Ukady regulacji PID - dobr nastaw II

DOBÓR PARAMETRÓW REGULATORÓW PID

1. Metoda bezpośrednia

Transmitancja operatorowa badanego obiektu ma postać:

0 1 2 2s a s a a 1 ) s ( K + + = (1)

Zaprojektować regulator pracujący w układzie zamkniętym, tak aby przy wymuszeniu skokowym:

- przebieg miał charakter inercyjny,

- czas odpowiedzi układu zamkniętego był równy T=2s, - wzmocnienie nie uległo zmianie (przyjmujemy k=1) .

Ze względu na wymagania dotyczące charakteru przebiegu przejściowego układu zamkniętego założono, że jego transmitancja operatorowa powinna mieć postać:

1 sT 1 ) s ( K Z Z = ₊ . (2)

Transmitancję regulatora wyznaczamy przekształcając wzór na transmitancję układu zamkniętego: K K s K s K s K s Z R R = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , (3) K K s K s K s R Z Z = − ( ) ( )[1 ( )], (4) Z 0 1 2 2 Z 0 1 2 2 Z R sT a s a s a ] 1 sT 1 1 [ a s a s a 1 1 sT 1 ) s ( K = + + + − + + + = , (5)

stąd po podzieleniu otrzymujemy równanie regulatora PID:

s T a s T a T a ) s ( K Z 2 Z 0 Z 1 R = + + . (6)

2. Kryterium optimum modułu

Optymalizacja nastaw regulatora, według kryterium dopasowania modułu, związana jest z tym, że moduł transmitancji widmowej układu zamkniętego powinien dla dobrej jakości przebiegu przejściowego utrzymywać wartość bliską jeden, w możliwie szerokim paśmie:

1 ) ( j

ω

K _z . (7)

Przykład 2

Niech obiekt regulacji będzie miał postać podaną wzorem (8):

0 1 2 2s a s a a k ) s ( K + + = (8)

Korzystając z kryterium dopasowania modułu dobierzemy optymalną nastawę regulatora PID o transmitancji (9): K s K K s K s R( ) = p + I + D 1 . (9)

Transmitancja operatorowa układu zamkniętego:

I p 0 2 D 1 3 2 I p 2 D 0 o z kK s ) kK a ( s ) kK a ( s a kK s kK s kK ) s ( K 1 ) s ( K ) s ( K + + + + + + + = + = , (10)

wobec tego transmitancja widmowa układu zamkniętego:

) a ) kK a (( j ) kK a ( kK jkK kK kK ) j ( K ₃ 2 p 0 2 D 1 I p 2 D I

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Wyrażenie podane wzorem (7) będzie spełnione jeżeli: 0 kK a 2 kK a 2 a 0 p 1 I 2 0 + − = (12) 0 ) kK a ( a 2 kK 2 a D 2 0 p 2 1 + − + = (13) oraz a2₂

ω

Stąd po przekształceniu (12) i (13) otrzymujemy warunki na nastawy Kp oraz KI.

k a 2 kK 2 a a 2 a K 2 D 0 2 2 1 p + − = (14) k a 2 kK a 2 a K 1 p 0 2 0 I + = (15)

3. Minimalizacja kwadratowego wskaźnika całkowego

Optymalne nastawy regulatora PID można wyznaczyć korzystając z wartości minimalizującej wartości wskaźnika całkowego I2. Kwadratowy wskaźnik całkowy ma postać:

∫

gdzie: e(t) – błąd regulacji,

Jeżeli transformata operatorowa błędu E(s) ma postać:

0 1 n n 0 1 1 n 1 n d s d ... s d c s c ... s c ) s ( E + + + + + + = − − (17)

oraz układ zamknięty jest stabilny, czyli pierwiastki równania charakterystycznego

d s_n n+ +... d s₁ +d₀ =0 mają ujemne części rzeczywiste, to wartość wskaźnika I2 może być

wyznaczona na drodze analitycznej, przy wykorzystaniu następujących wzorów:

          = − + − + = + = = . 3 , ) ( 2 ) 2 ( 2 , 2 1 , 2 3 0 2 1 3 0 3 2 2 0 3 0 2 0 2 1 1 0 2 2 2 1 0 2 2 0 2 1 1 0 2 0 2 n d d d d d d d d c d d c c c d d c n d d d d c d c n d d c I o (18) Przykład 3a.

Przyjmijmy, że transmitancje obiektu regulacji i regulatora mają postać:

0 1 2 2s a s a a k ) s ( K + + = , (19) K s K K s K s R( ) = p + I + D 1 . (20) K(s) KR(s) Z(s) Y(s) E(s) Yzad(s)

Schemat blokowy rozpatrywanego układu przedstawiono na rys. 1. Wyznaczmy optymalne parametry regulatora PID, korzystając z kwadratowego wskaźnika całkowego jeżeli na układ działa wymuszenie z(t)=1(t), czyli Z(s)=1

s.

Dla rozpatrywanego układu, dla wymuszenia Z(s), transformata operatorowa błędu E(s) wynosi: E s K s K s K_R s s ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 1 , (21) czyli: s 1 kK s ) kK a ( s ) kK a ( s a ks ) s ( E I P 0 2 D 1 3 2 + + + + + = . (22)

Pierwszy warunek wiążący poszczególne parametry układu, związany ze stabilnością jest następujący:

0 kK a ) kK a )( kK a ( ₁+ _{D 0} + _P − _{2 I} > . (23)

Zgodnie z wzorami (18) dla n=3 całka I2 jest równa:

] a kK ) kK a )( kK a [( kK 2 ) kK a ( k I 2 I D 1 P 0 I D 1 2 2 _{+ + −} + = . (24)

Aby wyznaczyć optymalną wartość parametru całkującego KI regulatora PID, należy

wyznaczyć: 0 min ) ( 2 2 = ∂ ∂ → = I I K I K

I (warunek istnienia ekstremum), (25)

0 k a K 2 ) kK a )( kK a ( 0 K I 2 I D 1 P 0 I 2 _{= ⇔ + + − =} ∂ ∂ , (26) stąd k a 2 ) kK a )( kK a ( K 2 D 1 P 0 I + + = (27) Przykład 3b.

Wyznaczmy optymalne parametry regulatora PID, dla układu podanego transmitancją (1), korzystając z kwadratowego wskaźnika całkowego jeżeli na układ działa wymuszenie

yzad(t)=1(t), czyli Yzad(s)=

1 .

s 1 ) s ( K ) s ( K 1 1 ) s ( E R + = , (28) czyli: I P 0 2 D 1 3 2 0 1 2 2 K s ) K a ( s ) K a ( s a a s a s a ) s ( E + + + + + + + = . (29)

W tym przypadku całka I2 jest równa (wzór 18, n=3):

] a K ) K a )( K a [( K 2 ) K a ( a K ) a a 2 a ( ) K a ( K a I 2 I D 1 P 0 I D 1 2 0 I 2 0 2 1 P 0 I 2 2 − + + + + − + + = (30)

Aby wyznaczyć optymalną wartość parametru całkującego KI regulatora PID, należy

wyznaczyć: 0 min ) ( 2 2 _∂ = ∂ → = I I K I K

I (warunek istnienia ekstremum), (31)

Przyjmijmy: ) K a ( u= 0 + P ) K a ( v= 1+ D ) a a 2 a ( y 0 2 2 1 − = 0 ) v a yK u a K )( K a 4 uv 2 ( ) K a uv ( K 2 ) y u a ( 0 K I 2 0 I 2 I I 2 I 2 I 2 I 2 = ⇔ + − − − + + = ∂ ∂ , (32) Po przekształceniach otrzymujemy: 0 uv a 2 K ) v a a 4 ( K ) y a 2 u a 2 ( 2₂ + ₂ 2_I + 2_{0 2 I} − 2₀ = (33)

Przy założeniu KI>0 otrzymujemy:

) y a 2 u a 2 ( 2 uv a 2 ) y a 2 u a 2 ( 4 ) v a a 4 ( ) v a a 4 ( K 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 I ₊ + + + − = (34)