EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI *
ONTOLOGIA ELEMENTARNA I KLASYCZNY RACHUNEK RELACJI
PojKcie relacji nale=y do najwa=niejszych pojKR obecnych w naszym jKzyku. Nic dziwnego, =e dla Arystotelesa jest jednX z kategorii. Rachunek relacji ugru-towali Ch.S. Peirce (1839-1914) i E. Schröder (1841-1902)1. Jest on obecny
w Principiach Whiteheada i Russella. Teoria relacji zajmuje wa=ne miejsce w podrKcznikach logiki pierwszej po`owy XX wieku2. Póbniej teorii relacji
po-cwiKca siK mniej miejsca. Jest ona przedstawiana – niejako przy okazji – w pod-rKcznikach klasycznego rachunek predykatów3 lub teorii mnogocci4.
Z drugiej strony w konstrukcjach logicznych bKdXcych rachunkami nazwo-wymi nie pocwiKca siK im uwagi. Sylogistyka tradycyjna ma powa=ne trudnocci z nazwami relatywnymi (problem tzw. sylogizmów ukoEnych), a z kolei w wyra-finowanym rachunku nazwowym – ontologii5 – relacje (podobnie jak w teorii
mnogocci) mo=na wprowadziR definicyjnie6.
Dr hab. EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI,Prof.UR – Zak`ad Filozofii Przyrody, Uniwersytet Rol-niczy im. Hugona Ko``Xtaja w Krakowie; adres do korespondencji: al. 29 Listopada 46, 31-425 Kraków; e-mail: rlwojcie@cyf-kr.edu.pl
1 Wed`ug Bochelskiego za w`acciwego twórcK wspó`czesnej logiki relacji nale=y uznaR logika
angielskiego A. De Morgana (1806-1871). Sam Peirce traktowa` De Morgana jako „ojca logiki rela-cji”. Zob. J. B o c h e l s k i, Formale Logik, wyd. 4, Freiburg–München: Verlag Alber 1978, s. 434.
2 Zob. np. R. C a r n a p, Abriss der Logistik, Wien: Springer Verlag 1929; A. M o s t o w s k i,
Logika matematyczna, Warszawa–Wroc`aw: Ossolineum 1948; Cz. C z e = o w s k i, Logika,
War-szawa: PZWS 1949. Na poczXtku XX wieku w literaturze polskiej nie ma jednolitej terminologii. Na przyk`ad Wac`aw Sierpilski w swoim Zarysie z teoryi mnogoEci (Warszawa 1912) zamiast terminów relacja czy stosunek pos`uguje siK okrecleniem wzglKdnoE$ (tam=e, s. 32). TK uwagK terminologicznX zawdziKczam prof. Janowi Zygmuntowi.
3 OdnoszX siK do nich predykaty o co najmniej dwóch argumentach.
4 Relacje sX tam traktowane jako klasy par (ogólniej n-tek uporzXdkowanych, dla 2),
n ! ),
zde-finiowanych przez operacjK mno=enia kartezjalskiego.
5 Jest to jeden z trzech systemów logicznych, zbudowanych przez Stanis`awa Lecniewskiego. 6 Mo=na je w szczególnocci traktowaR jako wtórne wobec wyra=el typu x&fy, gdzie f jest
SX powa=ne argumenty za traktowaniem ontologii elementarnej za adekwatne narzKdzie w analizie jKzyka naturalnego. Mamy te= silne intuicje jKzykowe, by zwroty jKzyka naturalnego z relacjami traktowaR jako pierwotne w stosunku do wyra=el z nazwami relatywnymi7.
W pracy proponuje siK pewne rozszerzenie ontologii elementarnej, majXce na celu ujKcie tych intuicji jKzykowych8.
1. PRELIMINARIA
Ontologia elementarna. W ontologii elementarnej (OE) kwantyfikatory wiX=X
jedynie zmienne kategorii nazwowej. Jej jedyny aksjomat ma posta!9:
A1 x y$ % &z z x" $ #'zu z x u x" $ $ (z u$ #'z z x
"
$ (z y$#
Regu`ami pierwotnymi sX tu regu`a podstawiania (za zmienne nazwowe) i regu`a od-rywania (MP). System ten mo=na ufundowaR na klasycznym rachunku predykatów bez identycznocci.
Do standardowych definicji ontologicznych nale=X:
DV x$V%x x$ x jest przedmiotem
Dr x$) %x x$ ~x x$ x jest przedmiotem-sprzecznym
Dn x ny$ %x x$ ~x y$ x jest nie y
Dex ex x" #% &z z x" $ # x istnieje
Dsol sol x" #% 'zu z x u x" $ $ (z u$ # istnieje-co-najwy)ej-jedno x D* x*y% 'z z x
"
$ (z y$#
x zawiera-siK-w yD= x+y%
"
x y$ y x$#
x jest-identyczne-z ytorem kategorii n/n. RelacjK F, sprzK=onX z nazwX relatywnX f, wprowadza`yby wówczas definicja:
xFy % x&fy.
7 Na przyk`ad wyra=enie a jest ojcem-b przy takim podejcciu traktowane by`oby jako wtórne
wobec a jest-ojcem b. W pierwszym przypadku mamy do czynienia z funktorem ojciec (n/n), w dru-gim zac z relacjX jest-ojcem (s/nn). Wyrabnym zwolennikiem tego stanowiska jest Peter Thomas Geach. Zob. np. P.T. G e a c h, Nazwy a identycznoE$, „Studia Semiotyczne”, 6 (1975), s. 125-131.
8 Praca ta by"a referowana na XVII Konferencji Zastosowania logiki w filozofii i podstawach
matematyki, Szklarska Por#ba, 7-11 V 2012 r., zorganizowanej przez Instytut Matematyki Uni-wersytetu $l%skiego, Instytut Matematyki UniUni-wersytetu Opolskiego oraz Katedr# Logiki i Metodo-logii Nauk Uniwersytetu Wroc"awskiego. InspiracjX do zajKcia siK tym problemem by` referat
Dys-kretny urok rachunku relacji Jacka Havranka (wyg`oszony rok wczecniej podczas XVI Konferencji,
Szklarska Por#ba, 9-13 V 2011 r.).
9 Za wstKp do ontologii elementarnej mo=e s`u=yR: J. S ` u p e c k i, St. LeEniewski’s calculus of
Do regu` wtórnych tego systemu nale=X z kolei: R1 x y x x$ / $
R2 x y$ y z x z$ / $
R3 x y$ y z y x$ / $
oraz regu`a ekstensjonalnocci dla identycznocci10:
REI x+y/," #x (,
" #
yKlasyczny rachunek relacji. AksjomatykK dla klasycznego rachunku relacji
(KRR) zaproponowa` Alfred Tarski11:
B1 a bV! B2 ~ a b)! B3 a+ a B4 aRb- + (b c aRc B5 a.b%~a+b B6 aRb%~aRb B7 aRb" %bRa B8 aR/Sb%aRb0aSb B9 aR Sb1 %aRb-aSb B10 aR2Sb% 'c aRc" 0cSb# B11 aR3Sb% &c aRc" -cSb# B12 R+!S% 'ab aRb" %aSb#
Aksjomaty B1 i B2 wprowadzajX odpowiednio pojKcia relacji uniwersalnej i re-lacji pustej. Z kolei, B3 i B4 charakteryzujX relacjK identycznocci: pierwszy jest aksjomatem klasycznej teorii identycznocci, a drugi to szczególna postaR aksjo-matu ekstensjonalnocci dla identycznocci (klasyczna teoria identycznocci). Aksjo-maty B5,B6 i B7 wprowadzajX odpowiednio pojKcia: nieidentycznocci (ró=nocci) dla indywiduów oraz funktory negacji i odwrotnocci (konwersu) dla relacji. B8 i B9 definiujX sumK i iloczyn relacji. Z kolei B10, B11 i B12 wprowadzajX odpowiednio pojKcia: sumy wzglKdnej relacji, iloczynu wzglKdnego relacji oraz identycznocci relacji.
10 W jej dowodzie jest wykorzystywana definicja: x&stsf/G/ " #.
x x$ , x
%
11 Zob. A. T a r s k i, On the Calculus of Relations, „The Journal of Symbolic Logic” 6 (1941),
No. 3, s. 73-89, tu s. 75 n. Zmieniamy czKcciowo symbolikK i opuszczamy kwantyfikatory ze-wnKtrzne. Zmienne a, b, c reprezentujX tu indywidua.
Tarski podkrecla tam rolK Ernsta Schrödera w systematycznym badaniu teorii relacji12.
Sylogistyka z terminami negatywnymi i sylogizmami ukoEnymi. Na
aksjo-matykK sylogistyki z terminami negatywnymi i sylogizmami ukocnymi (SNU) sk`adajX siK formu`y13:
C1 xannx
C2 ex x
" #
(~anxC3 nxany(yax C4 xayyaz(xaz C5 xay( fxafy
Do jego regu` specyficznych nale=X: regu`a podstawiania dla nazw i regu`a pod-stawiania dla funktorów typu f (o kategorii n/n). Zgodnie z regu`X podpod-stawiania dla tych funktorów, je=eli f i g sX funktorami kategorii n/n, ró=nymi od negacji nazwowej oraz 4(fx) jest tezX systemu, to tezX systemu jest 4(gx) jako rezultat podstawienia g za f, we wszystkich wystXpieniach f w formule 4. Pozosta`e funk-tory sylogistyczne s% zdefiniowane w klasyczny sposób.
Do tez specyficznych systemu nale=X14:
xayfyaz( fxaz [C4(fx/x, fy/y),C5]
xayyafz(xafz [C4(fz/z)]
xafyyaz(xafz [C4(fy/y, fz/z),C5]
12 Zob. E. S c h r ö d e r, Algebra und Logik der Relative (Vorlesungen über der Algebra der
Logik (exakte Logik), Leipzig: Teubner Verlag 1885.
13 Jest to s`absza wersja systemu przedstawionego w: E. W o j c i e c h o w s k i, Sylogizmy
ukoEne, „Roczniki Filozoficzne” 37-38 (1989-1990), z. 1, s. 337-343, s. 339. Pierwsze cztery
aksjo-maty tam przyjmowane to aksjoaksjo-matyka sylogistyki z terminami negatywnymi (Wedberg-Iwanuc):
, ~ , , .
xannx xanx nxany(yax xayyaz(xaz Zob. te&: E. W o j c i e c h o w s k i,
Bezkwantyfika-torowy rachunek nazw z sylogizmami ukoEnymi, [w:] J. M a l i n o w s k i, A. P i e t r u s z c z a k
(red.), WokóT filozofii logicznej, Toru': Wydawnictwo UMK 2004, s. 123-131.
14 By`y one przyjmowane wczecniej jako aksjomaty. Na ich zale=nocR od aksjomatów C4 i C5
2. IDEA
MajXc na uwadze intuicyjnocR aparatury pojKciowej klasycznego rachunku relacji zaproponujemy przeniesienie tych pojKR na grunt ontologii elementarnej, przy uprzednim rozszerzeniu jej jKzyka.
Celem pracy jest zbudowanie bardzie adekwatnego narzKdzia do analizy jKzyka naturalnego. Przy okazji, konstrukcja ta uwzglKdni pewne stare idee zwiX-zane z tzw. sylogizmami ukoEnymi i obejmie swym zasiKgiem powy=ej naszkico-wanX sylogistykK z terminami negatywnymi i sylogizmami ukocnymi.
3. ONTOLOGIA ELEMENTARNA Z RELACJAMI
Na s`ownik ontologii elementarnej z relacjami (OER) sk`adaj% si#:
1) zmienne nazwowe – x,y,z (z indeksami lub bez), 2) zmienne funkcyjne – f,g,h (z indeksami lub bez), 3) zmienne relacyjne – R,S,T (z indeksami lub bez), 4) funktory logiczne: – kategorii s/s
,!,y,z – kategorii s/ss
5) sta`e nazwowe: V,r – kategorii n 6) sta`e funktorowe:
funktor specyficzny: { – kategorii s/nn funktory definiowane: ex,sol – kategorii s/n n – kategorii n/n _| – kategorii (s/nn)/n(s/nn) |_ – kategorii (s/nn)/(s/nn)n _| |_ – kategorii (s/nn)/n(s/nn)n ’ – kategorii n/(s/nn) * – kategorii (n/n)/(s/nn) * + ., , ,V,! ! ) – kategorii s/nn , – kategorii (s/nn)/(s/nn) –,! – kategorii s/(s/nn)(s/nn) / 1 2 3 , , , – kategorii (s/nn)/(s/nn)(s/nn) 7) kwantyfikatory: ,, 8) nawiasy: (,).
Za pomocX symbolu ‘|’ oznaczamy tu odpowiednio funktory: lewostronnego ograniczenia (_|), prawostronnego ograniczenia (|_) i obustronnego ograniczenia (_| |_) dla relacji. Znak ‘_’ markuje obecnocR argumentu nazwowego. To, z jakim z tych trzech funktorów mamy do czynienia, jest okreclone przez kontekst. PojKcie formu`y systemu okrecla siK tu w standardowy sposób.
System ten jest rozszerzeniem system SNU. Jest on równie= rozszerzeniem systemu OE o regu`K podstawiania dla symboli relacyjnych.
ListK definicji wzbogacimy o funktor ró)noEci: D . x.y%~x+y
Wprowadzimy te= funktory lewostronnego, prawostronnego i obustronnego ograniczenia15:
D | xy|Rz%x y xRz$ xR| zy%Ryy z$ xy R uz%x y xRz$ y u$
Przyjmiemy równie= definicjK funktora odrelatywizowania: D’
"
#
’
x R$ %x x$ &z xRz
Funktor odrelatywizowania jest funktorem nazwotwórczym o kategorii n/ (s/nn)16. Nazwy utworzone za pomocX tego funktora bKdziemy nazywali nazwami
odrelatywizowanymi.
W literaturze spotykamy siK równie& z nazwami/orzecznikami/terminami wzglKdnymi/relatywnymi17. Nale=X do nich np. ojciec Piotra czy nauczyciel Pla-tona. Nazwy te s% te& wtórne wobec nazw relacji. Funktor wchodzXcy w sk`ad tego typu orzeczników bKdziemy nazywali funktorem relatywnym18:
D* x&R*%x x$ &z xRz z y( $ )
15 Przyjmujemy tu notacjK Mostowskiego (Logika matematyczna, Warszawa–Wroc`aw:
Osso-lineum 1948, s. 130). Cz`ony typu x A$ sX tam oddawane, z uwagi na przyjmowanX klasycznX teoriK klas, przez x5A.
16 Termin odrelatywizowanie zaproponowa" Peter Thomas Geach w artykule Nazwy a
iden-tycznoE$ („Studia Semiotyczne” 6 (1975), s. 125-131, tu s. 128). Geach traktuje tam funktor
jedno-argumentowy (predykat) jest-ojcem(x) za wtórny w stosunku do funktora dwuargumentowego (odnoszXcego siK do relacji): x jest-ojcem y. Proponowany tu symbol funktora odrelatywizowania (’) ma wskazywaR na to, =e mamy tu do czynienia z derywatem (oderwaniem) od frazy typu xRy.
17 Zob. W tej sprawie zob. np. Cz. C z e = o w s k i, Logika, Warszawa: PZWS 1949, s. 434, oraz
J. R e g n e r, Logika, Kraków: PTT 1973, s. 49.
18 Na gruncie klasycznej teorii klas mo=na by powiedzie!, &e za pomocX tego funktora
Funktor ten, w odró=nieniu od funktora odrelatywizowania (o kategorii n/(s/nn)), jest kategorii (n/n)/(s/nn).
Bezpocredni% konsekwencjX tych definicji jest:
T1 x&R*y % x&R|y’ [D*,D|,D’]
Przyk`adami nazw relatywnych spe`niajXcych T1 s%: syn malarza, gTowa konia czy aksjomatyka systemu. W przypadku gdy y jest nazw% jednostkowX
"
y y$#
, definiens tego funktora – na gruncie OER – jest równowa=ny x x xRy$ . Do tez systemu nale=X19:T2a x&R*yy&y " x&xxRy Dem. Hp(2) y z. (3) x x xRz z y{ { [1,D*] (4) x x { [3] (5) xRz [3] (6) {z y [3] (7) y z { [2,6#R3] (8) z+y [6,7,D=] (9) xRy [5,8#REI] (10) T [4,9] T2b x x y y xRy$ $ ( x&R*y Dem. Hp(3) y (4) xRyy{y [2,3] (5) z(xRzz{y) [4,OE] (6) T [1,5,D*] T2 y y{ (( { *x R y%x x xRy{ ) [T1a,T1b] Nazwami relatywnymi spe`niajXcymi T2 s% np. ojciec Jana i autor „Pana Tadeusza”.
19 Wyra=enie „z”, wystKpujXce w wierszach dowodowych jest skrótem wyra=enia „za`o=enie”.
Symbole Hp(...) i T znaczX tu odpowiednio: zaTo)enie(liczba przesTanek) oraz teza = dowodzony nastKpnik implikacji.
Udowodnimy twierdzenie:
Twierdzenie 1. System SNU zawiera siK w OER przy regule translacji RT: ,(sat)+ *s t
,( )nt +nt ,
"
ex t( )#
+ex t( ), 4
"
" #
fx#
+ &z z x( $ ), 4"
"R x* ##
,gdzie R* jest odpowiednikiem f ,(~ ) ~ ( )6 + , 6,(6 7 +$ ) ,( )6 $,( ),7 gdzie $ jest dowolnym spójnikiem lo-gicznym.
W dowodzie tego twierdzenia nale=y pokazaR, &e aksjomaty pierwszego z syste-mów s% tezami drugiego z nich przy powy=szej regule translacji:
T3 x*nnx (+,C1) [RT,OE] T4 ex x
" #
(~x*nx (+,C2) [RT,OE] T5 nx*ny(y*x (+,C3) [RT,OE] T6 x*yy* (z x*z (+,C4) [RT,OE] T7 x*y(R x* *R y* (+,C5) Dem. Hp(1) y z. (2a) { * z R x [z](2b) &u z z zRu u x. { { [2a,D*]
(2c) z z { [2b#R1]
(2d) zRu u x { [2b]
(2e) zRu u y { [1,2d,OE]
(2f) z R y { * [2c,2e,D*]
(2) 'z z R x( { * (z R y{ * ) [2a y 2f]
(3) T [2,D%]
Kolczy to dowód tego twierdzenia.
Do systemu OER wprowadzimy definicyjnie sta`e relacji uniwersalnej i relacji pustej oraz funktory negacji relacji, konwersu relacji, inkluzji relacji i identycz-noEci relacji:
D V! x yV! %x*Vy*V relacja uniwersalna
D¯ xRy%~xRy negacja relacji
D xRy" % yRx konwers relacji
D *! R*! S% 'xy xRy
"
(xSy#
inkluzja relacji D +! R+!S% 'xy xRy"
%xSy#
identycznoE$ relacji Przyjmiemy równie= funktory sk`adania relacji – iloczynu, sumy, iloczynu wzglKd-nego i sumy wzglKdnej:D1 xR Sy1 %xRy xSy iloczyn relacji
D + xR Sy/ %xRy xSy! suma relacji
D 3 xR3Sy% &z xRz zSy
"
#
iloczyn wzglKdny relacji D 2 xR2Sy% 'z xRz zSy"
!#
suma wzglKdna relacjiWzmocnienie OER. Rozszerzymy jKzyk systemu OER o zmienne nazwowe
indiwiduowe (a,b,c – z indeksami lub bez).
Przez wzmocnionX ontologiK elementarnX z relacjami (OER*) rozumiemy tu roz-szerzenie OER o aksjomat:
A2 a{a
Regu`a podstawiania za zmienne nazwowe jest tu odpowiednio rozszerzona: (1) za zmienne nazwowe mo=na podstawiaR zmienne nazwowe, sta`e nazwowe
i zmienne nazwowe indywiduowe.
(2) za zmienne indywiduowe mo=na podstawiaR tylko zmienne indywiduowe. Pozosta`e regu`y sX takie same jak w systemie OER.
Na mocy aksjomatu A2, wszystkie nazwy indywiduowe sX referencjalnymi na-zwami jednostkowymi.
Udowodnimy twierdzenie:
Twierdzenie 2. KRR zawiera siK inferencyjnie w OER*
BiorXc pod uwag# fakt, =e odpowiednikami aksjomatów B5-B12 sX na gruncie
OER odpowiednio definicje D.,D ¯, D , D +, Dx, D , D2 3i D ,+!
uzyskuje-my w OER* odpowiedniki tych aksjomatów przez zastXpienie w tych definicjach zmiennych nazwowych zmiennymi indywiduowymi. W dowodzie tego twierdze-nia wystarczy pokaza!, =e pozosta`e aksjomaty specyficzne systemu KRR (B1-B4) sX tezami OER*. Ma to istotnie miejsce:
T11 a bV! (= B1) [DV,! OE] T12 ~ a b)! (= B2) [D ,)! OE] T13 a = a (= B3) [A2,D =] T14 aRb b c + (aRc (= B4) Dem. Hp(2) y (3) bRa" [1,D¯] (4) b c c b{ { [2,D =] (5) b b { [4,OE] (6) c b b R a{ { '" [3,4,5,D'] (7) c Ra{" [6#R2] (8) cRa" [7,D'] (9) T [8,D]
Kolczy to dowód tego twierdzenia.
4. UWAGI KOCOWE
Wyniki. W pracy rozszerzono system ontologii elementarnej o zmienne relacyjne
i zdefiniowano pojKcia klasycznego rachunku relacji. Tak wzbogacona ontologia elementarna (OER) staje siK wygodniejszym narzKdziem do analizy jKzyka natu-ralnego.
W badaniach jKzyka naturalnego wa=ne jest równie= rozró=nienie miKdzy na-zwami odrelatywizowanymi a nana-zwami relatywnymi (zwanymi równie= relatywa-mi). OdpowiadajXce im funktory – tworzXce nazwy z wyra=el zawierajXcych rela-cje – zosta`y tu formalnie zdefiniowane.
Pokazano, =e sylogistyka z terminami negatywnymi wzbogacona o tzw. sylo-gizmy ukoEne (SNU), która uwzglKdnia nazwy relatywne, jest fragmentem onto-logii elementarnej z relacjami (Twierdzenie 1).
Zasadnicza ró=nica miKdzy klasycznX teoriX relacji a rachunkiem nazw, jakim jest ontologia elementarna, polega na tym, =e ta pierwsza jest zbudowana w jKzy-ku klasycznej teorii predykatów, jKzyjKzy-ku z wXskim rozumieniem kategorii nazw (nazwy to tylko nazwy referencjalne jednostkowe), a druga, jako fragment onto-logii Lecniewskiego, jest zbudowana w jKzyku z szerokim rozumieniem kategorii nazw.
Je=eli wyró=nimy w ontologii elementarnej tzw. nazwy indywiduowe (referen-cjalne nazwy jednostkowe), tj. przez rozszerzenie jej jKzyka przez wyrabnX
dys-tynkcjK tej kategorii nazw20 i zapewniajXc sobie ich referencjalnocR (niepustocR)
przez przyjKcie dodatkowego aksjomatu (A2), uzyskamy wzbogaconX ontologiK elementarnX z relacjami (OER*). W pracy udowodniono, =e klasyczny rachunek relacji jest fragmentem tak wzbogaconej ontologii elementarnej z relacjami (Twierdzenie 2).
Perpektywy. Bardziej adekwatnym narzKdziem do analizy jKzyka naturalnego
by`by pewien fragment ontologii elementarnej wzbogacony o funktory kwantyfi-kujXce (substytuty kwantyfikatorów) – tzw. bezkwantyfikatorowy rachunek nazw21. Na grunt takiego rachunku mo=na w sposób analogiczny przeniecR wpro-wadzone tu pojKcia klasycznego rachunku relacji.
PodziKkowania. Sk`adam podziKkowania anonimowym recenzentom, których
uwagi przyczyni`y siK do udoskonalenia tego tekstu.
BIBLIOGRAFIA
B o c h e l s k i J.M.: Formale Logik, wyd. 4., Freiburg–München: Verlag Alber 1978.
B o r k o w s k i L.: Bezkwantyfikatorowy za`o=eniowy system rachunku nazw. CzKcR I, „Roczniki Filozoficzne 28(1980), z. 1, s. 133-148.
C a r n a p R.: Abriss der Logistik, Wien: Springer Verlag 1929. C z e = o w s k i T.: Logika, Warszawa: PZWS 1949.
G e a c h P.T.: Nazwy a identycznocR, „Studia Semiotyczne” 6 (1975), s. 125-131.
H a v r a n e k J.: Dyskretny urok rachunku relacji, referat wyg`oszony podczas XVI Konferencji „Zastosowania logiki w filozofii i podstawach matematyki” (Szklarska PorKba, 9-13 V 2011 r). M o s t o w s k i A.: Logika matematyczna, Warszawa–Wroc`aw: Ossolineum 1948.
R e g n e r L.: Logika, Kraków: PTT 1973.
S c h r ö d e r E.: Algebra und Logik der Relative [Vorlesungen über der Algebra der Logik (exakte Logik)], Leipzig: Teubner Verlag 1885
S i e r p i l s k i W.: Zarys teoryi mnogocci, Warszawa 1912.
S ` u p e c k i J.: St. Lecniewski’s calculus of names, „Studia Logica” 3 (1955), s. 7-70.
T a r s k i A.: On the Calculus of Relations, „The Journal of Symbolic Logic” 6 (1941), No. 3, s. 73-89. W o j c i e c h o w s k i E.: Sylogizmy ukocne, „Roczniki Filozoficzne” 37-38(1989-1990), z. 1,
s. 337-343.
— Bezkwantyfikatorowy rachunek nazw z sylogizmami ukocnymi, [w:] J. M a l i n o w s k i, A. P i e t r u s z c z a k (red.), Wokó` filozofii logicznej, Torul: Wydawnictwo UMK 2004, s. 123-131.
20 Zmienne indywiduowe sX w naszym przypadku inaczej oznaczane (a,b,c).
21 G`ówne idee takiego rachunku zosta`y przedstawione w: L. B o r k o w s k i,
Bez-kwantyfikatorowy zaTo)eniowy system rachunku nazw. CzKE$ I, „Roczniki Filozoficzne” 28 (1980),
ELEMENTARY ONTOLOGY
AND THE CLASSICAL CALCULUS OF RELATIONS S u m m a r y
The notion of relation is one of the most important concepts present in our language.
This study propose some extension of elementary ontology (OE) for relational variables and defining in his framework the concepts of the classical calculus of relations. Such enriched elementary ontology (OER) is a better tool for the analysis of natural language.
It is shown that syllogistic with the negative terms enriched by so called oblique syllogisms (SNU with the axioms C1–C5) is a fragment of OER system (Theorem 1).
The OER system is enriched next with individual variables (a,b,c) and by assuming the individual term referentiality (axiom A2) we obtain OER* system. The Proof that the classical calculus of relations (KRR) is a part of the system OER* (Theorem 2) is given.
Summarised by Eugeniusz Wojciechowski
S*owa kluczowe: ontologia elementarna, systemy Lecniewskiego, sylogizmy ukocne, klasyczna
teoria relacji.
Key words: elementary ontology, Lecniewski’s systems, oblique syllogisms, classical calculus of
relations.
Information about Author: Prof. Dr. EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI – Division of Philosophy of
Nature at the Hugo Ko``Xtaj Agriculture University of Cracow; address for correspondence: al. 29 Listopada 46, PL 31-425 Kraków; e-mail: rlwojcie@cyf-kr.edu.pl
