Podwójnie dominujące jądra w grafach i ich produktach
W rozprawie zostały przedstawione rezultaty dotyczące istnienia i liczby podwójnie dominujących jąder w grafach, nazywanych (2-d)-jądrami. Wykazane zostało, że problem istnienia (2-d)-jądra jest NP-zupełny dla dowolnego grafu. Wskazane zostały klasy grafów posiadające (2-d)-jądro wraz z podaniem liczności tych jąder. Rezultaty dotyczące istnienia (2-d)-jąder w drzewach zostały powiązane z wynikami dotyczącymi 2-dominujących α-zbiorów otrzymanymi przez G. Gunthera i in. w 1993 roku i M. Blidia i in. w 2005 roku. Problem istnienia i liczby (2-d)-jąder został opisany w znanych produktach grafów: produkt kartezjański, produkt tensorowy, uogólniona korona grafów i G-złączenie grafów. Pokazane zostało, że istnienie (2-d)-jądra w produktach nie wymaga istnienia (2-d)-jąder w grafach składowych. W nawiązaniu do zagadnień zliczania zbiorów niezależnych w grafach i ich związków z liczbami Fibonacciego w rozprawie podjęta została problematyka zliczania (2-d)-jąder. Podane zostały konstrukcje grafów, w których liczba (2-d)-jąder jest liczbą typu Fibonacciego. Przedstawiony został algorytm wyszukujący (2-d)-jądro w drzewie.
Znaczną cześć rozprawy stanowią artykuły:
P. Bednarz, C. Hernandez-Cruz, 1. Włoch, On the existence and the number of (2-d)-kernels in graphs, Ars Combinatoria 121 (2015)341-351,
P. Bednarz, 1. Włoch, On (2-d)-kernels in the cartesian product of graphs, Ann. Univ. Mariae Curie Skłodowska Sect. A, 70 (2) (2016) 1-8,
P. Bednarz, 1. Włoch, An algorithm determining (2-d)-kernels in trees, Utilitas Mathematica 102 (2017)215-222.
Double dominating kernels in graphs and in their products
The dissertation concerns the problem of the existence and the number of double dominating kernels ((2-d)-kernels) in graphs. It was proved that the problem of the existence of (2-d)-kernels is NP-complete for general graphs. Classes of graphs with a (2-d)-kernel were described also with the cardinality of these kernels. Some characterizations of trees with (2-d)-kernels were associated with results obtained by G. Gunther et al. in 1993 and M. Blidia et al. in 2005. The problem of the existence and the number of (2-d)-kernels was also described in graph products: cartesian product, tensor product, generalized corona of graphs and G-join of graphs. It was proved that the existence of d)-kernels in graph products does not require the existence of a (2-d)- kernel in their factors. The problem of counting (2-(2-d)-kernels in graphs and their relations with the Fibonacci numbers is studied, too. Constructions of graphs with the number of (2-d)-kernels equals to number of the Fibonacci type were presented. An algorithm which determines the unique (2-d)-kernel in trees was given.
The thesis is based on the following papers:
P. Bednarz, C. Hernandez-Cruz, 1. Włoch, On the existence and the number of (2-d)-kernels in graphs, Ars Combinatoria 121 (2015) 341-351,
P. Bednarz, I. Włoch, On (2-d)-kernels in the cartesian product of graphs, Ann. Univ. Mariae Curie-Skłodowska Sect. A, 70 (2) (2016) 1-8,
P. Bednarz, 1. Włoch, An algorithm determining (2-d)-kernels in trees, Utilitas Mathematica 102 (2017)215-222.
