11. 1. GRANIASTOSŁUPY
. Graniastosłupy
Podstawy graniastosłupa
-
dwa równoległe i przystające wielokątyŚciana boczna - równoległobok
Graniastosłup prosty – graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. W graniastosłupie prostym wszystkie
ściany boczne są prostokątami.
Graniastosłup, który nie jest prosty nazywamy graniastosłupem pochyłym
Przekątna graniastosłupa D – odcinek łączący dwa wierzchołki nie leŜący na Ŝadnej ze ścian.
Wysokość graniastosłupa H – odcinek łączący podstawy, prostopadły do nich. W graniastosłupie prostym wysokość jest równa krawędzi bocznej
Graniastosłup prawidłowy – graniastosłup, którego podstawy są wielokątami foremnymi , a ściany boczne prostokątami.
Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa:
b p c
P
P
P
=
2
+
V
=
P
p⋅
H
D
d
H
·
H
Kąty w graniastosłupie
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy γ β – kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy
γ – kat nachylenia przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej
α β
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi bocznej β
β – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej
α
Przykład 11.1.1. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach 4 i 6
oraz kacie
30 . Oblicz objętość tego graniastosłupa wiedząc, Ŝe jego pole
°
powierzchni całkowitej jest równe 72.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
6
=
a
V
=
?
V
=
ab
sin
α
⋅
H
4
=
b
P
c=
2
ab
sin
α
+
2
aH
+
2
bH
°
=
30
α
72
=
cP
Analiza zadania.Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
. PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest równoległobok, toP
p=
ab
sin
α
. ZatemV
=
ab
sin
α
⋅
H
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy
wzór
P
c=
2
P
p+
P
b . PoniewaŜα
sin
ab
P
p=
oraz powierzchnię boczną tworzą dwa prostokąty o bokach a i H oraz dwa prostokąty o bokachb
i H , zatemP
c=
2
ab
sin
α
+
2
aH
+
2
bH
bH
aH
ab
P
c=
2
sin
α
+
2
+
2
(
)
4
,
2
20
:
/
48
20
72
24
20
20
24
72
8
12
2
1
48
72
4
2
6
2
30
sin
4
6
2
72
=
−
−
=
−
−
=
−
+
=
+
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
°
⋅
⋅
⋅
=
H
H
H
H
H
H
H
H
Wykorzystują wzór na pole powierzchni całkowitej obliczamy H
H
ab
V
=
sin
α
⋅
8
,
28
4
,
2
2
1
24
4
,
2
30
sin
4
6
=
⋅
⋅
=
⋅
°
⋅
⋅
=
V
V
V
Obliczamy objętość graniastosłupa.
Sześcian ( graniastosłup foremny) – graniastosłup, którego wszystkie ściany są kwadratami.
a - krawędź sześcianu
D – przekątna sześcianu
D
=
a
3
d – przekątna ściany sześciany
d
=
a
2
Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu:
P
c=
6a
2Wzór n objętość sześcianu:
V
=
a
3D a
d a
a
Przykład 11.1.2. Oblicz kosinus kąta jaki tworzy przekątna sześcianu z jego podstawą.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
WykaŜemy, Ŝe przekątna sześcianu wyraŜa się wzorem
D
=
a
3
.
Szukane: Wzory:
?
cos
α
=
D
=
a
3
d
=
a
2
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: 2 2 2
D
d
a
+
=
Za d podstawiamy wzórd
=
a
2
( )
3
3
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2a
D
D
a
D
a
a
D
a
a
=
=
=
+
=
+
D
d
=
α
cos
3
6
cos
3
3
3
2
cos
3
2
cos
=
⋅
=
=
α
α
α
a
a
Obliczmycos
α
.
Korzystamy z definicji kosinusa:
stokatna
przeciwpro
y_α
katna_ prz
przyprosto
cosα
=
Po podstawieniu wzorów3
a
D
=
,
d
=
a
2
,
skróceniua
oraz usunięciu niewymierności z
mianownika otrzymujemy wartość
cos
α
Prostopadłościan – graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami.
a ,b, c – krawędzie prostopadłościanu
D – przekątna prostopadłościanu
Wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
P
c=
2
ab
+
2
ac
+
2
bc
Wzór na objętość prostopadłościanu:V
=
a
⋅
b
⋅
c
c D b aPrzykład 11.1.3. Długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka
prostopadłościanu są liczbami tworzącymi ciąg geometryczny, w którym najmniejszy
wyraz jest równy 2. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość 52 .
Oblicz pole powierzchni i objętość prostopadłościanu.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
2
=
a
V
=
?
V
=
a
⋅
b
⋅
c
52
=
D
P
c=
?
P
c=
2
ab
+
2
ac
+
2
bc
c
b
a ,
,
- ciąg geometryczny Analiza zadania.Przy obliczaniu objętości
prostopadłościanu wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
. PoniewaŜ podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, toP
p=
ab
, a wysokość prostopadłościanuH
=
c
., zatemV
=
abc
Ścianami prostopadłościanu są dwa
prostokąty o bokach a i
b;
dwa prostokąty o bokach b ic
oraz dwa prostokąty o bokach a ic,
zatembc
ac
ab
P
c=
2
+
2
+
2
c
b
c
a
b
2
2 2=
⋅
=
Wykorzystując zaleŜność międzytrzema kolejnymi wyrazami a, b, c ciągu geometrycznego:
c
a
b
2=
⋅
, zapisujemy pierwsze równanie z niewiadomymi b ic
2 2 2 2 24
b
d
b
a
d
+
=
+
=
Wykorzystując twierdzenia Pitagorasa zapisujemy wzór na przekątną podstawy prostopadłościanu.48
4
52
52
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=
+
−
=
+
=
+
+
=
+
b
c
b
c
b
c
D
d
c
Wykorzystując twierdzenia Pitagorasa zapisujemy drugie równanie z niewiadomymi b ic
=
+
=
48
2
2 2 2b
c
c
b
0
48
2
48
2
2 2=
−
+
=
+
c
c
c
c
(
48
)
4
192
196
1
4
2
2−
⋅
⋅
−
=
+
=
=
∆
+∉
−
=
−
=
−
−
=
⋅
−
−
=
R
c
8
2
16
2
14
2
1
2
196
2
16
2
14
2
1
2
196
2
2=
+
−
=
⋅
+
−
=
c
3
2
12
6
2
2
2 2 2=
=
⋅
=
=
b
b
b
c
b
Rozwiązujemy metodą podstawiania układ równań z niewiadomymi b i
c.
Rozwiązując równanie kwadratowe stosujemy wzory:
c
a
b
−
⋅
⋅
=
∆
24
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
PoniewaŜ
c
=
−
8
nie spełnia warunków zadania , zatemc
=
6
. Obliczamy b3
24
6
3
2
2
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
a
b
c
V
24
3
32
3
24
24
3
8
6
3
2
2
6
2
2
3
2
2
2
2
2
2
+
=
+
+
=
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
+
+
=
ab
ac
bc
P
c Obliczamy V i cP
Graniastosłup prawidłowy czworokątny – graniastosłup, którego podstawy są kwadratami,
a ściany boczne
prostokątami.
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
d – przekątna podstawy
d
=
a
2
D – przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:
P
c=
2
a
2+
4
ab
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:V
=
a
2⋅
b
b D
d a a
Przykład 11.1.4. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
wynosi 2, a przekątna tego graniastosłupa 8. Oblicz objętość, pole powierzchni
całkowitej tego graniastosłupa oraz sinus kąta jaki tworzy przekątna graniastosłupa
z krawędzią podstawy mającą z nią punkt wspólny.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
2
=
a
V
=
?
V
=
a
2⋅
b
8
=
D
P
c=
?
P
c=
2
a
2+
4
ab
sin
α
=
?
d
=
a
2
Analiza zadania.Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
. PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest kwadrat, to2
a
P
p=
,a wysokość graniastosłupab
H
=
., ZatemV
=
a
2⋅
b
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy
wzór
P
c=
2
P
p+
P
b . PoniewaŜP
p=
a
2 oraz powierzchnię boczną tworzą cztery prostokąty o bokach a i b ,zatemab
a
P
c=
2
2+
4
.W obliczenia wykorzystujemy równieŜ wzór na przekątną kwadratu
d
=
a
2
( )
( )
14
2
14
4
56
56
8
64
64
2
2
8
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=
⋅
=
=
=
−
=
=
+
=
+
=
+
b
b
b
b
a
b
D
d
b
Korzystają z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość krawędzi bocznej b.
Wykorzystujemy równieŜ wzór na przekątną kwadratu
d
=
a
2
14
8
14
2
2
2 2⋅
=
⋅
=
=
a
b
V
14
16
8
14
2
2
4
2
2
4
2
2+
=
⋅
2+
⋅
⋅
=
+
=
a
ab
P
c Obliczamy V i cP
( )
15
2
15
4
60
60
56
4
56
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2=
⋅
=
=
=
=
+
=
+
=
+
d
d
d
d
d
b
a
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przekątnej ściany bocznej
d
14
15
8
15
2
sin
=
1=
=
D
d
α
Korzystając z definicji sinusa
stokatna
przeciwpro
naprzeciw
katna
przyprosto
α
α
_
_
sin
=
obliczamy sinus kąta jaki tworzy przekątna graniastosłupa z krawędzią podstawy.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny – graniastosłup, którego podstawy są trójkątami
równobocznymi,
a ściany boczne są prostokątami.
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
h – wysokość podstawy
2
3
a
h
=
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:
P
ca
3
ab
4
3
2
2+
⋅
=
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:V
=
a
⋅
b
4
3
2 b a a h aPrzykład 11.1.5. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
prawidłowego trójkątnego ,w którym długość krawędzi podstawy jest równa 20
oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej
ma miarę 45° .
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
20
=
a
V
=
?
V
=
a
⋅
b
4
3
2°
=
45
α
P
c=
?
P
ca
3
ab
4
3
2
2+
⋅
=
2
3
a
h
=
Analiza zadania.Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
. PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, to4
3
2a
P
p=
,a wysokość graniastosłupab
H
=
., ZatemV
=
a
⋅
b
4
3
2Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy wzór
P
c=
2
P
p+
P
b . PoniewaŜ4
3
2a
P
p=
oraz powierzchnię boczną tworzą trzy prostokąty o bokach a i b ,zatem
P
ca
3
ab
4
3
2
2+
⋅
=
W obliczenia wykorzystamy równieŜ wzór na wysokość trójkąta równobocznego
2
3
a
h
=
3
10
2
3
20
2
3
=
=
=
a
h
Obliczamy wysokość podstawy graniastosłupa.
Korzystając z definicji sinusa :
stokatna
przeciwpro
naprzeciw
katna
przyprosto
α
α
_
_
sin
=
6
10
2
:
/
6
20
2
2
/
3
20
2
3
10
2
2
3
10
45
sin
sin
=
=
⋅
=
=
=
°
=
d
d
d
d
d
d
h
α
( )
2
10
200
600
400
6
10
20
2 2 2 2 2 2 2 2=
=
=
+
=
+
=
+
b
b
b
b
d
b
a
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość krawędzi bocznej b.
1000
2
10
4
3
400
2
10
4
3
20
4
3
2 2=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
a
b
V
2
600
3
200
2
600
4
3
400
2
2
10
20
3
4
3
20
2
3
4
3
2
2 2+
=
+
⋅
=
=
⋅
⋅
+
⋅
=
+
⋅
=
a
ab
P
c Obliczamy V i cP
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny – graniastosłup, którego podstawami są
sześciokąty foremne,
a ściany boczne są prostokątami.
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
d – krótsza przekątna podstawy
2
3
2
a
d
=
D – dłuŜsza przekątna podstawy
D
=
2
a
Wzór na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego:
ab
a
P
c6
4
3
6
2
2+
⋅
=
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego:
b
a
V
=
⋅
4
3
6
2 b d D a aPrzykład 11.1.6. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie
mają długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa oraz
długości przekątnych graniastosłupa.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny. Łącząc wierzchołki sześciokąta otrzymujemy sześć trójkątów równobocznych, dlatego
4
3
6
2a
P
p=
⋅
.Dane: Szukane: Wzory:
4
=
a
V
=
?
V
=
⋅
a
⋅
b
4
3
6
24
=
b
P
c=
?
P
ca
6
ab
4
3
6
2
2+
⋅
⋅
=
D
1=
?
2
3
2
1a
d
=
⋅
D
2=
?
d
2=
2
a
DłuŜsza przekątna sześciokąta foremnego jest równa długości dwóch boków trójkąta równobocznego:
d
2=
2
a
Krótsza przekątna sześciokąta foremnego jest równa długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego:
2
3
2
1a
d
=
⋅
Przy obliczaniu objętości graniastosłupa wykorzystujemy wzórV
=
P
p⋅
H
. PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny, to4
3
6
2a
P
p=
⋅
,a wysokość graniastosłupaH
=
b
., ZatemV
=
a
⋅
b
4
3
2Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wykorzystujemy wzór
P
c=
2
P
p+
P
b . PoniewaŜ4
3
6
2a
P
p=
⋅
oraz powierzchnię boczną tworzy sześć prostokątów o bokach a i b, zatem
P
ca
6
ab
4
3
6
2
2+
⋅
⋅
=
3
96
4
3
4
6
4
4
3
16
6
4
4
3
4
6
4
3
6
2 2=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
a
b
V
96
3
48
96
4
3
16
12
4
4
6
4
3
4
12
6
4
3
6
2
2 2+
=
+
=
=
⋅
⋅
+
=
+
⋅
=
a
ab
P
c Obliczamy V i cP
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość krótszej przekątnej graniastosłupa.
8
64
48
16
2
3
4
2
4
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2=
=
=
+
=
⋅
+
=
+
D
D
D
D
D
d
b
( )
5
4
5
16
80
80
64
16
4
2
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=
⋅
=
=
=
=
+
=
⋅
+
=
+
D
D
D
D
D
d
b
Wykorzystując twierdzeniu Pitagorasa obliczamy długość dłuŜszej przekątnej graniastosłupa.
Korzystamy ze wzoru
d
2=
2
a
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 11.1.1. (3pkt.) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu o
przekątnej długości
12
cm
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości krawędzi sześcianu
1
2 Podanie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
1
Ćwiczenie 11.1.2. (4pkt.) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości
4
cm 2
;
cm
.Oblicz objętość i pole powierzchni tego graniastosłupa wiedząc, Ŝe jego
przekątna jest nachylona do podstawy pod kątem
60
°
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości przekątnej podstawy graniastosłupa1
2 Podanie wysokości graniastosłupa.
1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
1
4 Podanie objętości sześcianu graniastosłupa.
1
Ćwiczenie 11.1.3. (5pkt.) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna
podstawy ma długość
3
2
cm
i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą
z tego samego wierzchołka kąt
60 . Oblicz pole powierzchni i objętość tego
°
graniastosłupa.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości krawędzi podstawy.
1
2 Podanie długości przekątnej ściany bocznej
1
3 Podanie długości krawędzi bocznej.
1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
1
5 Podanie objętości sześcianu graniastosłupa.
1
Ćwiczenie 11.1.4. (3pkt.) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany
bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy długości cm
6
pod kątem
30 .
°
Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości krawędzi bocznej
1
2 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
1
3 Podanie objętości sześcianu graniastosłupa.
1
Ćwiczenie 11.1.5. (3pkt.) Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa prawidłowego
sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma długość
4
2
i najdłuŜsza
przekątna 12 .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości krawędzi bocznej
1
2 Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
