Filtration forming the sediment of low compressibility on the mesh filter

2014 Volume 30 Issue 3 Pages 83–98 DOI 10.2478/gospo-2014-0023

TADEUSZ PIECUCH*, JACEK PIEKARSKI**, GRA¯YNA MALATYÑSKA***

Filtracja z utworzeniem osadu o ma³ej œciœliwoœci

na siatce filtracyjnej

Wprowadzenie

Proces filtracji znajduje powszechne zastosowanie miêdzy innymi w obiegach wodno--mu³owych zak³adów przemys³owych (np. obiegi wodno-mu³owe zak³adów przeróbki mechanicznej wêgla i rud) oraz oczyszczalniach œcieków komunalnych (Piecuch 2010). W zak³adach przemys³owych realizowany jest miêdzy innymi w filtrach pró¿niowych, prasach filtracyjnych oraz wirówkach filtracyjnych – czego modelowym odwzorowaniem jest schemat przedstawiony na rysunku 1.

* Prof. dr hab. in¿., ** Dr hab. in¿., *** Dr, Wydzia³ In¿ynierii L¹dowej, Œrodowiska i Geodezji, Politechnika Koszaliñska, Koszalin; e-mail: tadeusz.piecuch@tu.koszalin.pl

Rys. 1. Schemat procesu filtracji z tworzeniem osadu na siatce filtracyjnej Fig. 1. A diagram of the filtration process witch the use of a filter mesh

Problematyk¹ ogólnie pojêtej filtracji zajmuje siê ogromna iloœæ zespo³ów badaw-czych. Niemniej jednak pionierem tych badañ by³ francuski uczony Darcy i jego nastêpcy, co mo¿na okreœliæ francusk¹ szko³¹ filtracji (m.in. Le Lec 1962). Oczywiœcie, wiele zespo³ów badawczych zajê³o siê t¹ problematyk¹ tak¿e w innych krajach, miêdzy innymi w USA, Holandii w Niemczech i Rosji (Dahlstrom i Nickolaus 1956; Hertjess 1948; Hertjess i Haas 1949). W Polsce problematyk¹ filtracji tak¿e zajmuje siê wiele oœrod-ków, a w przesz³oœci pionierskie badania w tym zakresie prowadzi³a szko³a naukowa prof. Romana Kocha z Politechniki Wroc³awskiej, a nastêpnie Œl¹ska Szko³a Naukowa prof. Jerzego Pikonia i jego nastêpców (prof. J. Madej, prof. T. Zab³ocki, prof. J. Heh-lemann, prof. M. Palica i inni). Od wielu lat problematyk¹ filtracji zajmuje siê równie¿ T. Piecuch i jego zespó³. Badania procesu filtracji prowadzi³ w Politechnice Œl¹skiej (1969–1978), Politechnice Czêstochowskiej (1978–1987), a obecnie w Politechnice Ko-szaliñskiej (od 1988), i obejmuj¹ one zarówno zagadnienia doœwiadczalne(Piecuch 1978) jak i teoretyczne(Piecuch 2009; Sówka i Piecuch 1974; Piekarski 2009, 2011; Piekarski i D¹browski 2011).

Przegrod¹ porowat¹ w procesie filtracji mo¿e byæ membrana, co odnosi siê do niezwykle subtelnej odmiany procesu zwanej równie¿ nanofiltracj¹ (filtracj¹ jonow¹). Badania takie zapocz¹tkowa³ i rozwin¹³ w Politechnice Wroc³awskiej prof. Tomasz Winnicki, a kon-tynuuje zespó³ prof. Jacka Wiœniewskiego(Wiœniewski i in. 2013), natomiast w Politechnice Œl¹skiej prof. Micha³ Bodzek i inni(Bodzek i Konieczny 2011; Mielczarek i Bohdziewicz 2011). Problematyka nanofiltracji to oddzielne zagadnienie teoretyczne inne ni¿ klasyczna filtracja. Wreszcie filtracja mo¿e zachodziæ tak¿e na z³o¿ach biologicznych, co tak¿e ³¹czy siê z towarzysz¹c¹ naturaln¹ biosorpcj¹ (Gajewska i Obarska-Pempkowiak 2009; Mal-czewska 2008; Obarska-Pempkowiak i in. 2011; Rodziewicz i in. 2011).

Niniejsza publikacja stanowi kontynuacjê teoretycznej publikacji (Piecuch i in. 2013), w której autorzy zajmuj¹ siê wyprowadzeniem koñcowych równañ filtracji dla osadów o ró¿nej œciœliwoœci. Klasyczna teoria filtracji oparta jest na znanym wyjœciowym równaniu Darcy’ego, o postaci jak ni¿ej:

&V p R p L A p k L AF =D = D = D a m (1)

które jest równaniem przep³ywu p³ynu przez przegrodê porowat¹ cieczy (stanowi¹cej uk³ad jednofazowy), a nie mieszaniny. W tym równaniu Darcy’ego wartoœæ wspó³czynnika prze-puszczalnoœci k okreœlaj¹ m.in. empiryczna formu³a Kozeny, Carman, Pouiseillea, Orlicka, jak ni¿ej: k b p O sO = D (2)

Wprowadzaj¹c powy¿szy empiryczny zapis (2) do równania (1), a tak¿e uwzglêdniaj¹c, ¿e wszystkie cz¹stki sta³e tworz¹ce mieszaninê cieczy i cia³a sta³ego o objêtoœci VN i

za-gêszczeniu bN utworz¹ osad na siatce filtracyjnej, T. Piecuch (2009, 2010) przedstawi³

równanie filtracji z tworzeniem osadu na siatce filtracyjnej. Sta³o siê tak dlatego, ¿e do równania przep³ywu p³ynu przez oœrodek porowaty wed³ug Darcy’ego wprowadzi³ wskaŸ-nik sk³adu mieszanin jakim jest zagêszczeniebN. Tak wiêc ogólne równanie filtracji

mie-szaniny przez siatkê filtracyjn¹ przyjmuje postaæ jak ni¿ej:

&V P t

= D (3)

Opór ogólny przedstawiony w mianowniku jest sum¹ oporu ogólnego siatki filtracyjnej oraz osadu gromadzonego na tej siatce. Równanie (3) odnosi siê do przep³ywu objêtoœ-ciowego, który jest stosunkiem objêtoœci do czasu przep³ywu medium, a wiêc równanie (3) mo¿na przedstawiæ w postaci:

V t

P t

= D (4)

Przyjmuj¹c, ¿e w danym urz¹dzeniu filtracyjnym (np. filtrze pró¿niowym lub prasie filtracyjnej) panuje sta³e ciœnienieDP = const., to równanie filtracji przyjmie postaæ:

dV dt

P t

= D (5)

W równaniu (5) przep³yw chwilowy medium maleje, bowiem przy zachowaniu sta³ego ciœnienia wzrasta gruboœæ warstwy filtracyjnej, co powoduje zwiêkszenie wartoœci oporu ogólnego. W przypadku procesu filtracji ze zmiennym ciœnieniem, natê¿enie przep³ywu medium jest sta³e, gdy¿ w odniesieniu do praktyki oznacza to, ¿e ciœnienie w danym urz¹dzeniu filtracyjnym na skutek zwiêkszania siê gruboœci warstwy osadu filtracyjnego powinno w miarê trwania procesu wzrastaæ proporcjonalnie do wzrostu oporu filtracyjnego, co mo¿na zapisaæ: V t dP a t A b P V A dt t F O s N N F O S O = + -é ë ê ê ù û ú ú ' ' ( ) m m b e r D 2 ₁ (6)

Powy¿ej przedstawiono dwa zasadnicze równania filtracji: przy sta³ym ciœnieniu ale zmiennym przep³ywie (5) oraz równanie przy zmiennym ciœnieniu lecz sta³ym prze-p³ywie (6). Wystêpuj¹ca w równaniach (5) oraz (6) œciœliwoœæ osadu filtracyjnego,

oz-naczana jest wspó³czynnikiem œciœliwoœci sO, który teoretycznie mo¿e przyjmowaæ

war-toœæ od sO = 0 (brak œciœliwoœci) do sO = 1 (pe³na œciœliwoœæ). Czêsto w wywodach

teoretycznych dla uproszczenia przyjmuje siê brak œciœliwoœci, tj. sO= 0, st¹d równanie (5)

przyjmuje postaæ: dV dt P t = D (7)

Natomiast równanie (6) mo¿na zapisaæ:

V t dP a t A b V A dt t F O N N F O S = + -é ë ê ê ù û ú ú ' ' ( ) m m b e r 2 ₁ (8)

Równanie ró¿niczkowe (7) po sca³kowaniu przyjmie postaæ:

DPt t A_F V b_{O A} V dt N F O S = + -æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ' ( ) m m b e r 2 2 1 (9)

W literaturze mo¿na spotkaæ zapis uproszczony o postaci (równanie Rutha):

C t₂ =C V V₁ + 2 (10)

gdzie:

t – czas filtracji.

W odniesieniu do procesu filtracji, a nie tylko przep³ywu p³ynu przez przegrodê poro-wat¹, w równaniu (10) wartoœci sta³ych C1oraz C2przyjmuj¹ wed³ug Piecucha zapis:

C₁ =2A_Fb_N-1b_Or_St' (1-e_O) (11) oraz:

C₂ =2A_F2D b mP _N-1 -1b_Or_St' (1-e_O) (12) Natomiast rozwi¹zanie równania (8), a wiêc równania przy zmiennym ciœnieniu (dP/dt), gdzie wprowadzono wspó³czynnik korekcyjny jednostki czasu a' , po sca³kowaniu ma_t postaæ:

ln( ) ' ' ( ) t P a t A b V A t F O N N F O S = + -é ë ê ê ù û ú ú D m m b e r 2 1 (13)

1. Analiza teoretyczna procesu filtracji

przy za³o¿eniu œciœliwoœci osadu

Rozwa¿aniami teoretycznymi nad problemem œciœliwoœci osadu filtracyjnego obok autorów publikacji zajmowa³ siê tak¿e zespó³ M. Palicy(Kocurek i Palica 2002; Palica i Kocurek 2003; Palica i in. 2008, 2009, 2010a, 2010b), który okreœla³ podatnoœæ porowatoœci na ciœnienie wprowadzaj¹c pojêcie tak zwanego ciœnienia kontaktowego, przy czym w swych rozwa¿aniach teoretycznych M. Palica podzieli³ osad filtracyjny na warstwy(Palica i Kocurek 2001). Natomiast autorzy publikacji, wychodz¹c z ogólnego równania filtracji przy zmiennym ciœnieniu (6) i zak³adaj¹c, ¿e osad jest œciœliwy (sO¹ 0)

przedstawili sposób rozwi¹zania oraz równania koñcowe procesu filtracji dla ró¿nych (du¿ych) wartoœci wspó³czynnika œciœliwoœci sO, równych odpowiednio: 1/3, 1/2 oraz 2/3

(Piecuch i in. 2013).

W niniejszej publikacji przedstawiono sposób rozwi¹zania ogólnego równania filtracji przy zmiennym ciœnieniu (6) zak³adaj¹c, ¿e osad równie¿ jest œciœliwy, a wartoœæ wspó³-czynnika œciœliwoœci sOjest niska i wynosi: 1/4, 1/5 oraz 1/6.

W tym celu przyjêto sta³e A, B oraz C dla matematycznego zapisu ogólnego równania filtracji: ® sta³a A A t A_F = ' m (14) ® sta³a C C V b A N N O _F O S = -m b e r 2 1 ( ) (15) ® sta³a B = sO

Uwzglêdniaj¹c powy¿sze sta³e A, B oraz C matematyczny zapis równania filtracji, gdy

V t _{A C P} dP dt B = + 1 (D ) (16)

Wprowadzaj¹c now¹ zmienn¹ x = DP oznaczaj¹c¹ zmienne ciœnienie (i st¹d dx = dP oznacza ró¿niczkê ciœnienia), otrzymuje siê model matematyczny procesu filtracji opisany równaniem ró¿niczkowym: V t _{A Cx} dx dt B = + 1 ₍₁₇₎

Jest to równanie ró¿niczkowe o zmiennych rozdzielonych, które mo¿na zapisaæ w postaci równoœci ró¿niczek: V dt t dx A CxB = + (18)

Ca³kowanie równania ró¿niczkowego jest jedn¹ z nielicznych metod bezpoœredniego znajdowania rozwi¹zania, tj. jego ca³ki ogólnej. Zatem, w wyniku obustronnego ca³kowania równoœci: V dt t dx A CxB

ò

ò

otrzymuje siê rozwi¹zanie Vln( )t =F x( ), gdzie:

I F x dx A Cx B B = = + < £

ò

Jest to ca³ka ogólna równania ró¿niczkowego procesu filtracji. Poni¿ej przedstawiono rozwi¹zanie ca³ki okreœlonej równaniem (19) dla szczególnych przypadków wspó³czyn-ników œciœliwoœci B.

1.1. Wspó³czynnik œciœliwoœci B = 1/4

Zatem xB =4x, st¹d ca³ka (20) przyjmuje postaæ:

I F x dx A C x = = +

ò

Po podstawieniu 4x= , to wtedy x = uu 4, st¹d:

dx= 4u du3 (22)

Ca³kê (21) sprowadza siê do ca³ki z funkcji wymiernej o postaci:

I u du A Cu = +

ò

która jest niew³aœciw¹ funkcj¹ wymiern¹, przedstawia siê w postaci sumy wielomianu i u³amka prostego pierwszego rodzaju:

u A Cu Cu A C u A C A C A Cu 3 2 2 2 3 3 3 1 1 + = - + - + (25)

Uwzglêdniaj¹c rozk³ad (25) w ca³ce (23), a nastêpnie ca³kuj¹c:

u A Cudu Cu A C u A C u A C A Cu D 3 3 2 2 2 3 3 3 1 3 ₂ + = - + - + +

ò

i po powrocie do wyjœciowej zmiennej x, po podstawieniu za u=4x otrzymuje siê roz-wi¹zanie ca³ki (21). Zatem ca³ka ogólna (20) dla B = 0,25 wyra¿a siê ogólnym wzorem w zapisie matematycznym: F x dx A C x C x A C x A C x A C A C x D ( )= ln + = - + - + +

ò

D – sta³a ca³kowania, któr¹ mo¿na wyznaczyæ z warunku pocz¹tkowego.

Natomiast wzór (27) w zapisie fizykalnym równania filtracji przy zmiennym ciœnieniu dla wspó³czynnika œciœliwoœci sO= 0,25 przyjmie zapis:

V t b A P V t P A V b A O _F O S N N F N N O _F ×ln( )=4 (1- ) - ' 3 2 2 _{e r} 4 3 m b m m b D _D 2 2 1 ( - ) æ è ç ç ö ø ÷ ÷ + e rO S + æ è çç ö_ø÷÷ -æ è ç ç ö ø ÷ ÷ -4 1 4 2 4 2 3 t A P V b A t F N N O _F O S ' ( ) ' m m b e r D m m b e r m m A V b A t A V F N N O _F O S F N æ è çç ö_ø÷÷ -æ è ç ç ö ø ÷ ÷ + 2 2 4 1 ( ) ln ' b e r N O _F O S P b A D D 4 2 1 ( - ) + (28) 1.2. Wspó³czynnik œciœliwoœci B = 1/5

Zatem xB =5x, st¹d ca³ka (20) przyjmuje postaæ:

I F x dx A C x = = +

ò

Po podstawieniu 5x= , to wtedy x = uu 5_{, a wiêc:}

dx= 5u du4 (30)

Ca³kê (29) sprowadza siê do ca³ki z funkcji wymiernej postaci:

I u du A Cu = +

ò

która jest wymiern¹ funkcj¹ niew³aœciw¹, przedstawia siê w postaci sumy wielomianu i u³amka prostego pierwszego rodzaju:

u A Cu Cu A C u A C u A C A C A Cu 4 3 2 2 2 3 3 4 4 4 1 1 + = - + - + + (33)

Uwzglêdniaj¹c rozk³ad (33) w ca³ce (31), a nastêpnie ca³kuj¹c i wracaj¹c do wyjœciowej zmiennej x, tj. po podstawieniu za u=5x otrzymuje siê rozwi¹zanie ca³ki (29):

F x dx A C x C x A C x A C x A C x A ( )= + = - + - +

ò

Natomiast równanie filtracji o postaci (34) przyjmie fizykalny zapis równania filtracji dla wspó³czynnika œciœliwoœci sOrówny 0,2 jak ni¿ej:

V t b A P V b A O F O S N N O F O S ×ln( )=5 (1- ) - [ ( - ) ] 4 5 1 2 _{e r} 5 4 2 2 m b e r D t P A_F V_{N N} ' ( ) D 3 5 2 2 3 m b + +5 1- - -2 5 1 2 3 2 5 3 2 3 2 [ ( ) ] ' ( ) [ ( b A t P A V b A O _F O S F N N O _F O e r m b e D ) ] ' ( ) r m b S F N N t P A V 4 3 5 3 4 D + +5 1- + 2 4 4 4 5 5 [ ( ) ] ' ( ) ln ' b A t A V t A V P b O _F O S F N N F N N O e r m b m m b D A D F O S 2_{(1-e r)} + (35) 1.3. Wspó³czynnik œciœliwoœci B = 1/6

Zatem xB =6x, st¹d ca³ka (20) przyjmuje postaæ:

I F x dx A C x = = +

ò

I u du A Cu = +

ò

przedstawia siê w postaci sumy wielomianu i u³amka prostego pierwszego rodzaju:

u A Cu Cu A C u A C u A C u A C A C A Cu 5 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 6 1 1 + = - + - + - + (40)

Uwzglêdniaj¹c rozk³ad (40) w ca³ce (38), a nastêpnie ca³kuj¹c i wracaj¹c do wyjœciowej zmiennej x, tj. po podstawieniu za u=6x, otrzymuje siê rozwi¹zanie ca³ki (36):

F x dx A C x x C x C A x C ( )= ( ) + = - +

-ò

D – sta³a ca³kowania wyznaczana z warunku pocz¹tkowego.

Powy¿sze równanie (41) jest wiêc zapisem równania filtracji przy zmiennym ciœnieniu dla osadów œciœliwych przy wspó³czynniku œciœliwoœci sO= 1/6. To samo równanie filtracji

dla tych samych za³o¿eñ przyjmie postaæ fizykaln¹:

V t V P b A b A N N O _F O S O F O S × = - -ln( ) ( ) ( ) [ ( ) 6 5 1 3 1 6 5 2 2 m b e r e r D ] ( ) 23 2 2 2 DP V_{N N} m b + +t b A - P - -A V t b A O _F O S F N N O _F O ' [ ( ) ] ( ) ' [ ( 2 2 3 2 3 3 2 1 2 3 1 e r m b e D ) ] ( ) ' [ ( ) ] ( r m b e r m S F N N O _F O S F N P A V t b A P A V 4 3 3 4 4 2 5 6 4 6 1 D D + -bN )5 --6 1- + 5 2 6 4 6 6 t b A A V t A V P b O _F O S F N N F N N O ' [ ( ) ] ( ) ln ' e r m b m m b D A D F O S 2 _{(1-e r)} + (42)

Podsumowanie – wnioski

Spoœród wielu wariantów procesu filtracji, niniejsza analiza teoretyczna odnosi siê do konkretnego i praktycznego przypadku takiego procesu. Model ten ma odniesienie do filtracji mieszaniny, która nap³ywa na siatkê filtracyjn¹ i tworzy osad.

Filtracjê mo¿na rozpatrywaæ jako filtracjê mieszaniny nap³ywaj¹cej na z³o¿e porowate, usypane na przegrodzie filtracyjnej (siatce lub ruszcie) z tworzeniem osadu filtracyjnego na z³o¿u, ze zjawiskiem kolmatacji w z³o¿u i bez tworzenia osadu na z³o¿u, jak z jednym i drugim – to jest z tworzeniem osadu na z³o¿u i równoczesn¹ kolmatacj¹. Rozwa¿ania mo¿na jeszcze bardziej uœciœliæ, odrzucaj¹c upraszczaj¹ce za³o¿enie, ¿e zagêszczenie filtratu jest równe zero, a wiêc przyj¹æ, ¿e filtrat zawiera cz¹stki fazy sta³ej, które przedosta³y siê w procesie filtracji przez z³o¿e filtracyjne i przez siatkê (ruszt). Oznacza to wprowadzenie okreœlonych wspó³czynników korekcyjnych odnoœnie osadu wytworzonego na z³o¿u, ziaren mieszaniny, które skolmatowa³y, a wiêc zmniejszy³y porowatoœæ z³o¿a i pewnej niewielkiej iloœci ziaren mieszaniny, które przedosta³y siê do filtratu. Wówczas w bazowym ogólnym równaniu filtracji (przyk³adowo równania 3) wyst¹pi opór z³o¿a filtracyjnego obok oporu siatki filtracyjnej oraz oporu osadu.

Przeprowadzona w niniejszej pracy analiza teoretyczna wskazuje, ¿e:

® nie mo¿na sformu³owaæ jednego uniwersalnego równania filtracji, w którym wy-stêpuje jako parametr wspó³czynnik œciœliwoœci sOi za ten wspó³czynnik do takiego

jednego równania podstawiaæ liczbow¹ wartoœæ tego wspó³czynnika i wyliczaæ na przyk³ad przep³yw medium w tym procesie,

® chc¹c wykorzystaæ g³ówne uniwersalne równania filtracji np. (5) lub (6) nale¿y je przekszta³ciæ w now¹ formu³ê zapisu koñcowego – tak jak to przedstawiono w niniejszej publikacji dla osadów œciœliwych, gdy wspó³czynnik œciœliwoœci s_O wy-nosi 1/4, 1/5 oraz 1/6, a dopiero potem korzystaæ z tych nowych postaci równañ,

® tak¹ sam¹ analizê teoretyczn¹ ze wzglêdu na œciœliwoœæ mo¿na przeprowadziæ dla równania filtracji przy sta³ym ciœnieniu i jednoczeœnie przy zmiennym przep³ywie – równanie (5) – co bêdzie przedmiotem dalszych badañ i rozwa¿añ autorów.

Symbolika oznaczeñ

R ca³kowity opór przegrody porowatej

total resistance of the porous barrier [N×s/m

5_]

DP spadek ciœnienia

pressure drop [N/m

2_]

t' opór œredni siatki filtracyjnej

average resistance of the filter mesh [m

m wspó³czynnik lepkoœci dynamicznej zawiesiny

dynamic viscosity factor for the emulsion [N·s/m

2_] AF powierzchnia z³o¿a layer area [m 2_] bO

wartoœæ sta³a dla osadu

sediment constant [N]

sO

wspó³czynnik œciœliwoœci osadu

sediment compressibility factor [–]

VN

objêtoœæ nadawy

feed volume [m

3_]

bN

zagêszczenie fazy sta³ej w dop³ywie

solid-phase condensation in the inflow [kg/m

3_]

eO

porowatoϾ osadu

sediment porosity [–]

rS

gêstoœæ zatrzymanej fazy sta³ej

density of the screened solid phase [kg/m

3_]

L gruboϾ osadu

height of sediment layer [m]

a opór w³aœciwy osadu

specific resistance of compressible sediment layer [N·s/m

4_] K wspó³czynnik przepuszczalnoœci permeability coefficient [m 2_] & V wydatek objêtoœciowy volume output [m 3_/s] LITERATURA

Bodzek, M. i Konieczny, K. 2011. Membrane Techniques in the Removal of Inorganic Anionic Micropollutants from Water Environment – State of the Art. Archives of Environmental Protection 37(2), s. 15–29. Chmiel, K. i Palica, M. 2005. Modelowanie procesu biofiltracji. Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual Set the

Environment Protection 7, s. 143–175.

Ciborowski, J. 1965. In¿ynieria chemiczna. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 611 s.

Dahlstrom, D.A. i Nickolaus, N. 1956. Theory and practice of continuous pressure filtration. Chemical

Enginee-ring Progress 3, s. 87–93.

Gajewska, M. i Obarska-Pempkowiak, H. 2009. 20 lat doœwiadczeñ z eksploatacji oczyszczalni hydrofitowych w Polsce. Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual Set the Environment Protection 11, s. 875–888. Hertjess, P. M. 1948. Industrial filtration. Department of Chemical Engineering. Technical University Delft,

s. 254–259.

Hertjess, P. M. i Haas, H. 1949. Studies in filtration Recoil Trav. Chim, Pays-Bas 6, s. 361–382.

Kocurek, J. i Palica, M. 2002. Rozdzielanie zawiesin cia³ sta³ych w cieczach na drodze filtracji z kompresj¹ tworzonego osadu. Czêœæ 1. Teoretyczny opis filtracji z równoczesn¹ kompresj¹ osadu. Rocznik Ochrona

Le Lec, P. 1962. Variatons de permeabilite des gateax de filtration. Genie Chimique 3, s. 61–83.

Malczewska, B. 2008. Sewage sludge rheological properties variability in dependence of drawing sludge samples at different times. Archives of Environmental Protection 34(4), s. 109–116.

Mielczarek, K. i Bohdziewicz, J. 2011. Performance prediction of ultrafiltration of post process coke wastewater based on the assumption of hydraulic filtration resistance model. Archives of Environmental Protection 37(4), s. 107–118.

Obarska-Pempkowiak i in. 2011 – Obarska-Pempkowiak, H., Gajewska, M., Wojciechowska, E. i Stosik, M. 2011. Systemy hydrofitowe do oczyszczania sp³ywów powierzchniowych w rejonie Zatoki Gdañskiej. Rocznik

Ochrona Œrodowiska – Annual Set the Environment Protection 13, s. 173–186.

Palica, M. i Kocurek, J. 2001. Wybrane zagadnienia teorii filtracji i kompresji osadów. Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Œl¹skiej, 139 s.

Palica, M. i Kocurek, J. 2003. Rozdzielanie zawiesin cia³ sta³ych w cieczach na drodze filtracji z kompresj¹ tworzonego osadu. Czêœæ 2. Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual Set The Environment Protection 5, s. 87–122.

Palica i in. 2007 – Palica, M., Grotek, M., Niemirowski, J. 2007. Opis odwadniania zawiesiny zrzutowej po wirówce filtracyjno-sedymentacyjnej BIRDa modelem SORENSENA. Rocznik Ochrona Œrodowiska –

Annual Set The Environment Protection 9, s. 133–158.

Palica i in. 2008 – Palica, M., Pêczek, K., Kurowski, £. i Niemirowski, J. 2008. Periodyczna filtracja wirowa zawiesiny zrzutowej po wirówkach BIRDa zawieraj¹cej dodatek flokulantu MAGNAFLOC 336. Rocznik

Ochrona Œrodowiska – Annual Set The Environment Protection 10, s. 275–288.

Palica i in. 2009 – Palica, M., Gierczycki, A. i Lemanowicz, M. 2009. W³asnoœci filtracyjne zawiesiny po wirówkach DECANTER po dodaniu flokulantu MAGNAFLOC 919. Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual

Set The Environment Protection 11, s. 823–836.

Palica i in. 2010a – Palica, M., W¹tor, K., Thullie, J. i Kurowski, £. 2010. Odwadnianie szlamu wêglowego na drodze periodycznej filtracji wirowej. Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual Set The Environment

Pro-tection 12, s. 489–502.

Palica i in. 2010b – Palica, M., Spyrka, W. i Adamczyk, M. 2010. Testy filtracji ciœnieniowej zawiesiny odpadowej z odmulnika DORRa. Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual Set The Environment Protection 13, s. 1885–1201.

Pawêska, K. i Kuczewski, K. 2013. The small wastewater treatment plants-hydrobotanical systems in En-vironmental Protection. Archives of EnEn-vironmental Protection 1(39), s. 39–58.

Piecuch, T. 1978. Badania procesu filtracji ciœnieniowej poflotacyjnych odpadów rud miedzi. Rudy i Metale

Nie¿elazne 12, s. 639–643.

Piecuch, T. 2009. Równanie Darcy jako podstawa analizy teoretycznej szczególnych przypadków procesu filtracji.

Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual Set The Environment Protection 11, s. 299–318.

Piecuch, T. 2010. Technika wodno-mu³owa. Urz¹dzenia i procesy. Warszawa, Pañstwowe Wydawnictwo Na-ukowo-Techniczne, 504 s.

Piecuch i in. 2013 – Piecuch, T., Piekarski, J. i Malatyñska, G. 2013. The Equation Describing the Filtration Process with Compressible Sediment Accumulation on a Filter Mesh. Archives of Environmental Protection. 1(39), s. 39–58.

Piekarski, J. 2009. Colmatation blockage during gravitational filtration process of coal suspension on sand bed.

Mineral Resources Management 25, s. 121–133.

Piekarski, J. 2009. Analiza wybranych parametrów kolmatacji w procesie filtracji grawitacyjnej. Rocznik Ochrona

Œrodowiska – Annual Set The Environment Protection 11, s. 421–438.

Piekarski, J. i D¹browski, T. 2011. Investigations on colmatation during filtration process on the porous deposit.

Polish Journal of Environmental Studies 10, s. 51–56.

Piekarski, J. 2011. Zastosowanie metod numerycznych do modelowania procesu filtracji grawitacyjnej. Rocznik

Ochrona Œrodowiska – Annual Set The Environment Protection 13, s. 315–332.

Rodziewicz i in. 2011 – Rodziewicz, J., Filipkowska, U. i Janczukowicz, W. 2011. Zastosowanie tarczowych z³ó¿ biologicznych do oczyszczania œcieków z hodowli ryb. Rocznik Ochrona Œrodowiska – Annual Set The

Sówka, J. i Piecuch, T. 1974. Stan badañ teoretycznych i praktycznych nad procesem filtracji zawiesin. Zeszyty

Naukowe Politechniki Œl¹skiej 403(60), s. 13–26.

Wiœniewski i in. 2013 – Wiœniewski, J., Kabsch-Korbutowicz, M. i £akomska, S. 2013. Usuwanie bromków i bromianów z wody w procesie wymiany anionów przez membranê jonowymienn¹. Rocznik Ochrona

Œrodowiska – Annual Set The Environment Protection 15, s. 1260–1279.

FILTRACJA Z UTWORZENIEM OSADU O MA£EJ ŒCIŒLIWOŒCI NA SIATCE FILTRACYJNEJ

S ³ o w a k l u c z o w e

analizy teoretyczne, proces filtracji, œciœliwoœæ osadu

S t r e s z c z e n i e

Publikacja przedstawia metodê okreœlenia koñcowych równañ procesu filtracji przy sta³ym prze-p³ywie V/t dla ró¿nych wartoœci wspó³czynnika œciœliwoœci s_Orównym odpowiednio 1/4, 1/5 oraz 1/6. Tym wspó³czynnikom œciœliwoœci odpowiadaj¹ koñcowe równania filtracji wed³ug zapisów 28, 35 oraz 42. Odnoœne koñcowe równania filtracji zosta³y wyprowadzone na podstawie ogólnego równania filtracji wed³ug zapisu 3 dla szczególnego przypadku sta³ego przep³ywu wed³ug zapisu 6.

Ogólnie równanie filtracji wed³ug zapisu 3, wyprowadzone z ogólnego równania Darcy’ego przep³ywu p³ynu przez warstwê porowat¹ (Ciborowski 1965; Dahlstrom i Nickolaus 1956; Hertjess 1948; Hertjess i Haas 1949; Le Lec 1962; Palica i in. 2008; Rodziewicz i in. 2011; Wiœniewski i in. 2013) wed³ug zapisu 1 zosta³o dla przekszta³conej postaci w zapisie 6 rozwi¹zane przy za³o¿eniu, ¿e wystêpuj¹ce w mianowniku ciœnienie jest ciœnieniem motorycznym procesu, a wiêc tym samym ciœnieniem do którego odnosi siê licznik w równaniu wyjœciowym wed³ug zapisu 3 – to jest okreœlone nowe podejœcie w analizie teoretycznej procesu, które zosta³o przedstawione ju¿ w innych wczeœ-niejszych publikacjach m.in. (Piecuch i in. 2013; Piecuch 2009, 2010).

Niniejsza publikacja jest kontynuacj¹ rozwa¿añ przedstawionych w pracy (Piecuch i in. 2013), w której wyprowadzono równania filtracji o sta³ym przep³ywie dla osadu o du¿ej œciœliwoœci, a wiêc takiej dla której wspó³czynnik œciœliwoœci s_Owyniós³ odpowiednio 1/2, 1/3 oraz 2/3.

Przeprowadzona analiza teoretyczna wskazuje, ¿e nie mo¿na sformu³owaæ jednego uniwersal-nego równania filtracji, w którym wystêpuje jako parametr wspó³czynnik œciœliwoœci s_O i za ten wspó³czynnik do takiego jednego równania mo¿na podstawiaæ liczbow¹ wartoœæ tego wspó³czynnika i wyliczaæ przep³yw medium w tym procesie. Dla ka¿dej nowej wartoœci wspó³czynnika œciœliwoœci s_O trzeba wyprowadziæ dla takiego szczególnego przypadku nowe równanie filtracji, jak tu przyk³adowo przedstawione koñcowe równania w zapisie 28, 35 oraz 42.

W praktyce in¿ynierskiej tego typu filtracjê mieszanin przez siatkê filtracyjn¹ mo¿na spotkaæ w filtrach pró¿niowych lub ciœnieniowych w zak³adach przeróbki mechanicznej kopalñ wêgla lub rud w obiegach wodno-mu³owych (Palica i in. 2007, 2009, 2010a, 2010b; Palica i Kocurek 2001, 2003; Piecuch 2010; Sówka i Piecuch 1974).

FILTRATION FORMING THE SEDIMENT OF LOW COMPRESSIBILITY ON THE MESH FILTER

K e y w o r d s

theoretical analyses, filtration process, sediment compressibility A b s t r a c t

The publication shows a method of determining the final equations of the filtration process at a V/t constant flow for different values of s_Ocompressibility co-efficient equal 1/4, 1/5 and 1/6, respectively. These compressibility co-efficients correspond to the final equations of filtration for records 28, 35 and 42. The relevant final equations of filtration were derived based on the general equation of filtration by record number 3 for the special case of a constant flow by record 6.

In general, the equation of filtration by record 3, derived from the general Darcy equation of fluid flow through the porous layer (Ciborowski 1965; Dahlstrom and Nickolaus 1956; Hertjess 1948; Hertjess and Haas 1949; Le Lec 1962; Palica et al. 2008; Rodziewicz et al. 2011; Wiœniewski et al. 2013) by record 1, has been for the transformed form of a record 6 solved, assuming that the pressure occurring in the second part of the denominator is the process motor pressure, and thus the same pressure, to which refers the numerator in the equation by record 3 – this is a new approach defined in the theoretical analysis process that has already been shown in earlier publications, such as (Piecuch et al. 2013; Piecuch 2009, 2010).

The present publication is a continuation of the considerations described in (Piecuch et al. 2013), wherein the filtering equation is derived as a constant flow for sediment with a high compressibility, and therefore such for which a compressibility co-efficient s_O amounted to 1/2, 1/3, and 2/3, respectively.

The conducted analysis of theoretical points indicates that one universal equation of filtration, in which compressibility co-efficient s_Ooccurs as a parameter cannot be made and for that co-efficient into this equation one can substitute the numerical value of this co-efficient and calculate the flow of fluid in this process. For each new value of the compression co-efficient s_O, new equation of filtration, as exemplified here the final equation shown in the records 28, 35 and 42, has to be derived for this particular case.

In engineering practice, this type of mixtures filtration through a mesh filter can be found in pressure or vacuum filters in processing plants of coal mines or ores in water and mud circuits (Palica et al. 2007, 2009, 2010a, 2010b; Palica and Kocurek 2001, 2003; Piecuch 2010; Sówka and Piecuch 1974).