Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji odwrotnej

(1)

Pochodna funkcji w punkcie.

Pochodna jednostronna,

niewłaściwa i funkcji

odwrotnej

Autorzy:

Tomasz Zabawa

2019

(2)

Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji odwrotnej

Autor: Tomasz Zabawa

Chcemy poznać prędkość obiektu, który porusza się ze zmienną prędkością. Mamy informację, jaką drogę przebył w każdym czasie między chwilą i . Obiekt przez pewien czas przyśpieszał, poruszał się ze stałą prędkością, zwalniał, zatrzymywał się,... Jeżeli policzymy iloraz drogi przebytej w czasie przez czas , to otrzymamy jedynie prędkość średnią, która słabo opisuje, jak poruszał się obiekt w rzeczywistości. Oczywiście możemy podzielić czas na mniejsze przedziały czasowe. Im mniejsze będą te przedziały czasowe, tym lepiej prędkość średnia przybliży nam rzeczywistą prędkość osiągniętą przez obiekt w tym krótszym czasie. Ideałem byłoby znać dokładną wartość prędkości w każdej chwili z osobna, czyli prędkość średnią zmierzoną przy długości przedziału czasu dążącej do zera.

I właśnie tak uzyskaną prędkość w danej chwili nazwiemy pochodną drogi względem czasu. Prędkość w danej chwili będzie zatem graniczną wartością prędkości średnich obliczonych w przedziale czasowym lub , o ile dąży do zera ( - inny moment czasu). Analogicznie możemy policzyć jak zmienia się inna wielkość w zależności od zmiany czasu i nie tylko, ponieważ pochodna opisuje, jak zmienia się wartość funkcji w stosunku do zmiany jej argumentu, gdy zmiana argumentu dąży do zera.

Zanim zdefiniujemy pochodną funkcji, określmy najpierw czym na osi liczbowej jest otoczenie punktu .

DEFINICJA

Definicja 1: Otoczenie punktu

Niech . Otoczeniem punktu

Otoczeniem punktu o promieniu o promieniu nazywamy przedział i oznaczamy przez . Otoczeniem lewostronnym punktu

Otoczeniem lewostronnym punktu o promieniu o promieniu nazywamy przedział i oznaczamy przez . Otoczeniem prawostronnym punktu

Otoczeniem prawostronnym punktu o promieniu o promieniu nazywamy przedział i oznaczamy przez . Gdy promień otoczenia nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), powyższe otoczenia oznaczamy odpowiednio przez , , .

Przejdźmy do definicji pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie.

DEFINICJA

Definicja 2: Pochodna funkcji w punkcie

Niech oraz funkcja będzie określona w otoczeniu . Pochodną (właściwą) funkcji

Pochodną (właściwą) funkcji w punkcie w punkcie nazywamy granicę właściwą

Pochodną funkcji w punkcie oznaczamy przez lub też przez: , , . Zatem

0 T

T

t

0

[ , t]

t

0

[t, ]

t

0

Δt = t − t

0

t

∈ R

x

0

∈ R

x

0

x

0

ε > 0

( − ε, + ε)

x

0

x

0

O( , ε)

x

0

x

0

ε > 0

( − ε, ]

x

0

x

0

O( , ε)

x

−₀

x

0

ε > 0

[ , + ε)

x

0

x

0

O( , ε)

x

+0

O( )

x

0

O( )

x

−0

O( )

x

+0

∈ R

x

0

f

O( )

x

0

f

x

0

.

lim

x→x0 f(x)−f( )x0 x−x0

f

x

0

f

′

( )

x

0 _dxdf

( )

x

0

f˙ x

( )

0

Df( )

x

0

( ) =

.

f

′

_x

₀

_lim

x→x0 f(x)−f( )x0 x−x0

(3)

UWAGA

Uwaga 1:

Podstawiając , otrzymujemy powyższą granicę w następującej postaci:

Zauważmy, że w tym zapisie oznacza przyrost argumentu. Ta postać czasem jest wygodniejsza przy obliczaniu pochodnej wprost z definicji.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Niech będzie funkcją drogi przebytej w czasie , gdzie . Niech , . Zatem (jeżeli granica istnieje i jest właściwa) jest prędkością chwilową w chwili .

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Korzystając z , obliczmy pochodną funkcji w punkcie oraz w dowolnym punkcie . Pochodna funkcji w punkcie :

Pochodna funkcji w dowolnie ustalonym punkcie :

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Obliczmy pochodną funkcji w dowolnym punkcie .

(Wykonujemy podstawienie zatem i oraz przy .)

h = x − x

0

( ) =

.

f

′

_x

₀

_lim

h→0 f( +h)−f( )x0 x0 h

h

s = s(t)

s

t

t ∈ ( , )

T

1

T

2

t

0

, t ∈ ( , )

T

1

T

2

Δt = t − t

0

( ) =

s

′

_t

₀

_lim

Δt→0 s( +Δt)−s( )t0 t0 Δt

t

0

f(x) = x

2

_x

₀

_{= 2}

_x

₀

_{∈ R}

f

x

0

= 2

(2)

f

′

₌

_lim

₌

h→0

f(2 + h) − f(2)

h

lim

h→0

(2 + h −

)

2

₂

2

h

lim

h→0

4 + 4h + − 4

h

2

h

=

lim

=

(4 + h) = 4.

h→0

h(4 + h)

h

lim

h→0

f

x

0

( )

f

′

_x

₀

₌

_lim

₌

h→0

f( + h) − f( )

x

0

x

0

h

lim

h→0

( + h −

x

0

)

2

x

20

h

=

lim

=

h→0

+ 2 h + −

x

2 0

x

0

h

2

x

20

h

lim

h→0

h(2 + h)

x

0

h

=

lim

(2 + h) = 2 .

h→0

x

0

x

0

g(x) = e

x

_x

₀

_{∈ R}

( ) =

=

g

′

_x

₀

_lim

h→0 g( +h)−g( )x0 x0 h

lim

_h→0e − +h x0 ex0 h

lim

_h→0e ( −1) x0 eh h

t =

e

h

− 1,

_{t + 1 = e}

h

_{h = ln(t + 1)}

_{t =}

_e

h

_{− 1 → 0}

_{h → 0}

=

lim

=

.

t→0 t ex0 ln(t+1)

lim

_t→0 1ln(t+1)ex0 t

lim

t→0 ex0 ln(t+1)1t ex0 ln e

e

x0

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Obliczmy pochodną funkcji w punkcie .

Z teorii granicy funkcji wiemy, że ta granica (obustronna) nie istnieje, ponieważ oraz

Skoro powyższa granica nie istnieje, to również pochodna funkcji w punkcie nie istnieje.

Pochodna funkcji w punkcie jest granicą (obustronną). Oprócz granicy (obustronnej) funkcji rozważamy również granice jednostronne funkcji. W związku z tym, definiujemy również pochodne jednostronne funkcji w punkcie .

DEFINICJA

Definicja 3: Pochodna lewostronna funkcji w punkcie

Niech oraz funkcja będzie określona w otoczeniu . Pochodną lewostronną (właściwą) funkcji

Pochodną lewostronną (właściwą) funkcji w punkcie w punkcie , którą oznaczamy przez , nazywamy granicę właściwą

DEFINICJA

Definicja 4: Pochodna prawostronna funkcji w punkcie

Niech oraz funkcja będzie określona w otoczeniu . Pochodną prawostronną (właściwą) funkcji

Pochodną prawostronną (właściwą) funkcji w punkcie w punkcie , którą oznaczamy przez , nazywamy granicę właściwą

k(x) = |x − 3|

x

0

= 3

(3) =

=

.

k

′

_lim

h→0 k(3+h)−k(3) h

lim

_h→0|3+h−3|−|3−3|h

lim

_h→0|h|h

=

= −1

lim

h→0− |h| h _h→0

lim

−−hh

=

= 1.

lim

h→0+ |h| h _h→0

lim

+ h h

k

x

0

= 3

x

0

∈ R

x

0

f

O( )

x

−0

f

x

0

f

′−

( )

x

0

( ) =

=

.

f

′−

x

0 _x→x

lim

₋ 0 f(x)−f( )x0 x−x0 _h→0

lim

− f( +h)−f( )x0 x0 h

∈ R

x

0

f

O( )

x

+₀

f

x

0

f

+′

( )

x

0

( ) =

=

.

f

₊′

_x

₀

_lim

x→x+ 0 f(x)−f( )x0 x−x0 _h→0

lim

+ f( +h)−f( )x0 x0 h

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Wróćmy do : pokazaliśmy, że pochodna funkcji w punkcie nie istnieje. Obliczmy pochodne jednostronne funkcji w punkcie :

Zatem funkcja nie ma pochodnej w punkcie , ale ma pochodne jednostronne w tym punkcie, które są różne.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: Warunek konieczny i wystarczający istnienia pochodnej funkcji w

punkcie

Niech oraz funkcja będzie określona w otoczeniu . Funkcja ma pochodną w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

Jeżeli pochodne jednostronne w punkcie są równe, to ich wspólna wartość jest równa pochodnej (obustronnej) w punkcie .

Przyjrzyjmy się jeszcze twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej w punkcie i zobaczmy zastosowanie tego twierdzenia do obliczenia pochodnej funkcji arcus sinus w dowolnie zadanym punkcie .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o pochodnej funkcji odwrotnej

o pochodnej funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja jest ciągła i ściśle monotoniczna w otoczeniu i ma pochodną właściwą , to

gdzie , czyli .

k(x) = |x − 3|

x

0

= 3

k

x

0

= 3

(3)

k

′−

=

lim

=

h→0−

k(3 + h) − k(3)

h

h→0

lim

−

|3 + h − 3| − |3 − 3|

h

h→0

lim

−

|h|

h

=

lim

= −1,

h→0−

−h

h

(3)

k

′ +

=

_h→0

lim

+

=

k(3 + h) − k(3)

h

h→0

lim

+

|3 + h − 3| − |3 − 3|

h

h→0

lim

+

|h|

h

=

lim

= 1.

h→0+

h

k

x

0

= 3

∈ R

x

0

f

O( )

x

0

f

x

0

f

′−

( ) = ( ).

x

0

f

+′

x

0

x

0

x

0

x

0

∈ (−1, 1)

x

0

f

O( )

x

0

f

′

( ) ≠ 0

x

0

(

f

−1

₎

′

( ) =

_y

₀ 1

,

( ) f′_x 0

= f( )

y

0

x

0

x

0

=

f

−1

( )

y

0

(6)

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Niech . Obliczmy pochodną funkcji w punkcie , jeżeli wiadomo, że dla dowolnego . Funkcja określona w przedziale jest funkcją odwrotną do funkcji zawężonej do przedziału

. Zauważmy, że funkcja jest ciągła i silnie rosnąca w przedziale oraz jej pochodna istnieje i jest różna od zera dla każdego , bo dla każdego . Zatem założenia są spełnione. Na mocy istnieje pochodną funkcji w punkcie i wynosi

stąd pamiętając, że , bo , otrzymujemy

Z własności funkcji odwrotnej wiemy, że dla każdego , więc

Jeżeli mówimy o pochodnej funkcji w punkcie , to mówimy o pochodnej właściwej funkcji w punkcie , ale możemy również zdefiniować rzadziej rozważaną pochodną niewłaściwą funkcji w punkcie .

DEFINICJA

Definicja 5: Pochodna niewłaściwa funkcji w punkcie

Niech oraz funkcja będzie określona i ciągła w otoczeniu . Mówimy, że funkcja funkcja ma pochodną niewłaściwą w punkcie ma pochodną niewłaściwą w punkcie , gdy Fakt, że funkcja ma pochodną niewłaściwą w punkcie zapisujemy:

Definiuje się również jednostronne pochodne niewłaściwe funkcji w punkcie .

DEFINICJA

Definicja 6: Pochodna niewłaściwa lewostronna funkcji w punkcie

Niech oraz funkcja będzie określona i ciągła w otoczeniu . Mówimy, że funkcja funkcja ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie , gdy

co zapisujemy: lub .

∈ (−1, 1)

x

0

arcsin

x

0

(sin x = cos x

)

′

x ∈ R

arcsin

(−1, 1)

sin

(− , )

π 2 π2

sin |

(− , )π 2 π2

(− , )

π 2 π2

x ∈ (− , )

π 2 π2

cos x > 0

x ∈ (− , )

π2 π2

arcsin

x

0

(arcsin

x

0

)

′

=

_{cos y}1₀

, gdzie = arcsin ,

y

0

x

0

cos > 0

y

0

y

0

∈ (− , )

π₂ π₂

(arcsin

x

0

)

′

=

_{cos y}1 ₀

=

1

=

1−sin2( )_y 0 √ 1 1−sin2(arcsin x) √

sin(arcsinx) = x

x ∈ [−1, 1]

=

1

.

1−x2 √

x

0

x

0

x

0

∈ R

x

0

f

O( )

x

0

f

x

0

= −∞ lub

= +∞.

lim

x→x0 f(x)−f( )x0 x−x0 _x→x

lim

₀ f(x)−f( )x0 x−x0

x

0

( ) = −∞ lub

( ) = +∞.

f

′

_x

₀

_f

′

_x

₀

f

x

0

∈ R

x

0

f

O( )

x

−0

f

x

0

= −∞ lub

= +∞,

lim

x→x−₀ f(x)−f( )x0 x−x0 _x→x

lim

−₀ f(x)−f( )x0 x−x0

( ) = −∞

f

′−

x

0

f

′−

( ) = +∞

x

0

(7)

DEFINICJA

Definicja 7: Pochodna niewłaściwa prawostronna funkcji w punkcie

Niech oraz funkcja będzie określona i ciągła w otoczeniu . Mówimy, że funkcja funkcja ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie , gdy

co zapisujemy: lub .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:11:30

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=0257b8c9a605e5201ad315f67137c25f