"Podstawy automatyki" - Wprowadzenie do techniki regulacji

1.

Wprowadzenie do techniki regulacji

Różnice wynikające ze sterowania w układzie otwartym i zamkniętym rozpatrzmy na przykładzie sterowania silnika obcowzbudnego prądu stałego. Analizę tego układu przeprowadzono przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu stałego można, z dobrym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego pierwszego rzędu. Na rys.1 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego prądu stałego.

Uw=const ω U i e R J

Rys. 1 Uproszczony schemat obcowzbudnego silnika prądu stałego

W układzie tym sterujemy prędkością kątowa ω(t) za pomocą napięcia twornika U(t). Zależność wiążącą te wielkości można wyznaczyć korzystając z równań opisujących obwód elektryczny i mechaniczny maszyny.

U

e

R i

Rys. 2 Schemat obwodu elektrycznego twornika

Na rys. 2 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika uwzględniający oporność R

twornika oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Siła elektromotoryczna jest równa: ϕω

c

e = (1.1)

gdzie c – stała konstrukcyjna maszyny, φ – strumień wzbudzenia,

ω – prędkość obrotowa silnika.

1 _{Przykład wprowadzaj}

ący zaczerpnięto z podręcznika: Kaula R.: Podstawy automatyki. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2005.

gdzie ke – stała elektromechaniczna maszyny

Stosując prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:

e=k_e

ω

Równanie równowagi momentów na wale silnika ma postać:

M M dt d

J ω = _e − (1.4)

gdzie: J – całkowity moment bezwładności, Me – moment elektromagnetyczny silnika,

M – moment obciążenia

Zachodzi także zależność (1.5)

M_e =c_m

φ

gdzie: km – stała mechaniczna

Wobec tego podstawiając do równania (1.4) zależności (1.3) i (1.5) otrzymujemy równanie dynamiki silnika: M k k R U k dt d k k JR m e e e m − = +

ω

ω

T = - stała czasowa obiektu, R – rezystancja twornika, k k u e = 1 ; m e o k k R k = – wzmocnienia statyczne.

W układzie tym sterujemy prędkością kątową ω(t) za pomocą napięcia twornika U(t), przy występowaniu zakłócenia w postaci obciążenia M(t).

Przedstawiając równanie (1.7), za pomocą schematu blokowego, otrzymujemy schemat sterowania silnika w układzie otwartym (w otwartej pętli sprzężenia zwrotnego).

U(t) M(t) ku ko ) (t ω ) ( ) ( ) ( t x t dt t d T ω +ω = x(t)

Rys. 3. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli

Celem sterowania jest umożliwienie pracy silnika ze stałą, określoną prędkością ωzad(t).

Przeanalizujmy pracę silnika w układzie otwartym. W pierwszym etapie analizy przyjmijmy, że znana jest dokładnie dynamika układu. Dla napięcia zasilania U(t)=U0, rozpatrzmy dwa

przypadki:

- moment obciążenia jest równy zero, - moment obciążenia jest równy M(t)=M0.

W pierwszym przypadku równanie dynamiki silnika przyjmuje postać:

0

U

k

dt

d

T

+

ω

=

ω

Przy zerowych warunkach początkowych (tzn., gdy silnik startuje z prędkością ω(0)=0), rozwiązanie równania różniczkowego (1.8) jest następujące (1.9):

ω

t T

= ₀ 1− − . (1.9)

0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 t[s] w [r a d /s ]

Rys. 4. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego w układzie otwartym

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym (dla t->∝) równa się

ω

ω

równym: U k ust u 0 =

ω

Sterowanie takiego układu wydaje się bardzo proste. W analizie tego przypadku poczyniliśmy jednak założenie, że moment obciążenia jest równy zero. Prędkość w biegu jałowym jest inna niż przy obciążeniu. Należy zatem przeanalizować sytuację, w której moment obciążenia będzie różny od zera. W tej sytuacji dynamika układu opisana jest równaniem (1.7), a rozwiązanie tego równania (przy zerowych warunkach początkowych) jest następujące:

ω

t T

= ₀ − ₀ 1− − . (1.10)

Ten przypadek, przy założeniu wartości momentu obciążenia M(t)=M0=6, oraz wzmocnienia

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 t[s] w [r a d /s ]

Rys. 5. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku uwzględnienia stałego momentu obciążenia

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można wyznaczyć z równania (1.4):

ω

Błąd pomiędzy wartością zadaną a uzyskaną prędkością, w tym przypadku, wynosi:

ω

ω

ω

Im większe obciążenie, tym wartość prędkości kątowej silnika w układzie otwartym jest mniejsza (bardziej różni się od wartości zadanej).

Analiza przeprowadzona w dwóch poprzednich przypadkach dotyczyła sterowania silnika o znanej charakterystyce dynamicznej. Dynamika silnika zależy od wielu czynników i może się zmieniać w trakcie długiej eksploatacji maszyny (np. starzenie się elementów konstrukcyjnych). Przeprowadźmy analizę w przypadku, w którym wartość stałej elektromechanicznej ke różni

się od wartości wyznaczonej na początku. Załóżmy nową wartość stałej jako: ken ke

5 6

= .

Wtedy wartość stałej czasowej T_n = 5T

6 , a wzmocnienia statyczne przyjmują wartości

k_un = 5k_u

6 oraz kon = ko 5 6 .

Przebieg charakterystyki dynamicznej silnika, przy uwzględnieniu nowych wartości parametrów w równaniu (1.2), przedstawia rys. 6.

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 14 w [r a d /s ] t[s]

Rys. 6. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku zmiany właściwości dynamicznych silnika

Ustalona wartość prędkości kątowej w tym przypadku równa jest: ω_{ust n_} =k U_{un 0} = 5k U_{u 0} =

6 20 .

Nasza wiedza o maszynie i środowisku, w którym pracuje nie jest doskonała. Zakłócenia wynikające ze zmiany obciążenia, czy też zmiany parametrów maszyny są nierozerwalnie zwiazane z jej pracą. Jak można zauważyć sterowanie w układzie otwartym, przy występowaniu zakłóceń, nie daje zadowalających rezultatów.

Biorąc to wszystko pod uwagę, rozpatrzmy sterowanie silnika w układzie zamkniętym (układzie ze sprzężeniem zwrotnym - rys. 7).

U(t) M(t) ku ko K kcz obiek t regulat or ) ( ) ( ) ( t x t dt t d T ω +ω = ω(t) x(t) ) (t zad ω

Rys. 7. Schemat blokowy sterowania silnika w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego

W układzie tym mierzymy wartość prędkości kątowej ω(t) (za pomocą tachometru) i porównujemy (odejmujemy) w węźle sumacyjnym z wartością zadaną ωzad(t). W celu

otrzymania aktualnej wartości napięcia zasilającego silnik, sygnał błędu jest wzmacniany, przez wzmocnienie regulatora proporcjonalnego Kp. Porównanie prędkości najczęściej realizowane

jest w woltach, ze względu na możliwość zastosowania liniowego przetwornika pomiarowego prędkość-napięcie. Wzmocnienie przetwornika określono na schemacie symbolem kcz.

Zastosowany w analizie regulator proporcjonalny jest najprostszym elementem regulatora klasycznego PID. Zastosowano go w celu uproszczenia analizy układu.

Zatem równanie dynamiki silnika w układzie z rys. 7 przyjmuje postać:

M k K k K k k dt d T + + u cz ω = u ωzad − o ω ) 1 ( , (1.11)

a rozwiązanie tego równania:

) 1 )( 1 ( ) ( ) 1 ( t T K k k cz u o zad u cz u e K k k M k K k t + − − + − =

ω

ω

Przeprowadźmy analogiczne rozważania, jak dla układu otwartego. Rozpatrzmy najpierw przypadek, w którym moment obciążenia jest równy zero. Prędkość kątowa wyznaczona dla zerowego momentu obciążenia jest następująca:

) 1 )( 1 ( ) ( ) 1 ( t T K k k cz u zad u cz u e K k k K k t + − − + =

ω

ω

Przebieg prędkość kątowej, dla przyjętych wartości kcz=1, K=5 oraz ωzad=24, przedstawiono

na rys. 8. 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 w [r a d /s ] t[s]

K k k K k cz u zad u ust + = 1

ω

ω

Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość ωust=21,82.

Uwzględniając obciążenie różne od zera M(t)=M0, otrzymujemy zależność określającą

prędkość kątową, za pomocą równania (1.6). Przebieg prędkości kątowej w tym przypadku przedstawiono na rys. 9. 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 t[s] w [r a d /s ]

Rys. 9. Przebieg prędkości kątowej w układzie zamkniętym z uwzględnieniem obciążenia

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można wyznaczyć z zależności: K k k M k K k cz u o zad u ust + − = 1 0

ω

ω

Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość ωust=21,27.

W przypadku trzecim założono inne wartości parametrów maszyny od wcześniej zidentyfikowanych. Analogicznie, jak dla układu otwartego, wartość stałej czasowej T_n = 5T

6 , wzmocnienia statyczne: kun = ku 5 6 oraz kon = ko 5 6 . 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 w [r a d /s ] t[s]

Rys. 10. Przebieg prędkości kątowej, w układzie zamkniętym, w przypadku zmiany właściwości dynamicznych silnika

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, dla zerowego obciążenia, można wyznaczyć z zależności: K k k K k cz un zad un ust + = 1

ω

ω

Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość ωust=21,43. Jak można zauważyć dla wszystkich rozpatrywanych

przypadków sterowania w układzie zamkniętym, w odróżnieniu od sterowania w układzie otwartym, wartości prędkości kątowej były zbliżone i nieznacznie różniły się od wartości zadanej.

Podsumowanie

Wnioski wynikające z analizy rozpatrywanego przykładu są następujące:

- stosowanie układu zamkniętego przeciwdziałała wpływowi zakłóceń, działających na obiekt regulacji,

- dynamika (określona przez stałą czasową układu) w układzie zamkniętym jest dużo lepsza niż w układzie otwartym,

poglądowy. W celu precyzyjnego wyjaśnienia istoty działania układów regulacji, analizy i syntezy tych układów, w kolejnych rozdziałach, zostaną przedstawione podstawy teorii regulacji.

Teoria regulacji jest obszerną dziedziną nauki o sterowaniu w układach ze sprzężeniem zwrotnym. Do głównych zadań teorii regulacji należą:

- metody opisu właściwości dynamicznych elementów automatyki, - metody identyfikacji obiektów sterowania,

- stabilność układów automatyki, - projektowanie układów regulacji,