Monitorowanie procesow binarnych za pomocą kart kontrolnych sum skumulowanych

MONITOROWANIE PROCESÓW BINARNYCH

ZA POMOCĄ KART KONTROLNYCH

SUM SKUMULOWANYCH

ANDRZEJ IWASIEWICZ

Katedra M etod Statystycznych

Krakowskiej A kadem ii im. Andrzeja Frycza M o d rzew sk ieg o 30 -705 Kraków, ul. G ustaw a H erlin ga-G rud zińskiego 1

e-mail: andrzej.iwasiewicz@ interia.pl

Praca b y ła p r z e d s ta w io n a p r z e z autora n a p o s ie d z e n iu K om isji N a u k E k o n o m ic z n y c h i Sta­ tystyk i O d d z ia łu P A N w K ra k o w ie, 16 g r u d n ia 2008 r.

ABSTRACT

A ndrzej I w a s ie w ic z , Binary process m onitoring by the cum ulative sum control chart. Fiolia A e c o - n om ica C ra co v ien isa 2 0 0 8 -2 0 0 9 , 49-5 0 : 7 1 -9 0 .

In the p a p er there h a v e b e e n p r e se n te d s o m e p r o b le m s o f th e b in a ry p r o c e s s e s m o n ito r in g . There h a v e b e e n p r e s e n te d the m o n ito r in g o f th e s e p r o c e s s e s b y S h e w h a r t co n tro l charts (control charts p a n d n p ) a n d c u m u la tiv e s u m co n tro l charts. S h e w h a r t c o n tr o l ch arts are very u s e fu l if there are a p o s s ib ility o f a la rg e sh ift in m o n it o r e d p a r a m e te r s o f p r o c e s s . A major d is a d v a n ta g e o f a S h ew h a r t con trol chart is that it u s e s o n ly (first) th e in fo r m a tio n about the p r o c e s s c o n ta in e d in th e last o b s e r v a tio n a n d it rather ig n o r e s a n y in fo r m a tio n g iv en b y the entire s e q u e n c e o f em p irica l p o in ts . T h e c u m u la tiv e con tro l charts ( c u s u m charts) are v e ry e ffectiv e altern a tiv es to th e S h ew h a r t o n tro l charts. In the p a p e r th ere h a v e b e e n p resented the o rigin al m o d ifica tio n o f the c u m u la tiv e s u m con trol chart.

KEY W O R D S — SŁO W A K L U C Z O W E

m o n itorin g, bin ary p ro c es s, b in a ry p r o c e s s m o n ito r in g , con tro l chart, S h e w h a r t co n tro l chart, c u m u la tiv e s u m con trol chart

m o n ito r o w a n ie , p r o c es b in a rn y , m o n it o r o w a n ie p r o c e s u b in a r n e g o , karta k o n tro ln a , karta k o n tro ln a S h ew h a r ta , karta k o n tro ln a s u m s k u m u lo w a n y c h

1. PROCESY BINARNE

Pod pojęciem procesu binarnego należy rozum ieć każdy proces dw ustanow y, czyli taki proces, w p rzy p a d k u którego badane zjawisko m oże znajdow ać się

tylko w dw óch, rozłącznych i wzajemnie wykluczających się stanach. Obser­ w o w a n y proces m oże być albo z n atu ry dw ustanow y, albo obserw ator tego procesu m oże dokonać dychotomizacji obrazu badanego zjawiska, sprow adza­ jąc go tym sam ym do postaci binarnej. Niezależnie od tego, z którym z tych p rz y p a d k ó w m am y do czynienia, do opisu stan u obserw ow anego zjawiska w ykorzystuje się najczęściej zero-jedynkowe zmienne diagnostyczne. Wartości tych zm iennych (X) generow ane są w edług następującej reguły:

72

X = 1 g dy badane zjawisko znajduje się w stanie w yróżnionym

X = 0 g dy badane zjawisko nie znajduje się w stanie wyróżnionym . (1) M onitorowanie procesu, nie tylko binarnego, podejm owane jest najczęściej w celu pozyskania informacji o średnim poziom ie obserw ow anego zjawiska, a także o jego zmienności. W p rzy p a d k u procesów binarnych obydw a te zada­ nia realizuje się p oprzez śledzenie param etru:

p = P ( X = 1), (2)

charakteryzującego częstość pojawiania się tego stanu procesu, który w planie eksp ery m en tu został p o traktow any jako w yróżniony (X = 1). Przypom nijm y wszak, że w przypad ku zero-jedynkowych zmiennych losowych wartość oczeki­ w ana i wariancja dane są następującym i wzorami: E(X) = p, D2(X) = p x (1 - p). Tak więc, znając w artość p aram etru p, albo uzyskane empirycznie punktow e lub p rze d z iało w e oszacow ania tej w artości, p o siad am y informacje zarów no o średnim poziom ie procesu, jak i o jego zmienności. Zauw ażm y też, że w a­ riancja tej zmiennej losowej osiąga wartość m aksym alną, a m onitorow any pro­ ces najm niejszy stopień zdeterm inow ania przez kontrolow ane u w a ru n k o w a ­ nia, g d y p = 0,5.

Przy przyjętych założeniach, form alnym m odelem obserw owanego proce­ su jX() jest ciąg zer (X = 0) i jedynek (X = 1), a częstość pojawiania się tych wartości określona jest przez param etr p. W konsekwencji, również uzyskiw a­ ne em pirycznie liczbowe obrazy procesu są ciągami złożonymi z zer i jedynek1. Są to zaw sze ciągi skończone, podczas gdy m onitorow any proces |Xf) może być traktow any — w zależności od szczegółowych uw aru nk ow ań — jako ciąg skończony lub nieskończony. Jeśli w kolejnych krokach postępow ania kontro­ lnego m am y do czynienia z pojedynczym i ocenami natężenia obserwowanego zjawiska, to rezultatem p rzeprow adzo nych b a d a ń jest ciąg:

x v x 2, x y ..., x t, x k, (3)

w którym x t oznacza zrealizow aną wartość (zero albo jedynkę) zmiennej dia­ gnostycznej X, w punkcie, albo przedziale, o num erze t (ł = 1, 2, 3, ..., k). Jeśli

natomiast w kolejnych krokach postępowania kontrolnego wielokrotnie p ow ta­ rzana jest ocena natężenia badanego zjawiska, to każdej wartości t odpow iada pew ien zbiór zer i jedynek, będących realizacjami zmiennej diagnostycznej X:

X l = fXU ' X t.2’ X t 3 ' X I.i' X t n ) ’

Ogólnym liczbowym obrazem m onitorow anego procesu jest w takiej sytu­ acji ciąg tych zbiorów:

*1'

2

•••'

'

(5)

Zbiory x t są najczęściej próbkam i losowymi, a n( oznacza licznośc próbki pobranej do badania w chwili (przedziale) o num erze t. O dpow iednio zorga­ nizowana analiza tych próbek um ożliwia empiryczne pozyskiw anie informacji o stanie śledzonego procesu, które pozwalają wyznaczać p un k to w e i przedzia­ łowe oceny p a ra m e tru p zdefiniow anego w zorem (2), a tak że w eryfikow ać hipotezy dotyczące tego param etru.

2. KARTY KONTROLNE

Procedury statystyczne znane pod nazw ą kart kontrolnych (ang. control chart) są nieskom plikow anym i i bardzo użytecznym i narzędziam i m o n ito ro w an ia procesów. Służą one do rejestrowania, wstępnego przetw arzania i analizy źró­ dłow ych informacji o stanie obserw o w an eg o pro cesu, a ich z a d an ie m jest wykrywanie systematycznych (nielosowych) zm ian w przebiegu tego procesu. Najczęściej, aczkolwiek nie zawsze, karta kontrolna jest elem entem ujem nego (regulacyjnego) sprzężenia zwrotnego. W takiej sytuacji wykryta zmiana w p rze ­ biegu procesu, będąca nielosowym odchyleniem od zadanej norm y, skutkuje emisją sygnału o rozregulow aniu procesu, a sygnał ten urucham ia od p o w ied ­ nie działania regulacyjne. Takie usytuow anie karty kontrolnej w systemie m o­ nitorowania procesu nie jest jej jedynym zastosowaniem. Karta kontrolna m oże również funkcjonować w układzie do datniego (deregulacyjnego) sprzężenia zwrotnego, a może być także wykorzystana do biernego śledzenia procesu, bez możliwości wpływania na jego przebieg. Prezentowane w literaturze p rzedm io­ tu karty kontrolne m ożna klasyfikować w edług kilku kryteriów. Rozróżnia się więc przede wszystkim karty jednow ym iarow e i wielowymiarowe. Podstaw o­ we znaczenie praktyczne mają karty jednow ym iarow e, stosow ane w p rz y p a d ­ ku jednokryterialnej oceny badanych zjawisk. Takim kartom kontrolnym p o ­ święcone są w całości p rz e d s ta w io n e poniżej ro zw a ża n ia . N ie zm ie n ia to oczywiście faktu, że bardzo często zachodzi potrzeba ocen wielokryterialnych. W takich sytuacjach definiuje się często jednow ym iarow e, agregatow e zm ien­ ne diagnostyczne, charakteryzujące w sposób syntetyczny obserw ow ane, w ie­ lowymiarowe zjawisko. Niekiedy wykorzystuje się do tego celu zero-jedynkowe

74

z m ienne losow e, a w konsekwencji obserw ow any proces sp ro w ad za się do postaci binarnej. Pełniejszy obraz m onitorow anego procesu uzyskuje się stosu­ jąc w ielo w y m iaro w e karty kontrolne, w śró d których p o d sta w o w ą rolę od­ gryw ają dw uw ym iarow e karty kontrolne (T2) Hotellinga (Montgomery, 2005). P o dstaw ą klasyfikacji kart kontrolnych są także teoretyczne uw arunkow ania ich funkcjonowania. Kierując się tym kryterium rozróżnia się karty kontrolne z a p ro p o n o w a n e p rze z W. A. Shew harta, których teoretyczną bazę stanowi obecnie klasyczna teoria weryfikacji hipotez statystycznych2 oraz karty kontro­ lne sum skum ulow anych wykorzystujące sposób rozum ow ania zaproponow a­ n y przez A. Walda dla potrzeb analizy sekwencyjnej3. Innym, bardzo ważnym k ryterium klasyfikacji kart kontrolnych jest ich zdolność do akceptacji monito­ row anego procesu. Historycznie wcześniejsze są karty kontrolne, zarów no Shew­ harta, jak i sum skum ulow anych, które nie posiadają tej zdolności. Potrzeby p ra k ty k i w y m u siły jednak m odyfikacje tych kart. Te zm odyfikow ane karty kontrolne pozw alają akceptować obserw ow any proces, a nie tylko dyskwalifi­ kować go lub orzekać, że nie m a podstaw do dyskwalifikacji. Tak zmodyfiko­ w an e karty kontrolne są szczególnie użyteczne w sytuacjach, w których nie m ożna uchylić się od odpow iedzi na pytanie: czy obserw ow any proces prze­ biega praw idłow o, czy też w ym aga korekty? Z taką sytuacją m am y do czynie­ nia — na przykład — w działaniach związanych z audytem . Podstaw ow a część p rzedstaw ionych poniżej rozw ażań poświęcona jest m onitorow aniu procesów z w ykorzystaniem procedur sekwencyjnych. Om ówienie funkcjonowania kart kontrolnych Shewharta stanow i niezbędne w prow adzenie do tego podstaw o­ w ego n u rtu rozw ażań.

3. KARTY KONTROLNE SHEWHARTA

Najwcześniejsze historycznie, najbardziej znane i najczęściej stosow ane są kar­ ty k o n tro ln e p o m y słu W.A. S hew harta. W latach d w u d z ie sty c h ubiegłego stulecia przedstaw ił on i zrealizował koncepcję system u wykorzystującego infor­ macje generow ane przez karty kontrolne do sterowania procesami w ytw órczy­ mi w celu z a p ew n ie n ia w y m a g a n eg o p o z io m u jakości w y k o n a n ia 4. Słowo

2 Walter A n d rew Shew hart (1891-1967), amerykański m atem atyk i statystyk, prekursor stoso­ w a n ia m etod statysty czn y ch dla potrzeb zarządzania jakością. D o d ać n ależy, ż e w czasie g d y W. A . Shew hart pracow ał nad s w o im sy stem em sterowania procesem z w yk orzystan iem kart kon­ trolnych, teoria weryfikacji h ip o tez statystycznych nie była jeszcze ugrun tow ana. Pow staw ała ona niem al r ó w n o leg le d o prac W. A. Shewharta i była d ziełem Jerzego Sp ław y-N eym an a (1894-1981) oraz Egona Pearsona (1895-1980) (Rinne i Mittag, 1988).

3 Abraham Wald (1902-1950), statystyk am erykański (Rinne i Mittag, 1988)

4 P ierw szy taki system został u ruchom iony 16 maja 1924 w Stanach Z jednoczonych (Juran, 1962).

„karta" (ang. chart) nieprzypadkow o znalazło się w nazw ie om aw ianych p ro ­ cedur. Centralnym elem entem karty kontrolnej jest odpow iednio skonstruow a­ ny diagram przeglądow y, służący do graficznego p rzedstaw ienia przeb ieg u śledzonego procesu. W p rzy p a d k u kart kontrolnych zaproponow anych przez W. A. Shewharta, a także innych kart kontrolnych, diagram ten m a postać p rz e d ­ staw ioną schematycznie na rycinie 1. Na osi poziomej odkładany jest n u m er próbki losowej pobranej z procesu, albo czas m ierzony na skali porządkow ej (t). Na osi pionowej odkłada się natom iast wartości obserw owanej charakte­ rystyki z próby 7]t , p rzy czym szczegółowa postać tej charakterystyki zależy od różnego rodzaju uw aru n k o w ań , do których w szczególności należy zali­ czyć cel badania oraz rodzaj m onitorow anego procesu. Równolegle do osi t, na poziomie rj(V wykreśla się linię centralną (ang. center line), odpow iadającą najczęściej, ale nie zaw sze, średniem u poziom ow i obserw o w anego procesu. Poniżej i powyżej linii centralnej wykreśla się linie kontrolne, które m ogą być bądź to granicami regulaq'i procesu (ang. itpper control limit, lower control limit), bądź też m ogą służyć do w ykryw ania korzystnych zm ian w procesie. Na tak przy go to w an y diagram przeglądow y nanosi się kolejne p u n k ty em piryczne

(t, ijt), tworzące ciąg n azyw any śladem procesu.

f I I -górna linia kontrolna % nd f I J -linia centralna dolna linia kontrolna 10

Rye. 1. D iagram p rzeg lą d o w y karty kontrolnej Shewharta

W zamyśle W. A. Shewharta analiza tego ciągu miała być p odstaw ą dia­ gnoz dotyczących stanu obserw ow anego procesu, a także decyzji sterujących jego przebiegiem. O p eraqe num eryczne miały być sprow adzone do

niezbęd-nego m inim um . Przyczyna takiego potraktow ania problem u wydaje się oczywi­ sta, zwłaszcza jeśli karty kontrolne m iały funkcjonować w w arunkach warsz­ tatow ych, na niskich szczeblach zarządzania. N ależy pam iętać, że w latach d w u d ziesty ch ubiegłego stulecia, a także w kilku następnych dekadach, nie były dostępne te środki obliczeniowe, którym i dysponujem y obecnie. Był to świat bez kalkulatorów elektronicznych i bez komputerów. Dlatego też zapew­ ne W. A. Shew hart zaproponow ał taki tok przetw arzania i analizy informacji źródłow ych, w którym podstaw ow e oceny i decyzje form ułow ane są na p o d­ staw ie graficznej analizy problem u. W świetle obecnej w iedzy o problemach w nioskow ania statystycznego karty kontrolne Shewharta m ożna rozważać jako sekwencje odpow iednich testów istotności. Dotyczy to jednak tylko takich sy­ tuacji, gdy — z jakichkolwiek pow odów — rola karty kontrolnej zredukow ana jest do generow ania i emisji tak zw anych punktow ych sygnałów o rozregulo­ w a n iu m o nitorow aneg o procesu. Sygnał taki em itow any jest w ów czas, gdy pojedynczy p u n k t em piryczny (t, rjt) znajdzie się poza obszarem ograniczonym p rzez linie kontrolne, będące granicami regulacji procesu. W sytuacji pokazanej na rycinie 1 sygnałami takimi są punkty (3, //3) oraz (4, //4). Każdy z tych sygna­ łów rów n o w ażn y jest decyzji o odrzuceniu hipotezy zerowej za pom ocą od­ p ow iedniego testu istotności. G dyby m ianowicie na podstaw ie pojedynczego zbioru postaci (4) obliczyć w artość stosownej funkcji testowej i porów nać ją z o dpow iednią wartością krytyczną, to decyzja byłaby taka sama jak w przy­ p a d k u sygnału p u n ktow ego w yem itow anego przez kartę kontrolną.

Analizując funkcjonowanie diagram u przeglądow ego, przedstaw ionego na rycinie 1 nietrudno zauważyć, że karta kontrolna um ożliwia nie tylko emisję sy gn ałów p u n k to w y ch , ale stw arza także m ożliw ość w ykryw ania objawów rozregulow ania procesu poprzez analizę ciągu kolejnych pu nk tów em pirycz­ nych (t, /}t), tworzących ślad procesu. Celem tej analizy jest identyfikacja takich sekwencji (serii) pun k tó w empirycznych, których pojawienie się w śladzie u re­ g ulow anego procesu, a więc przy założeniu praw dziw ości hipotezy zerowej, jest b ard zo m ało praw dopodobne. G dyby — na przykład — przyjąć, że w sy­ tuacji przedstaw ionej na rycinie 1 obserw ow ana charakterystyka z próby (rj) jest zm ienną losową o norm alnym rozkładzie praw dopodobieństw a, weryfiko­ w an a hipoteza zerow a m a postać H Q : E(rj) = r}0, a praw dopodobieństw o w y­ em itow ania fałszywego sygnału o rozregulow aniu procesu ustalono na pozio­ m ie a - 0,05, to ciąg sześciu p u n k tó w em pirycznych (5, //5), (6, ;;4), (7, ij7),

(8, 7 8), (9, rj9), (10, r}w ) jest sygnałem sekw encyjnym (seryjnym), m im o że żaden z tych punktów , traktow any z osobna, nie wskazuje na rozregulowanie procesu. Wszystkie te p u n k ty em piryczne leżą poniżej linii centralnej odpow ia­ dającej w artości oczekiwanej zmiennej diagnostycznej. Jeśli są to niezależne o ceny b a d a n e g o zjaw iska, to z sym etrii ro z k ła d u n o rm a ln e g o w zg lęd em w artości średniej w ynika, że p raw dop odobień stw o przyp adk ow ego ukształ­ tow ania się analizowanej sekwencji wynosi (1/2)6 = 0,0156 < a = 0,05. Jest to 76

konieczny i wystarczający w arunek uznania analizowanego ciągu za sekw en­ cyjny sygnał o rozregulow aniu procesu5.

4. MONITOROWANIE PROCESOW BINARNYCH

Z ZASTOSOWANIEM KART KONTROLNYCH SHEWHARTA Skupm y uw agę na przypadku, gdy w kolejnych krokach postępow ania kon­ trolnego pobierane są próbki losowe o liczności i]t, a więc na p rzy p ad k u , gdy em pirycznym obrazem m onitorow anego procesu jest ciąg postaci (5). Oblicza­ jąc wartości:

n,

(6)

i=1 '

uzyskujemy informację o liczbie elem entów wyróżnionych (X = 1) w kolejnych

(t - 1, 2, 3, ..., k) zbiorach postaci (4). Jeśli próbki losowe pobierane do badania

w kolejnych krokach postępow ania kontrolnego są jednakow o liczne, to w ar­ tości zf obliczone w edług w zoru (6) m ogą być bezpośrednio w ykorzystane do m onitorow ania procesu za pom ocą karty kontrolnej. W takiej sytuacji należy posłużyć się kartą kontrolną z (ang. control chart np) Jeśli natom iast kolejno pobierane próbki mają różne liczności, to wartości zf obliczanych w ed łu g w zo ­ ru (6) nie wykorzystuje się bezpośrednio do m onitorow ania procesu za p o m o ­ cą klasycznej karty kontrolnej Shewharta. W celu zapew nienia poró w ny w aln o­ ści u z y sk iw an ych ocen cząstkow ych, oblicza się w ów czas w artości frakcji elementów wyróżnionych (X = 1), w kolejnych zbiorach postaci (4):

w t = — (7)

Mając te wartości m ożna podjąć m onitorow anie procesu za pom ocą karty kontrolnej w (ang. controI chart p).

W celu uściślenia dalszych rozw ażań ustalm y uw agę na przy p ad k u , gdy stan w y ró żn io n y (X = 1) jest n iep o ż ą d a n y m (albo n iek o rz y stn y m ) stanem monitorowanego procesu. W takiej sytuacji proces jest uregulow any (przebiega zgodnie z oczekiwaniami), gdy p < pQ, natom iast jest rozregulow any (nie p rze ­ biega on zgodnie z oczekiwaniami), gdy p > p0, przy czym pQ oznacza najgor­ szy, ale jeszcze dopuszczalny poziom procesu (ang. Acceptable Process Level — APL). Jeśli taki proces byłby m onitorow any za pom ocą wspom nianej powyżej karty kontrolnej z, albo karty kontrolnej xv, to w każdym kroku postępow ania kontrolnego w eryfikow ana byłaby hipoteza zerowa:

5 W norm ie PN-ISO 8258+AC1 w y ró żn io n o sied em ty p ó w takich sy g n a łó w seryjnych (se­ kwencyjnych), oprócz p o d sta w o w eg o sygnału pu nk tow ego. Problem ten o m ó w io n o rów n ież w pracy (Iwasiewicz i Stefanów, 2001).

H0: p < p0, (8) w obec h ipotezy alternatywnej:

H y p > pQ. (9)

W rozw ażanym p rzy p a d k u granicami regulacji procesu byłyby tylko gór­ ne linie kontrolne, natom iast dolne linie kontrolne m ożna by wykorzystać do w ykryw ania objaw ów korzystnych zm ian w obserw ow anym procesie6. W przy­ p a d k u karty kontrolnej z granica regulacji dana jest wzorem:

z g = n x p 0 + u a x j n x p 0 x ( l - p 0). (10)

Stosując natom iast kartę kontrolną w, granicę regulacji procesu wyznacza­ m y w e d łu g w zoru:

78

W' = Pa+ U ' X j M < i z l £ . (ii)

N ietru dno zauw ażyć, że obydw a te rów nania wynikają z prostego prze­ kształcenia funkcji testowej odpow iedniego testu istotności, który m ożna za­ stosować do weryfikaqi sformułowanej powyżej hipotezy zerowej, w kolejnych krokach postępow ania kontrolnego, traktow anych z osobna7. W konkretnym p rz y p a d k u jest to test w, o następującej funkcji testowej:

z '

, ” ~ P° = , a - p ‘ . (12)

p0 X ( l - p 0) lp 0 X ( l - p 0)

W ro zw ażanym powyżej p rzy p a d k u emisja sygnału następuje wówczas, gdy z( > z , albo ivt > zvg. O bydw a te sygnały rów now ażne są decyzji o od rzu­ ceniu hipotezy zerowej (8) na korzyść hipotezy alternatywnej (9), gdy wartość u0 obliczona na podstaw ie w zoru (12) spełnia nierówność uQ > ua . W każdym z tych p rz y p a d k ó w p raw d o po do bieństw o popełnienia błędu jest takie samo i w ynosi a .

6 W yczerpujący o p is funkcjonowania kart kontrolnych Shewharta stosow anych w przypadku

p r o cesó w binarnych p rzed sta w io n o w w ie lu podręcznikach; zob. np. M ontgom ery, 2005; Iwasie- w ic z , 1985, 1999, 2005.

7 Przegląd p o d sta w o w y c h testów istotności zain teresow an y C zytelnik znajdzie w każdym obszerniejszym p od ręczn ik u statystyki; zob. np. Iw asiew icz i Paszek, 2004.

5. SEKWENCYJNE PROCEDURY MONITOROWANIA PROCESÓW Możliwość identyfikacji i analizy nielosowych sekwencji p u n k tó w em pirycz­ nych (t, rjt) w śladzie procesu jest tą właściwością operacyjną karty kontrolnej Shewharta, która odróżnia ją od zwykłych sekwencji testów istotności. M ożli­ wość ta zaowocowała pojawieniem się różnego rodzaju sekwencyjnych proce­ d u r kontrolnych. Należy tu przede wszystkim wym ienić kartę kontrolną śred ­ nich ruchom ych (ang. moving average control chart — M A chart). Karta ta m oże być stosowana albo jako sam odzielna i odrębna procedura m onitorow ania p ro ­ cesu, albo jako dodatkow y segm ent standardow ej karty kontrolnej Shew har­ ta. W takiej sytuacji diagram przeglądow y standardow ej karty kontrolnej w y ­ posaża się d o d a tk o w o w tor k o n trolny służący do rejestrow ania i an alizy średnich ruchomych. Sygnały pojawiające się na tym torze nazyw ane są z w y ­ kle sygnałami z połączonych próbek. Takie postępow anie pozw ala nie tylko na spraw niejsze w y k ry w an ie sygnałów sekw encyjnych w śladzie procesu, ale w zm acnia rów nież selektyw ność proced ury , albow iem fo rm u ło w an e oceny oparte są na próbkach o zwielokrotnionej liczności. N a uw agę zasługuje rola, jaką karta kontrolna średnich ruchom ych odgryw a w p rzy p a d k u m onitorow a­ nia p ro cesó w giełd o w y ch . W ażnym in stru m e n te m w y k o rz y s ty w a n y m do m onitorow ania tych procesów są tak zw ane wstęgi Bollingera (ang. Bollinger

bands). Wstęga taka jest zm odyfikow aną kartą kontrolną średnich ruchom ych,

przy czym modyfikacje dotyczą sposobu wyznaczania zarów no linii centralnej, jak i linii kontrolnych. W szystkie elem enty p ro ce d u ry są tu w yznaczane na podstawie bieżąco pozyskiw anych informacji o stanie m onitorow anego proce­ su, a nie na podstaw ie wartości postulow anych, jak w p rzy p a d k u klasycznych kart kontrolnych Shewharta. Jak już wspom niano powyżej, teoretyczną p o d b u ­ dowę kart kontrolnych Shewharta stanow i teoria testów istotności. Testy te — w standardowej postaci — nie służą do przyjm owania w eryfikow anych h ipo­ tez zerowych. Za pom ocą testu istotności m ożna albo odrzucić hipotezę zero­ wą przy określonym praw dopodobieństw ie popełnienia pom yłki (or), albo orzec, że nie ma p odstaw do jej odrzucenia. Nie m ożna natom iast przyjąć (zaakcep­ tować) hipotezy zerowej, albowiem praw d o p o d o b ień stw o popełnienia b łędu drugiego rodzaju {fi), polegającego na przyjęciu fałszywej hipotezy zerowej, pozostaje poza bezpośrednią kontrolą. Każdy stand ardo w y test istotności m oż­ na w praw dzie przekształcić w taki sposób, by istniała m ożliwość przyjm ow a­ nia weryfikowanych hipotez zerowych, ale znacznie efektywniejszą m etodą kon­ struowania takich testów jest analiza sekwencyjna. Jest to m etoda efektywniejsza przede wszystkim w sensie niezbędnej liczności próbki, a więc rów nież w sensie kosztów m onitorow ania procesu. Teoria sekwencyjnych p ro ced u r weryfikacji hipotez, zaproponow ana przez A. Walda, stała się obecnie teoretyczną p o d sta­ wą dla nowego rodzaju kart kontrolnych, a mianowicie kart kontrolnych sum skumulowanych (ang. cumulative-sum control chart, cusum control chart), m im o że początkowe prace w tym zakresie nie odw oływ ały się do tej teorii.

80

6. PROCEDURY KONTROLNE UMOŻLIWIAJĄCE AKCEPTACJĘ MONITOROWANEGO PROCESU BINARNEGO

W celu utrzym ania ciągłości rozum ow ania pozostaniem y przy przyjętych po­ wyżej założeniach w odniesieniu merytorycznej natury obserwowanego proce­ su binarnego. W dalszym ciągu będziem y mianowicie zakładać, że wyróżnio­ ny stan badanego zjawiska (X = 1) jest stanem nacechowanym negatyw nie i że — w konsekwencji — zbiór dopuszczalnych poziom ów procesu (p) m a postać przedziału [0; pQ]. Tak więc, proces jest uregulowany (przebiega zgodnie z ocze­ kiwaniam i) gd y p < p0, natom iast w ym aga on regulacji (korekty) gdy p > pQ. Jeśli — w rozważanej sytuacji — do m onitorow ania procesu wykorzystyw ana jest procedura bez możliwości akceptacji procesu, a więc np. któraś ze w spo­ m nianych powyżej klasycznych kart kontrolnych Shewharta (z albo xv), to we­ ryfikow ana hipoteza zerow a m a postać (8), natom iast treść hipotezy alterna­ tyw nej w y ra ż o n a jest n ie ró w n o śc ią (9). Jeśli chcem y u z y sk a ć m ożliw ość akceptacji m onitorow anego procesu, to hipotezy te m uszą być odpow iednio zm odyfikow ane. Sform ułujem y je następująco:

p rzy czym Ap > 0.

Każda z tych hipotez m oże być odrzucona na korzyść hipotezy konkuren­ cyjnej. O drzucenie hipotezy zerowej (13) na korzyść hipotezy alternatywnej (14) skutkuje emisją sygnału o rozregulow aniu procesu, a praw d o p o d o b ień ­ stw o emisji sygnału fałszywego nie przekracza przyjętej wstępnie, dowolnie małej, dodatniej w artości a. O drzucenie hipotezy alternatyw nej (14) na ko­ rzyść hipotezy zerowej (13) oznacza akceptację m onitorow anego procesu. Praw ­ d opodobieństw o fałszywego sygnału nie przew yższa w tym przy p ad k u w stęp­ nie przyjętej, dow olnie małej, dodatniej wartości f5.

Z auw ażm y, że — analogicznie jak p o p rzed n io — m onitorow any proces traktujem y jako rozregulow any, gdy p > pQ. G odzim y się jednak na to, by w y­ starczająco p e w n y sygnał o rozregulow aniu pojaw iał się wów czas, gdy:

Przedział (p0; p j , o długości p 1 - p0 - Ap > 0, należy interpretow ać jako przedział decyzji niepewnych. Są one niepew ne w tym sensie, że w px-zedziale (pQ; p t) m ogą pojawić się sygnały o akceptacji lub rozregulow aniu m onitorow a­ nego procesu z praw dopodobieństw am i znacznie różniącymi się od przyjętych w artości a i fi. W artość różnicy p x - p0 - Ap deklarow ana jest na podstaw ie przesłanek m erytorycznych, a nie statystycznych. Jest to takie odchylenie rze­ czywistego poziom u procesu (p) od zadanej wartości p0, które merytorycznie,

Ho- P = Po H v P = Po + AP = P v (13) (14) p > p 0 + Ap = p r (15) L

a nie statystycznie, m ożna uznać za nieistotne. Konieczność definiowania p rze ­ działu decyzji niepew nych jest naturalną konsekwencją ciągłości funkcji mocy albo funkcji operacyjno-charakterystycznej omawianej procedury, w całym p rz e ­ dziale zmienności param etru p, czyli w przedziale [0; l ] 8. Ciągłość tych funkcji spraw ia, że w badaniach niewyczerpujących jakakolwiek skończona liczność próbki nie wystarcza do odróżnienia stanu p < p0 od stanu p > p0, przy w y star­ czająco małych wartościach a i /3. Również w badaniach w yczerpujących o d ­ różnienie tych stanów jest w ątpliw e ze w zględu na możliwość w ystępow ania błędów kwalifikacji (diagnozow ania), zob. Iwasiewicz, 2005-2006.

Sform ułow ane pow yżej uw agi o k o n stru o w a n iu p ro c e d u r k o n tro ln y ch umożliwiających akceptację m onitorow anego procesu dotyczą zarów no proce­ du r uzyskiwanych w rezultacie odpowiedniej modyfikacji kart kontrolnych typu Shewharta, jak i procedur sekwencyjnych9. Przedstaw ione poniżej rozw ażania dotyczą w całości p ro c e d u r sekw encyjnych, w p rz y p a d k u któ ry ch istnieje możliwość istotnego ograniczenia liczności próbki, co jest bardzo w ażne z p u n k tu w idzenia kosztów m onitorow ania procesu. W p rz y p a d k u zm odyfikow anych kart kontrolnych Shew harta możliwości takie są bard zo ograniczone.

7. KLASYCZNA PROCEDURA SEKWENCYJNA

Przedstawione poniżej rozw ażania dotyczą sytuacji, gdy w kolejnych krokach postępow ania kontrolnego bad an iu p o d d a w a n e są pojedyncze elem enty śle­ dzonego procesu. Rezultatem badania jest w ów czas ciąg zer i jedynek postaci (3). Ciąg ten jest stopniowo wydłużany, stosownie do potrzeb badania, a jego każdorazowa długość (k) jest tożsam a z licznością próbki (k - ń).

Jeśli ustalone są wartości a, /5, p0 i p v to w arunek kontynuow ania obser­ wacji, czyli w ydłużania ciągu (3), przedstaw ia się następująco:

„ T I p M - j _ „

< L - £ - , 0 6 )

1 - a cc

l l P o t f o (=1

przy czym qQ = 1 - p0 oraz q1 = 1 - p v natom iast x t jest zrealizow aną wartością (zerem albo jedynką) zmiennej diagnostycznej X, w kolejnym , f-tym kroku postępow ania kontrolnego.

Jeśli o b serw o w an ą c h arak tery sty k ą z p ró b y jest su m a z re a liz o w a n y c h wartości zmiennej diagnostycznej X, to w kolejnych krokach p o stę p o w an ia oblicza się wartości:

8 Wyczerpujące o m ó w ien ie tego problem u zain teresow an y C zyteln ik znajdzie w pracy: Iw a­ siewicz, 1999.

p rzy czym n - 1, 2, 3, natom iast t = 1, 2, 3, n.

W graficznej wersji om awianej p rocedu ry obliczanie tej sum y przebiega w e d łu g następującego schematu:

t = 1 f - 2 t = 3 Zj = z 2 = z 1 + x 2 Z 3 ~ Z 2 + X 3 (18) t = n: + x„.

Obliczone w ten sposób wartości sum y (17) nanosi się na diagram przeglą­ d o w y p rzed staw io n y schem atycznie na rycinie 2.

Ryc. 2. D iagram p rzeg lą d o w y klasycznej sekw encji procedury kontrolnej

R ów nania linii kontrolnych zaznaczonych na tym ry sunku wynikają z nie­ rów ności (16). O dpow iednie przekształcenia przedstaw iają się następująco:

I z Ł , (19) P ; P N ”"" 1 - « P o C Z" Po 1 - a v„ / v - : '9 i

q0

\ ,u /

Po zlogarytm ow aniu tej nierówności i dalszych przekształceniach w a ru ­ nek kontynuow ania badań m ożna zapisać następująco:

gdzie: zd(n) = a + cn < z n < b + c„ = z (n), (21) ln — c = ---* - > 0 , (22) I n M i ' ' ln M l J8 « = — V ^ < 0 ' (23) l n M i ln P 0<7l 1 - jS b = ---£ - > 0 . (24) I n M o M i

Jeśli spełniona jest nierówność (21), to przechodzi się do badania następ ­ nego elem entu m onitorow anego procesu, bez podejm ow ania jakichkolwiek d e ­ cyzji w odniesieniu do hipotez (13) i (14). Jeśli:

Z n < Zd( n ) = a + c X n, (25)

to przyjm ujem y hipotezę zerow ą (13), a praw dopodobieństw o zdarzenia loso­ wego polegającego na tym, że w rzeczywistości praw d ziw a jest hipoteza alter­ natyw na (14) nie przekracza przyjętej wartości /?. Jeśli natom iast:

z n > z g ( n ) - b + c x n , (26) to przyjm ujem y hipotezę alternatyw ną (14), a p raw d o p o d o b ień stw o z d a rz e ­ nia losowego polegającego na tym, że w rzeczywistości p raw dziw a jest hipo­ teza zerow a (13) nie przekracza przyjętej wartości a. Przedstaw ione postępo­ wanie m ożna realizować w formie algorytm u graficznego, za pom ocą diagram u przeglądowego przedstaw ionego na rycinie 2, albo algorytm u num erycznego, przy w ykorzystaniu odpow iedniej tablicy decyzyjnej.

8. KARTA KONTROLNA SUM SKUMULOWANYCH

Kartę kontrolną sum skum ulow anych m ożna rozw ażać jako klasyczną proce­ durę sekwencyjną realizow aną wstecznie. W graficznej wersji procedury, na diagram przeglądo w y w ykreślony w układzie w sp ó łrzęd n y ch (n 0 zu) nanosi się kolejne sum y skum ulow ane z n obliczane w edług następującego schematu:

84 ł = O t = 1 t = 2 t = 3 z3 - z2 + X3 Z0 = X0 = O

(

)

W celu zachow ania ciągłości rozum ow ania pozostajemy więc przy założe­ niu, że p o d staw ą analizy jest ciąg punk tó w empirycznych postaci (3). Oznacza to, że w każdym kroku postępow ania pobierana jest do badania jednoelemen- tow a próbka losowa (n t = 1). W konsekwencji, każdorazow o m am y t = n. Należy podkreślić, że do sekwencji (27) włączony jest początek układu współrzędnych, co nie było konieczne w p rzy p a d k u klasycznej procedury sekwencyjnej; zob. w zó r (18). Dołączenie wartości x Q = 0 do sekwencji sum skum ulow anych nie zm ienia oczywiście wartości tej sumy:

K ażdy p u n k t (n, z n), kończący w kolejnym kroku postępow ania kontrol­ nego sekwencję (27), traktuje się jako początek obróconego o 180° układu w spół­ rzędnych. W takiej sytuacji w ykreślanie linii kontrolnych jest rozw iązaniem nieracjonalnym. Linie kontrolne zastępow ane są m askow nicą p rzesuw aną na płaszczyźnie rysunku, w miarę w ydłużania się śladu procesu i sekwencji (27). W stan d ard o w y ch wersjach tej p roced ury obszar kontynuacji b adań łączony jest z obszarem przyjęć hipotezy zerowej. W konsekwencji, do w yznaczania

It 2„ = Y j x t = X xf (28) f=0 /=1 d n h z,

param etrów maskownicy, której schemat pokazano na rycinie 3, wykorzystuje się tylko górną linię kontrolną klasycznego schem atu sekw encyjnego10.

Uw zględniając po d an e powyżej w zo ry (21), (22) i (24) rów nan ie górnej linii kontrolnej w klasycznym schemacie sekwencyjnym m ożna zapisać nastę­ pująco:

l n ł z £ i n &

z A l i ) - --- 1---— x ii. (29)

‘ i n M ] n m

Mi

0

,

W konsekwencji połączenia obszaru przyjęć hipotezy zerowej z obszarem kontynuacji badań przyjmuje się f3 - 0. M am y więc:

l n - ln —

z J n ) =--- ^ —+ x n . (30)

* i n M o l n PsŁ v '

P o p

0

i

W celu uzyskania wartości pa ra m e tru d m askow nicy należy w yznaczyć pierw iastek tego równania:

, I n a n =•

l n &

Uwzględniając fakt, że param etry m askow nicy w yznaczane są w układzie współrzędnych obróconym o 180° mamy:

d - -n* > 0. (31)

Drugi param etr m askownicy, czyli tangens kąta nachylenia czynnej kra­ wędzi m askow nicy w zględem osi odciętych (c = tg <p) d any jest w zorem (22). Mając wartości p aram etrów c i d m ożna skonstruow ać algorytm n u m e ­ ryczny, formalnie rów now ażny przedstaw ionem u powyżej algorytm ow i gra­ ficznemu, a jednocześnie nie wym agający sporządzenia m askow nicy i o d p o ­ wiedniego diagram u przeglądowego. Zastosowanie algorytm u num erycznego wymaga natom iast skonstruow ania odpowiedniej tablicy obliczeniowej i w y ­ znaczenia wartości dodatkow ego pa ra m e tru h, pełniącego rolę wartości k ry­ tycznej dla sum skum ulow anych, obliczanych w kolejnych krokach p ostęp o­ wania kontrolnego. Wartość p aram etru h oblicza się w ed łu g w zoru:

10 W yczerpujące o m ó w ien ie funkcjonowania stan dardow ych kart kontrolnych su m sk u m u lo ­ wanych zainteresow any C zytel nik znajdzie w pracach: M ontgom ery, 2005; Iw asiew icz 1985, 1999.

Dalsze postępow anie przebiega w edług przedstaw ionego poniżej schematu: 1. Każdą uzyskaną empirycznie wartość x f (0 albo 1) porównuje się z war­ tością pa ra m e tru c. Jeśli x t < c, a więc jeśli x t - 0, to nie podejmuje się żadnych działań, a po przejściu do następnego, losowo w ybranego p u n k tu na osi cza­ su generuje się kolejną wartość xfn . Jeśli natom iast spełniona jest nierówność

x t > c, a więc jeśli x t = 1, to urucham ia się licznik indeksu operacyjnego (j = 1)

i rozpoczyna się obserwację sekwencji, która m oże doprowadzić do odrzucenia hip otezy zerowej (13) na korzyść hipotezy alternatyw nej (14).

2. W tym celu oblicza się w artość sum y skumulowanej:

Dr = ± ( x tj - c ) , (33)

H

gdzie: t — indeks bieżący, j — indeks operacyjny, r = największa w danym m om encie w artość indeksu operacyjnego (r = 1, 2, 3, ...).

3. Sygnał o ro z re g u lo w a n iu m o n ito ro w a n eg o p ro cesu e m ito w a n y jest w ów czas, g d y spełniona jest nierówność:

Dr > h. (34)

Oznacza to odrzucenie hipotezy zerowej (13) na korzyść hipotezy alterna­ tywnej (14), a praw dopodobieństw o zdarzenia losowego polegającego na tym, że jest to sygnał fałszywy nie przekracza przyjętej wartości a. W konsekwenqi p o w in n y być podjęte działania zmierzające do przyw rócenia procesow i po ­ p raw n ego przebiegu. Emisja sygnału o rozregulow aniu procesu kończy obser­ w o w an ą sekwencję. Następuje zerow anie licznika indeksu operacyjnego (/' = 0).

4. Siedzenie rozpoczętej sekwencji kończy się rów nież w ów czas gdy:

Dr < 0. (35)

W takiej sytuacji rów nież następuje zerow anie licznika indeksu operacyjnego (j = 0), jednak bez podejm ow ania działań korygujących przebieg procesu.

Przedstaw ione powyżej algorytmy, zarów no graficzny, jak i numeryczny, m o żna zm odyfikow ać w taki sposób, by om aw iana proced ura um ożliw iała akceptację m onitorow anego procesu. W tym celu należy zrezygnować z zasto­ sow anego powyżej łączenia obszaru akceptaq'i procesu z obszarem

kontynuowa-11 W y g o d n y m , a n iezb yt często sto so w a n y m sp o sob em lo s o w e g o w yb oru pu n k tów na osi cza­ su jest z a sto so w a n ie liczb złotych (Iw asiew icz i Paszek, 2004).

Ryc. 4. M askow nica stosow ana w proced urze z m o żliw ością akceptacji procesu

nia obserwacji. W konsekwencji, m askow nica stosow ana w graficznej wersji procedury ma kształt pokazany schematycznie na rycinie 4. Szczegółowy kształt tej m askownicy określony jest przez trzy — zaznaczone na rysunku — p a ra ­ metry, a mianowicie: dQI dl oraz c = tg<^. Dla potrzeb algorytm u num erycznego wyznacza się dodatkow o hQ oraz h y Jeśli wartości pQ i p l są ustalone, to p a ra ­ metr c ma tu taką samą wartość jak w standardowej procedurze, bez m ożliwo­ ści akceptacji procesu, albowiem nie zależy ona od przyjętych wartości a i /?. Param etry dQ i hQ dotyczą tego segm entu procedury, który um ożliw ia przyjęcie hipotezy zerowej H 0, a więc akceptację śledzonego procesu w tym sensie, że

p < pQ. P ra w d o p o d o b ień stw o z d arzen ia losow ego polegającego na tym , że

w rzeczywisty poziom procesu p spełnia nierówność p > p v nie przekracza p rz y ­ jętej wstępnie, dowolnie małej, dodatniej wartości /3. Param etry d1 i hx dotyczą natomiast tego segm entu procedury, który um ożliwia przyjęcie hipotezy alter­ natywnej H y a więc dyskwalifikację m onitorow anego procesu. Przyjmując H { orzekamy, że p > pv a praw dopodobieństw o zdarzenia losowego polegającego na tym, że w rzeczywistości proces jest uregulow any (p < pQ), nie przekracza przyjętej wstępnie, dowolnie małej, dodatniej wartości a. Param etr dQ u z y sk u ­ jemy w rezultacie przedstaw ionych poniżej przekształceń rów nania dolnej linii kontrolnej w klasycznej p rocedurze sekwencyjnej (zob. ryc. 2). R ów nanie to przedstaw ia się następująco:

ln z d(n) =— -— + I n M L Po'?, l n & 2i_ ln M o Po9i x n . (36)

8 8

Chcąc uzyskać rów nanie param etru dQ należy wyznaczyć pierwiastek (miej­

sce zerow e) p o w y ż sz e g o ró w n an ia (nQ). Po niezbędnych przekształceniach mam y: ln —— -■ + ln — x n = 0, 1 - a ■ln <7i

P

P

Rów nanie p aram etru hQ — wykorzystyw anego w numerycznej wersji p ro­

cedury — przedstaw ia się następująco:

hQ = c x d Q l n & Sl. l n

P

W analogiczny sposób uzyskuje się rów nania param etrów dl i /zr M amy mianowicie: - ^ > 0 , lnd , = -ln — Al (41) l n ^ ,n ł z £ ,n W * a _ a lnM o P M ln5o I n M o Po^7i >0. (42)

Dysponując wartościam i param etrów c, hQ i h} m ożna skonstruow ać num e­ ryczny algorytm weryfikacji hipotez (13) i (14), w odniesieniu do m onitorow a­ n ego p ro cesu . A nalog iczn ie jak p o p rz e d n io , k a ż d ą u z y sk an ą em pirycznie w artość x t (0 albo 1) porów nuje się z wartością param etru c = tg<p. W ynik tego p o ró w n an ia w yznacza drogę dalszego postępow ania.

Analiza sekwencji, która może doprowadzić do przyjęcia hipotezy zerowej (13), a więc do stwierdzenia, że m onitorow any proces jest uregulow any, p rze ­ biega w ed łu g przedstaw ionego poniżej schem atu.

1. Siedzenie tej sekwencji rozpoczyna się wów czas gdy pojawi się wartość

x t < c, a więc wartość x t = 0. U rucham ia się w ów czas licznik indeksu operacyj­

nego (i = 1).

2. W dalszym postępow aniu oblicza się w artość sum y skum ulowanej:

D0, = l > (, - c ) , (43)

/=i

gdzie: f — indeks bieżący, i — indeks operacyjny, s — największa w d an y m momencie w artość indeksu operacyjnego (s = 1, 2, 3, ...).

3. Przyjęcie hipotezy zerowej (13) oraz zakończenie śledzenia danej sekw en­ cji p u n k tó w em pirycznych i zerow anie licznika indeksu operacyjnego (i - 0) następuje wów czas, gdy:

D0, ^ V (44)

przy czym h0 < 0, zob. w zór (40). Przyjmując hipotezę zerow ą (13) i akceptując — w konsekwencji — przebieg śledzonego procesu, z praw d op od ob ień stw em j.3 narażam y się na ryzyko, że w rzeczywistości praw dziw a jest hipoteza alter­ natyw na (14).

4. Analizę obserwowanej sekwencji kończy się rów nież w tedy, kiedy zo­ stanie spełniona nierówność:

D0, > 0. (45)

W takiej sytuacji rów nież zeruje się licznik indeksu operacyjnego (z = 0). Analiza sekwencji, która może doprowadzić do przyjęcia hipotezy alterna­ tywnej (14), a więc do stw ierdzenia, że m onitorow any proces jest ro zregu lo ­ wany, przebiega w edług przedstaw ionego poniżej schem atu.

1. Siedzenie tej sekwenq’i rozpoczyna się wów czas g dy pojawi się w artość

x t > c, a więc wartość x t = 1. U rucham ia się w ów czas licznik indeksu operacyj­

nego (j = 1).

2. W d alszy m p o stę p o w a n iu oblicza się w artości su m y sk u m u lo w a n e j

według w zoru (33). Sumę tę oznaczym y obecnie symbolem D 1 r, dla odróżnie­

nia od analogicznej sum y w algorytmie bez możliwości akceptacji m on ito ro ­ wanego procesu.

3. Przyjęcie hipotezy alternatywnej (14) i zakończenie śledzenia danej se­ kwencji p u n k tó w em pirycznych następuje w ów czas, g d y spełniona jest nie­ równość:

D l r > V (46)

W konsekwencji em ito w any jest sygnał o ro zregu low an iu m o n ito ro w an eg o procesu, a p raw d o p o d o b ie ń stw o zdarzenia losow ego polegającego na tym ,

90

że jest to sygnał fałszywy nie przekracza przyjętej wartości a. W konsekwencji pow inny być podjęte działania zmierzające do przywrócenia procesowi popraw­ nego przebiegu. Emisja sygnału o rozregulow aniu procesu kończy obserwo­ w aną sekwencję. N astępuje zerow anie licznika indeksu operacyjnego (/' = 0).

4. Siedzenie rozpoczętej sekwencji kończy się rów nież wówczas, gdy:

D 1 < 0. (47)

W takiej sytuacji rów nież następuje zerow anie licznika indeksu operacyjnego (j = 0), jednak bez podejm ow ania działań korygujących przebieg procesu.

N ależy podkreślić, że w yróżnione powyżej dw ie konkurencyjne sekwen­ cje p u n k tó w em pirycznych nie są rozłączne. Nie są one rozłączne w tym sensie, że obydw ie m ogą przebiegać jednocześnie. I tak np. sekwencja mogąca dopro­ w adzić d o przyjęcia hipotezy zerowej H Q i — w konsekwencji — do akceptacji m onitorow anego procesu, rozpoczyna się od wartości x f = 0, ale nie jest prze­ cież w y k lu c z o n e , że w czasie jej trw a n ia pojaw i się p u n k t e m p iry c z n y o wartości x t = 1. Punkt taki rozpoczyna now ą sekwencję, mogącą doprow a­ dzić do przyjęcia hipotezy alternatywnej H x i dyskwalifikacji procesu, ale jed­ nocześnie nie przeryw a on wcześnie rozpoczętej, konkurencyjnej sekwencji do­ póty, dopóki nie zostanie spełniona nierówność (45). To samo dotyczy oczywiście sekwencji rozpoczynającej się od obserwacji empirycznej o wartości ,v( = 1.

BILIOGRAFIA

A chelis S.B. 1998. Analiza techniczna od a do z, tłum. z j. ang., O ficyna W ydaw nicza LT & P, War­ s za w a .

Iw asiew icz A . 1985. Statystyczna kontrola jakości w loku produkcji; systemy i procedury, PW N, War­ sza w a .

Iw a siew icz A. 1999. Zarządzanie jakością, W y d a w n ictw o N a u k o w e PW N, W arszawa-Kraków. iw a sie w icz A. 2001. Karty kontrolne Shewharta z możliwością akceptacji procesu, Z eszyty N a u k o w e

U n iw ersytetu Szczeciń skiego, 320, 35-48.

Iw a siew icz A. 2005. Zarządzanie jakością w przykładach i zadaniach, Śląskie W yd aw n ictw a N au k o w e W yższej Szkoły Zarządzania i N au k Społeczn ych w Tychach, Tychy.

Iw asiew icz A. 2005-2006. Monitorowanie procesów binarnych, Folia O econom ica Cracoviensia, 46­ -4 7 , 103-116.

I w a siew ic z A., Paszek A. 2004. Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania pro­

cesów, w y d . IV pop raw ion e, W y d a w n ictw o A k adem ii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków.

Iw a siew icz A., Stefanów P. 2000. Wykorzystanie testoiv ivzorca przebiegu w statystycznym stero-waniu

procesami, Prace N a u k o w e A kadem ii Ekonomicznej w e W rocławiu, 874, 199-207.

Juran J.M. 1962. Handbook of quality, McGraw Hill, N e w York.

Major M. 1997. Sterowanie procesem za pomocą kartkonlrolnych sum skumulowanych. Materiały konfe­

rencyjne z 1 Krajowej Konferencji Naukowej Materiałoznawstwo — Odleivniclwo, t. 3, Jakość, Kra­

ków .

M on tgom ery D.C. 2005. Introduction to statistical quality control, fifth edidion, John W iley & sons, inc. PN-ISO 8258+AC1 1996. Karty kontrolne Shewharta.

Rinne H., Mittag H.J. 1988. Statistische Methoden dcr Qualitaetssicherung, Fernuniversitaet — G esam ­ thochsch ule — in Hagen.

Vol. XLIX-L (2008-2009) PL ISSN 0071-674X

UWARUNKOWANIA POMIARU WSPÓŁZALEŻNOŚCI CECH

TADEUSZ GRABIŃSKI

Katedra Finansów

U n iw ersytet E konom iczny w Krakowie PL 31-510 Kraków, ul. Rakowicka 27

email: tg@nc.krakoxv.pl

Praca p r z ed sta w io n a na p o s ie d z e n iu Komisji N a u k E k o n o m icz n y c h P A N w d n iu 20 sty czn ia 2009 r. p r z e z autora.

ABSTRACT

T adeusz G rabiński, Problems o f measuring statistical dependence of variables, Folia O e c o n o m ic a C ra covien sia, 2 0 0 8 -2 0 0 9 , 49 -5 0 : 9 1 -1 0 7 .

T he p a p er p r e se n ts p r o p o s itio n s o f m o d ific a tio n in correlation a n d r e g r e s s io n lin ea r a n a ly ­ sis. It is a resu lt o f p r o b le m s in interp retation o f statistical d e p e n d a n c e m e a s u r e s in c a se w h e r e d ata are referring to a g g r e g a te u n its (e.g. co u n tr ies). T he p a p er s h o w s r esu lts o f research m a d e at the b e g in n in g o f 2000 for 81 c o u n tries b y R. L ynn a n d T. V a n h a n en w h o s h o w that IQ is o n e o f im p o rta n t factors c o n trib u tin g to d ifferen ces in w e a lth o f n a tio n s a n d rates o f e c o n o m ic g r o w th .

KEY WORDS — SŁOWA KLUCZOWE

m easures o f depend en ce, analysis o f correlation and regression, w ea lth o f nation, IQ miary w sp ó łza leżn o ści, analiza korelacji i regresji, b o g a ctw o narodów , iloraz inteligencji

1. WPROWADZENIE

Podstaw ą b adań statystycznych są informacje opisujące analizow ane elem enty zbiorowości (próby) z p u n k tu w idzenia w ybranej cechy (jednej lub więcej). W każdej analizie należy zdefiniow ać jednostki badania oraz określić cechy charakteryzujące te jednostki.

Wyróżnia się j e d n o s t k i e l e m e n t a r n e oraz a g r e g a t o w e . T rud­ no podać precyzyjne rozróżnienie tych pojęć, gdyż zależy ono od kontekstu

92

analizy. Przykładem jednostek elem entarnych jest osoba, firma, produkt, gmi­ na i w ty m kontekście o dpow iednim i jednostkam i agregatow ym i są: gospo­ darstw a dom ow e dla osób; branża dla firm; region, województwa, powiaty dla gm in itp.

To rozróżnienie nie zaw sze jest brane p od uw agę w analizach ekonome- trycznych i m oże prow ad zić do kłopotów w interpretacji uzyskanych wyni­ ków. W w ielu przypadkach m am y do czynienia z jednostkami agregatowymi, które traktujem y z jednakow ą wagą, podczas gdy nie zawsze jest to uzasad­ nione wielkością tych jednostek.

Dodatkowym elementem, na który należy zwrócić szczególną uwagę w ba­ daniach są m iana (jednostki pom iarowe) analizowanych cech. Mogą to być miana n a t u r a l n e (zł, kg, osoby) lub z ł o ż o n e o charakterze w skaźników (do­ chód n a ro d o w y na osobę, zarobek tygodniow y na 1 zatrudnionego).

Przedm iotem niniejszego artykułu jest przedstaw ienie problem ów zwią­ zanych z istotą jednostek analizy i ich m ian w p rzy p a d k u pom iaru współzależ­ ności cech. Rozw ażania ograniczone zostaną do najprostszych m etod oceny współzależności — liniowych w spółczynników korelacji i regresji jednej zmien­ nej, ale m ożna je rozszerzyć na bardziej zaaw ansow ane miary.

Dla ułatwienia przyjmuje się najprostszy przypadek analizy, w którym m a­ m y do czynienia z dany m i statycznym i. Punktem wyjścia rozw ażań są więc informacje liczbowe (skala ilorazowa) dotyczące n-elem entowego zbioru jed­ nostek, opisujące je z p u n k tu w idzenia dw óch cech X i Y w w ybranym m om en­ cie czasowym:

{X}= [xv x 2, ..., x„] (Y}= Vjv y 2, y j .

2. WSPÓŁZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY BOGACTWEM

A INTELIGENCJĄ W SKALI MAKROEKONOMICZNEJ

Dla zilustrow ania trudności z jakimi m ożna się spotkać przy analizie w spółza­ leżności przytoczono w yniki badań R. Lynna oraz T. Vanhanena (2002) nad bogactw em narodów . Przyczyny bogactwa i ubóstw a są przedm iotem zainte­ resow ania w ielu badaczy (Landes, 1998), począw szy od pracy A dam a Smitha z 1776 roku Badania nad naturą i przyczynami bogactwa narodóiu, poprzez teorie wskazujące na takie determ inanty bogactwa narodów jak: klimat (Monteskie- usz, 1748; Landes, 2000), kultura i religia (Weber, 1994), położenie geograficz­ ne (D iam ond, 1998), system g o spodarczy (Olson, 1996), rozw ój technologii (Solow, 19956), kapitał ludzki i inteligencja (Herrnstein i M urray, 1996; Lynn i Vanhanen, 2002).

Zależność p om iędzy bogactw em a inteligencją m ożna badać w skali m i­ kroekonomicznej, gdzie jednostkami analizy są osoby. W pracy R. J. Herm

ste-ina i Ch. M urraya (1994) wskazyw ano, że inteligencja jest dobrym predykto- rem sukcesu zaw odow ego, a niski poziom IQ jest jedną z głównych przyczyn plag społecznych — bezrobocia, przestępczości, narkom anii, sam otnego m a ­ cierzyństwa. D rugim m ożliw ym ujęciem jest analiza m akroekonom iczna, w któ­ rej jednostkami analizy są regiony lub kraje. W pracy R. Lynna i T. Vanhanena (2002) postaw iono tezę, że zam ożność w skali m akroekonom icznej zależy od inteligencji n arod u i jest z nią w ysoko oraz d od atn io skorelow ana.

Zamożność krajów opisano wielkością p ro d u k tu narodow ego b rutto (GDP) na osobę w dolarach na podstaw ie danych dla roku 1998. Analizę oparto na informacjach odnoszących się do 81 krajów, dla których udało się zebrać w m ia­ rę porów nyw alne dane (główne chodziło o trudności w zebraniu o d p o w ie d ­ nio dużej liczby informacji opisujących stopień inteligencji). Cecha GDP jest często w ykorzystyw ana w wielu analizach i pom im o pew nych zastrzeżeń co do adekwatności miernika GDP jako dobrego wskaźnika bogactw a na ogół jest akceptowana w wielu opracow aniach.

Gorzej przedstaw ia się spraw a pom iaru inteligencji w skali m akroekono­ micznej (dla m ieszkańców danego kraju). R. Lynn i T. Vanhanen założyli, że inteligencja nie jest rów noznaczna z wykształceniem, wiedzą, wynalazczością czy też m ądrością i w swoich badaniach mierzyli ją średnim w ynikiem testu inteligencji (iloraz inteligencji — IQ) z w ielu indyw idualnych po m iarów

wy-Tabela 1 W sp ółczynnik i inteligencji (IQ), produkt n a ro d o w y brutto G D P (w $ na osobę) oraz liczba ludności (w tys.) w w yb ran ych krajach (dane za różne lata w okresie 1996-2002)

Kraj IQ G D P /o s . ($) Ludność (tys) Kraj IQ G D P /o s . ($) Ludność (tys) Argentina 96 12 013 38 337 Lebanon 86 4 326 3 731 Australia 98 22 452 19 767 Malaysia 92 8 137 23 105 Austria 102 23 166 8 163 Marshall Islands 84 3 000 56

Barbados 78 12 001 277 Mexico 87 7 704 103 718 Belgium 100 23 223 10 331 Morocco 85 3 305 31 754 Brazil 87 6 625 183 960 Nepal 78 1 157 26 470 Bulgaria 93 4 809 7 588 Netherlands 102 22 176 16 223 Canada 97 23 582 31 889 N ew Z ealand 100 17 288 3 960 China 100 3 105 1 291 496 Nigeria 67 795 131 728 Colombia 89 6 006 41 802 N orw ay 98 26 342 4 555

Congo (Brazz) 73 995 3 413 Peru 90 4 282 27 275

94 Tabela 1 cd. Kraj IQ G D P /o s . ($) Ludność (tys) Kraj IQ G D P /o s . ($) Ludność (tys) Croatia 90 6 749 4 498 Poland 99 7 619 38 603 Cuba 85 3 967 11 247 Portugal 95 14 701 10 480

C zech Republic 97 12 362 10 251 Puerto Rico 84 8 000 3 878

Denmark 98 24 218 5 394 Qatar 78 20 987 725

Ecuador 80 3 003 13 074 Romania 94 5 648 22 380

Egypt 83 3 041 74 761 Russia 96 6 460 144 308

Equatorial Guinea 59 1 817 536 Samoa (Western) 87 3 832 204

Ethiopia 63 574 70 366 Sierra Leone 64 458 5 571

Fiji 84 4 231 869 Singapore 103 24 210 4 277

Finland 97 20 847 5 204 Slovakia 96 9 699 5 416

France 98 21 175 62 171 Slovenia 95 14 293 2 012

Germany 102 22 169 82 398 South Africa 72 8 488 46 567

Ghana 71 1 735 21 111 Spain 97 16 212 40 217 Greece 92 13 943 10 626 Sudan 72 1 394 36 593 Guatemala 79 3 505 11 725 Suriname 89 5 161 450 Guinea 66 1 782 8 756 Sw eden 101 20 659 8 970 H on g Kong 107 20 763 6 810 Switzerland 101 25 512 7 408 Hungary 99 10 232 10 058 Taiwan 104 13 000 22 543 India 81 2 077 1 057 504 Tanzania 72 480 36 199 Indonesia 89 2 651 223 070 Thailand 91 5 456 63 271 Iran 84 5 121 63 988 Tonga 87 3 000 108 Iraq 87 3 197 24 683 Turkey 90 6 422 68 109 Ireland 93 21 482 3 924 U. Kingdom 100 20 336 60 095 Israel 94 17 301 6 492 Uganda 73 1 074 26 322

Italy 102 20 585 57 998 United States 98 29 605 290 343

Jamaica 72 3 389 2 689 Uruguay 96 8 623 3 387

Japan 105 23 257 127 358 Zambia 77 719 10 800

Kenya 72 980 33 042 Zimbabwe 66 2 669 11 816

Korea, South 106 13 478 47 657

konanych na mieszkańcach poszczególnych krajów. W sposób bezpośredni udało się im zebrać informacje z 81 krajów (zapew ne o różnym stopniu reprezenta­ tywności). W niektórych krajach (Polska, H olandia, Belgia) dane te były gro­ m adzone w ram ach w idow isk telewizyjnych w stylu: Narodowi/ test inteligencji

Polaków (TVN, 2003, 300 tys. osób). R. Lynn i T. V anhanen oszacow ali także

średnie ilorazy inteligencji dla pozostałych 104 krajów (dla których d y spo n o­ wali informacjami o dochodzie narodow ym ) na podstaw ie średnich ilorazów inteligencji w sąsiednich krajach, jednakże dane te nie zostały szerzej w y ko ­ rzystane.

W tabeli 1 przytoczono w artości zm iennych stanow iących p o d staw ę b a ­ dań R. Lynna i T. Vanhanena. W ostatniej kolum nie przytoczono dodatko w o liczbę m ieszkańców dla poszczególnych krajów, g dyż zad an iem niniejszego a rty k u łu jest po k a z an ie jak się m o g ą zm ienić w y n ik i analiz w p r z y p a d k u uw zględnienia do d atk o w y ch informacji (w tym p rz y p a d k u liczby ludności) o badanych obiektach.

Na rycinach 1-2 przedstaw iono rezultaty analizy R. Lynna i T. Vanhanena. Są to diagram y rozrzutu pokazujące zależność w yrażającą się w tym , że kraje zamożne zamieszkałe są na ogół przez m ieszkańców z w iększym i ilorazam i inteligencji. I odw rotnie, społeczeństwa krajów niezam ożnych zazwyczaj cha­ rakteryzują się mniejszymi ilorazam i inteligenci. Rycina 1 zaw iera oryginalny diagram z pracy R. Lynna i T. Vanhanena natom iast rycina 2 — w ykres zm o­ dyfikow any przytoczony w h ttp ://w w w .a m r e n .c o m /a r /2 0 0 2 /1 2 /.

per capita GDP v. mean national IQ

40 000 R = 0,82 20 000 ; * * ** _ * i* «. t 50 6(j> „ - " 70 80 90 100 110 ^ " mean national IQ s'

Źródło: h ttp ://w w w .lag riffed u lio n .f2 s.co m /sft.h tm .

Rye. 1. O ryginalny diagram rozrzu tu p o m ię d z y G D P oraz IQ w raz z lin iow ą funkcją regresji

96

Regression Plot

National IQ Y = - 3 5 716,866 + 519,004 * X; RAZ - .537

Źródło: h ttp ://w w w .a m r e n .c o m /a r/2 0 0 2 /1 2 / The Global Bell Curve. Uncommon sense on wealth and poverty., review ed b y T hom as Jackson

Rye. 2. P op raw ion y diagram rozrzutu p o m ię d z y GDP oraz IQ dla 81 krajów w ra z z lin iow ą funkcją regresji

Różnica pom iędzy tymi rycinami w yraża się w tym, że rycina 2 odpow ia­ d a d o k ład n ie d a n y m zam ieszczonym w tabeli 1, n ato m iast w rycinie 1 nie u w zg lęd niono kilku krajów, m.in. Chin i Kataru, dla których wartości b ad a­ nych zm iennych w yraźnie odbiegały od linowej linii regresji. Dlatego też w spół­ czynniki korelacji p om iędzy GDP a IQ przytoczone w obydw óch rysunkach różnią się od siebie. N a rycinie 1 (bez Chin i Kataru) współczynnik korelacji przyjm uje wartość 0,82, natom iast na rycinie 2 (z Chinam i i Katarem) — tylko 0,73. Trudno się oprzeć w rażeniu, że ta operacja mogła być spow odow ana chęcią w ykazania większej siły zależności. Taki proceder prow okuje do pytania: czy p rzyp adk iem nie dokonyw ano innych manipulacji danych dla potw ierdzenia tezy o w ysokim poziom ie współzależności pom iędzy inteligencją a bogactwem?

Zależność w idoczną na rycinie 2 opisano za pom ocą liniowej funkcji regre­ sji o postaci:

GDP = -35 717 + 519 * IQ (R2 = 0,537).

P aram etry tej funkcji m ożna zinterpretow ać następująco. Param etr znajdu­ jący się p rzy zmiennej IQ (519 $ G D P /o s/ro k ) wskazuje na „wartość" jednego p u n k tu ilorazu inteligencji (wartość kapitału intelektualnego). Przy wzroście

średniego ilorazu inteligencji m ieszkańców danego kraju o 1 p u n k t IQ m ożna się spodziewać w zrostu zamożności o 519 $ na 1 osobę w ciągu 1 roku. Jako że inteligencję „produkuje" system oświatow y kraju (szkolnictwo) m ożna stąd oszacować wartość p ro d u k tu tworzonego przez ten system, np. w Polsce p o d ­ niesienie średniego ilorazu inteligencji o 1 p u n k t IQ m oże skutkow ać w z ro ­ stem GDP o:

[519 $ * 38 min mieszkańców] = 20 m ld $ /ro k = 60 m ld z ł/ro k . Oczywiście jest to rachunek obarczony znacznym błędem , którego w iel­ kość m ożna oszacować na poziom ie 1 - 0,537 = 0,473, czyli na ok. 47%. Jest zrozumiałe, że w zrost p ro d u k tu narodow ego zależy od wielu innych czynni­ ków, a poziom inteligencji (o ile w ogóle) jest tylko jednym z nich. Tym nie­ mniej, naw et uwzględniając ten wysoki brak precyzji, sektory oświaty, szkol­ nictwa wyższego i nauki mają pew ne podstaw y do twierdzenia, że w artość ich działalności (po u d ow odnieniu, że iloraz inteligencji społeczeństw a w ciągu roku rzeczywiście w zrósł o 1 pkt IQ) kształtuje się co najmniej na poziom ie ok. 30 m ld zł w skali roku (tzn. 50% z 60 m ld zł).

Interpretacja w yrazu wolnego jest bardziej abstrakcyjna. Formalnie jest to wielkość GDP w p rzy p a d k u „zerowej" inteligencji mieszkańców danego kraju. W tym p rzy p ad k u oznacza to, że do każdego „mieszkańca" należałoby doło­ żyć ponad 35 tys. $ GDP na rok (ujemna wartość w y razu w olnego funkcji re­ gresji) aby społeczeństw o takie m ogło w ogóle funkcjonować.

Bliższa analiza rycin 1 i 2 wskazuje, że liniowa funkcja regresji nie oddaje zbyt popraw nie em pirycznego rozrzutu punktów . W szczególności dla krajów o niskich ilorazach inteligencji teoretyczne wielkości GDP są ujemne, podczas gdy faktyczne wielkości w tych krajach są dodatnie. Dlatego też na podstaw ie tych samych danych oszacow ano dw ie inne funkcje regresji: p o tęgo w ą oraz wykładniczą. W yniki w postaci diagram ów ro zrzu tu z dopaso w any m i funk­ cjami regresji przedstaw iono na rycinach 3 i 4.

Jak m ożna zauw ażyć obydw ie funkcje są lepiej d o pasow an e do d any ch empirycznych, jakkolwiek funkcja wykładnicza jest nieco „lepsza" (R 2 = 0,698) od funkcji potęgowej (R 2 = 0,687). W p rzy p a d k u funkq'i liniowej w spółczynnik determinacji był mniejszy i wynosił tylko R 2 = 0,537. Param etry oszacow anych funkcji regresji zebrano w tabeli 2. Obok param etrów strukturalnych po dano tu odpowiadające im statystyki Studenta, m iary dopasow ania (współczynniki korelacji i determinacji, średni błąd dopasow ania i w spółczynnik zm ienności resztowej), jak również teoretyczne wielkości GDP dla Polski wynikające z osza­ cowanych funkcji regresji oraz w zględne wielkości różnicy p o m ię d z y teore­ tycznymi a faktyczną (7619 $ /o s /r o k ) wielkością GDP dla Polski.

Ten ostatni p a ra m e tr m ożna z in terp reto w ać jako tę w ielkość p r o d u k tu narodowego brutto, która pow inna uzyskać Polska w relacji do średniego ilora­ zu inteligencji IQ m ieszkańców naszego kraju (oczywiście w sytuacji, gdyby

98

Źródło: obliczenia w łasne.

Ryc. 3. P otęg o w a funkcja regresji p o m ię d z y G D P a IQ (81 krajów)

- 5 000 ^

Źródło: obliczenia w łasne.

Ryc. 4. W ykładnicza funkcja regresji p o m ię d z y G D P a IQ (81 krajów)

inteligencja była jedynym czynnikiem determ inującym poziom GDP). Jak się okazuje, faktyczna wielkość GDP (7619 $ / o s /r o k ) jest o połowę mniejsza niż wielkości teoretyczne wynikające z oszacow anych funkcji regresji. Można to traktow ać jako szacunek wielkości niew ykorzy staneg o ekonom icznie poten­ cjału tkwiącego w kapitale ludzkim społeczeństwa Polski.