Geometria analityczna

Algebra

Geometria Analityczna

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Geometria Analityczna

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Współrz ˛edne na płaszczy´znie

• _{Osie Ox, Oy}

• _{Współrz ˛edne punktu A: odci ˛eta (abscissa), rz ˛edna}

(ordinata)

• _{Znaki współrz ˛ednych}

• _{Dla ka˙zdej pary (x, y) istnieje punkt A o takich}

współrz ˛ednych

Niektóre zbiory

Trójk ˛

at

Odległo´s´c mi ˛edzy punktami

• _{dist(A1(x1, y1), A2(x2, y2)) =} p

(x₂ − x₁)2 + (y₂ − y₁)2

Podział odcinka w stosunku

λ

_{: λ}

Twierdzenie Cevy

Twierdzenie 2. Je˙zeli boki trójk ˛ata podzielone s ˛a odpowiednio w stosunku

a : b, b : c oraz c : a, to odcinki, ł ˛acz ˛ace wierzchołki i punkty podziału maj ˛a wspólny punkt. B C A A′ B′ C′ c : b c :_a a : b • _{Dzielimy AA}′ _{w stosunku (b + c) : a}

Równanie krzywej

• _{f(x, y) = 0}

• _{Równanie okr ˛egu o promienu R i ´srodku (x0, y0)} ◦ _{(x − x0)}2 _{+ (y − y}

0)2 = R2

• _{Krzywa x}2 _{+ y}2 _{+ 2ax + 2by + c = 0 (a}2 _{+ b}2 _{− c > 0)}

Przykład 3. • Miejsce geometryczne punktów, stosunek odlegó´sci których od danych punktów A i B jest stały i równy k 6= 1.

• _{Równanie okr ˛egu, który przechodzi przez wspólne punkty okr ˛egów}

x2 + y2 + a₁x + b₁y + c₁ = 0, x2 + y2 + a₂x + b₂y + c₂ = 0 oraz dany punkt A.

Równanie parametryczne krzywej

• _{x = ϕ(t), y = ψ(t)}

• _{Parametryczne równanie okr ˛egu} ◦ _{x = R cos t, y = R sin t}

Punkty przeci ˛ecia krzywych

• _{f1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0}

• _{f(x, y) = 0, x = ϕ(t), y = ψ(t)}

• _{x = ϕ1(t), y = ψ1(t) x = ϕ2(t), y = ψ2(t)}

Przykład 4. x2 + y2 = 2ax, x2 + y2 = 2by

• _{(0, 0)} •  2ab2 a2_+b2, 2ba2 a2_+b2  Algebra – p. 11

Równanie prostej

• _{Ka˙zda prosta ma równanie postaci ax + by + c = 0}

x y

A₁

A

Równanie prostej

• _{Je˙zeli a i b jednocze´snie nie s ˛a równe 0, to ax + by + c = 0}

jest równaniem prostej

Równanie parametryczne prostej

Poło˙zenie prostej wzgl ˛edem osi

Równanie prostej, rozwi ˛

azane wzgl ˛edem

y

Proste równoległe i prostopadłe

• _{Niech dane b ˛ed ˛a dwie proste a1x + b1y + c1 = 0 oraz}

a₂x + b₂y + c₂ = 0

• _{Proste s ˛a równoległe (lub si ˛e pokrywaj ˛a)}

⇐⇒ a₁b₂ − b₁a₂ = 0

• _{Proste s ˛a prostopadłe ⇐⇒ a1a2 + b1b2 = 0}

Prosta a punkt

• _{Niech dane b ˛ed ˛a prosta p, ax + by + c = 0 oraz}

punkt A(x₀, y₀)

• _{Punkt A le˙zy na prostej ⇐⇒ ax0 + by0 + c = 0.}

• _{Je˙zeli punkt A nie le˙zy na prostej, to znak ax0 + by0 + c}

okre´sla jedn ˛a z dwóch półpłaszczyzn

◦ _{Równanie parametryczne prostej, przechodz ˛acej przez}

dwa punkty A₁(x₁, y₁) oraz A₂(x₂, y₂) podstawi´c do równania prostej p

Odległo´s´c punktu od prostej

• _{Odległo´s´c punktu od prostej d(A, p) =} |ax0+by0+c| √

a2_+b2

• _{|ax0 + by0 + c| jest proporcjonalna do odległo´sci punktu A}

od prostej

• _{Je˙zeli a}2 _{+ b}2 _{= 1, to równanie prostej nazywa si ˛e}

normalnym, a |ax₀ + by₀ + c| zgadza si ˛e z odległo´sci ˛a od punktu A do prostej

◦ _{Równanie prostej p1, przechodz ˛acej przez punkt A}

i prostopadłej do p, to b(x − x0) − a(y − y0) = 0

◦ _{Punkt A1(x1, y2) na przeci ˛eciu prostych p i p1 spełnia}

dwa warunki: ( b(x₁ − x₀) − a(x₁ − x₀) = 0, ax₀ + by₀ + c = a(x₁ − x₀) + b(x₁ − x₀) ◦ _{St ˛ad (ax0 + by0 + c)}2 _{= (a}2 _{+ b}2_{) (x} 1 − x0)2 + (y1 − y0)2
Algebra – p. 19

Zagadnienia zwi ˛

azane z prost ˛

a

• _{Równanie prostej, przechodz ˛acej przez punkt A(x1, y1)} ◦ _{a(x − x1) + b(y − y1) = 0}

• _{Równanie prostej, przechodz ˛acej przez dwa}

punkty A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂)

◦ x_−x1 x2−x1 −

y_−y1

y2−y1 = 0

• _{Równanie prostej, równoległej do ax + by + c = 0,}

przechodz ˛acej przez punkt A(x₁, y₁)

◦ _{a(x − x1) + b(y − y1) = 0}

• _{Równanie prostej, prostopadłej do ax + by + c = 0,}

przechodz ˛acej przez punkt A(x₁, y₁)

Współrz ˛edne biegunowe

• _{Kierunek odliczania k ˛atów} • _{(ρ, θ) współrz ˛edne}

biegunowe

Równanie krzywej we współrz ˛ednych biegunowych

• _{ϕ(ρ, θ) = 0}

Przykład 5 (Okr ˛ag). ρ = 2R cos θ

O

A

A₀ θ

Współrz ˛edne biegunowe a kartezja ´nskie

• _{x = ρ cos θ, y = ρ sin θ}

Równanie prostej we współrz ˛ednych biegunowych