Inwestycje finansowe
i ubezpieczenia – tendencje
światowe a rynek polski
PRACE NAUKOWE
Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu
RESEARCH PAPERS
of Wrocław University of Economics
254
Redaktorzy naukowi
Krzysztof Jajuga
Wanda Ronka-Chmielowiec
Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu
Wrocław 2012
Recenzenci: Diarmuid Bradley, Jan Czekaj, Marek Gruszczyński, Jacek Lisowski, Paweł Miłobędzki, Włodzimierz Szkutnik, Mirosław Szreder, Adam Szyszka, Waldemar Tarczyński, Stanisław Wieteska, Tomasz Wiśniewski
Redaktor Wydawnictwa: Aleksandra Śliwka Redaktor techniczny: Barbara Łopusiewicz Korektor: Barbara Cibis
Łamanie: Małgorzata Czupryńska Projekt okładki: Beata Dębska
Publikacja jest dostępna w Internecie na stronach: www.ibuk.pl, www.ebscohost.com,
The Central and Eastern European Online Library www.ceeol.com, a także w adnotowanej bibliografii zagadnień ekonomicznych BazEkon http://kangur.uek.krakow.pl/bazy_ae/bazekon/nowy/index.php Informacje o naborze artykułów i zasadach recenzowania znajdują się na stronie internetowej Wydawnictwa
www.wydawnictwo.ue.wroc.pl
Kopiowanie i powielanie w jakiejkolwiek formie wymaga pisemnej zgody Wydawcy
© Copyright by Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wrocław 2012
ISSN 1899-3192 ISBN 978-83-7695-293-2
Wersja pierwotna: publikacja drukowana Druk: Drukarnia TOTEM
Spis treści
Wstęp ... 9 Barbara Będowska-Sójka: Zastosowanie zmienności zrealizowanej i modeli
typu ARCH w wyznaczaniu wartości zagrożonej ... 11 Jacek Białek: Zastosowanie statystycznych indeksów łańcuchowych do
oce-ny przeciętnego zwrotu grupy OFE ... 23 Beata Bieszk-Stolorz, Iwona Markowicz: Zastosowanie modelu
logitowe-go i modelu regresji Coxa w analizie zmian cen akcji spółek giełdowych w wyniku kryzysu finansowego ... 33 Katarzyna Byrka-Kita: Premia z tytułu kontroli na polskim rynku
kapitało-wym – wyniki badań ... 42 Krzysztof Echaust: Analiza przekroczeń wysokości depozytów
zabezpieczają-cych na podstawie kontraktów futures notowanych na GPW w Warszawie . 52 Magdalena Frasyniuk-Pietrzyk, Radosław Pietrzyk: Rentowność
inwesty-cji na rynku regulowanym i w alternatywnym systemie obrotu w Polsce . 61 Daniel Iskra: Wartość zagrożona instrumentu finansowego szacowana
prze-działowo ... 74 Bogna Janik: Analiza stóp zwrotu z inwestycji w indeksy akcji spółek
spo-łecznie odpowiedzialnych ... 83 Paweł Kliber: Niestacjonarność aktywności transakcyjnej na Giełdzie
Papie-rów Wartościowych w Warszawie ... 93 Krzysztof Kowalke: Ocena przydatności rekomendacji giełdowych opartych
na metodzie DCF na przykładzie spółek budowlanych ... 103 Mieczysław Kowerski: Modele selekcji próby stóp dywidend spółek
noto-wanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie... 113 Dominik Krężołek: Granica efektywności portfeli inwestycyjnych a indeks
ogona rozkładu stopy zwrotu – analiza empiryczna na przykładzie GPW w Warszawie ... 124 Monika Kubik-Kwiatkowska: Znaczenie raportów finansowych dla wyceny
spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie SA ... 133 Agnieszka Majewska: Wycena opcji menedżerskich – wybrane problemy ... 142 Sebastian Majewski: Pomiar nastroju inwestycyjnego jako metoda
wspoma-gająca strategie inwestycyjne ... 152 Piotr Manikowski: Cykle ubezpieczeniowe w Europie Środkowej... 162
6
Spis treściArtur Mikulec: Metody oceny wyników inwestycyjnych przy braku normal-ności rozkładu stóp zwrotu ... 171 Joanna Olbryś: Tarcie w procesach transakcyjnych i jego konsekwencje ... 181 Andrzej Paliński: Spłata zadłużenia kredytowego w ujęciu teoriogrowym ... 190 Monika Papież, Stanisław Wanat: Modele autoregresji i wektorowej
auto-regresji w prognozowaniu podstawowych zmiennych charakteryzujących rynek ubezpieczeń działu II ... 199 Daniel Papla: Przykład zastosowania metod analizy wielowymiarowej
w analizie zarażania rynków finansowych ... 209 Tomasz Pisula: Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do
prognozo-wania upadłości przedsiębiorstw ... 219 Agnieszka Przybylska-Mazur: Wybrane reguły nastawione na cel a
progno-zowanie wskaźnika inflacji ... 235 Paweł Siarka: Wykorzystanie modeli scoringowych w bankowości
komer-cyjnej ... 246 Rafał Siedlecki: Struktura kapitału w cyklu życia przedsiębiorstwa ... 262 Anna Sroczyńska-Baron: Wybór portfela akcji z wykorzystaniem narzędzi
teorii gier ... 271 Michał Stachura, Barbara Wodecka: Zastosowania kopuli
niesymetrycz-nych w modelowaniu ekonomicznym ... 281 Michał Stachura, Barbara Wodecka: Zastosowanie estymatora
k-to-rekor-dowego do szacowania wartości narażonej na ryzyko ... 289 Piotr Staszkiewicz: Multi entry framework for financial and risk reporting... 298 Anna Szymańska: Czynniki decydujące o wyborze ubezpieczyciela w
przy-padku ubezpieczeń komunikacyjnych AC ... 310 Sławomir Śmiech, Wojciech Zysk: Oceny ratingowe jako element
konku-rencyjności wybranych systemów gospodarczych – weryfikacja na przy-kładzie agencji Fitch ... 323 Rafał Tuzimek: Wpływ wypłat dywidendy na wartość akcji spółek
notowa-nych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie ... 333 Jacek Welc: Rewersja do średniej dynamiki przychodów oraz rentowności
spółek a zmiany relatywnej dynamiki zysków ... 347 Ryszard Węgrzyn: Zastosowanie delty „wolnej od modelu” w hedgingu
opcyjnym ... 356 Stanisław Wieteska: Wyładowania atmosferyczne jako element ryzyka
w ubezpieczeniach majątkowo-osobowych w polskim obszarze klima-tycznym ... 367 Alicja Wolny-Dominiak: Modelowanie liczby szkód w ubezpieczeniach
ko-munikacyjnych w przypadku występowania dużej liczby zer ... 381
Spis treści
7
Summaries
Barbara Będowska-Sójka: Modeling value-at-risk when realized volatility and ARCH-type models are used ... 22 Jacek Białek: The application of chain indices to evaluate the average rate
of return of a group of Open Pension Funds ... 32 Beata Bieszk-Stolorz, Iwona Markowicz: The application of the logit model
and the Cox regression model in the analysis of financial crisis related price changes of listed companies’ shares ... 41 Katarzyna Byrka-Kita: Control premium on Polish capital market –
empir-ical evidence ... 51 Krzysztof Echaust: Analysis of margin exceedances on the basis of futures
contracts quoted on the Warsaw Stock Exchange ... 60 Magdalena Frasyniuk-Pietrzyk, Radosław Pietrzyk: Return on investment
on a regulated market and multilateral trading facility in Poland ... 73 Daniel Iskra: Confidence interval for Value at Risk ... 82 Bogna Janik: Analysis of rates of return on investments in equity SRI
indi-ces ... 92 Paweł Kliber: Non-stationarity in transaction activity on the Warsaw Stock
Exchange ... 102 Krzysztof Kowalke: Assessment of the usefulness of Stock Exchange
recommendations based on the DCF method on the example of construc-tion companies ... 112 Mieczysław Kowerski: The sample selection models of dividend yield of
companies quoted on the Warsaw Stock Exchange ... 123 Dominik Krężołek: The efficient frontier of investment portfolios and the tail
index of distribution of returns – an empirical analysis on the WSE ... 132 Monika Kubik-Kwiatkowska: Value relevance of financial reporting on the
Warsaw Stock Exchange ... 141 Agnieszka Majewska: The value of employee stock options – selected
prob-lems ... 151 Sebastian Majewski: Measuring of investment sentiment as a method of
sup-porting investment strategies ... 161 Piotr Manikowski: Insurance cycles in Central Europe... 170 Artur Mikulec: Investment performance evaluation methods in the absence
of normality of the rates of return ... 180 Joanna Olbryś: Friction in trading processes and its implications ... 189 Andrzej Paliński: The game theoretic approach to bank credit repayment .... 198 Monika Papież, Stanisław Wanat: The application of autoregressive
models and vector autoregressive models in forecasting basic variables on the non-life insurance market ... 208
8
Spis treściDaniel Papla: Example of using multidimensional methods in analyzing the contagion on the financial markets ... 218 Tomasz Pisula: Application of artificial neural networks for forecasting
cor-porate bankruptcy ... 234 Agnieszka Przybylska-Mazur: Selected targeting rules and forecasting
in-flation rate ... 245 Paweł Siarka: The use of scoring models in commercial banking ... 261 Rafał Siedlecki: The structure of capital in the company life cycle ... 270 Anna Sroczyńska-Baron: The choice of shares portfolio based on the theory
of games ... 280 Michał Stachura, Barbara Wodecka: Asymmetric copulas applications in
economic modelling ... 288 Michał Stachura, Barbara Wodecka: Value-at-Risk estimation using ‘k-th
record’ estimator ... 297 Piotr Staszkiewicz: Zapis poczwórny jako mechanizm pozwalający na
inte-grację sprawozdawczości finansowej i ostrożnościowej ... 309 Anna Szymańska: Factors determining a choice of an insurer in case of
mo-tor hull insurance ... 322 Sławomir Śmiech, Wojciech Zysk: Assessments of rating as part of
com-petitiveness of selected economies – verification on the example of Fitch agency ... 332 Rafał Tuzimek: Effect of dividend payments on the value of shares listed on
the Warsaw Stock Exchange ... 346 Jacek Welc: Impact of mean-reversion of sales growth and profitability on the
relative growth of corporate earnings ... 355 Ryszard Węgrzyn: Application of model free delta to option hedging ... 366 Stanisław Wieteska: Lightning as an element of risk in non-life insurance in
the Polish area of climate ... 380 Alicja Wolny-Dominiak: Zero-inflated claim count modeling in automobile
insurance. Case Study ... 390
PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 207
RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr 254 • 2012 Inwestycje finansowe i ubezpieczenia – tendencje światowe a rynek polski ISSN 1899-3192
Jacek Białek
Uniwersytet Łódzki
ZASTOSOWANIE STATYSTYCZNYCH
INDEKSÓW ŁAŃCUCHOWYCH
DO OCENY PRZECIĘTNEGO ZWROTU GRUPY OFE
Streszczenie: W niniejszym artykule proponuje się wykorzystanie indeksów łańcuchowychdo oszacowania przeciętnej stopy zwrotu grupy OFE. Okazuje się, że znane z literatury de-finicje przeciętnego zwrotu bazują na pewnych łańcuchowych indeksach statystycznych. Ogólnie wybrane formuły łańcuchowe nie tylko spełniają postulaty Gajka i Kałuszki, ale również uwzględniają cały badany interwał czasowy, a nie jedynie jego krańce.
Słowa kluczowe: przeciętna stopa zwrotu OFE, indeksy łańcuchowe, martyngał.
1. Wstęp
W polskim prawie1 obowiązuje definicja przeciętnej stopy zwrotu grupy OFE, która
wyznacza tzw. minimalny zwrot dla funduszy. Ryzyko uzyskania stopy zwrotu za ostatnie 36 miesięcy mniejszej od wymaganego ustawowo minimum pociąga za sobą poważne konsekwencje finansowe. Zgodnie z polskim prawem w sytuacji takiej fundusz jest zobligowany do pokrycia powstałego deficytu2. Jednak jak pokazali
Gajek i Kałuszka [2000] – miara przeciętnej stopy zwrotu nie spełnia pewnych eko-nomicznie zasadnych postulatów. W literaturze przedmiotu można znaleźć definicje alternatywne (por. [Gajek, Kałuszka 2001; Białek 2005]). W niniejszym artykule proponuje się jednak wykorzystanie statystycznych indeksów łańcuchowych do oszacowania przeciętnego zwrotu grupy OFE. Okazuje się, że wspomniane wcześ-niej alternatywne definicje stanowią pewne szczególne, łańcuchowe indeksy
1 DzU nr 139, poz. 934, art. 173.
2 Obecnie, od 1 kwietnia 2004 r., środki na pokrycie niedoboru mają pochodzić w pierwszej
ko-lejności z umorzenia jednostek rozrachunkowych zgromadzonych na rachunku rezerwowym, następ-nie z umorzenia jednostek rozrachunkowych zgromadzonych na rachunku części dodatkowej Fundu-szu Gwarancyjnego. Jeżeli środki te nie są wystarczające, pokrycie niedoboru następuje kolejno ze środków własnych PTE, a jeżeli i te środki nie wystarczają, z pozostałych środków Funduszu Gwa-rancyjnego, z zastrzeżeniem, że w pierwszej kolejności pokrywany jest on ze środków części podsta-wowej Funduszu Gwarancyjnego. Ostatecznym gwarantem pokrycia niedoboru jest Skarb Państwa.
Jacek Białek
24
styczne. Ogólnie wybrane formuły łańcuchowe nie tylko spełniają postulaty Gajka i Kałuszki, ale również uwzględniają cały badany interwał czasowy, a nie jedynie jego krańce. Okazuje się również, iż przy traktowaniu procesów cen jednostek uczestnictwa jako pewnych procesów stochastycznych założenie, że są to martynga-ły, wystarcza, aby własność tę przenieść również na wybrane, proponowane formuły łańcuchowe. Można dowieść (por. [Gajek, Kałuszka 2001]), że definicja polska nie stanowi w tym przypadku martyngału, co wydaje się nienaturalne.
Jak wspomniano, definicja polska przeciętnego zwrotu OFE bierze pod uwagę jedynie krańcowe momenty czasowe trzyletniego interwału czasowego. Ma ona po-stać: 1 2 0 1 2 1 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) 2 ( ) ( ) n i i i n n i i i i i A T A T r T T r T T A T A T = = = = ⋅ +
∑
∑
∑
, (1)gdzie: n – liczba funkcjonujących funduszy emerytalnych,
1 2
[ , ]T T – rozważany interwał czasowy, dla którego mierzymy przeciętny
zwrot,
1 2
( , )
i
r T T – stopa zwrotu i-tego funduszu liczona jako względny przyrost
wartości jednostki uczestnictwa tego funduszu w czasie [ , ],T T 1 2
( )
i
A t – aktywa netto i-tego funduszu w chwili t.
Do końca marca 2004 r. średnia ważona stopa zwrotu obliczana była na ostatni dzień roboczy każdego kwartału i obejmowała 24 miesiące poprzedzające ten dzień. Po zmianie przepisów stopa ta obliczana jest co 6 miesięcy, na ostatni dzień roboczy marca i września, za 36 miesięcy poprzedzających ten dzień. Sam fakt, iż definicja (1) bierze pod uwagę jedynie momenty
T
1 iT
2, sztucznie kreuje zachowanie OFE w pobliżu miesiąca ich oceny. Poza tym, jak wspomniano, miara polska nie spełnia przynajmniej trzech postulatów Gajka i Kałuszki, m.in. nie zachowuje się tak, jak klasyczna stopa procentowa w procencie składanym3. Dlatego nasza uwaga wniniej-szym artykule koncentruje się na konstrukcji miary przeciętnego zwrotu, która po-zbawiona byłaby opisanych wyżej niedogodności. Dodajmy, iż w pracy pomijamy omówienie najczęściej pojawiających się zarzutów wobec idei przeciętnego zwrotu OFE i minimalnego zwrotu. Miary te de facto nie biorą pod uwagę ryzyka inwesty-cyjnego, nie generują zdrowej konkurencji na rynku OFE i nie stanowią – jak się okazuje – wystarczającego bodźca dla lepszych inwestycji funduszy. Niemniej jed-nak ze względu na to, iż wspomniana ustawa nadal obowiązuje, ograniczymy
3 Jedną z pożądanych własności stóp procentowych jest, aby spełniały relację:
1 2
1+r T T( , )=
1 2
[1 ( , )][1 ( , )].r T t r t T
Zastosowanie statystycznych indeksów łańcuchowych do oceny przeciętnego zwrotu…
25
żania do tematu określonego w tytule niniejszej pracy. W analogii do teorii indeksów przyjmiemy, że OFE stanowią pewien agregat składających się z n różnych kompo-nentów, wyrażonych w dowolnej chwili
t
przez ceny jednostek rozrachunkowych)
(t
p
i i ilościq
i(t
)
, gdzie i∈{1,2, ..., }n .2. Statystyczne indeksy łańcuchowe
Indeksy statystyczne służą analizie dynamiki zjawisk masowych, które porównujemy w dwóch momentach czasowych: badanym T1 i bazowym T2. Ich praktyka sięga
blisko 300 lat – jednym z pierwszych, który zaczął je stosować, był francuski eko-nomista Dutot ze słynną pracą Reflexions politiques sur les finances et le commerce (1738). Postawiono przed nim problem oszacowania inflacji dla lat 1515-1735 na dworze Ludwika XV.
Dutot zaproponował wówczas koszyk dóbr (obejmował m.in. ceny kurczaka, królika, gołębia, stogu siana, dzienne wynagrodzenie mężczyzn i kobiet (ceny usług)) i jako pierwszy zaproponował uśrednienie cen:
2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( , ) . 1 ( ) n i P i Du n i i p T n I T T p T n = = =
∑
∑
(2)Kolejne propozycje indeksów były również formułami nieważonymi – wymienić tu można indeks Carli (1764), Drobischa (1871) czy Jevonse’a (1863). Dziś już wiemy, że tego typu proste, nieważone formuły sprawdzają się tylko w nielicznych sytuacjach. Co więcej, nie spełniają one wymogów (aksjomatów) wobec poprawnej formuły indeksów, tzw. testów (por. [Fisher 1922; Balk 1995]). Kolejną grupą indek-sów były więc formuły doskonalsze, bo ważone. Wymienić można tu znane indeksy Laspeyresa (1864), Paaschego (1874) czy Törnqvista (1936). Krokiem milowym w teorii indeksów była praca [Fisher 1922], w której autor po raz pierwszy na tak szeroką skalę zaczął wykorzystywać wspomniane testy do poszukiwań idealnej for-muły indeksu. W ten sposób Fisher zaproponował m.in. własną formułę, stanowiącą średnią geometryczną z indeksów Laspeyresa i Paaschego. Ale również ciekawym kierunkiem rozwoju teorii indeksów okazało się podejście [Divisia 1925], w którym bierze się pod uwagę nie tylko te dwa skrajne momenty czasowe T1 i T2, ale również
wszystkie momenty pośrednie, tzn.: T1+1, T1+2, ...,T2−1. Indeks cenowy
I~
Ptworzy się tu jako iloczyn indeksów dla „połączonych” okresów, tzn.
)
1
,
(
)
,
(
~
1 2 1 2 1+
=
∏
− =τ
τ
τ T T P PT
T
I
I
, (3)Jacek Białek
26
gdzie
I
P(
τ
,
τ
+
1
)
−
jest dowolną formułą indeksu cenowego porównującego okresyτ
iτ
+1 (może to być formuła zarówno ważona, jak i nieważona).3. Miary przeciętnego zwrotu OFE
jako warianty indeksów łańcuchowych
W niniejszej pracy postuluje się, aby przeciętny zwrot OFE
r
(
T
1,
T
2)
wyznaczać jako1
)
,
(
~
)
,
(
T
1T
2=
I
T
1T
2−
r
P , (4)gdzie
~
I
P(
T
1,
T
2)
jest pewną formułą cenowego indeksu łańcuchowego określonegoformułą (3). Okazuje się, że postać (4) przeciętnego zwrotu OFE jest o tyle zasadna, iż dla pewnych szczególnych przypadków indeksów
I
P(
τ
,
τ
+
1
)
uzyskuje sięzna-ne z literatury, alternatywzna-ne propozycje przeciętzna-nej stopy zwrotu funduszy. Załóżmy więc najpierw, że rozważamy łańcuchowy indeks cen Laspeyresa dany formułą
2 1 1 1 2 ( , ) T ( , 1) P P La La T I T T I τ
τ τ
− = =∏
+ , (5) gdzie P(
τ
,
τ
+
1
)
LaI
jest cenowym indeksem Laspeyresa określonym jako (por. [Bia-łek, Depta 2010]) 1 1 ( ) ( 1) ( , 1) . ( ) ( ) n i i P i La n i i i q p I q p τ τ τ τ τ τ = = + + =∑
∑
(6)Zauważmy, iż zgodnie ze wzorem (4) przeciętny zwrot OFE wyznaczać będzie-my wówczas zgodnie z następującą formułą (dla odróżnienia przypadku wprowa-dzimy oznaczenie
r
La): 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 1 ( , 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (1 ( ) ( ) T P P La La La T n T i i T n i i i i n n i T T i i i i i i i T n i i i n i T i i i r T T I T T I q p q p p p q p q p q p p q p τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − = − − = = = = = = − = = = = − = + − = + + = − = ⋅ − = + = + ⋅∏
∑
∑
∏
∏
∑
∑
∑
∏
∑
2 1 1 * 1 1) ( )) 1 (1 ( ) ( , 1)) 1, ( ) T n i i i i T i p A r p τ τ τ τ τ τ − = = − − = + + −∑
∏
(7)Zastosowanie statystycznych indeksów łańcuchowych do oceny przeciętnego zwrotu…
27
gdzie: *( ) i
A τ oznacza relatywny udział aktywów netto i-tego funduszu w chwili ,τ tzn.
* 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) i i i n i i i q p A q p τ τ τ τ τ = =
∑
(8)natomiast
r
i(
τ
,
τ
+
1
)
jest stopą zwrotu i-tego funduszu zrealizowaną w przedziale czasu[
τ
,
τ
+
1
]
, a więc liczoną według wzoru( 1) ( ) ( , 1) . ( ) i i i i p p r p τ τ τ τ τ + − + = (9)
Zauważmy, iż formuła (7) stanowi definicję przeciętnego zwrotu OFE zapropo-nowaną przez Gajka i Kałuszkę (por. [Gajek, Kałuszka 2001]). W cytowanej pracy dowodzi się m.in. następującego twierdzenia:
Twierdzenie 1
Miara określona wzorem (7) spełnia wszystkie postulaty Gajka i Kałuszki4. Co
więcej, jeśli { ( ) :pi τ τ =0,1,2, ...} jest F–martyngałem dla każdego i, wtedy { (0, ) :rLa τ τ =0,1,2, ...} jest również F–martyngałem.
Załóżmy teraz, że rozważamy łańcuchowy logarytmiczny indeks cen Laspeyresa dany formułą
)
1
,
(
)
,
(
~
1 2 1 2 1+
=
∏
− =τ
τ
τ T T P LL P LLT
T
I
I
, (10) gdzie P(
τ
,
τ
+
1
)
LLI
jest cenowym logarytmicznym indeksem Laspeyresa określo-nym jako (por. [von der Lippe 2010]):*( ) 1 ( 1) ( , 1) . ( ) i A n P i LL i i p I p τ τ τ τ τ = + + =
∏
(11)Zauważmy, iż zgodnie ze wzorem (4) przeciętny zwrot OFE wyznaczać będzie-my wówczas zgodnie z następującym wzorem (dla odróżnienia przypadku wprowa-dzimy oznaczenie5
LL
r
):4 Omówienie postulatów Gajka i Kałuszki byłoby zbyt obszerne. Zainteresowanego czytelnika
odsyłamy do oryginalnej pracy [Gajek, Kałuszka 2001] bądź prac: [Białek 2005; Domański (red.) 2011].
5 Podobnie formuły oparte na indeksie Paaschego oznaczylibyśmy odpowiednio
1 2
( , )
Pa
r T T
Jacek Białek
28
* 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 2 1 2 1 ( 1) ( , ) ( , ) 1 ( , 1) 1 1 ( ) i A T T n P P i LL LL LL T T i i p r T T I T T I p τ τ τ τ τ τ τ − − = = = + = − = + − = − = ∏
∏∏
* 2 1 ( ) 1 1 ( 1) exp ln 1 ( ) i A t T n i t T i i w t w t − = = + = − = ∏
∏
2 1 1 * 1 ( 1) exp ( )ln 1 ( ) T n i i i t T i w t A w t τ − = = + − ∑
∏
. (12)Zauważmy, iż formuła (12) stanowi definicję przeciętnego zwrotu OFE zapropo-nowaną przez Białka (por. [Białek 2005]). Omówienie jej własności znaleźć można w pracach [Białek 2009; Domański (red.) 2011]. Można pokazać, iż miara ta spełnia postulaty Gajka i Kałuszki. Ponadto w przypadku stochastycznym dowodzi się (por. [Białek 2005]) następującego twierdzenia:
Twierdzenie 2
Jeśli każdy proces { ( ) :pi τ τ =0,1,2, ...}jest F–martyngałem dla każdego
,i
oraz z prawdopodobieństwem równym jeden zachodzi6:* 1 ( 1) ( )ln 0, ( ) n i i i i w A w τ τ τ = + ≥
∑
dla każdegoτ
, (13) wtedy { (0, ) :rLL τ τ =0,1,2, ...}jest również F–martyngałem.Jak pokazują formuły (7) i (12), poprawną w sensie ekonomicznych postulatów definicję przeciętnego zwrotu daje się wyrazić przez statystyczne indeksy łańcucho-we cen. W ten sposób można by stworzyć jednak bardzo wiele różnych łańcucho-wersji prze-ciętnego zwrotu. Pamiętać jednak należy, iż znane indeksy łańcuchowe często pozo-stają w ścisłych relacjach względem siebie. Z punktu widzenia klientów OFE poszu-kiwać powinniśmy miary, która daje jak największe wskazania (bo podnosimy w ten sposób minimalny próg rentowności dla OFE). W interesie funduszy z kolei jest, by miara ta generowała możliwie niskie wartości. Problem jest więc otwarty i trudny. Biorąc pod uwagę prezentowane tu miary
r
La ir
LLoraz uwzględniając relacje, jakie zachodzą pomiędzy indeksem Laspeyresa cen a jego logarytmiczną wersją, uzysku-jemy wniosek, iż1 2 1 2
( , ) ( , ).
LL La
r T T ≤r T T (14)
6 Warunek ten oznacza, iż w rozważanym czasie na rynku OFE przeważają wzrosty notowań cen
Zastosowanie statystycznych indeksów łańcuchowych do oceny przeciętnego zwrotu…
29
4. Przypadek czasu ciągłego
W pracy [Divisia 1925] autor zaproponował model czasu ciągłego dla konstrukcji agregatowych indeksów cen i ilości. Załóżmy, że procesy cen pi(
τ
), ilości qi(τ
)i przez to wartości komponentów ( )vi τ = pi( ) ( )τ qi τ są ciągłymi funkcjami na prze-dziale [ , ].T T Funkcja całkowitej wartości komponentów agregatu w chwili 1 2
τ
to7:) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 τ τ τ τ τ p q P Q V n i i i = =
∑
= . (15) Zakładając dodatkowo różniczkowalność rozważanych funkcji, otrzymujemy:) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 τ τ τ τ τ τ τ τ V dq p V dp q V dV n i i i n i i i
∑
∑
= = + = . (16)Pierwszy z czynników występujących po prawej stronie (16) odpowiada za zmianę cen, drugi za zmianę liczby komponentów. Divisia definiuje więc suma-ryczną cenę: 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )exp ( ) n T i i i T q p P T P T d V τ τ τ τ = ′ =
∑
∫
. (17)A zatem zgodnie z Divisia otrzymujemy następującą formułę indeksu cenowego:
2 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) exp ( ) ( ) n T i i P i Div T q p P T I T T d P T V
τ
τ
τ
τ
= ′ = = ∑
∫
. (18)Zauważmy, iż zgodnie ze wzorem (4) przeciętny zwrot OFE wyznaczać będzie-my w tym przypadku zgodnie z następującą formułą (dla odróżnienia przypadku wprowadzimy oznaczenie
r
Div):2 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 exp 1 ( ) ( ) ( ) T n P i i i Div Div n i i T i i i q p p r T T I T T d p q p τ τ τ τ τ τ τ = = ′ = − = −
∑
∫
∑
. (19)Jacek Białek
30
Oznaczmy teraz funkcję
δ
i(
τ
)
określającą chwilowy, względny przyrost ceny komponentu: ) ( ln ) ( ) ( ) ( lim ) ( 0τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
δ
τ i i i i i p p ∆ p = dd p − ∆ + = + → ∆ . (20) Wobec (19) i (20) otrzymujemy: 1 ] ) ( ) ( exp[ ) , ( 2 1 1 * 2 1 =∫ ∑
− =τ
τ
δ
τ
d A T T r i T T n i i Div . (21)Okazuje się zatem, iż również w przypadku czasu ciągłego zastosowanie formuły indeksu statystycznego do określenia przeciętnego zwrotu OFE prowadzi do kon-strukcji znanej z literatury przedmiotu. W tym przypadku definicja (21) jest iden-tyczna z propozycją przeciętnej stopy zwrotu funduszy przedstawionej w pracy [Ga-jek, Kałuszka 2000].
5. Badanie empiryczne
Badaniem empirycznym objęto okres I 2003-I 2011. Sprawdzono, jakie różnice war-tości mogą wystąpić pomiędzy wskazaniami miar przeciętnego zwrotu opartych na różnych indeksach łańcuchowych. W badaniu uwzględniono dane miesięczne. Tabe-la 1 prezentuje uzyskane wyniki dTabe-la wybranych trzyletnich podokresów.
Tabela 1. Porównanie miar przeciętnego zwrotu dla okresu I 2003-I 2011
Formuła I 2003- Przeciętny zwrot dla wybranych trzyletnich podokresów [ , ]T T 1 2 -I 2006 I 2004- -I 2007 I 2005- -I 2008 I 2006- -I 2009 I 2007- -I 2010 I 2008- -I 2011 0( , )1 2 r T T 39,35% 50,80% 53,88% 33,23% –5,79% 0,86% 1 2 ( , ) La r T T 39,30% 50,77% 53,83% 33,20% –5,79% 0,82% 1 2 ( , ) LLa r T T 39,28% 50,75% 53,82% 33,19% –5,81% 0,81% 1 2 ( , ) Pa r T T 39,31% 50,77% 53,83% 33,19% –5,79% 0,82% 1 2 ( , ) LPa r T T 39,33% 50,79% 53,84% 33,21% –5,78% 0,83% Źródło: obliczenia własne w Mathematica 4.1.
Widać, iż wskazania przeciętnej stopy zwrotu stosowanej w polskim ustawodaw-stwie są większe od wskazań pozostałych miar, opartych na indeksach łańcucho-wych. Różnice pomiędzy wartościami prezentowanych formuł są bardzo niewielkie. Jednak biorąc pod uwagę wielomiliardowe aktywa netto OFE, należy stwierdzić, że różnica finansowa dla funduszu, który nie osiągnął minimalnego zwrotu i musi po-kryć powstały deficyt, może być już wymierna. Rysunek 1 prezentuje zmieniającą
Zastosowanie statystycznych indeksów łańcuchowych do oceny przeciętnego zwrotu…
31
się w czasie różnicę trzyletnich stóp zwrotu, z których pierwsza wyznaczana jest zgodnie z ustawą, druga zaś oparta jest na łańcuchowym, logarytmicznym indeksie Laspeyresa.
Rys. 1. Wykres różnicy ∆( )t =r t t0( , +36)−r T TLLa( , )1 2 dla całego okresu I 2003-I 2011
Źródło: opracowanie własne.
6. Wnioski
Definicja przeciętnego zwrotu OFE proponowana przez ustawodawstwo polskie nie spełnia pewnych, ekonomicznie zasadnych postulatów. Miary przeciętnego zwrotu oparte na wybranych indeksach łańcuchowych nie tylko spełniają wymogi Gajka i Kałuszki, ale również charakteryzują się z reguły minimalnie niższymi wartościami w stosunku do miary
r
0. W obliczu ewentualnego deficytu w stosunku dowymagal-nego, minimalnego zwrotu sytuacja taka może nieść wymierne konsekwencje finan-sowe dla funduszy emerytalnych. Problemem otwartym nadal pozostałby jednak wybór odpowiedniej formuły indeksu łańcuchowego.
Literatura
Balk M., Axiomatic price index theory: a survey, „International Statistical Review” 1995, no 63. Białek J., Jak mierzyć rentowność grupy funduszy emerytalnych? Model stochastyczny, [w:]
Modelo-wanie preferencji a ryzyko’05, red. T. Trzaskalik, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w
Ka-towicach, Katowice 2005.
Białek J., New Definition of the Average Rate of Return of a Group of Pension Funds, [w:] Financial
Jacek Białek
32
Białek J., Depta A., Statystyka dla studentów z programem STAT_STUD 1.0,, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa 2010.
Divisia F., L’indice montaire et la theorie de la monnaie, „Revue d’Economique Politique ” 1925. Domański Cz. (red.), Nieklasyczne metody oceny efektywności i ryzyka. Otwarte Fundusze
Eme-rytalne, PWE, Warszawa 2011.
Fisher I., The Making of Index Numbers, Houghton Mifflin, Boston 1922.
Gajek L., Kałuszka M., On the average return rate for a group of investment funds, “Acta Universi-tas Lodziensis, Folia Oeconomica” nr 152, Łódź 2000.
Gajek L., Kałuszka M., On Some Properties of the Average Rate of Return – a Discrete Time
Sto-chastic Model, (praca nieopublikowana) 2001.
Törnqvist L., The Bank of Finland’s Consumption Price Index, “Bank of Finland Monthly Bulletin” 1936, no 10.
von der Lippe P., Index Theory and Price Statistics, Peter Lang, Frankfurt, Germany 2007.
THE APPLICATION OF CHAIN INDICES TO EVALUATE THE AVERAGE RATE OF RETURN OF A GROUP
OF OPEN PENSION FUNDS
Summary: In the article we propose the application of chain indices to evaluate the average
rate of return of a group of Open Pension Funds. We show that some definitions of the aver-age return, known from the literature, are based on some chain indices. In general, the dis-cussed chain formulas not only satisfy the postulates given by Gajek and Kałuszka, but also take into consideration the whole considered time interval.
