Wykresy w belkach gerbera

A B C D VA VB V_C VD HA MA C D B D C B A A E F G E F G

BELKI GERBERA

Są to belki ciągłe przegubowe i należą do układów statycznie wyznaczalnych (zatem ns = 0).

Przykładowy schemat:

Wyznaczenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu: ns = R – P – 3

gdzie:

- R – liczba reakcji, - P – liczba przegubów,

- 3 – liczba równań równowagi na płaszczyźnie. Dla powyższego schematu: R = 6; P = 3 zatem

ns = 6 – 3 – 3 = 0.

Sposób obliczania:

Aby policzyć Belkę Gerbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach

uzyskując pojedyncze belki

Aby móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale muszą być statycznie wyznaczalne i geometrycznie niezmienne, zatem muszą opierać się na dwóch podporach przegubowych lub skrajne mogą być utwierdzone. W powstałych po podziale belkach dokładamy fikcyjne podpory w przegubach tak aby stały się one geometrycznie niezmienne.

Najniżej znajdują się belki które bezpośrednio po podziale są statycznie wyznaczalne i nie potrzebują dodatkowych podpór (utwierdzenie lub belka oparta na dwóch podporach). Najwyżej umiejscawiamy belkę, która po podziale nie ma żadnego podparcia i potrzebuje

A

B

C

D

D

C

B

A

_E

_F

_G

D

C

B

A

_E

_F

_G

- fikcyjna podpora

Krok 1.: Dokonujemy podziału belki gerbera w przegubach.

Krok 2.: Wstawiamy podpory fikcyjne tak aby belki powstałe po podziale były geometrycznie niezmienne i umiejscawiamy je na odpowiedniej wysokości:

A B C D VA VC V_E HA MA E F G A B C D E F G VA HA MA VB VB HB HB VD VC HD VD HD VE VF HF VF HF VG VG Wyznaczamy reakcje dla poszczególnych belek oddzielnie zaczynając od tej położonej najwyżej i schodzimy stopniowo w dół obciążając belki niżej położone wyliczonymi wcześniej reakcjami.

W schemacie 1. najpierw liczymy część FG ( część ta jest przypadkiem belki statycznie niewyznaczalnej, aby policzyć reakcje poziome, należy wyznaczyć HG z sumy rzutów na oś x dla części GD), później części EF lub GD, na końcu zaś AE.

Schemat 2.:

W schemacie 2. najpierw liczymy część FG, później DF, następnie BD, na końcu zaś AB. Obciążenie w przegubie:

F

A

B

C

D

E

G

F

A

B

C

D

E

G

4 2 3 6 2 1 1 2 q2=4kN/m q1=6kN/m P=15kN 60 M=4kNm A B C D E F G q2=4kN/m V = 12kNE V = 12kND H = 7,5kNE H = 7,5kND P=15kN 60 V = 12kNE H = 7,5kNE V = 30,495kNF Psin60=12,99kN Pcos60=7,5kN V = 5,505kNG q1=6kN/m M=4kNm V = 12kND V = 3,5kNC V = 2,5kNB H = 7,5kND H = 7,5kNB V = 2,5kNB V = 2,5kNA H = 7,5kNB H = 7,5kNA M =10kNmA - -+ -+ 2,5 6 12 12 18,495 5,505 T [kN] 10 59 12 18 5,505 24 M[kNm] 7,5 7,5 + _N[kN] e e2 x=2,0 x2=3,0 Przykład 1.

Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema. Wyznaczenie reakcji: Część DE: ∑FX= -HD+HE=0 ∑MD= q2·6·3-VE·6=0 → VE=3q2=3·4=12kN ∑ME= -q2·6·3+VD·6=0 → VD=3q2=3·4=12kN Sprawdzenie: ∑FY= VD + VE – q2·6 = 12 + 12 - 4·6 = 0 Część EG: ∑FX= -HE + Pcos60°=0 → HE = Pcos60°=7,5kN → HD= 7,5kN ∑MF= - VE·2+Psin60°·1 +VG·2=0 → VG=0,5(2VE - Psin60°·1) = 0,5(2·12 – 12,99·1)=5,505kN

A 60 2 2 3 3 4 2 3 1 M=9kNm P2=15kN _P1=12kN q=6kN/m q=6kN/m M=9kNm P1=12kN 60 P2=15kN Psin60=12,99kN Pcos60=7,5kN B C D E F G V = 16kNG V = 8kNF H = 0kNF H = 0kNF V = 8kNF V = 27kNE V = 7kND H = 0kND H = 0kND V = 7kND V = 7kNC V = 2kNB H = 0kNB H = 0kNB V = 2kNB V = 10,99kNA H = 7,5kNA M =17,98kNmA 6 10 8 20 7 7 5 5 2 2 10,99 10,99 + + + + -- -e T [kN] 3 5,33 28 15 6 4 17,98 M [kNm] -N[kN] x=1,33 ∑MC= -VB·2 - M – q1·3·1,5 +VD·3=0 → VB=0,5·(-M - q1·3·1,5 + VD·3) = 0,5(-4 - 6·3·1,5 + 12·3)=2,5kN Sprawdzenie: ∑FY= -VB – VC – VD + q1·3= - 2,5 – 3,5 - 12 + 6·3= 0 Część AB: ∑FX= -HA+ HB= 0 → HA = HB =7,5kN ∑MA= -VB·4 + MA=0 → MA=4VB = 4·2,5 =10kNm ∑FY= VA - VB =0 → VA= VB =2,5kN Sprawdzenie: ∑MB= -VA·4+ MA = - 2,5·4 + 10 = 0 Wyznaczenie ekstremum: T[x]= VD - q1x = 0 → x = VD/q1 = 12/6 = 2m M[x] = VD·x – q1·x 2 /2 M[x = 2] = 12·2 - 6·22/2 = 12kNm T[x2] = VD – q2x2= 0 → x2 = VD/q2 = 12/4 = 3m M[x2] = VD·x2 – q2·x2 2 /2 M[x2= 2] = 12·3 - 4·3 2 /2 = 18kNm Przykład 2.

Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema.

Wyznaczenie reakcji: Część FG: ∑FX= HF=0 ∑MF= q·4·2-VG·3=0 → VG=1/3(8q)=8/3·6=16kN ∑MG= -q·4·1+VF·3=0 → VF=4/3q=4/3·6=8kN Sprawdzenie: ∑FY= VF + VG – q·4 = 8 + 16 - 4·6 = 0 Część DF: ∑FX= -HF + HD =0 → HD = HF =0kN ∑MD= - VE·4+q·2·5 +VF·6=0 → VE=0,25(6VF + 10q) = 0,25(6·8 – 10·6)=27kN ∑ME= - VD·4 + q·2·1 +VF·2=0 → VD=0,25(2VF + 2q) =0,25(2·8 + 2·6)=7kN Sprawdzenie: ∑FY= -VF – 2q + VE – VD = - 8 – 2·6 +27 - 7= 0 Część BD: ∑FX= HB- HD= 0 → HB = HD =0kN ∑MB= -VC·3 - M +P1·6 - VD·6=0 → VC=1/3·(-M + 6P1 - 6VD) = 1/3·(- 9 + 6·12 - 6·7)=7kN ∑MC= -VB·3 - M + P1·3 -VD·3=0 → VB=1/3·(-M + 3P1 - 3VD) = 1/3·(- 9 + 3·12 - 3·7)=2kN Sprawdzenie: ∑FY= -VB + VC + VD - P1= - 2 + 7 + 7 – 12 = 0 Część AB: ∑FX= HA- HB – P2cos60°= 0 → HA = P2cos60° + HB =7,5 +0 = 7,5kN ∑MA= -VB·4 - MA +2·P2sin60°=0 → MA=- 4VB + 2·P2sin60° = - 4·2 + 12,99·2 =17,98kNm ∑FY= VA + VB - P2sin60° =0 → VA= P2sin60° - VB = 12,99 – 2 = 10,99kN Sprawdzenie: ∑MB= VA·4- MA - 2·P2sin60° = 4·10,99 – 17,98 - 2·12,99 = 0 Wyznaczenie ekstremum: T[x]= VF - qx = 0 → x = VF/q = 8/6 = 1,33m M[x] = VF·x – q·x 2 /2 M[x = 1,33] = 8·1,33 - 6·1,332/2 = 5,33kNm Przykład 3.

Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema. Wyznaczenie reakcji: Część BC: ∑FX= -HB + HC + P1cos45° =0 → HB = HC + P1cos45° ∑MB= -VC·4 + P1sin45°·2=0 → VC=0,25·( 2P1sin45°)=0,25·2·12,02=6,01kN ∑MC= VB·4 - P1sin45°·2=0 = → VB=0,25·( 2P1sin45°)=0,25·2·12,02=6,01kN Sprawdzenie: ∑FY= VB + VC – P1sin45° = 6,01 + 6,01 - 12,02 = 0 Część CE:

P1=17kN 45 M =4kNm _{M =8kNm} q=6kN/m 4 2 2 3 2 1 1 1 A B C D _E F G P1=17kN 45 M =4kNm q=6kN/m M =8kNm V = 6,01kNA H = 12,02kNA M =20,04kNm V = 6,01kNB H = 12,02kNB H = 12,02kNB V = 6,01kNB V = 6,01kNC H = 0kNC H = 0kNC V = 6,01kNC V = 22,475kND V = 1,515kNE H = 0kNE H = 0kNE V = 1,515kNE V = 9,515kN G V = 11,03kNF Psin45=12,02kN Pcos45=12,02kN 9,515 1,515 10,485 11,99 6,01 6,01 6,01 6,01 + + ₊ - - -8 1,515 0,19 8,97 3,01 12,02 4 20,04 12,02 12,02 + T [kN] M[kNm] N[kN] e e2 x=1 x2=0,25 A 1 1 2 2 Część EG: ∑FX= - HE= 0 → HE = 0kN → HC = 0kN → HB = 0 + P1cos45° = 0 + 12,02 = 12,02kN ∑MF= -VG·1 + M2 + VE·1 =0 → VG= M2 + 1VE = 8 + 1·1,515 = 9,515kN ∑MG= -VF·1 + M2 + VE·2 =0 → VF= M2 + 2VE = 8 + 2·1,515 = 11,03kN Sprawdzenie: ∑FY= -VF + VE + VG = - 11,03 + 1,515 + 9,515 = 0 Część AB: ∑FX= - HA + HB = 0 → HA = HB = 12,02kN ∑MA= VB·4 - MA – M1 =0 → MA= 4VB – M1 = 4·6,01 - 4 =20,04kNm ∑FY= VA - VB =0 → VA= VB = 6,01kN Sprawdzenie: ∑MB= VA·4- MA - M1 = 4·6,01 – 20,04 - 4 = 0 Wyznaczenie ekstremum: T[x]= -VC + qx = 0 → x = VC/q = 6,01/6 = 1m M[x] = -VC·x + q·x 2 /2 M[x = 1] = -6,01·1 + 6·12/2 = -3,01kNm T[x2]= VE – qx2 = 0 → x2 = VE/q = 1,515/6 = 0,25m M[x2] = -VE·x2 + q·x2 2 /2 M[x = 0,998] = -1,515·0,25 + 6·0,252/2 = -0,19kNm