Gęstościowa postać równań
Kedem-Katchalsky’ego dla
roztworów nieelektrolitów
Andrzej Ślęzak
Katedra Zdrowia Publicznego
Politechnika Częstochowska, Częstochowa
Streszczenie
Przedstawiono sposób przekształcenia równań Kedem-Katchalskego z postaci stęże-niowej do gęstościowej. Równania te zastoso-wano do matematycznego opisu strumienia objętościowego (Jv) przez sztuczną
membra-nę polimerową w warunkach polaryzacji stężeniowej, tj. istnienia po obydwu stronach membrany stężeniowych warstw granicz-nych ll i lh.
Otrzymany model matematyczny, jest równaniem trzeciego stopnia, w którym współczynniki zawierają parametry trans-portowe membrany (Lp, σ, ω), gęstości
roz-tworów (ρl, ρh), współczynniki dyfuzji w
war-stwach ll i lh (Dl, Dh) oraz grubości
stężenio-wych warstw granicznych (δl, δh). Zakładając,
że warstwy ll i lh są symetryczne (δl = δh = δ)
oraz, że współczynniki Dl i Dh nie zależą
od stężenia, otrzymano przez odpowiednią transformację modelu dla Jv, równanie
kwa-dratowe dla δ.
Słowa kluczowe: transport membranowy,
równania Kedem-Katchalsky’ego, stężeniowe warstwy graniczne, gęstość masowa
Density form
of Kedem-Katchalsky Equations
for Non-Electrolyte Solutions
Summary
A method of transformation of the Ke-dem-Katchalsky equations from concentra-tion to density form was presented. These equations were applied for mathematical description of the volume flux (Jv) through
polymeric membrane in concentration po-larization conditions, i.e. in existence on both sides of the membrane of concentration boundary layers (ll, lh).
Obtained model is the cubic equation, in which coefficients contain the membrane transport parameters (Lp, σ, ω), density of
so-lutions (ρl, ρh), diffusion coefficients in layers
(Dl, Dh) and thicknesses of ll and lh.
Assum-ing that the layers ll and lh are symmetric (δl =
δh = δ) and coefficients Dl and Dh are not
de-pendent on concentration, the suitable trans-formation of model for Jv the square equation
for δ was obtained.
Key words: membrane transport,
Kedem-Katchalsky equations, concentration bound-ary layers, mass density
WSTĘP
Równania Kedem-Katchalsky’ego (K-K) są jed-nym z podstawowych narzędzi badawczych trans-portu membranowego, szczególnie wtedy, gdy mem-brana traktowana jest jak „czarna skrzynka”. Są one wykorzystywane do badania transportu zarówno roztworów jednorodnych (równomiernie mieszanych mechanicznie) [1], jak i roztworów niejednorodnych (nie mieszanych mechanicznie) [2]. W klasycznej po-staci z 1958 roku równania te opisują transport mem-branowy jednorodnych roztworów nieelektrolitów [3], generowany przez dwie siły napędowe: różnicę
ciśnień osmotycznych (Δπ) i różnicę ciśnień hydro-statycznych (ΔP). Efektem działania tych dwóch sił (bodźców termodynamicznych) są strumienie: obję-tościowy (Jv) i solutu (Js). Postać tych równań dla
bi-narnych roztworów nieelektrolitów jest następująca Jv =Lp[ΔP−σRT(Ch−Cl)] (1)
Js = RT(Ch−Cl)+C(1−σ)Jv (2)
gdzie: Lp, σ i ω są odpowiednio współczynnikami
przepuszczalności hydraulicznej, odbicia i przepusz-czalności solutu; ∆P = Ph – Pl – różnica ciśnień
hy-drostatycznych, ∆π = RT(Ch – Cl) – różnica ciśnień
osmotycznych; RT – iloczyn stałej gazowej i tempera-tury termodynamicznej; Ch i Cl – stężenia roztworów
w przedziałach rozdzielanych przez membranę (Ch
> Cl); C – = (Ch–Cl)[ln(ChCl–1)]–1≈0.5(Ch+Cl) – średnie
stężenie roztworów w membranie.
Równanie (2) po uwzględnieniu w nim równa-nia (1) można zapisać w następującej postaci
Ze względu na występowanie w równaniach (1)–(3) stężenia roztworów, równania te stanowią stężeniową postać równań Kedem-Katchalsky’ego. Należy wspomnieć, że użyteczność równań (1)–(3) została wielokrotnie potwierdzona [1, 4, 5]. W ostat-nim dwudziestoleciu ukazał się interesujący cykl prac poświęconych interpretacji współczynników transportowych, występujących w równaniach Ke-dem-Katchalsky’ego. Przedstawiony w tych pracach tzw. mechanistyczny opis transportu membranowe-go (model Karmembranowe-golów), uwzględnia między innymi porowatość membrany. Zwięzły opis rezultatów tych badań został przedstawiony w pracy [6].
Rezultaty wielu badań wskazują, że oprócz linio-wych efektów związanych ze składem i stężeniami roztworów, pojawiają się nieliniowe efekty związane ze składem i gęstością roztworów. Owe efekty wystę-pują wtedy, gdy roztwory rozdzielane przez membra-nę są niejednorodne, a więc pozbawione odpowied-niego mieszania mechanicznego. Przyczyną nieli-niowych efektów w transporcie membranowym są stężeniowe warstwy graniczne kreowane dyfuzyjnie po obydwu stronach membrany oraz niestabilności hydrodynamiczne (konwekcyjne) tych warstw, któ-rych pojawianie się jest uzależnione od relacji mię-dzy siłami wyporu i lepkości roztworów [7].
Aby uwzględnić te efekty w równaniach Kedem-Katchalsky’ego, należy wprowadzić do nich gradient
P C L C C RT C L Js =[ω− pσ(1− σ) ] ( h − l)+ p(1− σ) Δ (3)
gęstości roztworów. W związku z tym w obecnej pracy zostaną przekształcone równania Kedem-Kat-chalsky’ego tak, aby zawierały różnicę gęstości roz-tworów. Otrzymane równania zostaną zastosowane do opisu strumienia objętościowego przez membra-nę roztworów w warunkach polaryzacji stężeniowej oraz grubości stężeniowych warstw granicznych.
GĘSTOŚCIOWA POSTAĆ RÓWNAŃ KEDEM-KATCHALSKYEGO
Ze względu na gęstość roztwory binarne, tj. roz-twory, których jednym składnikiem (rozpuszczalni-kiem) jest woda, a drugim substancja rozpuszczona, można przypisać do jednej z dwóch grup. Do pierwszej grupy zaliczymy te roztwory, których gęstość rośnie ze wzrostem stężenia. Tę kategorię roztworów tworzą wodne roztwory glukozy, sacharozy czy NaCl. Z kolei do drugiej grupy roztworów należą te roztwory, któ-rych gęstość maleje ze wzrostem stężenia. Przykładami takich roztworów są wodne roztwory pierwszorzędo-wych alkoholi (etanol, metanol, etc.) oraz amoniaku.
W przypadku rozcieńczonych roztworów nie-elektrolitów, gęstość roztworu można przedstawić za pomocą następującego wyrażenia [7]
k o ∂CCk ∂ +
= ρ ρ
ρ (4)
gdzie: ρk i ρo oznaczają odpowiednio gęstość roztworu
i rozpuszczalnika; Ck – stężenie roztworu (k = h lub
l); ∂ρ/∂C – stężeniowy gradient gęstości. Korzystając z relacji (4) i wykonując niezbędne przekształcenia al-gebraiczne można otrzymać następujące wyrażenie
h l ( h l) C C C ρ ρ ρ − ∂ ∂ = − (5)
Uwzględniając równanie (5) w równaniach (1) i (2) otrzymujemy następującą postać równań Ke-dem-Katchalsky’ego dla jednorodnych roztworów nieelektrolitów )] ( Δ [ h l p v L P RT C J ρ ρ ρ σ − ∂ ∂ − = (6) s RT h l Jv C J (ρ ρ) ρ(1 ρ) ρ ω − + − ∂ ∂ = (7) gdzie: ρ–=∂C/∂ρ(∆ρh–∆ρl){ln[(∆ρh)(∆ρl)–1]}–1≈ ≈0.5∂C/∂ρ(ρh+ρl–2ρo), ∆ρh=ρh –ρo, ∆ρl=ρl –ρo.
Uwzględniając równanie (6) w równaniu (7) otrzymujemy
Równania (6)–(8) stanowią gęstościową postać równań Kedem-Katchalsky’ego dla jednorodnych roztworów nieelektrolitów. W następnych rozdzia-łach wykorzystamy równania (6) i (7) w celu otrzy-mania modelu matematycznego strumienia objęto-ściowego niejednorodnych roztworów nieelektroli-tów, tj. w warunkach polaryzacji stężeniowej
ZASTOSOWANIE GĘSTOŚCIOWEJ POSTACI RÓWNAŃ K-K DO ANALIZY TRANSPORTU MEMBRANOWEGO W WARUNKACH
POLARYZACJI STĘŻENIOWEJ
Rozważmy transport membranowy w układzie jednomembranowym, przedstawionym na rycinie 1. W owym układzie przedziały (l) i (h), rozdzielone poro-watą, symetryczną, selektywną i elektroobojętną mem-braną (m), zawierają niejednorodne roztwory tej samej substancji nieelektrolitycznej o stężeniach odpowiednio Cl i Ch (Cl < Ch). Oznacza to, że roztwór wypełniający
przedział l ma w każdym punkcie przedziału (także na granicy z membraną) stężenie Cl i analogicznie, roztwór
wypełniający przedział h ma w każdym punkcie prze-działu (także na granicy z membraną) stężenie Ch.
Od-powiadająca tym stężeniom gęstość roztworów wynosi odpowiednio ρl i ρh (ρl < ρh). Ciśnienia hydrostatyczne
oznaczymy przez Pl i Ph (Ph > Pl).
W takich warunkach dyfundujący przez membra-nę w jednym kierunku i woda w przeciwnym, tworzą po obydwu jej stronach stężeniowe warstwy graniczne oznaczone przez ll i lh. Warstwy te, których grubość
oznaczymy przez δl i δh, będziemy traktować, podobnie
jak w poprzednich pracach [8–10], jako pseudomem-brany, tj. nieselektywne membrany o współczynnikach odbicia spełniających warunek σl = σh = 0. Rozważać
bę-dziemy jedynie stacjonarne procesy transportu mem-branowego zachodzące w warunkach izotermicznych.
Ponadto zakładamy, że w roztworach rozdziela-nych przez membranę nie zachodzą reakcje chemicz-ne. Kreacja stężeniowych warstw granicznych ll i lh
powoduje zmiany stężenia na stykach ll/m i m/lh:
stę-żenie Cl rośnie do wartości Ce, a stężenie Ch – maleje
do wartości Ci. W takim razie także gęstość ρl rośnie
do wartości ρe, a gęstość ρh – maleje do wartości ρi.
P L RT C L Js [ p (1 )] (ρh ρl) pρ(1 ρ)Δ ρ σ ρ σ ω − + − ∂ ∂ − − = (8)
Właściwości transportowe membrany (M) są scharakteryzowane przez współczynniki: przepusz-czalności hydraulicznej (Lp), odbicia (σm) i
prze-puszczalności solutu (ωm). Właściwości warstw ll i lh
scharakteryzujemy przez przypisanie im współczyn-ników przepuszczalności solutu odpowiednio ωl i ωh
oraz współczynników dyfuzji Dl i Dh. Współczynnik
przepuszczalności kompleksu ll/m/lh oznaczymy
przez ωs. Między współczynnikami ωl, ωh, ωm i ωs
słuszna jest relacja [1]
ωs−1 = ωm−1 +ωl−1 +ωh−1 (9)
gdzie: ωl = Dl (RTδl)–1, ωh = Dh (RTδh)–1.
Współczyn-niki Lp, σm, ωl, ωh, ωm i ωs zdefiniowano w
poprzed-nich pracach [10].
Korzystając z równania (6), w sytuacji przed-stawionej na rycinie 1, strumień objętościowy przez membranę w warunkach polaryzacji stężeniowej (Jvm) można opisać przy pomocy wyrażenia
[ ( ) ΔP] C
RT L
Jvm= pm σm ∂∂ρ ρi− ρe + (10)
Ryc. 1. Układ membranowy: m – membrana; ll i lh
– stężeniowe warstwy graniczne; Ph i Pl – ciśnienia
hydrostatyczne; ρl i ρh – gęstości roztworów poza
warstwami ll i lh; ρi and ρe – gęstości roztworów na
granicach ll/M i M/lh; Jvm – strumień objętościowy
przez membranę m; Jsl, Jsh i Jsm – strumienie solutu
odpowiednio przez warstwy ll, lh i membranę m
Fig. 1. The membrane system: m – membrane; ll and
lh – the concentration boundary layers, Ph and Pl –
mechanical pressures; ρl and ρh – densities of
solu-tions outside the boundaries; ρI and ρe – the densities
of solutions at boundaries ll/M and M/lh; Jvm – the
volume fluxes through membrane m; Jsl, Jsh and Jsm –
the solute fluxes through layers ll, lh and membrane,
respectively Jsh Jsl Jsm Jvm ρi ρe ρl ρh lh ll m h l Pl Ph
Nieznane gęstości ρi i ρe można obliczyć
zapisu-jąc równanie (7) dla strumieni Jsh, Jsm i Jsl oraz
korzy-stając z warunku stacjonarności dla owych strumie-ni
Jsh= Jsm = Jsl = Js (11)
W celu obliczenia gęstości ρi i ρe
przeprowadzi-my następujące rozważania. Pierwszym krokiem tych rozważań jest zapisanie równania (7) dla war-stwy lh (indeks h), membrany (indeks m) i warstwy ll
(indeks l). Równania te opisujące strumienie Jsh, Jsm
i Jsl mają postać
Uwzględniając kolejno równania (12)–(14) w równaniu (11) otrzymujemy 1 2 3 2 2 3 2 1 vm vm vm vm i J J J J β β β α α α ρ + + + + = (15) 1 2 3 2 2 3 2 1 vm vm vm vm e J J J J β β β χ χ χ ρ + + + + = (16) gdzie: − + + − ∂ ∂ = − ( 2 ) 2 1 ) ( 1 o i h vm i h h h sh C D J J δ ρ ρ ρ ρ ρ ρ (12) − + − + − ∂ ∂ = (1 )( 2 ) 2 1 ) ( i e vm m i e o m sm C RT J J ω ρ ρ σ ρ ρ ρ ρ (13) − + + − ∂ ∂ = − ( 2 ) 2 1 ) ( 1 o l e vm l e l l sl C D J J δ ρ ρ ρ ρ ρ ρ (14) ) ( 1 1 1 1=ρlDlδl−ωmRT+ρhDhδh− ωmRT+Dlδl− α , )]} 2 ( [ ) )( {( 1 1 1 2 1 2 ωmRT Dlδl ρh ρl σm ρhDhδh Dlδl ρl ρo α = + − − + − + − − , ]} 2 ) [( { 4 1 3 ρl σm ρh ρl ρo α = + − − , ) ( 1 1 1 1=ρhDhδh− ωmRT+ρlDlδl− ωmRT+Dhδh− χ , )]} 2 ( [ ) )( {( 1 1 1 2 1 2 ωmRT Dhδh ρh ρl σm ρlDlδl Dhδh ρh ρo χ = + − − − − + − − , ]} 2 ) [( { 4 1 3 ρh σm ρh ρl ρo χ = − − + , ) ( 1 1 1 1=ωmRTDlδl− +Dhδh− ωmRT +Dlδl− β , ) ( 1 1 2 1 2 = σm Dhδh− −Dlδl− β , ) 2 1 ( 4 1 3 σm β = −
Uwzględniając równania (15) i (16) w równaniu (10) otrzymujemy Jvm3 + γ1Jvm2 + γ2Jvm + γ3 = 0 (17) gdzie: 1 3 3 3 3 2 1={ − [ ∂∂ (α −χ )+β Δ ]}β − ρ σ β γ Lpm mRT C P 1 3 2 2 2 1 2={ − [ ∂∂ (α −χ )+β Δ ]}β − ρ σ β γ Lpm mRT C P 1 3 1 1 1 3 =− [ ∂∂ (α −χ )+βΔ ]β − ρ σ γ Lpm mRT C P
Załóżmy, że współczynnik dyfuzji w warstwach ll i lh jest niezależny od stężenia (Dl = Dh = D) oraz, że
warstwy ll i lh są symetryczne (δl = δh = δ). Czyniąc
odpowiednie przekształcenia algebraiczne możemy pokazać, że
ξ1δ2 + ξ2δ + ξ3 = 0 (18)
gdzie:
WYNIKI BADAŃ I DYSKUSJA
Biorąc pod uwagę równanie (18), wy-konano obliczenia grubości stężeniowych warstw granicznych (δ) od różnicy gęstości wodnych roztworów glukozy (Δρ). Różnicę gęstości obliczono na podstawie wyrażenia
Δρ = ρh – ρl (19)
gdzie: ρh – gęstość roztworu o stężeniu
mo-lowym Ch, ρl – gęstość roztworu o stężeniu
molowym Cl. Gęstości ρh i ρl roztworów
glu-kozy wyznaczono metodą piknometryczną, a wyniki badań przedstawiono na rycinie 2. Z przedstawionej na tej rycinie zależności ρh
= f(Ch) wyznaczonej eksperymentalnie
wy-nika, że ρh = ρ0 (1 + αCCh) (20) )} ( ) Δ ( { ) 2 1 ( 2 21 2 1 1 σm Jvm Jvm Lpm P LpmσmRT C ρh ρl ξ = − − − ∂∂ρ − )] ( ) Δ ( 2 [ 2 2 DRT ωm Jvm Lpm P Lpmσm C ρh ρl ξ = − − ∂∂ρ + ]} Δ ) ( [ { 2 3 =D Jvm −Lpm σmRT ∂∂C ρh −ρl + P ξ ρ
gdzie: αC = ρ0–1∂ρ/∂C, ρ0 – gęstość wody. Z
wykre-su przedstawionego na rycinie 2 wynika, że ρl = ρ0
= 998,2 kg m–3, ∂ρ/∂C = 0,06 kg mol–1. W związku
z tym dla wodnych roztworów glukozy αC = 6.01 ×
10–5 m3 mol–1.
W celu sporządzenia charakterystyki Jvm = f(Δρ),
wykorzystamy charakterystykę Jvm = f(ΔC)
przedsta-wioną w pracy [11] oraz zależności (19) i (20). Charak-terystykę Jvm = f(ΔC) uzyskano dla sytuacji, w której
selektywna membrana (Nephrophan) była usytuowa-na w płaszczyźnie horyzontalnej i rozdzielała dwa roztwory Ch i Cl (Ch > Cl). Przyjęto, że dla przypadku,
gdy roztwór o stężeniu Cl znajduje się nad membraną
(m), a roztwór o stężeniu Ch – pod membraną, mamy
do czynienia z konfiguracją A układu membranowe-go. Z kolei, gdy roztwór o stężeniu Ch znajduje się nad
membraną (m), a roztwór o stężeniu Cl – pod
mem-braną, mamy do czynienia z konfiguracją B układu membranowego. o różnych stężeniach. Przyjmujemy, że dla konfiguracji A, ΔC < Cl – Ch < 0, a dla
konfigu-racji B, ΔC < Ch–Cl > 0. W związku z tym dla
konfi-guracji A i B spełnione są odpowiednio warunki Δρ < 0 i Δρ > 0. Wyznaczoną w wyniku przekształceń algebraicznych ΔC na Δρ charakterystykę Jvm = f(Δρ)
przedstawiono na rycinie 3.
W celu wykonania obliczeń grubości stężenio-wych warstw granicznych (δ) od różnicy gęstości wodnych roztworów glukozy (Δρ) wykorzystamy równania (18) i (20), w zależności ρh = f(Ch) i Jvm =
f(Δρ) przedstawione na rycinach 2 i 3 oraz następu-jące dane: Lp = 5 × 10–12 m3N–1s–1 ωm = 0,82 × 10–9
mol N–1s–1, D = 0,69 × 10–9 m2s–1, σm = 0,068, R =
8,31 J mol–1K–1 oraz T = 295 K. Uzyskane wyniki
ob-liczeń, przy użyciu powyżej opisanej procedury, zi-lustrowano na rycinie 4. Z przebiegu przedstawionej na tej rycinie krzywej, ilustrującej charakterystykę δ = f(Δρ) wynika, że dla –0,698 kg m–3 ≤ Δρ ≤ 0,698
kg m–3 wartości δ są zależne od Δρ, ale dla wartości
Δρ różniących się znakiem, są jednakowe. Z kolei dla Δρ < –0,698 kg m–3, wartości δ są znacznie większe,
niż dla tych samych wartości Δρ (z dokładnością do znaku) z przedziału Δρ > 0,698 kg m–3.Oznacza to, że
wartość δ silnie zależy od konfiguracji układu jedno-membranowego, tzn. że w przedziale –0,698 kg m–3
> Δρ > 0,698 kg m–3 wartość δ dla konfiguracji A jest
znacznie większa, niż dla konfiguracji B.
W celu zademonstrowania zależności δ od kon-figuracji układu membranowego na rycinie 5 przed-stawiono zależność Δδ = f(Δρ). Z przedstawionej na tej rycinie krzywej wynika, że dla –0,698 kg m–3 ≤
Δρ ≤ 0,698 kg m–3 spełniony jest warunek Δδ = 0.
Z kolei dla Δρ > 0,698 kg m–3, Δδ > 0. Warunek Δδ
= 0 wskazuje, że w obydwu konfiguracjach układu membranowego występuje jeden typ transportu, tj. transport dyfuzyjny. Z kolei na podstawie warunku Δδ > 0 wnioskujemy, że w badanych konfiguracjach układu membranowego zachodzą dwa różne typy transportu, tzn. w konfiguracji A – transport dyfu-Ryc. 2. Gęstość wodnych roztworów glukozy (ρh)
w funkcji ich stężenia molowego (Ch)
Fig. 2. Density of the aqueous glucose solutions (ρh)
as a function of its concentration (Ch)
0 20 40 60 80 0,998 0,999 1,000 1,001 1,002 1,003 ρh 10 –3 [kg m –3 ] Ch [mol m–3] dane teoreteczne dane eksperymentalne
Ryc. 3. Strumień objętościowy (Jv) w funkcji różnicy
gęstości (Δρ) wodnych roztworów glukozy
Fig. 3. Volume flux (Jv) as a function of density
dif-ference (Δρ) of aqueous glucose solutions
–6 –4 –2 0 2 4 6 –1 0 1 2 3 Jv 10 8 [m s –1 ] ∆ρ [kg m–3]
zyjny, a w konfiguracji B – dyfuzyjno-konwekcyjny. Proces zmiany charakteru transportu, tj. przejścia z dyfuzyjnego na dyfuzyjno-konwekcyjny jest zjawi-skiem progowym, zwykle sterowanym przez bezwy-miarowy parametr zwany liczbą Rayleigha
ν δ β α D g R C C C 4 = (21)
gdzie: g – przyspieszenie ziemskie, αC = (∂ρ/∂C)/ρ, βC
= ∂C/∂z, δ – grubość stężeniowej warstwy granicznej, D – współczynnik dyfuzji, ν – lepkość kinematyczna
W poprzedniej pracy [12] wprowadzono bezwy-miarowy parametr, nazwany przez nas liczbą Kat-chalsky’ego (Ka). Owa liczba jest zmodyfikowaną liczbą Rayleigha, którą można wykorzystać do opisu zmiany charakteru transportu membranowego z dy-fuzyjnego na konwekcyjny. W przypadku transportu binarnych roztworów nieelektrolitów liczba ta ma postać 2 Δ 4 δ ρ ω ν ρ g RT R Ka= C o o (22)
gdzie: ρo – gęstość wody, νo – lepkość kinematyczna
wody, RT – iloczyn stałej gazowej i temperatury bez-względnej, ω – współczynnik przepuszczalności so-lutu, Δρ = ρh – ρl = ∂ρ/∂C(Ch – Cl).
Krytyczna wartość stężeniowej liczby Rayleigha dla membrany i wodnych roztworów glukozy wynosi (RC)kryt. = 1709,3 [13]. Z kolei, obliczona na podstawie
równania (21), krytyczna wartość stężeniowej liczby Katchalsky’ego wynosi (Ka)kryt. = 3,11. Dzieląc
licz-bę Rayleigha (RC) przez liczbę Katchalsky’ego (Ka)
otrzymujemy kolejny bezwymiarowy parametr, któ-ry można nazwać liczbą Ślęzaka (Sl), a mianowicie Ka
R
Sl= C (23)
Korzystając z równania (22) i definicji (23) moż-na moż-napisać, że [14] ρν ω ρ δ Δ 4 2 RT g Sl o o = (24)
Należy podkreślić, że wyrażenie dla liczby Sl nie zawiera innych bezwymiarowych parametrów, a za-wiera jedynie parametry transportowe membrany. Krytyczna wartość tej liczby dla membrany Nephro-phan i wodnych roztworów glukozy wynosi (Sl)kryt.
= 549,58. Ryc. 4. Grubość stężeniowych warstw granicznych
(δ) w funkcji różnicy gęstości (Δρ) dla układu jedno-membranowego, obliczona na podstawie równania (18)
Fig. 4. Glucose density difference (Δρ) dependencies of thickness concentration boundary layer (δ) of the single-membrane system calculated on the basis of equation (18) –6 –4 –2 0 2 4 6 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 δ [mm] ∆ρ [kg m–3]
Ryc. 5. Grubość stężeniowych warstw granicznych (δ) w funkcji różnicy gęstości (Δρ) dla układu jedno-membranowego, obliczona na podstawie równania (18)
Fig. 5. Glucose density difference (Δρ) dependencies of thickness concentration boundary layer (δ) of the single-membrane system calculated on the basis of equation (18) 0 1 2 3 4 5 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 ∆δ [mm] ∆ρ [kg m–3]
WNIOSKI
1. Gęstościowa postać równań Kedem-Katchalsky’ego, jest użyteczna w analizie transportu membrano-wego w warunkach polaryzacji stężeniowej. 2. Dla warunków polaryzacji stężeniowej,
stru-mień objętościowy (Jv) jest opasany przez
rów-nanie trzeciego stopnia. Współczynniki w tym równaniu zawierają jedynie parametry trans-portowe membrany i roztworów oraz grubości stężeniowych warstw granicznych.
3. Grubość stężeniowych warstw granicznych (δ) jest opisana przez równanie kwadratowe. Współ-czynniki w tym równaniu zawierają parametry transportowe membrany i roztworów oraz stru-mień objętościowy.
4. Charakterystyka δ = f(Δρ), obliczona na podsta-wie wyprowadzonego w pracy równania, jest nieliniowa i zależna od kierunku transportu membranowego przez membranę zorientowaną horyzontalnie.
5. Nieliniowość charakterystyki δ = f(Δρ) jest zwią-zana ze zmianą charakteru transportu membra-nowego z dyfuzyjnego na dyfuzyjno-konwekcyj-ny. Proces ten jest sterowany przez bezwymiar-owy parametr – liczbę Sl.
LITERATURA
[1] Katchalsky A., Curran P. F.: Nonequilibrium thermodynamics in Biophysics. Harvard Uni-versity Press, Cambridge, 1965.
[2] Ślęzak A.: Irreversible thermodynamic model equations of the transport across a horizontally mounted membrane. Biophys. Chem. (1989), 34, 91–102.
[3] Kedem O., Katchalsky A.: Thermodynamics analysis of the permeability of biological mem-branes to nonelectrolytes, Biochim. Biophys. Acta (1958), 27, 229–246.
[4] Demirel Y.: Nonequilibrium thermodynam-ics. Transport and rate processes in physical and biological systems, Elsevier, Amsterdam, 2002. [5] Baker R.: Membrane technology and
applica-tions. John Wiley & Sons, New York, 2004.
[6] Kargol A., Kargol M.: Passive mass transport processes in cellular membranes and their bio-physical implications. W: Porous media. Appli-cations in biological system and biotechnology, K. Vafai, red. CRS Press, Boca Raton 2011, 295– 329.
[7] Dworecki K., Ślęzak A., Ornal-Wąsik B., Wąsik S.: Effect of hydrodynamic instabilities on solute transport in a membrane system. J. Membr. Sci. (2005), 265, 94–100.
[8] Ślęzak A., Dworecki K., Anderson J. E.: Gravitational effects on transmembrane flux: the Rayleigh-Taylor convective instability. J. Membr. Sci. (1985), 23, 71–81.
[9] Ślęzak A., Ślęzak I. H., Ślęzak K.: Influence of the concentration boundary layers on mem-brane potential in a single-memmem-brane system, Desalination (2005), 184, 113–123.
[10] Ślęzak A.: Membrane transport of the non-homogeneous non-electrolyte solutions: math-ematical model based on the Kedem-Katchalsky and Rayleigh equations. Polim. Med. (2007), 37, 57–66.
[11] Jasik-Ślęzak J., Ślęzak A.: Opis termody-namiczny polaryzacji stężeniowej w transpor-cie membranowym roztworów nieelektrolitów. Polim. Med. (2010), 40, 49–55.
[12] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Esti-mation of thickness of concentration boundary layers by osmotic volume flux determination. Gen. Physiol. Biophys. (2011), 30, 186–195. [13] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Jasik-Ślęzak
J., Michalska-Małecka K.: Natural convec-tion as an asymmetrical factor of the transport through porous membrane. Trans. Porous Med. (2010), 84, 685–698.
[14] Ślęzak A.: New dimensionless parameter for controlling the process of free convection creac-tion. J. Membr. Sci. (2011), (w przygotowaniu). Adres do korespondencji
Katedra Zdrowia Publicznego
Wydział Zarządzania, Politechnika Częstochowska al. Armii Krajowej 36b, 42-200 Częstochowa tel. (34) 325 0395, tel./fax (34)361 3876 e-mail: andrzejslezak@poczta.onet.pl
