, Boston 2001.

4) L e m a i r e J., Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer Nijhoff, Boston 1995.

Anna Szymańska

THE INFLUENCE OF THE DAMAGE SIZE DISTRIBUTION ON THE NET PREMIUM IN CAR LIABILITY INSURANCE CR

The condition of functioning of the insurance company on the market is a proper calculation of net premiums. It concerns a single insured as well as a whole portfolio. In the paper selected theoretical rules of setting net premiums in automobile insurance are presented. It has been evaluated what influence the distribution of the size of damage form and parameters have on the net premium size. Three damage size distributions have been considered: Pareto distribution, logarithmic-normal distribution and gamma distribution.