Tom 27 2011 Zeszyt 2
DANIEL ZBROÑSKI*
Analiza oddzia³ywania wybranych parametrów procesu
na osi¹gi m³yna strumieniowo-fluidyzacyjnego.
Czêœæ IV: Prognozowanie uziarnienia produktu mielenia
Wprowadzenie
Literatura przedmiotu zawiera wiele prac dotycz¹cych modelowania procesu rozdrab-niania materia³ów ziarnistych (Lowrison 1974; Auer 1978; Bro¿ek i in. 1995; Otwinowski 2003; Salman i in. 2007). Wyró¿nia siê dwie grupy metod modelowania: hipotezy deter-ministyczne (klasyczne teorie rozdrabniania) i hipotezy statystyczne (Górecka, Otwinowski 2001). W teoriach deterministycznych analizuje siê zale¿noœæ pomiêdzy energi¹ dostarczon¹ w trakcie procesu a efektem rozdrabniania, natomiast hipotezy statystyczne dotycz¹ ewo-lucji sk³adu ziarnowego materia³u. Istniej¹ tak¿e modele rozdrabniania ³¹cz¹ce obie grupy hipotez, w których uwzglêdnia siê bilans energii i bilans masy populacji ziaren (Zhukov i in. 1998; Otwinowski 2003). Technologów przeróbki materia³ów ziarnistych interesuje g³ównie opis procesu rozdrabniania z punktu widzenia sk³adu ziarnowego uzyskanego w konkretnym urz¹dzeniu rozdrabniaj¹cym, natomiast zwi¹zek pomiêdzy efektem rozdrabniania a energi¹ zu¿yt¹ w procesie jest dla nich mniej znacz¹cy. Idealnym rozwi¹zaniem by³oby podanie takich ogólnych wzorów okreœlaj¹cych sk³ad ziarnowy produktu, w których parametry zale¿¹ nie tylko od rodzaju urz¹dzenia rozdrabniaj¹cego, ale i w³aœciwoœci stosowanego materia³u. Niestety, w literaturze mo¿na spotkaæ tylko czêœciowe rozwi¹zania w tym zakresie (Lowrison 1974; Drzyma³a 1992; Soko³owski 1992; Rajendran Nair 1999). Nadziejê daj¹ prace z grupy hipotez statystycznych, wœród których wyró¿nia siê: modele aproksymacyjne
* Dr in¿., Politechnika Czêstochowska, Wydzia³ In¿ynierii Mechanicznej i Informatyki, Instytut Maszyn Cieplnych, Czêstochowa; e-mail: zbronski@kkt.pcz.czest.pl
(Rosin i in. 1933; Schuman 1940; Ko³mogorov 1941; Svenson, Murkes 1958), modele oparte na bilansie masowym populacji ziaren (Broadbent, Callcott 1956; Whitten 1974; Ramkrishna, Mahoney 2002; Bilgili, Scarlett 2005) i modele wykorzystuj¹ce procesy Mar-kowa (Zemskov 1999; Berthiaux 2000; Siwiec 2001; Austin, Cho 2002). W przypadku modelowania procesu rozdrabniania strumieniowo-fluidalnego okreœlenie parametrów lub funkcji wchodz¹cych w sk³ad modeli aproksymacyjnych (Benz i in. 1996; Zhang i in. 2003) i modeli bilansu masowego populacji ziaren (Berthiaux, Dodds 1999; Hogg 1999; Ogurtsov i in. 2004; Zbroñski 2005; Fukunaka i in. 2006a, b) stanowi³o g³ówny aspekt dotychczasowych dzia³añ.
1. Cel i zakres pracy
Celem pracy jest pokazanie zastosowania uproszczonego modelu macierzowego ewo-lucji sk³adu ziarnowego w uk³adzie miel¹co-klasyfikujacym do opisu pracy m³yna strumie-niowo-fluidyzacyjnego. Zakres pracy obejmuje analizê, weryfikacjê eksperymentaln¹, iden-tyfikacjê parametryczn¹ i ocenê statystyczn¹ modelu. Podjête czynnoœci umo¿liwi¹ skróce-nie i obni¿eskróce-nie kosztów badañ, ze wzglêdu na mskróce-niejsz¹ liczbê informacji koskróce-niecznych do uzyskania na podstawie pomiarów doœwiadczalnych.
2. Modelowanie procesów zachodz¹cych w m³ynie strumieniowo-fluidyzacyjnym
2.1. M a c i e r z o w y m o d e l e w o l u c j i s k ³ a d u z i a r n o w e g o m a t e r i a ³ u Oczekiwany sk³ad ziarnowy produktu rzadko kiedy mo¿e byæ osi¹gniêty w procesie jednokrotnego rozdrabniania, dlatego te¿ powszechnie stosowane s¹ w wielu ga³êziach przemys³u uk³ady miel¹co-klasyfikuj¹ce. Modelowanie procesów zachodz¹cych w tego typu uk³adach jest skomplikowane i zale¿y miêdzy innymi od z³o¿onoœci schematu blokowego uk³adu. Zaproponowany w pracy (Zbroñski 2005) macierzowy model ewolucji sk³adu ziarnowego materia³u dotyczy uproszczonego uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego, opisuj¹cego laboratoryjny m³yn strumieniowo-fluidyzacyjny (rys. 1).
W rozwi¹zaniu technologicznym m³yna (rys. 1a) materia³ nadawy podawany jest od góry do komory mielenia, natomiast powietrze robocze za pomoc¹ sprê¿arki doprowadzane jest przez dysze. W dolnej czêœci komory mielenia powstaje burzliwa warstwa fluidalna, która gwarantuje intensywne mieszanie i rozdrabnianie ziaren (stopieñ mielenia ziaren – 1). Rozdrobniony materia³ unoszony jest przez powietrze najpierw do œrodkowej czêœci komory mielenia (stopieñ klasyfikacji grawitacyjnej ziaren – 2), a nastêpnie do obszaru pracy przep³ywowego klasyfikatora wirnikowego (stopieñ klasyfikacji odœrodkowej ziaren – 3). Grube ziarna s¹ kierowane do powtórnego rozdrabniania w komorze mielenia, a drobne
ziarna produktu s¹ wychwytywane w cyklonie lub w filtrze (stopieñ separacji zewnêtrznej – 4). Proponowany model obejmuje macierzowe równanie bilansowe ³¹cz¹ce poszczególne stop-nie i opis ewolucji sk³adu ziarnowego w ka¿dym stopniu uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego. Schemat blokowy uk³adu, z uwzglêdnieniem kierunków doprowadzenia poszczególnych strumieni materia³u przedstawiono na rysunku 1b.
Matematyczny model ewolucji sk³adu ziarnowego materia³u w dowolnym uk³adzie miel¹co-klasyfikuj¹cym przedstawiono w postaci równania macierzowego (Mizonov i in. 1997; Zbroñski 2005)
M F = –F0 (1)
gdzie:
M – macierz blokowa ca³ego uk³adu zawieraj¹ca (m × m) bloków lub (nm) × (mn) elementów opisuj¹cych ewolucjê sk³adu ziarnowego w uk³adzie
miel¹co-klasyfikuj¹cym, odpowiadaj¹ca liczbie i rozk³adowi poszczególnych stopni urz¹dzenia.
Rys. 1. Schemat m³yna strumieniowo-fluidyzacyjnego:
a) rozwi¹zanie technologiczne, b) schemat blokowy uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego N – nadawa, A – powietrze robocze, Pr – produkt, 1 – stopieñ mielenia ziaren, 2 – stopieñ klasyfikacji
grawitacyjnej, 3 – stopieñ klasyfikacji odœrodkowej, 4 – stopieñ separacji zewnêtrznej Fig. 1. Schematic diagram of the fluidized bed opposed jet mill:
a) technological solution, b) block diagram of milling-classify system N – fed material, A – working air, Pr – grinding product, 1 – stage of grains milling,
2 – stage of gravitational classification, 3 – stage of centrifugal classification, 4 –stage of external separation
W pracy (Zbroñski 2005) rozpatrzono tworzenie macierzy dla rozwa¿anego uk³adu, sk³adaj¹cego siê z m = 4 stopni (rys. 1b), gdzie gruboziarnisty produkt klasyfikacji grawitacyjnej i klasyfikacji odœrodkowej kierowany jest do m³yna wraz z nadaw¹. Macierz blokowa dla omawianego uk³adu przyjmuje postaæ
M = - - -é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú I I C I C 0 P I 0 0 C I 0 0 0 C I 2 3 2 3 0 (2) gdzie:
P – macierz przejœcia dla stopnia mielenia ziaren 1,
C2– macierz klasyfikacji dla stopnia klasyfikacji grawitacyjnej ziaren 2,
C3– macierz klasyfikacji dla stopnia klasyfikacji odœrodkowej ziaren 3,
I – macierz jednostkowa.
F – kolumnowa macierz nadawy stopni uk³adu zawieraj¹ca (m × 1) bloków albo (mn × 1) elementów opisuj¹cych wszystkie gêstoœci sk³adu ziarnowego fk
wchodz¹ce do danych stopni uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego (bez nadawy ze Ÿróde³ zewnêtrznych).
Macierz F dla omawianego uk³adu przyjmuje postaæ
F = [fk] = f f f f 1 2 3 4 é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú , k = 1, ..., 4 (3)
Przyk³adowo, macierz f1zawieraj¹ca elementy 1-go bloku macierzy F uk³adu (dotyczy
pierwszego stopnia uk³adu), przy uwzglêdnieniu j-tej klasy ziarnowej ma postaæ
f1= [f1j] = f f fn 11 12 1 K é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú , j = 1, ..., n (4)
F0 – kolumnowa macierz blokowa nadawy ca³ego uk³adu, zawieraj¹ca elementy o takim samym wymiarze jak macierz F, opisuj¹ce gêstoœæ sk³adu ziarnowego nadawy ze Ÿróde³ zewnêtrznych f0kpodawanej do wszystkich stopni uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego.
Macierz F0 dla omawianego uk³adu przyjmuje postaæ F0= [f0k] = f f f f 01 02 03 04 é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú = f 0 0 0 01 é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú , k = 1, ..., 4 (5)
Przyk³adowo macierz f01zawieraj¹ca elementy 1-go bloku macierzy F0uk³adu (dotyczy pierwszego stopnia uk³adu), przy uwzglêdnieniu j-tej klasy ziarnowej ma postaæ
f01= [f01j] = f f f n 011 012 01 K é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú , j = 1, ..., n (6)
Równanie (1) umo¿liwia wyznaczenie macierzy nadawy stopni uk³adu (produktu) w postaci
F = – M–1F0 (7)
gdzie M–1 to macierz odwrotna macierzy M.
Gêstoœæ sk³adu ziarnowego na wyjœciu z ca³ego uk³adu mo¿na obliczyæ z równania (7), w którym macierz M zawiera wszystkie dane niezbêdne do obliczenia ewolucji sk³adu ziarnowego w uk³adzie miel¹co-klasyfikuj¹cym. Konieczne jest zatem zdefiniowanie i wyz-naczenie elementów macierzy przejœcia P oraz macierzy klasyfikacji C2i C3.
2.2. W y z n a c z e n i e m a c i e r z y p r z e j œ c i a
W macierzowym modelowaniu procesu rozdrabniania w m³ynie funkcjê gêstoœci sk³adu ziarnowego produktu wyznacza siê z równania postaci
fp= P fn (8)
gdzie:
P – kwadratowa macierz przejœcia, której ka¿dy element wyra¿a
prawdopodobieñstwo przejœcia ziaren w wyniku rozbicia j-tej klasy nadawy do i-tej klasy produktu,
Poszukiwan¹ macierz przejœcia P wyznaczono w pracy dziêki wykorzystaniu macierzy selekcji S i macierzy rozdrabniania B, stosowanych powszechnie w modelowaniu statys-tycznym opartym na bilansie masowym populacji ziaren. Zale¿noœæ pomiêdzy funkcjami P,
S i B wyra¿ono w postaci (Otwinowski 2003)
P = (I – S) + BS (9)
Nale¿y nadmieniæ, ¿e funkcja selekcji S(y) okreœla prawdopodobieñstwo rozdrobnienia pojedynczego ziarna o rozmiarzey przy jednokrotnym obci¹¿eniu i zale¿y od parametrów obci¹¿enia. W przypadku jednokrotnego rozdrabniania monoklasy funkcja S(y) przedstawia udzia³ masowy rozdrobnionych ziaren nadawy. Natomiast funkcja B(x,y) to funkcja roz-drabniania (Bro¿ek i in. 1995) b¹dŸ funkcja rozk³adu (Auer 1978), która okreœla udzia³ masowy ziaren o rozmiarach mniejszych odx powsta³ych po jednokrotnym rozdrobnieniu ziaren o rozmiarzey. Funkcja B(x,y) zale¿y od fizykomechanicznych w³aœciwoœci ziaren nadawy (Otwinowski 2003).
Analizowany kamieñ wapienny przed badaniem rozdzielono przy u¿yciu sit nan klas ziarnowych. Sk³ad ziarnowy przedstawiono jako gêstoœæ masowego rozk³adu ziaren wed³ug rozmiarów w postaci macierzy jednokolumnowej f = [fi], gdzie i = 1, ..., n, przy czym klasie ziarnowej o maksymalnych rozmiarach odpowiada indeks i = 1. Za³o¿ono, ¿e dominuj¹cym mechanizmem rozdrabniania kamienia wapiennego w m³ynie strumieniowo-fluidyzacyjnym jest fluidalne œcieranie powierzchni ziaren (Zbroñski 2008). Oznacza to, ¿e w przypadku œcierania ziarno j-tej klasy mo¿e z prawdopodobieñstwem pj,jpozostaæ w swojej klasie (i = j),
z prawdopodobieñstwem pj+1,j przejœæ do s¹siedniej drobniejszej klasy (i = j + 1) oraz
z prawdopodobieñstwem pn,jprzejœæ do najdrobniejszej klasy (i = n). Wskazane zdarzenia
przedstawiaj¹ pe³n¹ grupê zdarzeñ elementarnych (rys. 2), których suma prawdopodo-bieñstw równa jest jednoœci
pj,j+ pj+1,j+ pn,j= 1 (10)
Rys. 2. Schemat ideowy œcierania ziaren j-tej klasy Fig. 2. Schematic diagram of the j-th class grains attrition
Diagonalne elementy pj,jmacierzy przejœcia, oznaczaj¹ce prawdopodobieñstwo
pozo-stania w rozpatrywanej klasie, wyra¿ono jako ró¿nicê pomiêdzy jednoœci¹ i wartoœci¹ funkcji selekcji w postaci dyskretnej
pj,j= 1 – Sj (11)
Elementy Sjmacierzy selekcji, które okreœlaj¹ prawdopodobieñstwo rozbicia ziarna j-tej
klasy nadawy podczas próby jednokrotnego obci¹¿enia, przedstawiono w postaci potêgowej zale¿noœci potwierdzonej doœwiadczalnie (Austin 1971; Mizonov, Zhukov 1991; Rajendran Nair 1999)
Sj= a yjb (12)
gdzie:
a – wspó³czynnik zale¿ny od rodzaju materia³u ziarnistego, b – wspó³czynnik zale¿ny od sposobu rozdrabniania
(wed³ug przyjêtej hipotezy: b = 0 – Kick, b = 0,5 – Bond, b = 1 – Rittinger), yj – rozmiar ziaren j-tej klasy nadawy.
Wyznaczone eksperymentalnie wartoœci wspó³czynników a i b powinny gwarantowaæ spe³nienie warunku Sj Î (0,1).
Niediagonalne elementy pi,jmacierzy przejœcia opisano zale¿noœci¹ (Otwinowski 2003)
pi,j= bi,jSj, i > j (13)
w której elementy bi,j macierzy rozdrabniania okreœlaj¹ udzia³ masowy rozdrobnionych
ziaren j-tej klasy ziarnowej nadawy, które przesz³y do i-tej klasy ziarnowej produktu, czyli jest to prawdopodobieñstwo znalezienia siê w i-tej klasie ziarnowej produktu ziaren po-chodz¹cych z rozdrobnionej czêœci j-tej klasy ziarnowej nadawy.
Zgodnie z wczeœniejszym za³o¿eniem rozdrobnione w wyniku œcierania ziarna mog¹ przechodziæ do s¹siedniej lub do najdrobniejszej klasy ziarnowej. W celu wyznaczenia prawdopodobieñstwa tych przejœæ rozpatrzono przypadek dowolnego przestrzennego kszta³-tu ziaren. W modelu przyjêto, ¿e dla takich ziaren œcieranie zachodzi w wyniku od³upywania ziaren o minimalnym rozmiarze xn. W tym przypadku, elementy bi,jmacierzy rozdrabniania
mo¿na wyraziæ jako iloraz prawdopodobieñstw przejœcia ziaren j-tej klasy do klas i = j + 1 oraz i = n, co odpowiada ilorazowi rozmiarów odpowiednich ziaren podniesionemu do potêgi (Ogurtsov i in. 2004; Zbroñski 2005)
bi,j= p p x x j 1, j n, j j+1 n c + =æ è çç öø÷÷ , i = j + 1, n (14)
gdzie:
c – wyk³adnik potêgi zale¿y od kszta³tu ziaren i sposobu ich œcierania.
W wyniku przekszta³cenia równania (10) i podstawienia w miejsce elementu pj,j
rów-nania (11) elementy pj+1,jmacierzy przejœcia wyra¿ono w postaci
pj+1,j= 1 – pj,j– pn,j= 1 – 1+ Sj– pn,j= Sj– pn,j (15)
Przekszta³caj¹c równanie (14) i dokonuj¹c podstawienia w miejsce elementu pj+1,j
wyra¿enia (15) wyznaczono elementy pn,jmacierzy przejœcia w postaci
pn,j= p x x (S p )x x S x x x j 1, j nc j+1 c j n, j nc j+1 c j nc j+1 c n c + = - = = + K (16)
Wyznaczone tak elementy pn,j podstawiono nastêpnie do równania (15) i dokonuj¹c
drobnych przekszta³ceñ otrzymano koñcow¹ postaæ wyra¿enia opisuj¹cego elementy pj+1,j
macierzy przejœcia w postaci
pj+1,j= Sj– pn,j= Sj– S x x x S x x x j nc j+1 c n c j j+1c j+1 c n c + = =K + (17)
Po uwzglêdnieniu równañ (11), (16) i (17) elementy pi,jmacierzy przejœcia wyra¿ono
w nastêpuj¹cej postaci pi,j= 1- = + = + = ¹ S j i j S x x x i j + 1 S x x x i n 0 i j, j j+1c j+1 c n c j nc j+1 c n c j + 1, n ì í ï ï ï ï î ï ï ï ï (18)
Przyk³adowo, dla przyjêtych n = 20 klas ziarnowych macierz przejœcia P przyjmuje postaæ
P = [pi,j] = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 3 -+ -+ -S S x x x S S x x x S 1 2c 2 c 20 c 2 3c 3 c 20 c K K K K K K K K K K K K 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 18 19 -+ -S S x x x S S 18 19c 19 c 20 c 1x x x S x x x S x x x S x x 20 c 2 c 20 c 2 20c 3 c 20 c 3 20c 4 c 20 c 18 20c 1 + + + K c9 20 c x S + é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú 19 1 ú ú ú ú ú ú ú ú ú (19)
W celu identyfikacji, wystêpuj¹cych w macierzy przejœcia P, parametrów a i b (funkcja selekcji) oraz c (funkcja rozdrabniania) wykonano w trakcie badañ wstêpnych seriê eks-perymentów rozdrabniania próbek kamienia wapiennego w m³ynie strumieniowo-fluidy-zacyjnym, przy okresowej pracy urz¹dzenia. Próby przeprowadzono dla ustalonej wartoœci strumienia objêtoœci powietrza (&V= 80 m3/h) o sta³ym nadciœnieniu (pn= 150 kPa) oraz sta³ej
wartoœci prêdkoœci obrotowej wirnika klasyfikatora (n = 18000 1/min) i masie materia³u nadawy (mn = 1500 g) w komorze mielenia m³yna. Eksperymentalne mielenie porcji
materia³u wymaga³o nastawienia maksymalnej prêdkoœci obrotowej wirnika klasyfikatora, aby ograniczyæ do minimum iloœæ drobnych ziaren opuszczaj¹cych komorê. Te eksplo-atacyjne warunki pozwoli³y zbli¿yæ siê do warunków procesu mielenia porcji materia³u, podczas krótkiego czasu trwania eksperymentu. W badaniach wykorzystano wybrane klasy ziarnowe kamienia wapiennego, które rozdrabniano przez okrest = 60 min, przy czym po czasie t = 20 min pobierano próbki do analizy sk³adu ziarnowego produktu pozosta³ego w komorze mielenia m³yna. Taki czas trwania obci¹¿enia (t = 20 min), nazwanego umownie jednokrotnym obci¹¿eniem (Otwinowski 2003), zosta³ wybrany w trakcie badañ wstêpnych, po uwzglêdnieniu w³aœciwoœci materia³u i warunków prowadzenia eksperymentu. Macierz przejœcia P dla jednokrotnego cyklu obci¹¿enia zosta³a wyznaczona z równania (18), na-tomiast obliczenia sk³adu ziarnowego produktu fppo kolejnych cyklach obci¹¿enia
prze-prowadzono wykorzystuj¹c równanie (8). Na rysunku 3 przedstawiono punktami wyniki eksperymentu rozdrabniania nadawy N3, natomiast liniami wyniki numeryczne przepro-wadzonej identyfikacji dla optymalnych parametrów (a = 0,03; b = 0,5 i c = 3). Uzyskana wartoœæ parametru identyfikacji c = 3 œwiadczy o proporcjonalnoœci udzia³u masowego poszczególnych klas w produkcie rozdrabniania do objêtoœci ziaren.
2.3. W y z n a c z e n i e m a c i e r z y k l a s y f i k a c j i
Macierz klasyfikacji Csopisuje proces rozdzia³u ziaren materia³u zachodz¹cy w s-tym
stopniu uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego dotycz¹cym klasyfikatora. Macierz ta jest macierz¹ diagonaln¹, której ka¿dy element csjstanowi udzia³ masowy tej czêœci j-tej klasy ziarnowej,
która przesz³a do drobnoziarnistego produktu klasyfikacji. Uwzglêdniaj¹c fakt, i¿ w oma-wianym przypadku (rys. 1b) klasyfikator stanowi drugi i trzeci stopieñ uk³adu, macierz klasyfikacji mo¿na przedstawiæ w postaci
Cs= [csj] = c c c c s1 s2 s3 s,n 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K K K K K K K K K K K K 0- 0 0 0 0 0 0 c c s,n 1 sn -é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú K , s = 2, 3; j = 1, ..., n (20)
Rys. 3. Porównanie eksperymentalnych (punkty) i numerycznych (linie) sk³adów ziarnowych produktu mielenia nadawy N3 kamienia wapiennego uzyskanych podczas badañ
w m³ynie strumieniowo-fluidyzacyjnym
Fig. 3. Comparison of experimental (points) and numerical (lines) results respecting particle size distributions of grinding product which comes from fed material N3 of limestone obtained during investigations
Macierz klasyfikacji mo¿na wyznaczyæ eksperymentalnie, przeprowadzaj¹c próby kla-syfikacji polidyspersyjnego materia³u, zawieraj¹cego wszystkie klasy ziarnowe. Czas trwania pojedynczej próby nie mo¿e byæ zbyt d³ugi, aby nie dopuœciæ do œcierania ziaren nadawy. Po wyznaczeniu sk³adu ziarnowego nadawy i produktów klasyfikacji mo¿na dla s-tego stopnia uk³adu obliczyæ elementy macierzy Cs, jako iloraz mas poszczególnych
klas ziarnowych. W przypadku trudnoœci przeprowadzenia prób klasyfikacji na drodze eksperymentalnej, w celu matematycznego opisu elementów macierzy klasyfikacji mo¿na wykorzystaæ zale¿noœæ w postaci (Molerus, Hoffmann 1969)
csj= 1 1 2 1 + - æ -è ç ç ö ø ÷ ÷ é ë ê ê ù û ú ú x x R x x j gs s j gs exp , s = 2, 3; j = 1, ..., n (21) gdzie:
csj – diagonalne elementy macierzy klasyfikacji s-tego stopnia uk³adu,
xj – œredni rozmiar ziaren j-tej klasy,
xgs– rozmiar ziarna granicznego w procesie klasyfikacji w s-tym stopniu uk³adu, dla którego wartoœæ elementów macierzy csj= 0,5,
Rs – parametr nieostroœci rozdzia³u ziaren polidyspersyjnej nadawy
w s-tym stopniu uk³adu, zale¿ny od typu i warunków pracy klasyfikatora. W zwi¹zku z trudnoœciami pomiaru sk³adu ziarnowego próbek bardzo drobnego ka-mienia wapiennego przy pomocy dostêpnej aparatury w pracy (Zbroñski 2005) do opisu elementów macierzy klasyfikacji stopnia grawitacyjnego C2i macierzy klasyfikacji stopnia
odœrodkowego C3skorzystano z równania (21). Wartoœci parametrów nieostroœci rozdzia³u
Rys. 4. Wp³yw wartoœci parametru Rsna przebieg krzywej rozdzia³u ziaren
ziaren polidyspersyjnej nadawy Rs, zaczerpniête z pozycji (Mizonov, Ushakov 1989),
przedstawiono na rysunku 4, natomiast rozmiary ziarna granicznego w procesie klasyfikacji grawitacyjnej xg2 i klasyfikacji odœrodkowej xg3 stanowi³y parametry przeprowadzonej
eksperymentalnej identyfikacji parametrycznej.
3. Eksperymentalna identyfikacja parametryczna modelu
Celem eksperymentalnej identyfikacji modelu by³o oszacowanie wartoœci wybranych parametrów wystêpuj¹cych w macierzy blokowej M uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego. Roz-wi¹zanie równania (7) dla wyznaczonych parametrów identyfikacji umo¿liwia progno-zowanie sk³adu ziarnowego produktu opuszczaj¹cego uk³ad.
Identyfikacjê parametryczn¹ przeprowadzono stosuj¹c nastêpuj¹ce za³o¿enia:
— funkcje dystrybuanty F(x) sk³adu ziarnowego nadawy i produktu mielenia przed-stawiono w postaci dyskretnej,
— przyjêto, ¿e rozmiary klas ziarnowych s¹ identyczne dla nadawy i produktu mielenia,
Rys. 5. Wyniki identyfikacji parametrycznej modelu mielenia strumieniowo-fluidalnego próbek nadawy N3 kamienia wapiennego, ustalone dla optymalnych parametrów procesu (mn= 3000 g, pn= 350 kPa, n = 6000 1/min,t = 60 min): 1 – nadawa, 2 – produkt klasyfikacji
grawitacyjnej, 3 – produkt klasyfikacji odœrodkowej, 4 – produkt mielenia Fig. 5. Results of parametric identification of the proposed model of fluidized-jet grinding
fed material N3 of limestone obtained for optimum parameters process
(mn= 3000 g, pn= 350 kPa, n = 6000 1/min,t = 60 min): 1 – fed material, 2 – product of gravitational
— przyjêto hipotezê o niezale¿nym rozdrabnianiu klas ziarnowych,
— przyjêto s³usznoœæ energetycznej hipotezy Bonda dla omawianego przypadku pro-cesu mielenia (Górecka, Otwinowski 2001).
Przedmiotem identyfikacji by³y nastêpuj¹ce parametry:
— wspó³czynnik proporcjonalnoœci a, wystêpuj¹cy w równaniu (12),
— rozmiar ziarna granicznego xg2w procesie klasyfikacji grawitacyjnej – równanie (21),
— rozmiar ziarna granicznego xg3w procesie klasyfikacji odœrodkowej – równanie (21).
Identyfikacjê parametryczn¹ modelu przeprowadzono na podstawie otrzymanych wy-ników badañ (Zbroñski 2005; Zbroñski, Górecka-Zbroñska 2007b). Oszacowanie niezna-nych parametrów rozk³adu badanej funkcji na podstawie wyników eksperymentu nale¿y do zagadnieñ teorii estymacji z zakresu statystyki matematycznej. Estymacjê poszczególnych parametrów przeprowadzono metod¹ najmniejszych kwadratów. Zrealizowano j¹ przy u¿y-ciu programu komputerowego, wykorzystuj¹c metodê polegaj¹c¹ na numerycznym genero-waniu wartoœci zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozk³adu (Krupka
TABELA 1 Zestawienie wartoœci parametrów identyfikacji modelu mielenia strumieniowo-fluidalnego kamienia
wapiennego uzyskane przy zmianie wybranych parametrów procesu
TABLE 1 Juxtaposition of parameters identification values of proposed model of fluidized-jet grinding of limestone
obtained during changes the selected parameters process
Parametr procesu WartoϾ
Wartoœci parametrów identyfikacji
t = 30 min t = 60 min a xg2 xg3 a xg2 xg3 Uziarnienie, d [mm] N1 0,4–0,63 0,0114 166,59 8,65 0,0143 154,27 9,98 N2 0,5–0,8 0,0100 164,32 6,76 0,0187 156,62 8,05 N3 0,63–1,0 0,0159 162,78 6,59 0,0103 158,06 5,44 N4 0,8–1,25 0,0164 141,99 5,78 0,0103 158,06 5,44 Masa zasypowa nadawy, mn[g] 1 500 0,0180 174,62 7,32 0,0180 170,74 7,22 3 000 0,0159 162,78 6,59 0,0103 158,06 5,44 4 500 0,0199 150,25 8,59 0,0188 163,20 8,56 Nadciœnienie powietrza roboczego, pn[kPa] 150 0,0101 143,56 10,43 0,0107 141,58 11,26 250 0,0101 147,94 8,57 0,0102 145,08 9,38 350 0,0159 162,78 6,59 0,0103 158,06 5,44 Prêdkoœæ obrotowa wirnika klasyfikatora, n [1/min] 2 000 0,0122 162,62 13,79 0,0114 167,07 13,49 4 000 0,0177 164,16 9,84 0,0195 165,40 10,97 6 000 0,0159 162,78 6,59 0,0103 158,06 5,44
i in. 1999). W pracy (Zbroñski 2005) numeryczn¹ optymalizacjê prowadzono do momentu uzyskania najlepszej zgodnoœci obliczonej funkcji F(x) z zale¿noœci¹ otrzyman¹ ekspe-rymentalnie. Przyk³adowe wyniki eksperymentalnej identyfikacji parametrycznej modelu uzyskane dla optymalnych parametrów procesu przedstawiono na rysunku 5. Punktami zaznaczono wyniki z eksperymentu, natomiast liniami przedstawiono przebiegi identy-fikowanych funkcji dotycz¹ce: nadawy – 1, produktu pochodz¹cego ze strefy klasyfikacji grawitacyjnej – 2 i strefy klasyfikacji odœrodkowej – 3 oraz wyjœciowego produktu miele-nia – 4. Wartoœci parametrów identyfikacji modelu dla wybranych parametrów procesu przedstawiono w tabeli 1.
4. Ocena statystyczna prognozowania sk³adu ziarnowego produktu
Celem statystycznej oceny prognozowania sk³adu ziarnowego produktu by³o porównanie wyników oznaczeñ eksperymentalnych (symbole z indeksem E) i numerycznych (symbole z indeksem N) oraz stwierdzenie, czy wystêpuj¹ istotne rozbie¿noœci miêdzy obydwoma oznaczeniami. W tym celu zastosowano klasyczny test Fishera-Snedecora (Gajek, Ka³uszka 2000), na podstawie którego wyznaczono zmienn¹ standaryzowan¹ ze wzoru
F =n n x x x x N E Ei E i 1 n Ni N i 1 n E N -- × -= =
å
å
1 1 2 2 ( ) ( ) (22) gdzie:xEi, xNi – wyniki oznaczeñ sk³adu ziarnowego produktu mielenia pochodz¹ce
z eksperymentu i obliczeñ numerycznych,
xE, xN – œrednie wartoœci oznaczeñ z próbek pochodz¹cych z eksperymentu i obliczeñ numerycznych,
nE, nN – liczebnoœæ próbki pochodz¹cej z eksperymentu i obliczeñ
numerycznych.
Wartoœci obliczonej funkcji porównuje siê z wartoœciami kwantyli Fishera-Snedecora F f ,f
E N
a, (Zieliñski 1972), gdzie:a – poziom istotnoœci, wyra¿a mo¿liwe do przyjêcia ryzyko
pope³nienia b³êdu; fE = nE – 1, fN = nN – 1 – liczba stopni swobody dla oznaczeñ
eksperymentalnych i numerycznych. Jeœli F < F f ,f
E N
a, to hipoteza zerowa (o równoœci
wariancji oznaczeñ eksperymentalnych i numerycznych sk³adu ziarnowego) jest prawdziwa. Jeœli natomiast F > F f ,f
E N
a, to wówczas hipotezê tê odrzuca siê stwierdzaj¹c, ¿e
oszacowa-ne wariancje nie pochodz¹ z tych samych populacji (Gajek, Ka³uszka 2000). W pracy (Zbroñski 2005) przeprowadzono powy¿sze obliczenia dla ka¿dej pary oznaczeñ xEi xN,
stwierdzaj¹c brak istotnych rozbie¿noœci pomiêdzy wynikami obliczeñ numerycznych i po-miarów eksperymentalnych sk³adu ziarnowego produktu mielenia strumieniowo-fluidal-nego (tab. 2). Dla poziomu istotnoœcia = 0,05 i liczby stopni swobody fE= fN= 19 wartoœæ
kwantyli F f ,f
E N
a, w ka¿dym przypadku jest wiêksza od wartoœci zmiennej
standaryzo-wanej F. Nie ma wiêc podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Wnioski
W pracy przedstawiono uproszczony macierzowy model ewolucji sk³adu ziarnowego materia³u w m³ynie strumieniowo-fluidyzacyjnym. Przeprowadzona eksperymentalna iden-tyfikacja parametryczna i ocena statystyczna modelu pozwoli³y na sformu³owanie nastê-puj¹cych wniosków:
TABELA 2 Wyniki oceny statystycznej prognozowania sk³adu ziarnowego koñcowego produktu mielenia
strumieniowo-fluidalnego kamienia wapiennego uzyskane przy zmianie parametrów procesu TABLE 2 Results of statistical estimation forecasting particle size distribution of fluidized-jet grinding product of
limestone obtained during changes parameters process
Parametr procesu WartoϾ
Czas mielenia t = 30 min t = 60 min F Fa , f , f E N F Fa , f , fE N Uziarnienie, d [mm] N1 0,4–0,63 1,023 2,165 1,015 2,165 N2 0,5–0,8 1,025 2,165 1,006 2,165 N3 0,63–1,0 0,992 2,165 1,005 2,165 N4 0,8–1,25 0,996 2,165 1,007 2,165 Masa zasypowa nadawy, mn[g] 1 500 0,999 2,165 0,996 2,165 3 000 0,992 2,165 1,005 2,165 4 500 0,986 2,165 0,994 2,165 Nadciœnienie powietrza roboczego, pn[kPa] 150 1,259 2,165 1,157 2,165 250 1,177 2,165 1,146 2,165 350 0,992 2,165 1,005 2,165
Prêdkoœæ obrotowa wirnika klasyfikatora,
n [1/min]
2 000 1,108 2,165 1,120 2,165
4 000 1,007 2,165 1,011 2,165
1. Prezentowany model oparty na bilansie masowym populacji ziaren umo¿liwia adekwat-ne prognozowanie sk³adu ziarnowego wyjœciowego produktu mielenia strumieniowo--fluidalnego.
2. Potwierdzono poprawnoœæ przyjêtych postaci elementów macierzy przejœcia oraz ma-cierzy klasyfikacji dla stopnia grawitacyjnego i stopnia odœrodkowego dziêki weryfikacji przeprowadzonej na podstawie wyników badañ eksperymentalnych rozdrabniania pró-bek kamienia wapiennego o ró¿nym uziarnieniu w laboratoryjnym m³ynie strumieniowo--fluidyzacyjnym.
3. Na podstawie testu Fishera-Snedecora stwierdzono, ¿e rozbie¿noœci miêdzy oznacze-niami sk³adu ziarnowego numerycznego i eksperymentalnego nie wystêpuj¹.
4. Wskazane jest dalsze prowadzenie prac nad modelowaniem procesu strumieniowo--fluidalnego rozdrabniania materia³ów ziarnistych. Istotne znaczenie ma eksperymen-talne wyznaczenie elementów macierzy klasyfikacji odœrodkowej i separacji zewnêtrz-nej, dziêki czemu mo¿liwe stanie siê prognozowanie sk³adu ziarnowego w dowolnym miejscu uk³adu miel¹co-klasyfikuj¹cego.
LITERATURA
A u e r A., 1978 – Model i identyfikacja procesów klasyfikacji i mielenia. Opole, ZN WSI, nr 26, s. 134. A u s t i n L.G., 1971 – A review introduction to the mathematical description of grinding as a rate process. Powder
Technology, vol. 5, pp. 1–17.
A u s t i n L.G., C h o H., 2002 – An alternative method for programming mill models. Powder Technology, vol. 122, pp. 96–100.
B e n z M., H e r o l d H., U l f i k B., 1996 – Performance of a fluidized bed jet mill as a function of operating parameters. International Journal of Mineral Processing, vol. 44–45, pp. 507–519.
B e r t h i a u x H., 2000 – Analysis of grinding processes by Markov chains. Chemical Engineering Science, vol. 55, pp. 4117–4127.
B e r t h i a u x H., D o d d s J.A., 1999 – Modeling fine grinding in a fluidized bed opposed jet mill: Part I. Batch grinding kinetics. Part II. Continuous grinding. Powder Technology, vol. 106, pp. 78–97.
B i l g i l i E., S c a r l e t t B., 2005 – Population balance modeling of non-linear effects in milling processes. Powder Technology, vol. 153, pp. 59–71.
B r o a d b e n t S.R., C a l l c o t t T.G., 1956 – A matrix analysis of processes involving particle assemblies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, vol. 249, no. 960, pp. 99–123. B r o ¿ e k M., M ¹ c z k a W., T u m i d a j s k i T., 1995 – Modele matematyczne procesów rozdrabniania. Kraków,
Wyd. AGH, Rozprawy Monografie 35, s. 75.
D r z y m a ³ a Z., 1992 – Badania i podstawy konstrukcji m³ynów specjalnych. Warszawa, WN PWN.
F u k u n a k a T., G o l m a n B., S h i n o h a r a K., 2006a – Batch grinding kinetics of ethenzamide particles by fluidized-bed jet milling. International Journal of Pharmaceutics, vol. 311, 1–2, pp. 89–96.
F u k u n a k a T., G o l m a n B., S h i n o h a r a K., 2006b – Continuous grinding kinetics of ethenzamide particles by fluidized-bed jet milling. Drug Development and Industrial Pharmacy, vol. 32, 3, pp. 347–355. G a j e k L., K a ³ u s z k a M., 2000 – Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Warszawa, WNT.
G ó r e c k a A., O t w i n o w s k i H., 2001 – Teorie rozdrabniania i ich klasyfikacja. Cz. 1–2. Cement Wapno Beton, nr 3, s. 96–98; nr 4, s. 148–150.
H o g g R., 1999 – Breakage mechanisms and mill performance in ultrafine grinding. Powder Technology, vol. 105, pp. 135–140.
K o ³ m o g o r o v A.N., 1941 – O logaritmiczeski normalnom zakonie raspredelenija razmerov czastic pri droblenii. AN SSSR, t. 31, s. 99–101.
K r u p k a J., M o r a w s k i R.Z., O p a l s k i L.J., 1999 – Wstêp do metod numerycznych. Warszawa, Wyd. Politechniki Warszawskiej.
L o w r i s o n G.C., 1974 – Crushing and grinding. London, Butterworth.
M i z o n o v V.E., U s h a k o v S.G., 1989 – Aerodinamièeskaja klassifikacija poroskov. Moskva, Chimija, s. 160. M i z o n o v V.E., Z h u k o v V.P., 1991 – Mathematical description of distributed comminution processes.
Technology Today, vol. 4, pp. 203–206.
M i z o n o v V., Z h u k o v V., B e r n o t a t S., 1997 – Simulation of grinding: new approaches. ISPEU Press, Ivanovo, pp. 108.
M o l e r u s O., H o f f m a n n H., 1969 – Darstellung von Windsichtertrenn-kurven durch ein stochastisches Modell. Chemie Ingenieur Technik, vol. 41, no. 5–6, pp. 340–344.
O g u r t s o v A.V., Z b r o ñ s k i D., Z h u k o v V.P., O t w i n o w s k i H., U r b a n i a k D., 2004 – Metod rascjeta strujnoj mielnicy kipjaszego sloja. VUZ “Chimija i chimièeskaja technologija” Ivanovo, t. 47, z. 10, s. 122–124.
O t w i n o w s k i H., 2003 – Entropia informacyjna w modelowaniu procesu rozdrabniania. Praca habilitacyjna, Rozprawy Monografie 124, Kraków, Ucz. Wyd. Nauk.–Dyd. AGH, s. 154.
R a j e n d r a n N a i r P.B., 1999 – Material characteristics and the breakage parameters in a circular fluid energy mill. Advanced Powder Technology, vol. 10, no. 1, pp. 21–36.
R a m k r i s h n a D., M a h o n e y A.W., 2002 – Population balance modelling. Promise for the future. Chemical Engineering Science, vol. 57, pp. 595–606.
R o s i n P., R a m m l e r E., S p e r l i n g F., 1933 – Korngrössenprobleme des Koklenstaubes und ihre Bedeutung für die Vermahlung. Berichte des Reichskohlenrates, Bericht C 52, Berlin, VDI-Verlag.
S a l m a n A., G h a d i r i M., H o u n s l o w M., (editors) 2007 – Handbook of Powder Technology, Particle Breakage, III. Modelling. Elsevier B.V., vol. 12, pp. 1240.
S c h u m a n R., 1940 – Principles of comminution and size distribution and surface calculations. Amer. Inst. Min. Metal. Eng., Tech. Publ. 1189.
S i w i e c A., 2001 – Relationships between particle size distribution and work in a grinding process. Archives of Mining Sciences, vol. 46, no 4, pp. 519–526.
S o k o ³ o w s k i M., 1992 – Uogólniona hipoteza rozdrabniania oraz metoda wyznaczania sta³ych materia³owych. IX Gliwickie Sympozjum Teorii i Praktyki Procesów Przeróbczych „Podstawowe problemy procesów rozdrabniania”, Gliwice, s. 131–143.
S v e n s o n J., M u r k e s J., 1958 – An empirical relationship between work input and particle size distribution before and after grinding progress in mineral dressing. Verlang Almquist Wiksell, 37/85, Stockholm. W h i t e n W.J., 1974 – A matrix theory of comminution machines. Chemical Engineering Science, vol. 29,
pp. 589–599.
Z b r o ñ s k i D., 2005 – Badanie i modelowanie procesu strumieniowo-fluidalnego rozdrabniania materia³ów ziarnistych. Praca doktorska, Politechnika Czêstochowska, s. 148.
Z b r o ñ s k i D., 2008 – Analiza oddzia³ywania wybranych parametrów procesu na osi¹gi m³yna strumieniowo--fluidyzacyjnego. Czêœæ III. Mechanizm rozdrabniania ziaren. Gospodarka Surowcami Mineralnymi, t. 24, z. 1/1, s. 19–25.
Z b r o ñ s k i D., G ó r e c k a -Z b r o ñ s k a A., 2007a – Analiza oddzia³ywania wybranych parametrów procesu na osi¹gi m³yna strumieniowo-fluidyzacyjnego. Czêœæ I. Wydajnoœæ m³yna. Gospodarka Surowcami Mine-ralnymi, t. 23, z. 1, s. 152–163.
Z b r o ñ s k i D., G ó r e c k a -Z b r o ñ s k a A., 2007b – Analiza oddzia³ywania wybranych parametrów procesu na osi¹gi m³yna strumieniowo-fluidyzacyjnego. Czêœæ II. Sk³ad ziarnowy produktu mielenia. Gospodarka Surowcami Mineralnymi, t. 23, z. 2, s. 65–74.
Z e m s k o v E.P., 1999 – Time-dependent particle size distributions in comminution. Powder Technology, vol. 102, pp. 71–74.
Z h a n g K., Z h a n g J., Z h a n g B., 2003 – Experimental and numerical study of fluiddynamic parameters in a jetting fluidized bed of a binary mixture. Powder Technology, vol. 132, pp. 30–38.
Z h u k o v V.P., M i z o n o v V.E., F i l i t c h e v P., B e r n o t a t S., 1998 – The modelling of grinding processes by means of the principle of maximum entropy. Powder Technology, vol. 95, pp. 248–253.
Z i e l i ñ s k i R., 1972 – Tablice statystyczne. Warszawa, PWN.
ANALIZA ODDZIA£YWANIA WYBRANYCH PARAMETRÓW PROCESU NA OSI¥GI M£YNA STRUMIENIOWO-FLUIDYZACYJNEGO.
CZÊŒÆ IV: PROGNOZOWANIE UZIARNIENIA PRODUKTU MIELENIA
S ³ o w a k l u c z o w e
Modelowanie, macierz przejœcia, macierz klasyfikacji, identyfikacja parametryczna, ocena statystyczna, mielenie, m³yn strumieniowo-fluidyzacyjny
S t r e s z c z e n i e
Przemys³owe urz¹dzenia realizuj¹ce przeróbkê materia³ów ziarnistych w warunkach wysokoenergetycznej warstwy fluidalnej pozwalaj¹ uzyskaæ gwarantowane uziarnienie produktu, przy jednoczesnym zmniejszeniu energoch³onnoœci procesu. W czêœci IV artyku³u zaprezentowano macierzowy model ewolucji sk³adu ziarnowego materia³u w m³ynie strumieniowo-fluidyzacyjnym. Proponowany model oparty na równaniu bilansu masowego populacji ziaren sk³ada siê z trzech macierzy blokowych: macierzy ca³ego uk³adu M, macierzy wejœæ (nadawy b¹dŸ produktu) stopni uk³adu F i macierzy nadawy ca³ego uk³adu F0. W omawianym przypadku w macierzy blokowej M wystêpuj¹: macierz jednostkowa I, macierz zerowa 0, macierz przejœcia P i dwie macierze klasyfikacji C. Macierz przejœcia wyznaczono, bazuj¹c na dyskretnych postaciach funkcji selekcji i funkcji rozdrabniania, zaœ macierze klasyfikacji – wykorzystuj¹c równanie, opisuj¹ce klasyfikacjê ziaren w komorze mielenia m³yna. W pracy podano model (punkt 2.1), potwierdzono poprawnoœæ przyjêtych dyskretnych postaci funkcji selekcji i funkcji roz-drabniania oraz przedstawiono sposób wyznaczenia macierzy przejœcia dla fluidalnego mielenia ziaren (punkt 2.2), a tak¿e macierzy klasyfikacji grawitacyjnej i odœrodkowej ziaren (punkt 2.3). Weryfikacje modelu uzyskano opieraj¹c siê na wynikach z badañ eksperymentalnych, które przeprowadzono na laboratoryjnym stanowisku m³yna strumieniowo-fluidyzacyjnego. Eksperyment obejmowa³ mielenie wybranych klas ziarnowych kamienia wapiennego w warunkach burzliwej warstwy fluidalnej, co przedstawiono w czêœci I i II artyku³u (Zbroñski, Górecka-Zbroñska 2007a, b). Parametrami identyfikacji by³y: wspó³czynnik proporcjonalnoœci – wystêpuj¹cy w równaniu dyskretnej postaci funkcji selekcji oraz rozmiary ziaren granicznych – wystêpuj¹ce w równaniu na diagonale elementy macierzy klasyfikacji dla stopnia grawitacyjnego i stopnia odœrodkowego (punkt 3). Do oceny statystycznej prognozowania uziarnienia produktu mielenia zastosowano klasyczny test Fishera--Snedecora (punkt 4). Potwierdzono brak istotnych rozbie¿noœci miêdzy oznaczeniami sk³adu ziarnowego nu-merycznego i eksperymentalnego. Przeprowadzona weryfikacja eksperymentalna, identyfikacja parametryczna i ocena statystyczna modelu dowodzi, ¿e mo¿liwe jest adekwatne prognozowanie sk³adu ziarnowego produktu mielenia strumieniowo-fluidalnego.
ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF SELECTED PARAMETERS PROCESS ON THE PERFORMANCE OF FLUIDIZED BED OPPOSED JET MILL. PART IV: FORECASTING OF PARTICLE SIZE DISTRIBUTION OF GRINDING PRODUCT
K e y w o r d s
Modelling, transition matrix, classification matrix, parametric identification, statistical estimation, grinding, fluidized bed opposed jet mill
A b s t r a c t
The industrial grinding devices, which work in the high-energetic fluidized bed conditions make it possible to obtain guaranteed particle size distribution of product and decrease of consumption energy. The matrix model for transformation of particle size distribution in the fluidized bed opposed jet mill is presented in the part IV of article. The proposed model contains the mass population balance of particle equation, in which are block matrices: the matrix of circuit M, the matrix of inputs F and the matrix of feed F0. The matrix M contains blocks with the transition matrix P, the classification matrix C, the identity matrix I and the zero matrix 0. The matrix was marked using with discrete forms of the selection and breakage functions, meanwhile the matrices of classification – using the equation, describing classification of grains in the grinding chamber of mill. In paper was discussed this model in details (part 2.1). The correctness of received form of the selection and breakage functions was confirmed. The method determination of the transition matrix for fluidized-jet grinding of grains (part 2.2) and the classification matrix for gravitational and centrifugal zones of grains (part 2.3) are presented. The verification of model obtained on basis results with experimental investigations, which were performed on a laboratory fluidized bed opposed jet mill. The experiment contained grinding of selected narrow size fractions of limestone in turbulent fluidized layer conditions, what in part I and part II of article (Zbroñski, Górecka-Zbroñska 2007a, b) are presented. The parameters of parametric identification were: factor of proportionality – contained in the equation on the discrete form of selection function and sizes of limiting grains – contained in equation on the diagonal elements of classification matrix for stage of gravitational and centrifugal (part 3). The classic Fisher-Snedecor test was applied for estimation of prediction particle size distribution of grinding product (part 4). The significant divergences between numerical and experimental results of particle size distribution weren’t affirmed. The experimental verification, parametric identification and statistical estimation of the proposed model showed that this model make it possible to forecasting particle size distribution of grinding product.
