ISSN 1733-8670
ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA E X P L O - S H I P 2 0 0 6
Waldemar Uchacz
Zagadnienie minimalizacji czasu wejścia statku na tor
przy ograniczeniach – algorytmy rozwiązań
Słowa kluczowe: regulacja ruchu statków, model optymalizacyjny, programowanie liniowe, algorytmy rozwiązań
Rozwiązywanie problemów organizacji ruchu statków na wąskich torach wodnych można sprowadzić do zagadnień optymalizacyjnych, przy kryterium minimalizacji funk-cji czasu. W artykule przedstawiono wariant modelu matematycznego ruchu statków, mający zastosowanie na akwenie o małej intensywności ruchu. Przedstawiono algorytm obliczeniowy przeznaczony do jego rozwiązania. Wyniki zilustrowano rozwiązaniami uzyskanymi dla wybranego przykładu.
A Problem of Minimum Waiting Time for a Vessel to Enter
a Narrow Fairway With Constraints – Solution Algorithms
Key words: vessel traffic management, optimization model, linear programming, solutionalgorithms
Solving problems of vessel traffic organisation in narrow fairways can be treated as an optimisation problem with the criterion of time function optimisation. The article presents a mathematical model of vessel traffic that can be used in narrow fairways with low traffic intensity. To solve the problem, an adapted algorithm was applied. The re-sults are illustrated with solutions for chosen data.
Wprowadzenie
Zasady organizacji ruchu na torze wynikają ze stosownych przepisów. Nad-zór nad przestrzeganiem tych zasad sprawują odpowiednie organa kontroli (VTMS – Vessel Traffic Management Services). Decyzja wydania zgody na włączenie się statku do ruchu poparta jest oceną sytuacji, czy wprowadzenie nowego statku na tor nie spowoduje utrudnień w ruchu innych statków, nie na-ruszy ograniczeń wynikających z przepisów. Jeżeli taka sytuacja miałaby mieć miejsce, statek oczekuje na przejście toru. Naturalnym kryterium optymalizacji ruchu jest minimalizacja łącznego czasu oczekiwania na wejście i przejścia toru przez wszystkie statki [3]. Rozwiązywanie zagadnień tego typu nastręcza wiele problemów. W artykule przedstawiono algorytmy rozwiązywania statycznych zadań optymalizacyjnych, przy ograniczeniach ruchu pochodzących od mijania się statków na torze. Analizowano model ogólny, jak i model wprowadzania na tor pojedynczego statku.
1. Model matematyczny
Model matematyczny zbudowano dla toru, przyjmując następujące założe-nia:
– tor podzielony jest na odcinki, na których obowiązują stałe zasady: do-puszczalnych prędkości (minimalnych i maksymalnych) oraz mijania się statków;
– wartości dopuszczalnych prędkości zależą od parametrów statków (dłu-gości i zanurzenia);
– kryteria dopuszczalności mijania się i wyprzedzania statków zależą od wzajemnych relacji parametrów statków (długości i zanurzenia).
Przyjmując oznaczenia:
Ti, Tj – rzeczywisty czas gotowości do wejścia na tor statków i, j;
xi,yj – czas oczekiwania statków X ,i Yj na wejście na tor;
m,n – liczby statków oczekujących na przejście toru: i = 1,...,n, j =1,...,m; r – liczba odcinków toru: k = 1,..., r;
m k
f
1 – funkcja wyznaczająca czas dojścia do bliższej krawędzi k-tego
od-cinka mijania;
m k
f
2 – funkcja wyznaczająca czas dojścia do bliższej krawędzi k-tego
to układ ograniczeń na ruch statków można zapisać następująco [5]: ) , , , , ( 2 i j i j m k ijk j i y M f v v kT T x (1) ) , , , , ( 2 i j i j m k ijk j i y M f v v kT T x (2) 1 1
r r k ijk (3)dla każdej pary X ,i Yj: i = 1,...,n; j = 1,...,m; dla każdego odcinka k m ij
K
,
gdzie K – zbiór odcinków dopuszczających mijanie się pary statków ijm X ,i Yj,
α – zmienna binarna, M – dostatecznie duża liczba. Dzięki temu, dla tylko jed-nego k para odpowiednich nierówności jest nietrywialna.
Układ ograniczeń uzupełniony jest o oczywiste ograniczenia: xi, yj
0 i = 1,...,n; j = 1,...,nPowyższy układ ograniczeń uzupełniany jest o kryterium optymalizacji. Ja-ko kryterium optymalizacji przyjęto minimalizację łącznego czasu oczekiwania wszystkich statków:
j m j j i n i ix c y c FC 1 1 min (4) ci, cj – współczynniki wagowe.Ze względu na występowanie w modelu zmiennych całkowitoliczbowych (α), model należy do klasy zadań programowania matematycznego całkowito-liczbowego liniowego mieszanego (PCLM). W ogólnym przypadku rozwiązy-wanie takich zagadnień należy do zadań trudnych.
Przedstawiony model pozwala zapisać ograniczenia pochodzące od mijania się jednocześnie n – statków oczekujących na przejście toru w jednym kierunku i m – statków oczekujących na przejście toru w kierunku przeciwnym. Ograni-czenia ((1) – (3)) można również zapisać następująco:
111 '' 111 1 1 ' 111 111 11 1 : M a x y a M A (5) 112 '' 112 2 1 ' 112 ' 112 11 2 : M a x y a M A (6) k k k k k k M a x y a M A11: 11 11' 1 11'' 11 (7)
k i k k 1 11 1 (8) 121 '' 121 2 1 ' 121 121 12 1 : M a x y a M A (9) 122 '' 122 2 1 ' 122 122 12 2 : M a x y a M A (10) k k k k k M a x y a M A12: 12 12' 1 2 12'' 12 (11)
k i k k 1 12 1 (12) 1 '' 1 ' 1 1 1 : ij ij i j ij ij ij M a y x a M A (13) 2 '' 2 ' 2 2 2 : ij ij i j ij ij ij M a y x a M A (14) ijk ijk j i ijk ijk ij k M a x y a M A : ' '' (15)
k i ijk k 1 1 (16)gdzie ograniczenie A oznacza wymuszenie minięcia się pary statków (i,j) na kij
Rys. 1. Graficzna interpretacja ograniczenia ij k
A Fig. 1. A graphic interpretation of the constraint ij
k
A
Prezentowane w artykule metody rozwiązań zadań optymalizacyjnych klasy PCLM zilustrowano poniższym przykładem.
Dla n = 2 i m = 3 problem może wyglądać następująco:
111 1 1 111 4,00 x y M M (17) 112 1 1 112 3,55 3,89 x y M M (18) 113 1 1 113 2,28 3,07 x y M M (19) 114 1 1 114 1,10 0,55 x y M M (20) 115 1 1 115 1,66 1,30 x y M M (21) 116 1 1 116 4 x y M M (22)
6 1 11 5 i i (23) 121 2 1 121 4,00 x y M M (24) 122 2 1 122 3,46 3,67 x y M M (25) 123 2 1 123 0,22 1,42 x y M M (26)124 2 1 124 1,03 0,48 x y M M (27) 125 2 1 125 1,66 1,25 x y M M (28) 126 2 1 126 3,46 2,16 x y M M (29) 127 2 1 127 4,00 x y M M (30)
7 1 12 6 i i (31) 131 3 1 131 4,00 x y M M (32) 132 3 1 132 3,15 3,56 x y M M (33) 133 3 1 133 2,79 2,90 x y M M (34) 134 3 1 134 1,34 1,55 x y M M (35) 135 3 1 135 4,00 x y M M (36) 4 5 1 13
i i (37) 211 1 2 211 4,00 x y M M (38) 212 1 2 212 1,55 2,89 x y M M (39) 213 1 2 213 0,54 1,72 x y M M (40) 214 1 2 214 4,01 x y M M (41)
4 1 21 3 i i (42) 221 2 2 221 4,00 x y M M (43) 39 , 3 25 , 3 x2y2 (44) 223 2 2 223 2,28 3,07 x y M M (45) 224 2 2 224 2,10 0,55 x y M M (46)225 2 2 225 2,66 2,35 x y M M (47) 226 2 2 226 4,00 x y M M (48)
6 1 22 5 i i (49) 231 3 2 231 4,00 x y M M (50) 232 3 2 232 3,46 3,67 x y M M (51) 233 3 2 233 0,62 1,42 x y M M (52) 234 3 2 234 1,03 0,68 x y M M (53) 235 3 2 235 1,66 1,25 x y M M (54) 236 3 2 236 4,00 x y M M (55)
6 1 23 5 i i (56)
2 1 3 1 i j j j i ix c y c FC (57) 0 , j i y x dla każdego i = 1,2; j = 1,3Przyjęto: ci = cj = 1 dla każdego i = 1,2; j = 1,3
2. Algorytm rozwiązania
Do rozwiązywania zadań zapisanych w formie przedstawionego modelu, zaadaptowano ogólną postać metody podziału i oszacowań. Znajduje ona zasto-sowanie w rozwiązywaniu zadań, w których wszystkie albo część zmiennych jest całkowitoliczbowa.
Zadanie programowania liniowego mieszanego można w postaci ogólnej przedstawić następująco [1]: X FC x cx (58)
gdzie zbiór X zawiera zmienne całkowitoliczbowe i nie jest zbiorem wypukłym. Zbiór X można podzielić na n podzbiorów takich, że:
j i X X X X i i j n i
dla , 1 (59) Można rozważać rodzinę zadań:X X x cx FC i X i min (60) oraz rodzinę zadań osłabionych:
T T x cx FC i T i min (61) gdzie: XiTi, i1,...,n
Z właściwości zbiorów osłabionych wynika, że:
X i T
i FC
FC dla każdego i = 1,...,n (62) Istota metody podziału i oszacowań polega na takim podziale (59) zbioru X, żeby rozwiązując zadanie osłabione (61) odpowiadające temu podziałowi, zapi-sane w postaci: * ,..., 1 ( ) min min FC cx FC iT n i T (63)
otrzymać rozwiązanie spełniające warunek przynależności do zbioru X: X
x* (64)
Podziału zbioru X i osłabienia jego podzbiorów zbiorami Ti dokonuje się
tak, by zadania na podzbiorach Ti mogły być rozwiązywane znanymi metodami
(na ogół metodą simplex). Proces tworzenia podziału ma charakter iteracyjny i może być zobrazowany drzewem podziału. Wierzchołki drzewa są wówczas podzbiorami Xi, a następniki wierzchołków – podzbiorami powstałymi z
podzia-łu Xi (na ogół na dwa podzbiory). Proces podziału może mieć wiele form.
W adaptacji metody rozważono gałęzienie w „głąb” i gałęzienie „poziomo”. Na wydajność metody duży wpływ mają oszacowania funkcji celu. Jeżeli da się stwierdzić, że w i-tej iteracji dalszy podział nie spowoduje poprawy
war-tości funkcji celu, to wierzchołek jest zamykany. Dla problemu minimalizacji czasów oczekiwania statków na wejście na tor oszacowaniem dolnym jest war-tość 0, natomiast oszacowaniem górnym będzie warwar-tość funkcji celu dla pierw-szego rozwiązania dopuszczalnego. Każde kolejne rozwiązanie dopuszczalne poprawiające wartość funkcji celu będzie nowym oszacowaniem górnym, ogra-niczającym przegląd wierzchołków.
Istota autorskiej adaptacji metody sprowadza się do następujących etapów: 1. Rozwiązanie zagadnienia ogólnego (metodą simplex), bez nakładania
ograniczeń całkowitoliczbowości na zmienne. Jeżeli uzyskane nie spełnia warunki całkowitoliczbowości zmiennych – jest rozwiąza-niem optymalnym – oznacza to koniec procedury. W przeciwnym przy-padku, przechodzi się do kolejnego etapu.
2. Podział. Zbiór rozwiązań dzieli się na dwa podzbiory tak, aby wykluczyć obszar, w którym leżało rozwiązanie niedopuszczalne. Technikę takiego podziału nazywa się często gałęzieniem, rozwiązania uzyskiwane dla po-szczególnych podzbiorów podziału – wierzchołkami.
3. Rozwiązanie. Rozwiązuje się zadania powstałe z podziału. Jeżeli roz-wiązanie jest niedopuszczalne, dokonuje się dalszego podziału wierz-chołka. Jeżeli uzyskano rozwiązanie dopuszczalne, wartość funkcji celu wykorzystywana jest do oszacowań optymalnej wartości funkcji celu. 4. Oszacowania. Uzyskanie rozwiązania dopuszczalnego wykorzystywane
jest do szacowania kolejnych rozwiązań. Przykładowo, oszacowaniem może być wartość funkcji celu rozwiązania dopuszczalnego (rozwiąza-nie suboptymalne). Jeżeli wartość funkcji celu rozwiązania kolejnego zadania jest gorsza od suboptymalnego, wierzchołek jest zamykany, gdyż dalsze gałęzienie nie jest perspektywiczne.
Gałęzienie prowadzi się aż do zamknięcia wszystkich wierzchołków.
3. Wyniki obliczeń i wnioski
Do rozwiązania zadania danego zależnościami (17) – (57) zastosowano al-gorytm w wariancie z gałęzieniem poziomo. Rozwiązaniem optymalnym jest:
0 37 , 1 0 62 , 0 79 , 2 78 , 4 1 2 1 2 3 x x y y y FC
Cykl obliczeń wymagał 623 kroków, w tym jedynie 3 z 35 wierzchołków dawało rozwiązania dopuszczalne. Na rysunku 2 pokazano wartości FC zadań dopuszczalnych oraz w którym kolejnym kroku obliczeń je uzyskano.
Wartości FC zadań dopuszczalnych 0 5 10 15 20 25 0 100 200 300 400 500 600 700
liczba analizowanych wierzchołków
Rys. 2. Wartości funkcji celu zadań dopuszczalnych Fig. 2. Values of the objective function of admissible tasks
W obliczeniach konieczne było ugałęzienie do 7 poziomu. Liczby analizo-wanych wierzchołków na kolejnych poziomach przedstawiono w tabeli 1.
Tabela 1 Liczby wierzchołków na kolejnych poziomach gałęzienia
Numbers of peaks on subsequent levels of branching Poziom gałęzienia Liczba analizowanych wierzchołków
1 1 2 10 3 74 4 212 5 210 6 104 7 12
Na skuteczność metody bardzo duży wpływ ma szybkość znalezienia pierw-szego rozwiązania dopuszczalnego (oraz jego wartość – możliwie bliska rozwią-zaniu optymalnemu). Na rysunku 3 przedstawiono suboptymalne wartości funk-cji celu.
Suboptymalna wartość FC -2 0 2 4 6 8 10 0 100 200 300 400 500 600 700
liczba analizowanych wierzchołków
Rys. 3. Suboptymalne wartości funkcji celu Fig. 3. Sub-optimal values of the objective function
Pierwszą wartość dopuszczalną: FC = 9,17 uzyskano w 180 kroku algoryt-mu. Na rysunku 4 w zestawieniu z rysunku 3 widać zależność liczby otwartych wierzchołków od wartości suboptymalnej FC. Optymalną wartość FC znalezio-no w kroku 338, mimo to konieczna była dalsza analiza wszystkich otwartych wierzchołków, prowadząca do ich zamknięcia.
Liczba otwartych wierzchołków
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 100 200 300 400 500 600 700
liczba analizowanych wierzchołków
Rys. 4. Liczba otwartych wierzchołków
Fig. 4. The number of open peaks
W artykule przedstawiono algorytm oparty na metodzie podziału i oszaco-wań. Algorytm wykorzystano do obliczeń dla przykładu o małym wymiarze zmiennych. Przykład pokazuje trudności z jakimi trzeba się liczyć przy
rozwią-zywaniu zadań klasy PCLM. Ponieważ jednak przedstawiony model optymali-zacyjny i metoda rozwiązania mają wspomagać proces podejmowania decyzji przy wprowadzaniu statków na tor, wymiar przedstawionego przykładu jest bliski rzeczywistości, a tym samym metoda modelowania i algorytm rozwiąza-nia zadań mogą być użyteczne praktycznie.
Literatura
1. Chudy M., Wybrane metody optymalizacji. Bellona, Warszawa 2001.
2. Uchacz W., Kwiatek T., Magaj J., Porównanie metod rozwiązań zagadnienia optymalizacji ruchu statków na akwenach ograniczonych. IV Międzynaro-dowe Sympozjum Nawigacyjne, Gdynia 2001.
3. Uchacz W., Kwiatek T., Annual of Navigation: Monitoring port regulations and traffic violations on the Szczecin – Świnoujście fairway, Gdynia 2000. 4. Uchacz W., Magaj J., Porównanie wybranych algorytmów rozwiązań
pew-nego zadania optymalizacji ruchu statków, Konferencja N-T, AMW Gdynia 2000.
5. Uchacz W., Metody modelowania i optymalizacji w symulacji i sterowaniu wybranych systemów transportu wodnego, w druku.
6. Zorychta K., Ogryczak W., Programowanie liniowe i całkowitoliczbowe, WNT, Warszawa 1981.
Wpłynęło do redakcji w lutym 2006 r.
Recenzent
dr hab. inż. Marek Malarski, prof. PW
Adres Autora
dr inż. Waldemar Uchacz Akademia Morska w Szczecinie Instytut Nawigacji Morskiej
